2 超曲面論における変分公式と $\overset{―}{CHAPTER}$ ガウス・ボンネの定理

この章において, まず, 一般次元のユークリッド空間内の超曲面論について述べる。次に, 正則超曲面からなる無限次元空間上の体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式を導く. さらに, 曲面論（つまり， 3 次元ユークリッド空間内の超曲面論）におけるガウス・ボンネの定理の局所版と大域版を紹介し，それらを証明する。ここで，ガウス・ボンネの定理の局所版とは，区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ

C^{\infty}

曲面片のガウス曲率に対する積分公式であり，ガウス・ボンネの定理の大域版とは,

C^{\infty}

閉曲面のガウス曲率に対する積分公式であり, これは, その閉曲面を三角形分割して, その分割における各三角形小領域上で同定理局所版を適用してえられるものである。この章では、簡単のため，超曲面，および区分的に滑らかな超曲面は，すべて

C^{\infty}

級であるとする. また，特別断りのない限り，

C^{r}

級性における

r

は 1 以上とする.

2.1 超曲面上の接ベクトル場

この節において,

C^{\infty}

超曲面上の接べクトル場を定義することにする.

S

を

E^{n + 1} (n \geq 2)

内の

C^{\infty}

超曲面とし,

D := {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

を

S

の

C^{\infty}

構造とする.

S

の各点

p

に対し,

T_{p} S

の元

X_{p}

を対応させる対応

X

を

S

上の接ベクトル場（tangent vector field）という（図 2.1.1 を参照）.

注意

T S := \underset{p \in S}{⨿} ({p} \times T_{p} S)

とおき,

π

を

T S

から

S

への自然な射影，つまり、

π ({p} \times T_{p} S) = {p} (p \in S)

によって定義される写像とする。

π : T S \to S

は

C^{\infty}

ベクトルバンドルとよばれる構造をもち，S の接ベクトルバンドル（tangent bundle）とよばれる（接ベクトルバンドルの

C^{\infty}

ベクトルバンドル構造については, 3.7 節を参照のこと).

S

上の接ベクトル場

X

は,

π \circ X = {id}_{S}

を満たす

S

から

T S

への写像として定義することもできる. ここで,

T_{p} S

ではなく

{p} \times T_{p} S

を

S

図 2.1.1超曲面上の接ベクトル場

束ねる理由を述べておく. 異なる 2 点

p, q \in S

に対し,

T_{p} S, T_{q} S

は, 共に数べクトル空間

R^{n + 1}

の

n

次元部分ベクトル空間であり, これらは共通部分をもってしまう.

{T_{p} S}_{p \in S}

を互いに共通部分をもたない別々の空間として束ねたものとしてTS を定義するために,

T_{p} S

ではなく

{p} \times T_{p} S

を束ねる必要があるのである.

\begin{aligned} x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n}) & とする. \\ X_{p} & = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (p) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p} (p \in S_{λ}) \end{aligned}

によって定義される

S_{λ}

上の関数

X_{i} (i = 1, \dots, n)

を

X

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分（the component of

X

with respect to

x_{λ}^{- 1}

) という.

p \in S

を固定する.

p \in S_{λ}

となる

(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) \in D

をとり,

x_{λ} (a_{1}, \dots, a_{n}) = p

とする。

X

の

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

X_{i} (i = 1, \dots, n)

として,

X_{i} \circ x_{λ} (i =

1, \dots, n)

が

(a_{1}, \dots, a_{n})

で

C^{r}

級であるとき,

X

は

p

で

C^{r}

級である（

X

is of class

C^{r}

p

) といい,

X

が

S

の各点で

C^{r}

級であるとき,

X

を

S

上の

C^{r}

接ベクトル場（

C^{r}

-tangent vector field）という.

Xの

p

における

C^{r}

級性がwell-defined であること, つまり,

p \in S_{λ}

となる

(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) \in D

のとり方によらないことを示そう. そのために,

p \in

S_{μ}

となる

(S_{μ}, x_{μ}^{- 1}) \in D

をもう 1 つとろう.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n}), x_{μ}^{- 1} =

({\bar{u}}_{1}, \dots, {\bar{u}}_{n})

とする。このとき, 次の事実が成り立つ.

命題 2.1.1

X

の

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

X_{1}, \dots, X_{n}

とし,

X

の

x_{μ}^{- 1}

に関する成分を

{\bar{X}}_{1}, \dots, {\bar{X}}_{n}

とする。また，

x_{λ} (a_{1}, \dots, a_{n}) = x_{μ} ({\bar{a}}_{1}, \dots, {\bar{a}}_{n}) = p

とする. このとき,

X_{i} \circ x_{λ} : x_{λ}^{- 1} (S_{λ} \cap S_{μ}) \to R (i = 1, \dots, n)

が

(a_{1}, \dots, a_{n})

で

C^{r}

級であることと,

{\bar{X}}_{i} \circ x_{μ} : x_{μ}^{- 1} (S_{λ} \cap S_{μ}) \to R (i = 1, \dots, n)

が

({\bar{a}}_{1}, \dots, {\bar{a}}_{n})

で

C^{r}

級であることは同値である.

証明 1.9 節の式 (1.9.2)によれば, 次式が成り立つ：

\begin{matrix} (2.1.1) & \frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i}} = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial (u_{j} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}} \circ x_{μ}^{- 1}) \frac{\partial}{\partial u_{j}} \end{matrix}

この関係式を用いて,

S_{λ} \cap S_{μ}

上で

X = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{X}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i}} = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} {\bar{X}}_{i} (\frac{\partial (u_{j} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}} \circ x_{μ}^{- 1})) \frac{\partial}{\partial u_{j}}

が成り立つことがわかる。一方,

X = \sum_{j = 1}^{n} X_{j} \frac{\partial}{\partial u_{j}}

なので,

S_{λ} \cap S_{μ}

上で

X_{j} = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{X}}_{i} (\frac{\partial (u_{j} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}} \circ x_{μ}^{- 1})

が成り立つことがわかり, それゆえ,

x_{λ}^{- 1} (S_{λ} \cap S_{μ})

上で

X_{j} \circ x_{λ} = \sum_{i = 1}^{2} (({\bar{X}}_{i} \circ x_{μ}) \circ (x_{μ}^{- 1} \circ x_{λ})) (\frac{\partial u_{j}}{\partial {\bar{u}}_{i}} \circ x_{μ}^{- 1} \circ x_{λ})

をえる。この関係式から，

{\bar{X}}_{i} \circ x_{μ} : x_{μ}^{- 1} (S_{λ} \cap S_{μ}) \to R (i = 1, \dots, n)

が

({\bar{a}}_{1}, \dots, {\bar{a}}_{n})

で

C^{r}

級であるならば,

X_{i} \circ x_{λ} : x_{λ}^{- 1} (S_{λ} \cap S_{μ}) \to R (i =

1, \dots, n)

が

(a_{1}, \dots, a_{n})

で

C^{r}

級であることが示される. 逆も同様に示される。

S

の各点

p

に対し, ベクトル空間

R^{n + 1}

（本当は,

T_{p} A^{n + 1}

とすべき）の元

X_{p}

を対応させる対応

X

を

S

に沿うベクトル場（vector field along

S

）という（図 2.1.2 を参照）．

p \in S

を固定する。

p \in S_{λ}

となる

(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) \in D

に対し,

R^{n + 1}

に値をとるベクトル値関数

X \circ x_{λ}

が

(a_{1}, \dots, a_{n}) ((a_{1}, \dots, a_{n})

は

x_{λ} (a_{1}, \dots, a_{n}) = p

となる点) で

C^{r}

級であるとき,

X

は

p

で

C^{r}

級であるという.

X

が

S

の各点で

C^{r}

級であるとき,

X

を

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場

(C^{r}

-vector field along

S)

という.

注意

T_{p} S \subset R^{n + 1}

なので,

S

上の接ベクトル場

X

は

S

に沿うベクトル場でもある。

X

が

S

上の接ベクトル場として

C^{r}

級であるとは,

S

に住む人からみて

C^{r}

図 2.1.2 超曲面に沿うベクトル場

級（内在的に

C^{r}

級）であることを意味し，

X

が

S

に沿うベクトル場として

C^{r}

級であるとは、

E^{n + 1}

に住む人からみて

C^{r}

級（外在的

C^{r}

級）であることを意味する.

命題 2.1.2

X

を

S

上の接ベクトル場とする. このとき,

X

が

S

上の接べクトル場として

C^{r}

級であることと,

X

が

S

に沿うベクトル場として

C^{r}

級であることは同値である.

証明

C^{\infty}

超曲面片

S_{λ}

上で調べることにする.

x_{λ} (u_{1}, \dots, u_{n}) = (x_{1} (u_{1}, \dots, u_{n}), \dots, x_{n + 1} (u_{1}, \dots, u_{n}))

とし、

X = ({\hat{X}}_{1}, \dots, {\hat{X}}_{n + 1})

とする. また,

X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial u_{i}}

とする. このとき，

\begin{aligned} X \circ x_{λ} & = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} \circ x_{λ}) \frac{\partial x_{λ}}{\partial u_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} \circ x_{λ}) (\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{i}}, \dots, \frac{\partial x_{n + 1}}{\partial u_{i}}) \\ = (\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} \circ x_{λ}) \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{i}}, \dots, \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} \circ x_{λ}) \frac{\partial x_{n + 1}}{\partial u_{i}}) \end{aligned}

が示され, それゆえ,

\begin{matrix} (2.1.2) & {\hat{X}}_{j} \circ x_{λ} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} \circ x_{λ}) \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{i}} (j = 1, \dots, n + 1) \end{matrix}

をえる. この関係式から,

{X |}_{S_{λ}}

が

S_{λ}

上の接べクトル場として

C^{r}

級ならば,

S

図 2.1.3

T_{p} S

への直交射影

{X |}_{S_{λ}}

は

S_{λ}

に沿うベクトル場として

C^{r}

級であることが示される.

逆を示す.

{X |}_{S_{λ}}

が

S_{λ}

に沿うべクトル場として

C^{r}

級であるとする. ヤコビ行列

J x_{λ}

の階数は

n

なので,

rank (\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{1}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{n}} & \dots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{n}} \end{array}) = n

となる

a_{1}, \dots, a_{n} \in {1, \dots, n + 1}

が存在する. 式 (2.1.2) から,

(\begin{matrix} X_{1} \circ x_{λ} \\ ⋮ \\ X_{n} \circ x_{λ} \end{matrix}) = {(\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{1}} & \dots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{n}} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} {\hat{X}}_{a_{1}} \circ x_{λ} \\ ⋮ \\ {\hat{X}}_{a_{n}} \circ x_{λ} \end{matrix})

が導かれる. したがって仮定から，

{\hat{X}}_{a_{1}} \circ x_{λ}, \dots, {\hat{X}}_{a_{n}} \circ x_{λ}

は

C^{r}

級なので,

X_{1} \circ x_{λ}, \dots, X_{n} \circ x_{λ}

が

C^{r}

級, つまり,

{X |}_{S_{λ}}

が

S_{λ}

上の接ベクトル場として

C^{r}

級であることが示される.

{pr}_{T_{p}}

を

R^{n + 1}

から

T_{p} S

への直交射影, つまり, 各

v \in R^{n + 1}

に対し,

v

を

v = v_{T} + v_{⊥} (v_{T} \in T_{p} S, v_{⊥} \in T_{p}^{⊥} S)

と分解したときの接成分

v_{T}

を対応させる対応とする（図 2.1.3を参照）。

R^{n}

上のベクトル場

X

に対し,

S

上の接ベクトル場

X_{T}

を

{(X_{T})}_{p} := {pr}_{T_{p}} (X_{p}) (p \in S)

によって定義する。

v_{T}, X_{T}

を各々,

v, X

の接成分 (tangential component）という.

命題 2.1.3

X

が

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場ならば,

X_{T}

は

S

上の

C^{r}

接ベクトル場である.

証明

C^{r}

超曲面片

S_{λ}

上で調べることにする.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とする. このとき,

S_{λ}

の自然に定まる単位法べクトル場

N_{λ}

は,

N_{λ} = \frac{\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \dots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}}{‖ \frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \dots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}} ‖}

によって与えられるので,

S_{λ}

に沿う

C^{\infty}

べクトル場である。容易に,

\begin{matrix} (2.1.3) & {(X_{T})}_{p} = {pr}_{T_{p}} (X_{p}) = X_{p} - (X_{p} \cdot {(N_{λ})}_{p}) {(N_{λ})}_{p} (p \in S_{λ}) \end{matrix}

つまり,

X_{T} = X - (X \cdot N_{λ}) N_{λ}

が（

S_{λ}

上で）成り立つことが示される. この式から,

X_{T}

が

S_{λ}

に沿う

C^{r}

ベクトル場であることがわかる. よって,

S_{λ}

の任意性から，

X_{T}

が

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場であることがわかる. さらに,命題 2.1.2 から,

X_{T}

が

S_{λ}

上の

C^{r}

接ベクトル場であることが導かれる.

問 2.1.1 次の (i)-(iv) によって定義される単位球面

S^{2} (1)

に沿うベクトル場

X

に対し、

X_{T}

を求めよ. また,

X

と

X_{T}

を図示せよ.
(i)

X_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} := (p_{1}, p_{2}, 0)

(ii)

X_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} := (0, 0, 1)

(iii)

X_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} := (- p_{2}, p_{1}, 0)

(iv)

X_{(p_{1}, p_{2}, p_{3})} := (p_{1}, p_{2}, p_{3})

f

を

C^{\infty}

超曲面

S

上のスカラー場とし,

X, Y

を

S

に沿うべクトル場とする. このとき, ベクトル場同士の和

X + Y

, ベクトル場のスカラー場倍

f X

, およびべクトル場同士の内積

X \cdot Y

が各々，次式によって定義される：

(X + Y)_{p} := X_{p} + Y_{p}, (f X)_{p} := f_{p} X_{p}, (X \cdot Y)_{p} := X_{p} \cdot Y_{p} (p \in S)

容易に, 次の命題が示される.

命題 2.1.4

f

を

S

上の

C^{r}

スカラー場とし,

X, Y

を

S

に沿う

C^{r}

ベクト

ル場とする. このとき,

X + Y, f X

も

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場であり,

X

. Yは

C^{r}

スカラー場である.

2.2 超曲面上の $k$ 次共変テンソル場・ $(1, k)$ 次テンソル場

この節において,

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面上の

k

次共変テンソル場, および

(1, k)

次テンソル場について述べることにする。

はじめに,（実）ベクトル空間上の

k

次共変テンソル，および

(1, k)

次テンソルを定義しよう.

V

を

n

次元（実）べクトル空間とする.

Φ

を

V^{k} = V \times

\dots \times V

（

k

個の

V

の直積）から

R

への多重線形写像,つまり,

\begin{aligned} Φ (v_{1}, \dots, a v_{i} + b w_{i}, \dots, v_{k}) \\ = a Φ (v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k}) + b Φ (v_{1}, \dots, w_{i}, \dots, v_{k}) \\ (v_{1}, \dots, v_{k}, w_{i} \in V, a, b \in R, 1 \leq i \leq k) \end{aligned}

を満たす写像とする。このとき,

Φ

を

V

上の

k

次共変テンソル（covariant tensor of degree

k)

または

(0, k)

次テンソル（tensor of type

(0, k))

という. 同様に,

V^{k}

から

V

への多重線形写像が定義される. これを

V

上の

(1, k)

次テンソル（tensor of type

(1, k)

) という.

V

上の

k

次共変テンソル全体のなす集合を

\otimes^{k} V^{*}

, または

T^{(0, k)} (V)

と表し,

V

上の

(1, k)

次テンソル全体のなす集合を

(\otimes^{k} V^{*}) \otimes V

または

T^{(1, k)} (V)

と表す. これらの集合は,次の自然な和，実数倍の下，（実）ベクトル空間になる：

\begin{aligned} (Φ_{1} + Φ_{2}) (v_{1}, \dots, v_{k}) := Φ_{1} (v_{1}, \dots, v_{k}) + Φ_{2} (v_{1}, \dots, v_{k}) \\ (a Φ) (v_{1}, \dots, v_{k}) := a \cdot Φ (v_{1}, \dots, v_{k}) (v_{1}, \dots, v_{k} \in V) \end{aligned}

(Φ, Φ_{1}, Φ_{2} \in T^{(0, k)} (V)

または,

T^{(1, k)} (V)), a \in R)

. これらのベクトル空間

T^{(0, k)} (V), T^{(1, k)} (V)

の次元を求めよう.

E = (e_{1}, \dots, e_{n})

を

V

の基底とし,

(e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*})

を

E

の双対基底とする。つまり，

e_{i}^{*} (i = 1, \dots, n)

は

e_{i}^{*} (e_{j}) := δ_{i j} (j = 1, \dots, n)

によって定義される

V

上の線形関数（つまり,

V

の双対空間

V^{*}

の元）を表す.

e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} : Π^{k} V \to R (1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n)

を

(e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*}) (v_{1}, \dots, v_{k}) := e_{i_{1}}^{*} (v_{1}) \dots e_{i_{k}}^{*} (v_{k}) (v_{1}, \dots, v_{k} \in V)

によって定義する。明らかに,

e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*}

は多重線形，つまり，V上の

k

次共変テンソルになる。また,

e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} : Π^{k} V \to V (1 \leq

i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq n)

を

(e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j}) (v_{1}, \dots, v_{k}) := e_{i_{1}}^{*} (v_{1}) \dots e_{i_{k}}^{*} (v_{k}) e_{j} (v_{1}, \dots, v_{k} \in V)

によって定義する。明らかに,

e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j}

は多重線形, つまり,

V

上の

(1, k)

次テンソルになる。

注意一般に,

V

上の線形関数

ω_{1}, \dots, ω_{k}

と

V

のベクトル

v

に対し,

V

上の

k

次共変テンソル

ω_{1} \otimes \dots \otimes ω_{k}

, および,

V

上の

(1, k)

次テンソル

ω_{1} \otimes \dots \otimes ω_{k} \otimes v

を定義することができる。

命題 2.2.1 (i)

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n}

は,

T^{(0, k)} (V)

の基底を与える. したがって,

T^{(0, k)} (V)

は

n^{k}

次元べクトル空間である.

(ii)

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq n}

は,

T^{(1, k)} (V)

の基底を与える. したがって,

T^{(1, k)} (V)

は

n^{k + 1}

次元ベクトル空間である.

証明最初に (i) を示す.

\sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}} e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} = 0

とする. ここで，右辺の

0

は

T^{(0, k)} (V)

の零ベクトル，つまり,

0 (v_{1}, \dots, v_{k}) = 0 (\forall v_{1}, \dots, \forall v_{k} \in V)

によって定義される

V

上の

k

次共変テンソルを表す. このとき,

\begin{aligned} 0 & = 0 (e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}}) = (\sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}} e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*}) (e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}}) \\ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}} e_{i_{1}}^{*} (e_{j_{1}}) \dots e_{i_{k}}^{*} (e_{j_{k}}) \\ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}} δ_{i_{1} j_{1}} \dots δ_{i_{k} j_{k}} = a_{j_{1} \dots j_{k}} \end{aligned}

をえる. したがって,

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n}

が 1 次独立系であ

ることがわかる. 任意に

Φ \in T^{(0, k)} (V)

をとる. このとき，容易に

\begin{matrix} (2.2.1) & Φ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} Φ (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}}) e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \end{matrix}

が示される。それゆえ,

T^{(0, k)} (V)

が

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n}

によって生成されることがわかる。したがって,

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq

n}

は,

T^{(0, k)} (V)

の基底を与える。この基底を構成するベクトルの個数は

n^{k}

個なので,

\dim T^{(0, k)} (V) = n^{k}

をえる。

次に, (ii)を示す.

\sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} = 0

とする. ここで，右辺の

0

は

T^{(1, k)} (V)

の零ベクトル，つまり，

0 (v_{1}, \dots, v_{k}) = 0 (\forall v_{1}, \dots, \forall v_{k} \in V)

によって定義される

V

上の

(1, k)

次テンソルを表す. このとき,

\begin{aligned} 0 & = 0 (e_{l_{1}}, \dots, e_{l_{k}}) = (\sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j}) (e_{l_{1}}, \dots, e_{l_{k}}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} e_{i_{1}}^{*} (e_{l_{1}}) \dots e_{i_{k}}^{*} (e_{l_{k}})) e_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} a_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} δ_{i_{1} l_{1}} \dots δ_{i_{k} l_{k}}) e_{j} = \sum_{j = 1}^{n} a_{l_{1} \dots l_{k}}^{j} e_{j} \end{aligned}

それゆえ，

a_{l_{1} \dots l_{k}}^{j} = 0 (1 \leq l_{1}, \dots, l_{k}, j \leq n)

をえる.したがって,

{e_{i_{1}}^{*} \otimes

\dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq n}

が 1 次独立系であることがわかる. 任意に

Φ \in T^{(1, k)} (V)

をとる.このとき, 容易に

\begin{matrix} (2.2.2) & Φ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} e_{j}^{*} (Φ (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})) e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} \end{matrix}

が示される。それえ,

T^{(1, k)} (V)

が

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} ∣ 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq

n}

によって生成されることがわかる. したがって,

{e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} ∣ 1 \leq

i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq n}

は,

T^{(1, k)} (V)

の基底を与える. この基底を構成するベクトルの個数は,

n^{k + 1}

個なので,

\dim T^{(1, k)} (V) = n^{k + 1}

をえる.

これらのべクトル空間

T^{(0, k)} (V), T^{(1, k)} (V)

を各々,

V

の

(0, k)

次テンソル空間 (tensor space of

(0, k)

-type),

(1, k)

次テンソル空間 (tensor space of

(1, k)

-type) という. 各

Φ \in T^{(0, k)} (V)

は,

\begin{matrix} (2.2.3) & Φ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} Φ_{i_{1} \dots i_{k}} e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} (Φ_{i_{1} \dots i_{k}} \in R) \end{matrix}

と表される。

Φ_{i_{1} \dots i_{k}}

を

Φ

基底

E

に関する成分という。また,各

Ψ \in

T^{(1, k)} (V)

は,

\begin{matrix} (2.2.4) & Ψ = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} Ψ_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*} \otimes e_{j} (Ψ_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} \in R) \end{matrix}

と表される.

Ψ_{i_{1} \dots i_{k}}^{j}

を

Ψ

の基底

E

に関する成分という. 式 (2.2.1) から,

\begin{matrix} (2.2.5) & Φ_{i_{1} \dots i_{k}} = Φ (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}}) \end{matrix}

が成り立つことがわかる. 式 (2.2.2)から,

\begin{matrix} (2.2.6) & Ψ_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} = e_{j}^{*} (Ψ (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})) \end{matrix}

が成り立つことがわかる。また, 式 (2.2.4)から,

\begin{matrix} (2.2.7) & Ψ (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}}) = \sum_{j = 1}^{n} Ψ_{i_{1} \dots i_{k}}^{j} e_{j} \end{matrix}

が成り立つことがわかる.

Φ

を

V

上の

k

次共変テンソルとする. 次式が成り立つとき,

Φ

を

V

上の

k

次対称形式（symmetric

k

-form）という：

Φ (v_{σ (1)}, \dots, v_{σ (k)}) = Φ (v_{1}, \dots, v_{k}) (\forall σ \in S_{k}, \forall v_{1}, \dots, \forall v_{k} \in V)

ここで

S_{k}

は,

k

文字の置換（つまり,

{1, \dots, k}

からそれ自身への 1 対 1 対応）全体のなす集合を表す。また, 次式が成り立つとき,

Φ

を

V

上の

k

次交代形式（alternative

k

-form）という：

Φ (v_{σ (1)}, \dots, v_{σ (k)}) = sgn σ Φ (v_{1}, \dots, v_{k}) (\forall σ \in S_{k}, \forall v_{1}, \dots, \forall v_{k} \in V)

ここで,

sgn σ

は

σ

の符号を表す.

V

上の

k

次交代形式の全体のなす集合を

\overset{k}{⋀} V^{*}

と表す. これは,

T^{(0, k)} (V)

の部分ベクトル空間になる. この部分ベクトル空間の次元を求めよう。

(e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*})

を

V

の基底

E = (e_{1}, \dots, e_{n})

の双対基底とする。写像

e_{i_{1}}^{*} \land \dots \land e_{i_{k}}^{*} : Π^{k} V \to R (1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n ）

を

(e_{i_{1}}^{*} \land \dots \land e_{i_{k}}^{*}) (v_{1}, \dots, v_{k}) := \frac{1}{k!} \sum_{σ \in S_{k}} sgn σ (e_{i_{1}}^{*} \otimes \dots \otimes e_{i_{k}}^{*}) (v_{σ (1)}, \dots, v_{σ (k)})

(v_{1}, \dots, v_{k} \in V)

によって定義する。容易に,

e_{i_{1}}^{*} \land \dots \land e_{i_{k}}^{*}

が

V

上の

k

次交代形式であることが示される.

注意一般に,

V

上の線形関数

ω_{1}, \dots, ω_{k}

に対し,

V

上の

k

次交代形式

ω_{1} \land \dots

\land ω_{k}

を定義することができる.

命題 2.2.2

{e_{i_{1}}^{*} \land \dots \land e_{i_{k}}^{*} ∣ 1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}

は,

\land^{k} V^{*}

の基底を与える. したがって,

\overset{k}{⋀} V^{*}

は

T^{(0, k)} (V)

の

_{n} C_{k}

次元部分ベクトル空間である.

各

Φ \in \overset{k}{⋀} (V^{*})

は,

Φ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} Φ_{i_{1} \dots i_{k}} e_{i_{1}}^{*} \land \dots \land e_{i_{k}}^{*} (Φ_{i_{1} \dots i_{k}} \in R)

と表される.

Φ_{i_{1} \dots i_{k}}

を

k

次交代形式

Φ

の基底

E

に関する成分という.

例 2.2.1

g : R^{n} \times R^{n} \to R

を

g (v_{1}, v_{2}) := v_{1} \cdot v_{2} (v_{1}, v_{2} \in R^{n})

と定義する. ここで・は, ベクトル空間

R^{n}

の通常の内積を表す.

g

は, ベクトル空間

R^{n}

上の 2 次対称形式になる.

例 2.2.2

J : R^{2 n} \to R^{2 n}

を

J (v) := (- v_{2}, v_{1}, - v_{4}, v_{3}, \dots, - v_{2 n}, v_{2 n - 1}) (v = (v_{1}, \dots, v_{2 n}) \in R^{2 n})

と定義する. これは, ベクトル空間

R^{2 n}

上の

(1, 1)

次テンソルになる.
例

2.2 .3 ω : R^{2 n} \times R^{2 n} \to R

を

ω (v_{1}, v_{2}) := g (J (v_{1}), v_{2}) (v_{1}, v_{2} \in R^{2 n})

と定義する. ここで,

g, J

は各々, 例

2.2 .1, 2.2 .2

で述べたものを表す.

ω

は, ベクトル空間

R^{2 n}

上の 2 次交代形式になる.

(S, D) (D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ})

を

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面とする.

S

の各点

p

に対し,

T_{p} S

上の

k

次共変テンソル

Φ_{p}

を対応させる対応

Φ

を,

S

上の

k

次共変テンソル場（covariant tensor field of degree

k

)，または

(0, k)

次テンソル場 (tensor field of type

(0, k)

) という. 各

λ \in Λ

に対し,

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

として,

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}} (p) := Φ_{p} ({(\frac{\partial}{\partial u_{i_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial u_{i_{k}}})}_{p}) (p \in S_{λ})

によって定義される

S_{λ}

上の関数

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}} (1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n)

を

Φ

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分 (the component of

Φ

with respect to the local coordinate

x_{λ}^{- 1}

) という. 各

λ \in Λ

に対し,

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}} \circ x_{λ}

が

C^{r}

級になるとき,

Φ

を

S

上の

C^{r}

級の

k

次共変テンソル場

(C^{r}

-covariant tensor field of degree

k)

, または,

C^{r}

級の

(0, k)

次テンソル場

(C^{r}

-tensor field of type

(0, k)

) という. また,

S

の各点

p

に対し,

T_{p} S

上の

k (\leq n)

次交代形式

ω_{p}

を対応させる対応

ω

を,

S

上の

k

次微分形式（differential form of degree

k)

といい, それが

S

上の

k

次共変テンソル場として

C^{r}

級であるとき,

ω

を

C^{r}

級の

k

次微分形式

(C^{r}

-differential form of degree

k)

という.

S

の各点

p

に対し,

T_{p} S

上の

(1, k)

次テンソル

Φ_{p}

を対応させる対応

Φ

を,

S

上の

(1, k)

次テンソル場 (tensor field of degree

(1, k)

) という. 各

λ \in Λ

に対し，

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

として,

Φ_{p} ({(\frac{\partial}{\partial u_{i_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial u_{i_{k}}})}_{p}) = \sum_{j = 1}^{n} Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{j} (p) {(\frac{\partial}{\partial u_{j}})}_{p} (p \in S_{λ})

によって定義される

S_{λ}

上の関数

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{j} (1 \leq i_{1}, \dots, i_{k}, j \leq n)

を

Φ

の局
所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分という。各

λ \in Λ

に対し，

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{j} \circ x_{λ}

が

C^{r}

級になるとき,

Φ

を

S

上の

C^{r}

級の

(1, k)

次テンソル場

(C^{r} -

tensor field of type

(1, k))

という.

命題 2.2.3

S_{λ} \cap S_{μ} \neq \emptyset

とする.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n}), x_{μ}^{- 1} = ({\bar{u}}_{1}, \dots, {\bar{u}}_{n})

とし,

S

上の

k

次共変テンソル場

Φ

の

x_{λ}^{- 1}, x_{μ}^{- 1}

に関する成分を各々，

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}, {\bar{Φ}}_{i_{1}, \dots, i_{k}}

とする. このとき

S_{λ} \cap S_{μ}

上で, 次の関係式が成り立つ:

{\bar{Φ}}_{i_{1}, \dots, i_{k}} = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}} (\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}} \circ x_{μ}^{- 1}) \dots (\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}} \circ x_{μ}^{- 1})

証明式 (2.1.1)を用いて,

\begin{aligned} {\bar{Φ}}_{i_{1}, \dots, i_{k}} (p) = Φ_{p} ({(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{p}) \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} {(\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{x_{μ^{- 1} (p)}} \dots {(\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{x_{μ^{- 1} (p)}} \\ \times Φ_{p} ({(\frac{\partial}{\partial u_{j_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial u_{j_{k}}})}_{p}) \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}} (p) {(\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{x_{μ^{- 1} (p)}} \dots {(\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{x_{μ^{- 1} (p)}} \end{aligned}

が示される.

命題 2.2.4

S_{λ} \cap S_{μ} \neq \emptyset

とする.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n}), x_{μ}^{- 1} = ({\bar{u}}_{1}, \dots, {\bar{u}}_{n})

とし,

S

上の

(1, k)

次テンソル場

Φ

の

x_{λ}^{- 1}, x_{μ}^{- 1}

に関する成分を各々,

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{i_{0}}, {\bar{Φ}}_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{i_{0}}

とする. このとき

S_{λ} \cap S_{μ}

上で, 次の関係式が成り立つ :

\begin{aligned} {\bar{Φ}}_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{i_{0}} = \sum_{j_{0} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{j_{0}} (\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}} \circ x_{μ}^{- 1}) \\ \dots (\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}} \circ x_{μ}^{- 1}) (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i_{0}} \circ x_{λ})}{\partial u_{j_{0}}} \circ x_{λ}^{- 1}) \end{aligned}

証明式 (2.1.1) を用いて,

\begin{aligned} Φ_{p} {({(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{p})}_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} {(\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \dots {(\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \\ = \times Φ_{p} {({(\frac{\partial}{\partial u_{j_{1}}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial u_{j_{k}}})}_{p})}_{x_{μ}} {(\frac{\partial}{\partial u_{j_{0}}})}_{p} \\ = \sum_{j_{0} = 1}^{n} \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{j_{0}} (p) {(\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \dots \\ \dots {(\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \dots \\ = \sum_{i_{0} = 1}^{n} {\sum_{j_{0} = 1}^{n} \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{j_{0}} (p) {(\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \dots \\ \dots {(\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} {(\frac{\partial ({\bar{u}}_{i_{0}} \circ x_{λ})}{\partial u_{j_{0}}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)}} {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i_{0}}})}_{p} \end{aligned}

が示される。それゆえ、

\begin{aligned} {\bar{Φ}}_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{i_{0}} (p) = & \sum_{j_{0} = 1}^{n} \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}}^{j_{0}} (p) {(\frac{\partial (u_{j_{1}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{1}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \dots \\ \dots {(\frac{\partial (u_{j_{k}} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i_{k}}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} {(\frac{\partial ({\bar{u}}_{i_{0}} \circ x_{λ})}{\partial u_{j_{0}}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} \end{aligned}

が示される.

Φ

を

S

上の

k

次共変テンソル場（または,

S

上の

(1, k)

次テンソル場）とし,

X_{1}, \dots, X_{k}

を

S

上の接ベクトル場とする。このとき,

S

上のスカラー場（または，接べクトル場）

Φ (X_{1}, \dots, X_{k})

を

Φ (X_{1}, \dots, X_{k}) (p) := Φ_{p} ({(X_{1})}_{p}, \dots, {(X_{k})}_{p}) (p \in S)

によって定義する。

命題 2.2.5

Φ

を

S

上の

k

次共変テンソル場, または

S

上の

(1, k)

次テンソ

ル場とする。

Φ

, および

X_{1}, \dots, X_{k}

が

C^{r}

級ならば,

Φ (X_{1}, \dots, X_{k})

も

C^{r}

級である.

証明

S_{λ}

上で調べる。

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とする.

X_{i} (i = 1, \dots, k)

の

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

{(X_{i})}_{j} (j = 1, \dots, n)

とする. まず，

Φ

が

k

次共変テンソル場の場合を考える。

Φ

の

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}

とする. このとき,

Φ (X_{i_{1}}, \dots, X_{i_{k}}) = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} {(X_{i_{1}})}_{j_{1}} \dots {(X_{i_{k}})}_{j_{k}} Φ_{j_{1}, \dots, j_{k}}

となる. この式から, スカラー場

Φ (X_{i_{1}}, \dots, X_{i_{k}})

が

S_{λ}

上で

C^{r}

級であることがわかる.

次に,

Φ

が

(1, k)

次テンソル場の場合を考える。

Φ

の

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

Φ_{i_{1}, \dots, i_{k}}^{j}

とする. このとき,

Φ (X_{i_{1}}, \dots, X_{i_{k}}) = \sum_{l = 1}^{n} (\sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} {(X_{i_{1}})}_{j_{1}} \dots {(X_{i_{k}})}_{j_{k}} Φ_{j_{1} \dots j_{k}}^{l}) \frac{\partial}{\partial u_{l}}

となる。この式から，接ベクトル場

Φ (X_{i_{1}}, \dots, X_{i_{k}})

が

S_{λ}

上で

C^{r}

級であることがわかる.

C^{\infty}

超曲面上の 2 次共変テンソル場の基本的な例を紹介しよう。

(S, D)

を

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面とし,

D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とする. 各点

p \in S

に対し,

g_{p} : T_{p} S \times T_{p} S \to R

を

g_{p} (v, w) := v \cdot w (p \in S)

によって定義し, 各点

p \in S

に対し,

g_{p}

を対応させる対応

g

を考える。内積・の性質より,

g_{p}

は

T_{p} S

上の 2 次共変テンソルになるので,

g

は

S

上の 2 次共変テンソル場を与える。しかも内積の性質より，

g

は次の対称性条件（symmetry condition）と正定値性条件（positive definiteness condition) を満たす：
(i)

g_{p} (v, w) = g_{p} (w, v) (p \in S, v, w \in T_{p} S)

（対称性）

(ii)

g_{p} (v, v) \geq 0 (p \in S, v \in T_{p} S)

が成り立ち, 等号成立は

v = 0

のときに限る。（正定値性）

この正定値かつ対称な 2 次共変テンソル場

g

を

S

の第 1 基本形式（the first fundamental form), または誘導リーマン計量 (induced Riemannian metric) という. また, 組

((S, D), g)

は

E^{n + 1}

内のリーマン超曲面 (Riemannian hypersurface in

E^{n + 1}

) とよばれる。

命題 2.2.6

S

の第 1 基本形式

g

は,

S

上の

C^{\infty}

級の 2 次共変テンソル場になる.

証明

S_{λ}

上で調べる.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とし,

g_{i j}

を

g

の

x_{λ}^{- 1}

に関する成分とする. このとき，

g_{i j} \circ x_{λ} = g (\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}) \circ x_{λ} = (\frac{\partial}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}) \circ x_{λ} = \frac{\partial \vec{x_{λ}}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \vec{x_{λ}}}{\partial u_{j}} (p \in S_{λ})

となる.

(S, D)

は

C^{\infty}

超曲面なので,

\frac{\partial \vec{x_{λ}}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \vec{x_{λ}}}{\partial u_{j}}

は

C^{\infty}

級関数であり,

g_{i j}

。

x_{λ}

が

C^{\infty}

級関数であることがわかる。それゆえ, 2 次共変テンソル場

g

は,

S_{λ}

上で

C^{\infty}

級であることが示される.

次に, 3 次元ユークリッド空間

E^{3}

内の向き付けられた

C^{\infty}

超曲面

(S, D)

上の基本的な

(1, 1)

テンソル場の例を紹介しよう.

D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とする.

S

の各点

p

に対し,

J_{p} : T_{p} S \to T_{p} S

を次のように定義する.

p \in S_{λ}

となる

λ \in Λ

に対し,

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

とし,

T_{p} S

の座標基底

({(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}

，

{(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p})

からシュミットの直交化法によりえられる

g_{p}

に関する正規直交基底を

(e_{1}^{p}, e_{2}^{p})

とし,

J_{p}

を

J_{p} (e_{1}^{p}) = e_{2}^{p}, J_{p} (e_{2}^{p}) = - e_{1}^{p}

を満たす

T_{p} (S)

の線形変換として定義する（シュミットの直交化法については，線形代数の本を参照のこと).

J_{p}

がwell-defined であること，つまり，

p \in S_{λ}

となる

λ \in Λ

の選び方に依存しないことを示そう.

p \in S_{μ}

となる

μ \in Λ

をもう1つと

り,

x_{μ}^{- 1} = ({\bar{u}}_{1}, {\bar{u}}_{2})

とする。

T_{p} S

の座標基底

({(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{2}})}_{p})

からシユミットの直交化法によりえられる

g_{p}

に関する正規直交基底を

({\overset{―}{e}}_{1}^{p}, {\overset{―}{e}}_{2}^{p})

とし,

{\bar{J}}_{p}

を

{\bar{J}}_{p} ({\overset{―}{e}}_{1}^{p}) = {\overset{―}{e}}_{2}^{p}, {\bar{J}}_{p} ({\overset{―}{e}}_{2}^{p}) = - {\overset{―}{e}}_{1}^{p}

を満たす

T_{p} (S)

の線形変換として定義する.

J_{p} = {\bar{J}}_{p}

を示さなければならない. シュミットの直交化法によると,

({(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p})

と

(e_{1}^{p}, e_{2}^{p})

は同じ向きを定めることがわかる. 同じく,

({(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{2}})}_{p})

と

({\overset{―}{e}}_{1}^{p}, {\overset{―}{e}}_{2}^{p})

が同じ向きを定めることがわかる.一方,

({(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p})

と

({(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{2}})}_{p})

も同じ向きを定めるので, 結局,

(e_{1}^{p}, e_{2}^{p})

と

({\overset{―}{e}}_{1}^{p}, {\overset{―}{e}}_{2}^{p})

が同じ向きを定めることがわかる. 基底

(e_{1}^{p}

e_{2}^{p})

から基底

({\overset{―}{e}}_{1}^{p}, {\overset{―}{e}}_{2}^{p})

への変換行列

(a_{i j})

(つまり

{\overset{―}{e}}_{i}^{p} = \sum_{j = 1}^{2} a_{i j} e_{j}^{p} (i = 1, 2))

は,

\det (a_{i j}) > 0

となる直交行列になるので, 行列

(a_{i j})

はある定数

θ

を用いて,

(a_{i j}) = (\begin{array}{cc} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array})

と表される。それゆえ,

\begin{aligned} J_{p} ({\overset{―}{e}}_{1}^{p}) & = J_{p} (\sum_{j = 1}^{2} a_{1 j} e_{j}^{p}) = \sum_{j = 1}^{2} a_{1 j} J_{p} (e_{j}^{p}) \\ = a_{11} e_{2}^{p} - a_{12} e_{1}^{p} = \cos θ e_{2}^{p} + \sin θ e_{1}^{p} = {\overset{―}{e}}_{2}^{p} = {\bar{J}}_{p} ({\overset{―}{e}}_{1}^{p}) \end{aligned}

および

\begin{aligned} J_{p} ({\overset{―}{e}}_{2}^{p}) & = J_{p} (\sum_{j = 1}^{2} a_{2 j} e_{j}^{p}) = \sum_{j = 1}^{2} a_{2 j} J_{p} (e_{j}^{p}) \\ = a_{21} e_{2}^{p} - a_{22} e_{1}^{p} = \sin θ e_{2}^{p} - \cos θ e_{1}^{p} = - {\overset{―}{e}}_{1}^{p} = {\bar{J}}_{p} ({\overset{―}{e}}_{2}^{p}) \end{aligned}

をえる. したがって,

J_{p} = {\bar{J}}_{p}

が導かれる。このように,

J_{p}

が well-defined であることが示される.

J_{p}

は

T_{p} S

上の

(1, 1)

次テンソルなので, 各点

p \in S

に対し,

J_{p}

を対応させ

る対応

J

は

S

上の

(1, 1)

次テンソル場を与える.

命題 2.2.7

J

は,

S

上の

C^{\infty}

級の

(1, 1)

次テンソル場になる.

証明

S_{λ}

上で調べる.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

とし, 上述のように各点

p \in S_{λ}

に対し,

T_{p} S

の座標基底

({(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p})

からシュミットの直交化法によりえられる

g_{p}

に関する正規直交基底を

(e_{1}^{p}, e_{2}^{p})

とし，

S_{λ}

上の関数

b_{i j} （ 1

\leq i, j \leq 2)

を

e_{i}^{p} = \sum_{j = 1}^{2} b_{i j} (p) {(\frac{\partial}{\partial u_{j}})}_{p} (p \in S_{λ})

で定義する.

b_{i j}

を求めよう.

\begin{aligned} e_{1}^{p} & = \frac{1}{‖ {(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p} ‖} {(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p} = \frac{1}{\sqrt{g_{11} (p)}} {(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p} \\ e_{2}^{p} & = \frac{{(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} - ({(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} \cdot e_{1}^{p}) e_{1}^{p}}{‖ {(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} - ({(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} \cdot e_{1}^{p}) e_{1}^{p} ‖} = \frac{{(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} - \frac{g_{12} (p)}{g_{11} (p)} {(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}}{‖ {(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} - \frac{g_{12} (p)}{g_{11} (p)} {(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p} ‖} \\ = \frac{{(\frac{\partial}{\partial u_{2}})}_{p} - \frac{g_{12} (p)}{g_{11} (p)} {(\frac{\partial}{\partial u_{1}})}_{p}}{\sqrt{g_{22} (p) - \frac{g_{12} (p)^{2}}{g_{11} (p)}}} \end{aligned}

よって,

b_{11} = \frac{1}{\sqrt{g_{11}}}, b_{12} = 0, b_{21} = - \frac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}^{2} g_{22} - g_{11} g_{12}^{2}}}, b_{22} = \frac{1}{\sqrt{g_{22} - \frac{g_{12}^{2}}{g_{11}}}}

をえる。それゆえ,

g_{i j}

が

C^{\infty}

級であることから,

b_{i j}

が

C^{\infty}

級であることが示される.

(b_{i j})

の逆行列を

(c_{i j})

と表す. 逆行列を求める公式から,

c_{i j}

も

C^{\infty}

級であることが容易にわかる。また, 明らかに,

{(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p} = \sum_{j = 1}^{2} c_{i j} (p) e_{j}^{p} (p \in S_{λ})

が成り立つ.

J

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分

J_{i}^{j}

を求めよう.

\begin{aligned} J_{p} ({(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p}) & = \sum_{j = 1}^{2} c_{i j} (p) J_{p} (e_{j}^{p}) = c_{i 1} (p) e_{2}^{p} - c_{i 2} (p) e_{1}^{p} \\ = c_{i 1} (p) \sum_{j = 1}^{2} b_{2 j} (p) {(\frac{\partial}{\partial u_{j}})}_{p} - c_{i 2} (p) \sum_{j = 1}^{2} b_{1 j} (p) {(\frac{\partial}{\partial u_{j}})}_{p} \\ = \sum_{j = 1}^{2} (c_{i 1} (p) b_{2 j} (p) - c_{i 2} (p) b_{1 j} (p)) {(\frac{\partial}{\partial u_{j}})}_{p} (p \in S_{λ}) \end{aligned}

となるので,

J_{i}^{j} = c_{i 1} b_{2 j} - c_{i 2} b_{1 j} (1 \leq i \leq 2, 1 \leq j \leq 2)

となり,

J_{i}^{j} \circ x_{λ} (1 \leq i, j \leq 2)

が

C^{\infty}

級であることが示される。したがって、

λ

の任意性より,

J

は

S

上の

C^{\infty}

級の

(1, 1)

次テンソル場である.

明らかに, 各点

p \in S

に対し,

J_{p}^{2} = - {id}_{T_{p} S}

が成り立つ.一般に, 偶数次元の超曲面上の

(1, 1)

テンソル場

\hat{J}

で

{\hat{J}}_{p}^{2} = - {id}_{T_{p} S} (p \in S)

を満たすようなものを，その超曲面上の概複素構造（almost complex structure）という.

J

は,

S

上の自然に定まる概複素構造とよばれる.

2.3 第 2 基本形式・形作用素

この節において,

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面の第 2 基本形式, および形作用素について述べることにする。この節では,

r \geq 2

とする.

はじめに,

C^{\infty}

超曲面

S

上の

C^{r}

スカラー場, および,

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場の方向微分を定義しよう。

(S, D) (D = {(S_{λ}, x_{λ}) ∣ λ \in Λ})

を

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面とする。

f, Y

を

S

上の

C^{r}

スカラー場,

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場とし，

v \in T_{p} S

とする.

p \in S_{λ}

となる

S_{λ} \in D

をり，

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とする.

v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p}

として,

v (f), D_{v} Y

を

v (f) := \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)}, D_{v} Y := \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (Y \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)}

によって定義する。これらがwell-defined であること，つまり，

p \in S_{λ}

となる

S_{λ} \in D

のと方によらないことを示そう。そのために,

p \in S_{μ}

となる

S_{μ} \in D

をもう 1 つとり,

x_{μ}^{- 1} = ({\bar{u}}_{1}, \dots, {\bar{u}}_{n})

とし,

v = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{v}}_{i} {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{i}})}_{p}

とする. このとき, 上述の定義に従って,

v (f), D_{v} Y

を定義すると，

v (f) := \sum_{i = 1}^{n} {\bar{v}}_{i} {(\frac{\partial (f \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}, D_{v} Y := \sum_{i = 1}^{n} {\bar{v}}_{i} {(\frac{\partial (Y \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}

となる。それゆえ,

\sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{v}}_{i} {(\frac{\partial (f \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}

および

\sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (Y \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{v}}_{i} {(\frac{\partial (Y \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{i}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}

を示さなければならない。式(2.1.1) を用いて,

v = \sum_{j = 1}^{n} {\bar{v}}_{j} {(\frac{\partial}{\partial {\bar{u}}_{j}})}_{p} = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} {\bar{v}}_{j} {(\frac{\partial u_{i} \circ x_{μ}}{\partial {\bar{u}}_{j}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p}

が示される. それゆえ,

\begin{matrix} (2.3.1) & v_{i} = \sum_{j = 1}^{n} {\bar{v}}_{j} {(\frac{\partial u_{i} \circ x_{μ}}{\partial {\bar{u}}_{j}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \end{matrix}

をえる. したがって,

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} & = \sum_{j = 1}^{n} {\bar{v}}_{j} (\sum_{i = 1}^{n} {(\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} {(\frac{\partial u_{i} \circ x_{μ}}{\partial {\bar{u}}_{j}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} {\bar{v}}_{j} {(\frac{\partial (f \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{j}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)} \end{aligned}

が示される. 同様に,

\sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial (Y \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} = \sum_{j = 1}^{n} {\bar{v}}_{j} {(\frac{\partial (Y \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{j}})}_{x_{μ}^{- 1} (p)}

が示される. このように,

v (f), D_{v} Y

は well-defined である.

v (f), D_{v} Y

を各々，

f, Y

の

v

に関する方向微分 (directional derivative) という.

命題 2.3.1

c : (- ε, ε) \to S

を

c^{'} (0) = v

を満たす

S

上の

C^{r}

曲線とする. このとき,

{\frac{d (f \circ c)}{d t} |}_{t = 0} = v (f), {\frac{d (Y \circ c)}{d t} |}_{t = 0} = D_{v} Y

が成り立つ.

証明

p \in S_{λ}

となる

S_{λ} \in D

をとる. 合成関数の偏微分法（連鎖律）を用いて,

\begin{aligned} {\frac{d (f \circ c)}{d t} |}_{t = 0} & = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} ((f \circ x_{λ}) (u_{1} (c (t)), \dots, u_{n} (c (t))) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} {(\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} \frac{d u_{i} (c (t))}{d t} |}_{t = 0} \end{aligned}

をえる. 一方，

\begin{aligned} v & = c^{'} (0) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\vec{x_{λ}} (u_{1} (c (t)), \dots, u_{n} (c (t))) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} {(\frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)} \frac{d u_{i} (c (t))}{d t} |}_{t = 0} = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d u_{i} (c (t))}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p} \end{aligned}

となるので,

v (f) = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d u_{i} (c (t))}{d t} |}_{t = 0} {(\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (p)}

をえる。したがって,

{\frac{d (f \circ c)}{d t} |}_{t = 0} = v (f)

をえる.

{\frac{d (Y \circ c)}{d t} |}_{t = 0} = D_{v} Y

も同様に示される.

S

上の接ベクトル場

X, S

上の

C^{r}

スカラー場

f, S

に沿う

C^{r}

ベクトル場

Y

に対し,

S

上のスカラー場

X (f)

と

S

に沿うベクトル場

D_{X} Y

を各々,

X (f)_{p} := X_{p} (f), {(D_{X} Y)}_{p} := D_{X_{p}} Y (p \in S)

によって定義する.

命題 2.3.2

X, f, Y

が

C^{r}

級ならば,

X (f), D_{X} Y

は

C^{r - 1}

級である.

証明

S_{λ}

上で調べる.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とし,

X

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を，

X_{i} (i = 1, \dots, n)

とする。このとき、

X (f) = \sum_{i = 1} X_{i} (\frac{\partial (f \circ x_{λ})}{\partial u_{i}} \circ x_{λ}^{- 1}), D_{X} Y = \sum_{i = 1} X_{i} (\frac{\partial (Y \circ x_{λ})}{\partial u_{i}} \circ x_{λ}^{- 1})

となるので,

X (f), D_{X} Y

が

S_{λ}

上で

C^{r - 1}

級であることがわかる.

命題 2.3.3

X, X_{1}, X_{2}

を

S

上の接べクトル場,

f, f_{1}, f_{2}

を

S

上の

C^{r}

スカラー場とし,

Y, Y_{1}, Y_{2}

を

S

に沿う

C^{r}

ベクトル場とする. このとき、

\begin{matrix} X (α f_{1} + β f_{2}) = α X (f_{1}) + β X (f_{2}) \\ (2.3.2) & X (f_{1} f_{2}) = f_{1} X (f_{2}) + f_{1} X (f_{2}) \end{matrix}

および,

\begin{matrix} D_{X} (α Y_{1} + β Y_{2}) = α D_{X} Y_{1} + β D_{X} Y_{2} \\ (2.3.3) & D_{X} (f Y) = X (f) Y + f D_{X} Y \\ D_{f X} Y = f D_{X} Y, D_{α X_{1} + β X_{2}} Y = α D_{X_{1}} Y + β D_{X_{2}} Y \end{matrix}

が成り立つ. ここで,

α, β

は実数を表す.

証明方向微分の定義より, 直接, これらの関係式は示される.

以上の準備の下に,

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面上の

C^{r}

接ベクトル場の共変微分を定義しよう.

v \in T_{p} S

とし,

Y

を

S

上の

C^{r}

接ベクトル場とする. このとき,

T_{p} S

の元

\nabla_{v} Y

を

\nabla_{v} Y = {pr}_{T_{p}} (D_{v} Y)

により定義する.

\nabla_{v} Y

を,

Y

の

v

に関する共変微分（the covariant
derivative of

Y

with respect to

v

) という. また,

S

上の接ベクトル場

X

と

S

上の

C^{r}

接ベクトル場

Y

に対し,

S

上の接ベクトル場

\nabla_{X} Y

を

{(\nabla_{X} Y)}_{p} := \nabla_{X_{p}} Y (p \in S)

により定義する.

\nabla_{X} Y

を,

Y

の

X

に関する共変微分という.

問 2.3.1 単位球面

S^{2} (1)

上の

C^{\infty}

曲線

c : (- ε, ε) \to S^{2} (1)

を

c (t) := (\cos (t + \frac{π}{4}), 0, \sin (t + \frac{π}{4})) (- ε < t < ε)

と定義し,

v := c^{'} (0) (\in T_{c (0)} S^{2} (1))

とおく.

S^{2} (1)

に沿うベクトル場

Y

Z

を各々，次のように定義する：

\begin{array}{ll} Y_{p} := (- p_{3}, 0, p_{1}) & (p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in S^{2} (1)) \\ Z_{p} := (- p_{1} p_{3}, 0, p_{1}^{2}) & (p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in S^{2} (1)) \end{array}

次の各問いに答えよ.

(i)

Y, Z

が

S^{2} (1)

上の

C^{\infty}

級接ベクトル場であることを示せ（ヒント：

S^{2} (1)

の単位法ベクトル場

N

が

N_{p} := (p_{1}, p_{2}, p_{3}) (p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in S^{2} (1))

によって与えられることに注意する).

(ii)

\nabla_{v} Y, \nabla_{v} Z

を計算せよ.

(iii) (ii)の計算結果を気にせず,

Y, Z

の

c

に沿う変化の様子を図示することにより,

\nabla_{v} Y, \nabla_{v} Z

がおおよそどのようなべクトルになるか分析し, その図形的分析結果と (ii)の計算結果とが整合していることを確認せよ.

命題 2.3.4

X, Y

を

S

上の

C^{r}

接べクトル場とする。このとき,

\nabla_{X} Y

は,

S

上の

C^{r - 1}

接ベクトル場である.

証明

S_{λ}

上で調べる。

S_{λ}

の自然に定まる単位法べクトル場を

N_{λ}

とするとき,

\begin{aligned} {(\nabla_{X} Y)}_{p} & = {pr}_{T_{p}} ({(D_{X} Y)}_{p}) \\ = {(D_{X} Y)}_{p} - (({(D_{X} Y)}_{p}) \cdot {(N_{λ})}_{p}) {(N_{λ})}_{p} (p \in S_{λ}) \end{aligned}

が成り立ち, それゆえ

S_{λ}

上で

\nabla_{X} Y = D_{X} Y - ((D_{X} Y) \cdot N_{λ}) N_{λ}

が成り立つ.ゆえに,

N_{λ}

は

C^{\infty}

級であり,

D_{X} Y

は

C^{r - 1}

級であるので,

\nabla_{X} Y

が

S_{λ}

に沿うべクトル場として

C^{r - 1}

級であることがわかる. さらに,命題 2.1.2により,

\nabla_{X} Y

が

S_{λ}

上の接ベクトル場として

C^{r - 1}

級であることがわかる.

命題 2.3.5

X_{i}, Y_{i} (i = 1, 2)

を

S

上の

C^{r}

接ベクトル場とし,

f

を

S

上の

C^{r}

スカラー場とする。このとき, 次式が成り立つ：

\begin{array}{ll} \nabla_{X} (α Y_{1} + β Y_{2}) = α \nabla_{X} Y_{1} + β \nabla_{X} Y_{2}, & \nabla_{X} (f Y) = X (f) Y + f \nabla_{X} Y \\ \nabla_{α X_{1} + β X_{2}} Y = α \nabla_{X_{1}} Y + β \nabla_{X_{2}} Y, & \nabla_{f X} Y = f \nabla_{X} Y \end{array}

証明式 (2.3.3)と

{pr}_{T_{p}}

の線形性を用いて, 直接, これらの関係式は示される.

Y

を

S

上の

C^{r}

接べクトル場とする. 各

v \in T_{p} S

に対し,

\nabla_{v} Y

を対応させる対応を

(\nabla Y)_{p}

と表す. 明らかに, この対応

(\nabla Y)_{p}

は

T_{p} S

からそれ自身への線形写像, つまり,

T_{p} S

上の

(1, 1)

テンソルである. 各点

p \in S

に対し,

(\nabla Y)_{p}

のトレース

Tr (\nabla Y)_{p}

を対応させる対応は,

S

上の

C^{r - 1}

スカラ一場を与える。このスカラー場を

Y

の

g

に関する発散（the divergence of

Y

with respect to

g

) といい,

{div}_{g} Y

と表す. ここで,

(e_{1}, \dots, e_{n})

を

(T_{p} S, g_{p})

の正規直交基底としたとき,

S_{λ}

上で

\begin{matrix} (2.3.4) & {({div}_{g} Y)}_{p} = \sum_{i = 1}^{n} g_{p} (\nabla_{e_{i}} Y, e_{i}) \end{matrix}

が成り立ち,

S

の局所座標

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

に関する

g

の成分を

g_{i j}

とし,行列

(g_{i j})

の逆行列を

(g^{i j})

とするとき,

\begin{matrix} (2.3.5) & {div}_{g} Y = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} g (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} Y, \frac{\partial}{\partial u_{j}}) g^{i j} \end{matrix}

が成り立つことに注意する.

次に, 向き付けられた

C^{\infty}

超曲面

S

の形作用素, および, 第 2 基本形式を定義することにする。

(S, D)

を

E^{n + 1}

内の向き付けられた

C^{\infty}

超曲面とする.

g

を

S

の第 1 基本形式とし,

N

を

S

の自然に定まる単位法ベクトル場とす

る. 点

p \in S

に対し,

T_{p} S

からそれ自身への写像

A_{p}

を

A_{p} (v) := - D_{v} N (v \in T_{p} S)

によって定める. ここで,

A_{p} (v) \cdot N_{p} = - (D_{v} N) \cdot N_{p} = \frac{1}{2} v (N \cdot N) = 0

となるので,

A_{p} (v) \in T_{p} S

が成り立つことを注意しておく.

v, w \in T_{p} S

とし,

α, β \in R

とするとき,

A_{p} (α v + β w) = - D_{α v + β w} N = - α D_{v} N - β D_{w} N = α A_{p} (v) + β A_{p} (w)

となり,

A_{p}

が線形変換になることがわかる. 各点

p \in S

に対し,

A_{p}

を対応させる対応

A

は

S

上の

(1, 1)

次テンソル場を与える. この

(1, 1)

次テンソル場

A

を

S

の形作用素（shape operator）という.

命題 2.3.6 形作用素

A

は

C^{\infty}

級の

(1, 1)

次テンソル場である.

証明

S_{λ}

上で調べることにする.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とし，

A

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

A_{i}^{j}

とするとき, 接ベクトル場

A (\frac{\partial}{\partial u_{i}})

は

A (\frac{\partial}{\partial u_{i}}) = \sum_{j = 1}^{n} A_{i}^{j} \frac{\partial}{\partial u_{j}}

と表されるので, 接ベクトル場

A (\frac{\partial}{\partial u_{i}})

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分は

A_{i}^{j} (j = 1, \dots, n)

となる。一方,

A (\frac{\partial}{\partial u_{i}}) = - D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} N

であり, 命題 2.1.3 の証明中で述べたように

N

は

C^{\infty}

級であり,ゆえに命題 2.3 .2 により,

D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} N

が

C^{\infty}

級であることがわかる。したがって, 接べクトル場

A (\frac{\partial}{\partial u_{i}})

が

C^{\infty}

級であり, それゆえ, その成分

A_{i}^{j}

が

C^{\infty}

級であること，つまり

A

が

S_{λ}

上で

C^{\infty}

級であることが示される.

A の定義より, 直接, 次の関係式が導かれる.
命題 2.3.7

S

上の接ベクトル場

X

に対し,

D_{X} N = - A (X)

が成り立つ.

この関係式は, ワインガルテンの公式（Weingarten formula）とよばれる. 次に, 第 2 基本形式を定義することにする.

p \in S

に対し,

h_{p} : T_{p} S \times

T_{p} S \to R

を

h_{p} (v, w) := g_{p} (A_{p} (v), w) (v, w \in T_{p} (S))

によって定める.このとき,

g_{p}

が 2 次共変テンソルであることと,

A_{p}

が

(1, 1)

次テンソルであることから,

h_{p}

が

T_{p} S

上の 2 次共変テンソルであることが導かれる。それゆえ, 各点

p \in S

に対し,

h_{p}

を対応させる対応

h

は,

S

上の 2 次共変テンソル場を与える。さらに,

g, A

が

C^{\infty}

級であることから,

h

が

C^{\infty}

級の 2 次共変テンソル場であることが導かれる。この

C^{\infty}

級の 2 次共変テンソル場

h

を

S

の第 2 基本形式（second fundamental form）という.

命題 2.3.8 第 2 基本形式 $h$ は対称である.

証明

X, Y

を

S

上の

C^{r}

接ベクトル場とする. このとき，

\begin{aligned} h (X, Y) & = g (A (X), Y) = - g (D_{X} N, Y) \\ (2.3.6) & = - X (N \cdot Y) + N \cdot (D_{X} Y) = N \cdot (D_{X} Y) \end{aligned}

が示される.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とし,

X_{i}, Y_{i} (i = 1, \dots, n)

を各々,

X

Y

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分とする。このとき, 命題 2.3.3を用いて,

D_{X} Y = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (\frac{\partial Y_{j}}{\partial u_{i}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} + Y_{j} D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}})

が示され, それゆえ,

N \cdot (D_{X} Y) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} Y_{j} (N \cdot (D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}))

をえる. 同様に,

N \cdot (D_{Y} X) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} Y_{j} X_{i} (N \cdot (D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}))

が示される. それゆえ,

\begin{matrix} (2.3.7) & N \cdot (D_{X} Y - D_{Y} X) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} Y_{j} (N \cdot (D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} - D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}})) \end{matrix}

をえる。一方，

D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} - D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}} = \frac{\partial^{2} \vec{x_{λ}}}{\partial u_{i} \partial u_{j}} - \frac{\partial^{2} \vec{x_{λ}}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} = 0

が示される. したがって式 (2.3.7) より,

N \cdot (D_{X} Y - D_{Y} X) = 0

が示され, さらに式

(2.3 .6)

より,

h (X, Y) = h (Y, X)

が導かれる.

{pr}_{⊥_{p}}

を

R^{n + 1}

から

T_{p}^{⊥} S

への直交射影, つまり, 各

v \in R^{n + 1}

に対し，

v

を

v = v_{T} + v_{⊥} (v_{T} \in T_{p} S, v_{⊥} \in T_{p}^{⊥} S)

と分解したときの接成分

v_{⊥}

を対応させる対応とする。

R^{n}

上のベクトル場

X

に対し,

S

に沿うベクトル場

X_{⊥}

を

{(X_{⊥})}_{p} := {pr}_{⊥_{p}} (X_{p}) (p \in S)

で定める.

v_{⊥}, X_{⊥}

を各々,

v, X

の法成分（normal component）という.

D, \nabla

, および

h

の間に, 次の関係式が成り立つ.

命題 2.3.9

S

上の

C^{r}

接ベクトル場

X, Y

に対し,

\begin{matrix} (2.3.8) & D_{X} Y = \nabla_{X} Y + h (X, Y) N \end{matrix}

が成り立つ.

証明

{({(D_{X} Y)}_{p})}_{⊥_{p}} \in Span {N_{p}}

なので,

{({(D_{X} Y)}_{p})}_{⊥_{p}} = a N_{p} (a \in R)

と表される.

a

を求めよう.

\nabla

の定義より,

\begin{matrix} (2.3.9) & {(D_{X} Y)}_{p} = {({(D_{X} Y)}_{p})}_{T_{p}} + {({(D_{X} Y)}_{p})}_{⊥_{p}} = {(\nabla_{X} Y)}_{p} + a N_{p} \end{matrix}

が成り立つ. この式の両辺と

N_{p}

との内積をとることにより,

a = N_{p} \cdot {(D_{X} Y)}_{p} = X_{p} (N \cdot Y) - {(D_{X} N)}_{p} \cdot Y_{p} = g_{p} (A_{p} (X_{p}), Y_{p}) = h_{p} (X_{p}, Y_{p})

をえる. これを式 (2.3.9) に代入して,

{(D_{X} Y)}_{p} = {(\nabla_{X} Y)}_{p} + h_{p} (X_{p}, Y_{p}) N_{p}

をえる。したがって,

p

の任意性により, 求めるべき関係式が示される.

上述の式 (2.3.8) をガウスの公式（Gauss formula）という. 命題 2.3 .8 から直接, 形作用素

A

について, 次の事実が導かれる.

命題 2.3.10 各点

p \in S

に対し,

A_{p} : (T_{p} S, g_{p}) \to (T_{p} S, g_{p})

は対称変換である.

A_{p}

は対称変換なので,

A_{p}

の

(T_{p} S, g_{p})

のある正規直交基底に関する表現行列は対角行列になる。具体的に,

A_{p}

の

(T_{p} S, g_{p})

の正規直交基底

(e_{1}, \dots, e_{n})

に関する表現行列が

(\begin{array}{cccc} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{array})

になるとする. このとき,

A_{p} (e_{i}) = λ_{i} e_{i} (i = 1, \dots, n)

となるので,

λ_{1}, \dots

λ_{n}

は,

A_{p}

の固有値である.

A_{p}

の各固有値は,

S

の点

p

における主曲率 (principal curvature) とよばれ,

A_{p}

の各固有べクトルは,

S

の点

p

における主曲率ベクトル（principal curvature vector）とよばれ, 特に

A_{p}

の各単位固有ベクトルは,

S

の点

p

における主方向（principal direction）とよばれる。また,

A_{p}

の各固有空間は,

S

の点

p

にける主曲率空間 (principal curvature space) とよばれる。命題 2.3 .1 によれば,

v = c^{'} (0)

(= {\frac{d c}{d t} |}_{t = 0})

とするとき,

A_{p} (v) = - {\frac{d (N \circ c)}{d t} |}_{t = 0}

が成り立つので,

N

の振る舞いから図形的考察により, 主曲率, および主方向を分析することができる（図 2.3.1, 2.3.2 を参照）.

図 2.3.1 主曲率を図形的に分析する方法（その 1)

図 2.3.2主曲率を図形的に分析する方法（その 2 ）

A_{p}

の固有値の全体を

Spec A_{p}

と表す.

Spec A_{p} = {{\hat{λ}}_{i} ∣ i = 1, \dots, l} ({\hat{λ}}_{1} > \dots > {\hat{λ}}_{l})

であり,

{\hat{λ}}_{i}

の重複度が

m_{i}

, つまり,

\dim Ker (A_{p} - {\hat{λ}}_{i} id) = m_{i}

であるとする. このとき,

λ_{1}, \dots, λ_{n}

を

λ_{i} := {\begin{cases} {\hat{λ}}_{1} & (1 \leq i \leq m_{1}) \\ {\hat{λ}}_{2} & (m_{1} + 1 \leq i \leq m_{1} + m_{2}) \\ ⋮ & ⋮ \\ {\hat{λ}}_{l} & (m_{1} + \dots + m_{l - 1} + 1 \leq i \leq n) \end{cases}

によって定義する. このとき, 少し乱暴ではあるが,

Spec A_{p} = {λ_{1} \geq λ_{2} \geq

\dots \geq λ_{n}}

と表すことにする。

H_{i}^{p} (i = 1, \dots, n)

を

\prod_{i = 1}^{n} (t - λ_{i}) = t^{n} + \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} H_{i}^{p} t^{n - i}

によって定義する. 各点

p \in S

に対し,

H_{i}^{p}

を対応させることにより定義される

S

上のスカラー場

H_{i}

を

S

の第

i

次平均曲率（i-th mean curvature）という。例えば,

\begin{aligned} H_{1}^{p} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = Tr A_{p}, H_{2}^{p} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} λ_{i} λ_{j} \\ H_{3}^{p} = \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} λ_{i} λ_{j} λ_{k}, \dots, H_{n}^{p} = λ_{1} \dots λ_{n} = \det A_{p} \end{aligned}

となる. 特に,

H := \frac{H_{1}}{n}

は

S

の平均曲率 (mean curvature),

G := H_{n} =

\det A

は

S

のガウス・クロネッカー曲率（Gauss-Kronecker's curvature）とよばれる。また,

H := H N

は

S

の平均曲率ベクトル場（mean curvature vector field）とよばれる. 特に,

n = 2

の場合,

G

は

S

のガウス曲率 (Gaussian curvature) とよばれ,

K

で表される。また，

K_{p} > 0

となる点は

S

の楕円点（elliptic point）,

K_{p} < 0

となる点は

S

の双曲点（hyperbolic point),

K_{p} = 0

となる点は

S

の放物点（parabolic point）とよばれる.

この節の最後に, 主曲率の計算問題を 5 つ与えておく.

問 2.3.2

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

正則局所超曲面

x : R^{n} \to E^{n + 1}

を

x (u_{1}, \dots, u_{n}) = (u_{1}, \dots, u_{n}, \sum_{i = 1}^{n} a_{i} u_{i}) ((u_{1}, \dots, u_{n}) \in R^{n})

(a_{1}, \dots, a_{n}

：定数）と定義する.

C^{\infty}

超曲面片

S := x (R^{n})

の各点における主曲率, 主曲率空間, および第

i

次平均曲率

(i = 1, \dots, n)

を求めよ.

問 2.3.3

B^{n} (r) (r > 0)

を

R^{n}

の原点を中心とする半径

r

の開球体, つまり,

B^{n} (r) := {(u_{1}, \dots, u_{n}) \in R^{n} ∣ u_{1}^{2} + \dots + u_{n}^{2} < r^{2}}

とする.

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

正則局所超曲面

x : B^{n} (r) \to E^{n + 1}

を

x (u_{1}, \dots, u_{n}) = (u_{1}, \dots, u_{n}, \sqrt{r^{2} - \sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2}})

と定義する.

C^{\infty}

超曲面片

S := x (B^{n} (r))

の各点における主曲率, 主曲率空間, お

よび第

i

次平均曲率

(i = 1, \dots, n)

を求めよ.

問 2.3.4

1 \leq k \leq n - 1

とし,

B^{k} (r) (r > 0)

を

R^{k}

の原点を中心とする半径

r

の開球体とする。

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

正則局所超曲面

x : B^{k} (r) \times R^{n - k} \to E^{n + 1}

を

x (u_{1}, \dots, u_{n}) = (u_{1}, \dots, u_{n}, \sqrt{r^{2} - \sum_{i = 1}^{k} u_{i}^{2}})

と定義する.

C^{\infty}

超曲面片

S := x (B^{k} (r) \times R^{n - k})

の各点における主曲率, 主曲率空間, および第

i

次平均曲率

(i = 1, \dots, n)

を求めよ.

問 2.3.5

C^{\infty}

正則局所曲面

x : R^{2} \to E^{3}

を

x (u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, u_{2}, u_{1} u_{2})

と定義する.

C^{\infty}

超曲面片

S := x (R^{2})

の点

p = x (1, 1)

における主曲率, 主曲率空間, ガウス曲率, および平均曲率を求めよ.

問 2.3.6

C^{\infty}

正則局所曲面

x : [0, 2 π)^{2} \to E^{3}

を

x (u_{1}, u_{2}) = ((b + a \cos u_{1}) \cos u_{2}, (b + a \cos u_{1}) \sin u_{2}, a \sin u_{1})

と定義する. ただし,

a, b

は

a < b

となる正の定数を表す.

(i)

C^{\infty}

曲面片

S := x ([0, 2 π)^{2})

の各点における主曲率, および主曲率空間を求めよ.

(ii)

S

のガウス曲率を求め,

S

を楕円点の集合, 双曲点の集合, および放物点の集合に類別せよ.

2.4 平行移動・測地線

この節において,

(n + 1)

次元ユークリッド空間

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面上の

C^{\infty}

曲線に沿う平行移動，および，測地線について述べる. この節では

r \geq 1

とする。

(S, D) (D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ})

を

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面とする.

S

上の曲線

c : [a, b] \to S

を考える。

c^{- 1} (S_{λ}) \neq \emptyset

となる各

λ \in Λ

に対し，

x_{λ}^{- 1}

。

c

が

C^{r}

級である，つまり，

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

として,

u_{i} \circ c (i = 1, \dots, n)

が

C^{r}

級であるとき,

c

を

S

上の

C^{r}

曲線という. このとき,

c (t) =

x_{λ} (u_{1} (c (t)), \dots, u_{n} (c (t)))

となるので,

c

は

E^{n + 1}

内の曲線としても

C^{r}

級であることがわかる. 以下,

c

は

C^{\infty}

級であるとする. 各

t \in [a, b]

に対し，

T_{c (t)} S

の元

X_{t}

を対応させる対応

X

を

c

に沿う接ベクトル場（tangent vector field along

c

) という.

c^{- 1} (S_{λ}) \neq \emptyset

となる各

λ \in Λ

に対し,

x_{λ}^{- 1} =

(u_{1}, \dots, u_{n})

として,

X_{t} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)}

によって定義される関数

X_{i} : c^{- 1} (S_{λ}) \to R (i = 1, \dots, n)

が

C^{r}

級であるとき,

X

を

c

に沿う

C^{r}

接ベクトル場という.

c^{'} (t) \in T_{c (t)} S

なので, 各

t \in

[a, b]

に対し,

c^{'} (t)

を対応させる対応

c^{'}

は

c

に沿う接ベクトル場を与える.

c^{'}

をcの速度ベクトル場（velocity vector field）, または, 接ベクトル場という.

c^{'}

は

c

に沿う

C^{\infty}

接べクトル場になる。実際,

\vec{c} (t) = \vec{x_{λ}} (x_{λ}^{- 1} (c (t))) = \vec{x_{λ}} (u_{1} (c (t)), \dots, u_{n} (c (t)))

なので,

\begin{matrix} (2.4.1) & c^{'} (t) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial \vec{x_{λ}}}{\partial u_{i}} \frac{d (u_{i} \circ c)}{d t} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{d (u_{i} \circ c)}{d t} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)} \end{matrix}

となり,

u_{i} \circ c

が

C^{\infty}

級であることから，

\frac{d (u_{i} \circ c)}{d t}

は

C^{\infty}

級になる。それゆえ,

c^{'} (t)

が

c

に沿う

C^{\infty}

接べクトル場であることがわかる.

X

を

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to S

に沿う

C^{r}

接ベクトル場とする.

t_{0} \in [a, b]

を固定する.

\nabla_{c^{'} (t_{0})} X (\in T_{c (t_{0})} S)

を

\nabla_{c^{'} (t_{0})} X := {pr}_{T_{c (t_{0})}} ({\frac{d (X \circ c)}{d t} |}_{t = t_{0}})

によって定義する。ただし,

{pr}_{T_{c (t_{0})}}

は,

R^{n + 1}

から

T_{c (t_{0})} S

への直交射影を表す. 各

t \in [a, b]

に

\nabla_{c^{'} (t)} X

を対応させる対応を

\nabla_{c^{'}} X

と表す. 明らかに,

\nabla_{c^{'}} X

は

c

に沿う接ベクトル場である.

\nabla_{c^{'}} X

を

X

の共変微分（covariant derivative）という。容易に，次の事実が示される。

命題 2.4.1

X

が

c

に沿う

C^{r}

接べクトル場ならば,

\nabla_{c^{'}} X

が

c

に沿う

C^{r - 1}

接べクトル場である.

X, Y

を

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to S

に沿う接ベクトル場とし，

f

を

[a, b]

上の関
数とする. このとき,

c

に沿う接ベクトル場

X + Y

と

f X

が各々,

(X + Y)_{t} := X_{t} + Y_{t}, (f X)_{t} := f_{t} X_{t} (t \in [a, b])

によって定義される。明らかに, 次の事実が成り立つ.

命題

2.4.2

(i)

X, Y

が

C^{r}

級ならば,

X + Y

も

C^{r}

級である.

(ii)

f, X

が

C^{r}

級ならば,

f X

も

C^{r}

級である.

共変微分

\nabla_{c^{'}}

について, 次の事実が成り立つ.

命題 2.4.3

X, Y

を

c

に沿う

C^{r}

接べクトル場とし,

f

を

[a, b]

上の

C^{r}

級関数とする。このとき, 次式が成り立つ.

(i)

\nabla_{c^{'}} (X + Y) = \nabla_{c^{'}} X + \nabla_{c^{'}} Y

;

(ii)

\nabla_{c^{'}} (f X) = f^{'} X + f \nabla_{c^{'}} X

証明

{pr}_{T_{p}}

の線形性に注意して, 直接, これらの関係式を示すことができる。

問 2.4.1

D (1)

を原点を中心とする半径 1 の開円板（つまり

D (1) := {(u_{1}, u_{2}) \in

R^{2} ∣ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} < 1})

とし,

C^{\infty}

正則局所曲面

x : D (1) \to E^{3}

を

x (u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, u_{2}, \sqrt{1 - u_{1}^{2} - u_{2}^{2}})

と定義する.

C^{\infty}

曲面片

S := x (D (1))

上の

C^{\infty}

曲線

c : (0, π) \to S

を

c (t) := (\cos t, 0, \sin t) (t \in (0, π))

と定義し,

c

に沿う

C^{\infty}

接ベクトル場

X, Y

を

X_{t} := (- \sin t, 0, \cos t), Y_{t} = (- \frac{2 t}{π} \sin t, 0, \frac{2 t}{π} \cos t)

と定義する.

(i)

X, Y

を図示し, 定義に従って,

{(\nabla_{c^{'}} X)}_{\frac{π}{2}}, {(\nabla_{c^{'}} Y)}_{\frac{π}{2}}

がどのようなべクトルになるか図示せよ.

(ii)

\nabla_{c^{'}} X, \nabla_{c^{'}} Y

を計算し, (i) で求めた図と整合しているかどうか確認せよ.

以上の準備の下に,

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

リーマン超曲面

((S, D), g)

上の測地線, および,

C^{\infty}

リーマン超曲面

((S, D), g)

上の

C^{\infty}

曲線に沿う平行移動を定義

しよう.

c : [a, b] \to S

を

C^{\infty}

曲線とする. 各

t \in I

に

T_{c (t)} S

の零ベクトル

0_{c (t)}

を対応させることにより定義される

c

に沿う接ベクトル場を 0 で表し, これを

c

に沿う零ベクトル場（zero vector field along

c

）という。

c

に沿う

C^{r}

接べクトル場

X

が

\nabla_{c^{'}} X = 0

を満たすとき,

X

を

c

に沿う平行ベクトル場（parallel vector field along

c

) という。また,

\nabla_{c^{'}} c^{'} = 0

が成り立つとき,

c

を

S

上の測地線という。

\nabla_{c^{'}} c^{'}

は,

c

を

S

上の物体の運動の軌道とみなしたときの加速度と解釈され, それゆえ

\nabla_{c^{'}} c^{'} = 0

であることは,

c

が

S

上を等速度運動する物体の軌道であることを意味する。

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とする.

S_{λ}

上の関数

Γ_{i j}^{k} (1 \leq i, j, k \leq n)

を

\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} = \sum_{k = 1}^{n} Γ_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}}

によって定義する。この関数

Γ_{i j}^{k}

をの局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する接続係数 (connection coefficient) という.

g_{i j}

を

S

の第 1 基本形式

g

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分とし,

(g^{i j})

を

(g_{i j})

の逆行列とする。このとき,

S_{λ}

上の

C^{\infty}

級関数

{\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}} (1 \leq i, j, k \leq n)

を

{\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}} = \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{2} g^{k l} (\frac{\partial g_{l j}}{\partial u_{i}} + \frac{\partial g_{i l}}{\partial u_{j}} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{l}})

によって定義する。この関数

{\begin{cases} k \\ i j \end{cases}}

を

g

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関するクリストツフェルの記号（Christoffel symbol）という. このとき, 次の事実が成り立つ。

命題 2.4.4

Γ_{i j}^{k} = {\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}}

が成り立つ.

証明単純計算により,

\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} Γ_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}} & = \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} \\ = {(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}})}_{T} = {(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{j}})}_{T} \end{aligned}

\begin{aligned} (2.4.2) & = {(\frac{\partial (\frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{j}})}{\partial u_{i}})}_{T} = {(\frac{\partial^{2} {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{i} \partial u_{j}})}_{T} \\ = {(\frac{\partial^{2} {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{j} \partial u_{i}})}_{T} = \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}} = \sum_{k = 1}^{n} Γ_{j i}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}} \end{aligned}

および,

\begin{aligned} \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}} & = \frac{\partial}{\partial u_{k}} (\frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{j}}) \\ = \frac{\partial^{2} {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{k} \partial u_{i}} \cdot \frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{j}} + \frac{\partial {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial^{2} {\vec{x}}_{λ}}{\partial u_{k} \partial u_{j}} \\ (2.4.3) & = (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}} + \frac{\partial}{\partial u_{i}} \cdot (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}) \\ = g (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}) + g (\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}) \\ = \sum_{l = 1}^{n} Γ_{k i}^{l} g_{l j} + \sum_{l = 1}^{n} Γ_{k j}^{l} g_{i l} \end{aligned}

をえる. このように,

\begin{matrix} (2.4.4) & Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}, \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}} = \sum_{l = 1}^{n} Γ_{k i}^{l} g_{l j} + \sum_{l = 1}^{n} Γ_{k j}^{l} g_{i l} \end{matrix}

が示される. これらの関係式とクリストッフェルの記号の定義式を用いて, 求めるべき関係式を導出することができる。

次に,

\nabla_{c^{'}} X, \nabla_{c^{'}} c^{'}

の局所表示を与える.

命題 2.4.5

c^{- 1} (S_{λ}) \neq \emptyset

とし,

X_{t} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)} (t \in c^{- 1} (S_{λ}))

とする. このとき,

\nabla_{c^{'}} X

は次のように局所表示される：

\begin{matrix} (2.4.5) & \begin{array}{r} {(\nabla_{c^{'}} X)}_{t} = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{d X_{i}}{d t} + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d (u_{j} \circ c)}{d t} X_{k} (t) {\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}}_{c (t)} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)} \\ (t \in c^{- 1} (S_{λ})) \end{array} \end{matrix}

特に,

\nabla_{c^{'}} c^{'}

は次のように局所表示される：

\begin{matrix} (2.4.6) & \begin{array}{r} \nabla_{c^{'}} c^{'} = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{d^{2} (u_{i} \circ c)}{d t^{2}} + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d (u_{j} \circ c)}{d t} \frac{d (u_{k} \circ c)}{d t} {\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}}_{c (t)} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)} \\ (t \in c^{- 1} (S_{λ})) \end{array} \end{matrix}

証明

t_{0} \in c^{- 1} (S_{λ})

を任意にとる。

{(\nabla_{c^{'}} X)}_{t_{0}}

を計算すると,

\begin{aligned} {(\nabla_{c^{'}} X)}_{t_{0}} = {pr}_{T_{c (t_{0})}} ({\frac{d X}{d t} |}_{t = t_{0}}) \\ = {pr}_{T_{c (t_{0})}} ({\frac{d}{d t} |}_{t = t_{0}} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)})) \\ = \sum_{i = 1}^{n} {pr}_{T_{c (t_{0})}} ({\frac{d X_{i}}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t_{0})} + {X_{i} (t_{0}) \frac{d}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)}) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t_{0})} \\ + \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t_{0}) {pr}_{T_{c (t_{0})}} ({\frac{d}{d t} |}_{t = t_{0}} (\frac{\partial \vec{x_{λ}}}{\partial u_{i}}) (u_{1} (c (t)), \dots, u_{n} (c (t)))) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t_{0})} \\ + \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t_{0}) {pr}_{T_{c (t_{0})}} ({\sum_{j = 1}^{n} \frac{d u_{j} (c (t))}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial^{2} \vec{x_{λ}}}{\partial u_{j} \partial u_{i}})}_{x_{λ}^{- 1} (c (t_{0}))}) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t_{0})} + {\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (t_{0}) \frac{d u_{j} (c (t))}{d t} |}_{t = t_{0}} {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t_{0})} \\ = \sum_{i = 1}^{n} ({\frac{d X_{i}}{d t} |}_{t = t_{0}} + {\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d u_{j} (c (t))}{d t} |}_{t = t_{0}} X_{k} (t_{0}) {\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}}_{c (t_{0})}) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t_{0})} \end{aligned}

をえる。このように, 求めるべき

\nabla_{c^{'}} X

の局所表示式 (2.4.5) をえることができる. 特に,

c^{'} (t) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{d (u_{i} \circ c)}{d t} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)}

なので, 式 (2.4.5) から直接,

\nabla_{c^{'}} c^{'}

の局所表示式 (2.4.6) をえる.
命題 2.4.5 から直接, 次の事実が導かれる.

系 2.4.6

c^{- 1} (S_{λ}) \neq \emptyset

とし,

X_{t} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)} (t \in c^{- 1} (S_{λ}))

とする. このとき, 次の事実が成り立つ.

(i)

X

が平行ベクトル場であることと

\frac{d X_{i}}{d t} + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d (u_{j} \circ c)}{d t} X_{k} {\begin{matrix} i \\ j k \end{matrix}}_{c (t)} = 0 (i = 1, \dots, n)

が成り立つことは同値である；

(ii)

c

が測地線であることと

\frac{d^{2} (u_{i} \circ c)}{d t^{2}} + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d (u_{j} \circ c)}{d t} \frac{d (u_{k} \circ c)}{d t} {\begin{matrix} i \\ j k \end{matrix}}_{c (t)} = 0 (i = 1, \dots, n)

が成り立つことは同値である.

この系と正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理（常微分方程式の本を参照）を用いて, 次の事実が導かれる。

定理 2.4.7 (i)

c : [a, b] \to S

を

C^{\infty}

曲線とする. 各

v \in T_{c (a)} (S)

に対し,

X_{a} = v

となる

c

に沿う平行ベクトル場

X

がただ 1 つ存在する.

(ii) 各

v \in T_{p} (S)

と十分小さな正の数

ε

に対し,

c^{'} (0) = v

となる

S

上の測地線

c : (- ε, ε) \to S

がただ 1 つ存在する.

証明最初に, (i) を示そう。まず,

c ([a, b])

がある

S_{λ}

に含まれている場合を考えよう.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とする。

X

を

c ∣ [a, b]

に沿うべクトル場とし、

X_{t} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t) {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (t)}

とする. また,

v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{c (a)}

とする. このとき, 系 2.4 .6 によれば,

X

が平行ベクトル場であることと

\frac{d X_{i}}{d t} + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d (u_{j} \circ c)}{d t} X_{k} (t) {\begin{matrix} i \\ j k \end{matrix}}_{c (t)} = 0 (i = 1, \dots, n)

（これは，

X_{1}, \dots, X_{n}

を未知関数とする 1 階の正規型連立常微分方程式であ

る）が成り立つことは同値である。また，

X_{a} = v

であることと

X_{i} (a) =

v_{i} (i = 1, \dots, n)

が成り立つことは同値である. それゆえ, 1 階の正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理から,

X_{a} = v

となる

{c |}_{[a, b]}

に沿う平行べクトル場

X

が一意的に存在することが導かれる。

一般の場合を考えよう.

[a, b]

の分割

a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k - 1} < t_{k} = b

で, 各

i \in {1, \dots, k}

に対し,

c ([t_{i - 1}, t_{i}]) \subset S_{λ_{i}}

となる

(S_{λ_{i}}, x_{λ_{i}}^{- 1}) \in D

が存在するようなものをとる。すでに示した事実によれば,

X_{a}^{1} = v

となる

{c |}_{[a, t_{1}]}

に沿う平行ベクトル場

X^{1}

が一意的に存在する. 同様に,

X_{t_{1}}^{2} = X_{t_{1}}^{1}

となる

{c |}_{[t_{1}, t_{2}]}

に沿う平行ベクトル場

X^{2}

が一意的に存在する. 以下, 順次,

X_{t_{i - 1}}^{i} =

X_{t_{i - 1}}^{i - 1}

となる

{c |}_{[t_{i - 1}, t_{i}]}

に沿う平行ベクトル場

X^{i}

が一意的に存在することがわかる

(i = 3, 4, \dots, k)

. 明らかに,

X^{1}, \dots, X^{k}

を貼り合わせて

c

に沿う平行ベクトル場がえられ，同時に，その一意性も示される。

次に, (ii) を示そう.

p \in S_{λ}, x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, \dots, u_{n})

とし，

x_{λ}^{- 1} (p) = (a_{1}, \dots

a_{n}), v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} {(\frac{\partial}{\partial u_{i}})}_{p}

とする.

c : (- ε, ε) \to S_{λ}

を

C^{\infty}

曲線とする. このとき, 系 2.4.6の (ii)によれば,

c

が測地線であること

\frac{d^{2} (u_{i} \circ c)}{d t^{2}} + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d (u_{j} \circ c)}{d t} \frac{d (u_{k} \circ c)}{d t} {\begin{matrix} i \\ j k \end{matrix}}_{c (t)} = 0 (i = 1, \dots, n)

（これは，

u_{1} \circ c, \dots, u_{n} \circ c

を未知関数とする 2 階の正規型連立常微分方程式である）が成り立つことは同値である。また,

c^{'} (0) = v

であることと

(u_{i} \circ c) (0) = a_{i}, {\frac{d (u_{i} \circ c)}{d t} |}_{t = 0} = v_{i} (i = 1, \dots, n)

が成り立つことは同値である。それゆえ, 2 階の正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理から (ii) が導かれる。

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to S

に対し,

T_{c (a)} S

から

T_{c (b)} S

への写像

P_{c}

を

\begin{matrix} P_{c} (v) := X_{b} (v \in T_{c (a)} S) \\ (X : X_{a} = v となる c に沿う平行ベクトル場) . \end{matrix}

この写像

P_{c}

を

c

に沿う平行移動（parallel translation along

c

）という.

c_{1} (a) = c_{2} (a), c_{1} (b) = c_{2} (b)

となる 2 つの異なる

C^{r}

曲線

c_{1}, c_{2}

に対し,

P_{c_{1}}

と

P_{c_{2}}

は, 一般には異なることに注意する（図 2.4.1 を参照）.

\begin{matrix} c_{1} (a) = c_{2} (a) = p, c_{1} (b) = c_{2} (b) = q \\ X_{i} : X_{i} (a) = v となる c_{i} に沿う平行ベクトル場 (i = 1, 2) \end{matrix}

図 2.4.1 平行移動

定理 2.4.8

P_{c}

は線形同型写像である.

証明まず,

P_{c}

が線形写像であることを示そう.

v, w \in T_{p} S, α, β \in R

とし,

X, Y

を各々,

X_{p} = v, Y_{p} = w

となる

c

に沿う平行べクトル場とする.

Z := α X + β Y

とおく.

\nabla_{c^{'}}

の性質（命題 2.4 .3 を参照）を用いて,

\nabla_{c^{'}} Z = α \nabla_{c^{'}} X + β \nabla_{c^{'}} Y = 0

が示され, さらに,

Z_{a} = α X_{a} + β Y_{a} = α v + β w

が示される. このように,

Z

は

Z_{a} = α v + β w

となる

c

に沿う平行べクトル場である. したがって,

P_{c} (α v + β w) = Z_{b} = α X_{b} + β Y_{b} = α P_{c} (v) + β P_{c} (w)

をえる. したがって,

P_{c}

が線形写像であることが示される.

次に,

P_{c}

が全単射であることを示そう.

T_{p} S

の零ベクトルを

0_{p}

で表し,

c

に沿う零べクトル場を0で表すことにする.

v \in Ker P_{c}

(つまり

P_{c} (v) =

0_{c (b)}

) とし,

X

を

X_{a} = v

となる

c

に沿う平行べクトル場とする. このとき,

X_{b} = P_{c} (v) = 0_{c (b)}

となる. 一方,

c

に沿う零ベクトル場

0

も

0_{b} =

0_{c (b)}

となる平行ベクトル場である。それゆえ, 平行ベクトル場の一意性（定理 2.4.7の (i)) より,

X = 0

, 特に

v = X_{a} = 0_{a} = 0_{c (a)}

をえる. このように Ker

P_{c} = {0_{c (a)}}, つ ま り, P_{c}

が単射であることが示される. さらに, 線
形代数学における次元定理を用いて,

\dim T_{c (a)} S = \dim (Ker P_{c}) + \dim (Im P_{c}) = \dim (Im P_{c})

それゆえ

\dim (Im P_{c}) = \dim T_{c (b)} S

が示され,

Im P_{c} = T_{c (b)} S

, つまり,

P_{c}

が全射であることが導かれる。したがって,

P_{c}

は線形同型写像である.

問 2.4 .2

D = {(u_{1}, u_{2}) \in R^{2} ∣ 0 < u_{1} < 1, - π < u_{2} < π} (= (0, 1) \times (- π, π))

とし,

C^{\infty}

正則局所超曲面

x : D \to E^{3}

を

x (u_{1}, u_{2}) = (\sqrt{1 - u_{1}^{2}} \cos u_{2}, \sqrt{1 - u_{1}^{2}} \sin u_{2}, u_{1})

と定義する. 次の各問いに答えよ.

(i)

S

上の曲線

c_{1} (t) := (\cos t, 0, \sin t) (0 < t < \frac{π}{2})

は,

S

上の測地線であるかどうか調べよ.

(ii)

S

上の曲線

c_{2} (t) := (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos t, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin t, \frac{1}{\sqrt{2}}) (- π < t < π)

は,

S

上の測地線であるかどうか調べよ.

（ヒント：クリストッフェルの記号を求めるのは大変なので,

\frac{d^{2} c_{1}}{d t^{2}}, \frac{d^{2} c_{2}}{d t^{2}}

を計算し，それらの接成分が０になるかどうか調べる.）

問 2.4.3 図 2.4.2 におけるような単位球面

S^{2} (1)

上の

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to S^{2} (1)

と

v

に対し,

X_{a} = v

となる平行ベクトル場

X

を作図せよ.

(i)

(ii)

図 2.4.2

2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠

この節において,

(n + 1)

次元ユークリッド空間

E^{n + 1}

内の向き付けられ

た

C^{\infty}

超曲面上の

C^{r}

正則曲線の曲率・フルネ枠を定義する. この節では,

r \geq n + 1

とする.

(S, D)

を

E^{n + 1}

内の向き付けられた

C^{\infty}

超曲面とし,

D =

{(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とし，

g

を

S

の第 1 基本形式とする。

c : [0, l] \to S

を弧長でパラメーター付けられた

C^{r}

正則曲線とし，

c

の速度ベクトル場

c^{'}

を

t

と表し,

t

の共変微分

{(\nabla_{c^{'}} t)}_{s} (= {(\nabla_{c^{'}} c^{'})}_{s})

のノルム

‖ {(\nabla_{c^{'}} t)}_{s} ‖

を

κ_{1} (s)

と表す.

κ_{1} : [0, l] \to R

を

c

の第 1 曲率（the first curvature）という.

κ_{1} (s) \neq

0 (s \in [0, l])

と仮定する.

{(n_{1})}_{s} := \frac{1}{κ_{1} (s)} {(\nabla_{c^{'}} t)}_{s}

とおく.

c

に沿う接ベクトル場

n_{1} : [0, l] \to T S

を

c

の第

1

法線ベクトル場という。明らかに,

\begin{matrix} (2.5.1) & {(\nabla_{c^{'}} t)}_{s} = κ_{1} (s) {(n_{1})}_{s} \end{matrix}

が成り立つ. 容易に,

g_{c (s)} (t_{s}, {(n_{1})}_{s}) = 0

が示される.

T_{c (s)} S

の 2 次元部分ベクトル空間

O_{1} (s) := Span {(t)_{s}, {(n_{1})}_{s}}

を

c

の

s

における第

1

接触空間という.

c

の沿う接ベクトル場

s \mapsto {(n_{1})}_{s}

の共変微分

{(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s}

を

{(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s} = α (s) t_{s} + β (s) {(n_{1})}_{s} + {(w_{2})}_{s} (α (s), β (s) \in R, {(w_{2})}_{s} \in O_{1} (s)^{⊥})

という形に分解する. ここで,

O_{1} (s)^{⊥}

は

(T_{c (s)} S, g_{c (s)})

における

O_{1} (s)

の直交補空間を表す.

α (s), β (s)

を求めると,

\begin{aligned} α (s) = g_{c (s)} ({(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s}, t_{s}) = - g_{c (s)} ({(n_{1})}_{s}, {(\nabla_{c^{'}} t)}_{s}) = - κ_{1} (s) \\ β (s) = g_{c (s)} ({(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s}, {(n_{1})}_{s}) = 0 \end{aligned}

となる.

κ_{2} (s) := ‖ {(w_{2})}_{s} ‖

とおく.

κ_{2} : [0, l] \to R

を

c

第

2

曲率という.

κ_{2} (s) \neq 0 (s \in [0, l])

と仮定する.

{(n_{2})}_{s} := \frac{1}{κ_{2} (s)} {(w_{2})}_{s}

とおく.

n_{2} : [0, l] \to

T S

を，

c

の第

2

法線ベクトル場という. このとき, 上述の事実より,

\nabla_{c^{'}} n_{1}

は次のように表される：

\begin{matrix} (2.5.2) & {(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s} = - κ_{1} (s) t_{s} + κ_{2} (s) {(n_{2})}_{s} \end{matrix}

T_{c (s)} S

の 3 次元部分ベクトル空間

O_{2} (s) := Span {t_{s}, {(n_{1})}_{s}, {(n_{2})}_{s}}

を

c

の

s

における第

2

接触空間という.

c

に沿う接べクトル場

s \mapsto {(n_{2})}_{s}

の共変微分

\nabla_{c^{'}} n_{2}

を

\begin{array}{r} {(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s} = \hat{α} (s) t_{s} + {\hat{β}}_{1} (s) {(n_{1})}_{s} + {\hat{β}}_{2} (s) {(n_{2})}_{s} + {(w_{3})}_{s} \\ (\hat{α} (s), {\hat{β}}_{1} (s), {\hat{β}}_{2} (s) \in R, {(w_{3})}_{s} \in O_{2} (s)^{⊥}) \end{array}

という形に分解する.

\hat{α} (s), {\hat{β}}_{1} (s), {\hat{β}}_{2} (s)

を求めると,

\begin{aligned} \hat{α} (s) & = g_{c (s)} ({(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s}, t_{s}) = - g_{c (s)} ({(n_{2})}_{s}, {(\nabla_{c^{'}} t)}_{s}) \\ = - κ_{1} (s) g_{c (s)} ({(n_{2})}_{s}, {(n_{1})}_{s}) = 0 \\ {\hat{β}}_{1} (s) & = g_{c (s)} ({(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s}, {(n_{1})}_{s}) = - g_{c (s)} ({(n_{2})}_{s}, {(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s}) \\ = - g_{c (s)} ({(n_{2})}_{s}, - κ_{1} (s) t_{s} + κ_{2} (s) {(n_{2})}_{s}) = - κ_{2} (s) \\ {\hat{β}}_{2} (s) & = g_{c (s)} ({(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s}, {(n_{2})}_{s}) = 0 \end{aligned}

となる.

κ_{3} (s) := ‖ w_{3} (s) ‖

とおく.

κ_{3} : [0, l] \to R

を

c

の第

3

曲率という.

κ_{3} (s) \neq 0 (s \in [0, l])

と仮定する.

{(n_{3})}_{s} := \frac{1}{κ_{3} (s)} {(w_{3})}_{s}

とおく.

n_{3} : [0, l] \to

T S

を，

c

の第 3 法線ベクトル場という．このとき, 上述の事実より,

{(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s}

は次のように表される：

\begin{matrix} (2.5.3) & {(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s} = - κ_{2} (s) {(n_{1})}_{s} + κ_{3} (s) {(n_{3})}_{s} \end{matrix}

T_{c (s)} S

の 4 次元部分べクトル空間

O_{3} (s) := Span {t_{s}, {(n_{1})}_{s}, {(n_{2})}_{s}, {(n_{3})}_{s}}

を

c

の

c (s)

における第

3

接触空間という. 以下, 同様のプロセスを繰り返すことにより, 順次,

κ_{4}, κ_{5}, \dots, n_{4}, n_{5}, \dots

および

O_{4} (s), O_{5} (s), \dots

が定義され,

\begin{matrix} (2.5.4) & {(\nabla_{c^{'}} n_{i})}_{s} = - κ_{i} (s) {(n_{i - 1})}_{s} + κ_{i + 1} (s) {(n_{i + 1})}_{s} (i = 3, 4, \dots) \end{matrix}

が示される.

κ_{i} (i = 4, 5, \dots)

を

c

の第

i

曲率といい,

n_{i} (i = 4, 5, \dots)

を第

i

法線ベクトル場という。また,

O_{i} (s) := Span {t_{s}, {(n_{1})}_{s}, \dots, {(n_{i})}_{s}} (i = 4, 5, \dots)

を

c

の

c (s)

における第

i

接触空間という.

κ_{i}, n_{i} (i = 1, \dots, n - 2)

が定義される場合を考える. このとき,

c

に沿う接べクトル場

s \mapsto {(n_{n - 2})}_{s}

の共変微分

{(\nabla_{c^{'}} n_{n - 2})}_{s}

は

{(\nabla_{c^{'}} n_{n - 2})}_{s} = - κ_{n - 2} (s) {(n_{n - 3})}_{s} + {(w_{n - 1})}_{s} ({(w_{n - 1})}_{s} \in O_{n - 2} (s)^{⊥})

という形に分解される. さらに,

{(w_{n - 1})}_{s} \neq 0 (s \in [0, l])

の場合を考える.

ε

を

\begin{matrix} (2.5.5) & ε := {\begin{cases} 1 & (| N_{c (s)}, t_{s}, {(n_{1})}_{s}, \dots, {(n_{n - 2})}_{s}, {(w_{n - 1})}_{s} | > 0 のとき) \\ - 1 & (| N_{c (s)}, t_{s}, {(n_{1})}_{s}, \dots, {(n_{n - 2})}_{s}, {(w_{n - 1})}_{s} | < 0 のとき) \end{cases} \end{matrix}

κ_{n - 1} (s), {(n_{n - 1})}_{s}

を各々,

\begin{aligned} κ_{n - 1} (s) & := ε ‖ {(w_{n - 1})}_{s} ‖ \\ (2.5.6) & {(n_{n - 1})}_{s} & := ε \frac{1}{‖ {(w_{n - 1})}_{s} ‖} w_{n - 1} (s) \end{aligned}

によって定義する。

κ_{n - 1} : [0, l] \to R

を

c

第

(n - 1)

曲率といい,

n_{n - 1}

[0, l] \to T S

を

c

の第

(n - 1)

法線ベクトル場という.

κ_{1}, \dots, κ_{n - 2}

は正値であるが,

κ_{n - 1}

は正値であるとは限らないことに注意する. このような曲線

c

を至る所位数

n

の

C^{r}

正則曲線

(C^{r} -

regular curve of order

n

everywhere）という．上述の定義より，次の関係式が成り立つ：

\begin{matrix} (2.5.7) & {\begin{cases} {(\nabla_{c^{'}} t)}_{s} = κ_{1} (s) {(n_{1})}_{s} \\ {(\nabla_{c^{'}} n_{1})}_{s} = - κ_{1} (s) t_{s} + κ_{2} (s) {(n_{2})}_{s} \\ {(\nabla_{c^{'}} n_{2})}_{s} = - κ_{2} (s) {(n_{1})}_{s} + κ_{3} (s) {(n_{3})}_{s} \\ ⋮ \\ {(\nabla_{c^{'}} n_{n - 2})}_{s} = - κ_{n - 2} (s) {(n_{n - 3})}_{s} + κ_{n - 1} (s) {(n_{n - 1})}_{s} \\ {(\nabla_{c^{'}} n_{n - 1})}_{s} = - κ_{n - 1} (s) {(n_{n - 2})}_{s} \end{cases} \end{matrix}

この関係式を

c

のフルネ・セレの公式（Frenet-Serret formula）といい,

(t, n_{1}, \dots, n_{n - 1})

をcのフルネ枠（Frenet frame）という.特に,

κ_{1}, \dots

κ_{n - 1}

が定数であるとき,

c

を

S

上の位数

(n - 1)

の常螺旋（helix of order

(n - 1)

S)

という.

最後に,

S

上の一般のパラメーターでパラメーター付けられた

C^{r}

正則曲線の第

i

曲率, 第

i

法線ベクトル場を定義しておく.

c : [a, b] \to S

を

C^{r}

正則曲線とし,

\hat{c} : [0, l] \to S

を

c

を弧長でパラメーター付けし直した曲線, つまり,

\hat{c} := c \circ φ^{- 1} (φ (t) := \int_{a}^{t} ‖ {\vec{c}}^{'} (t) ‖ d t)

とする.

\hat{c}

の第

i

曲率, 第

i

法線ベクトル場を

{\hat{κ}}_{i}, {\hat{n}}_{i}

とするとき,

{\hat{κ}}_{i} \circ φ (: [a, b] \to R), {\hat{n}}_{i} \circ φ (: [a, b] \to T S)

を

c

の第

i

曲率, 第

i

法線ベクトル場という.

2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式

この節の前半部では,

E^{n + 1}

内の向き付けられた

C^{\infty}

超曲面の体積要素, および、スカラー場の体積要素に関する積分を定義する。後半部では，区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{\infty}

超曲面片からなる無限次元空間上の体積汎関数を定義し，その第 1 変分公式, および第 2 変分公式を導くことにする.

(S, D)

を

(n + 1)

次元ユークリッド空間

E^{n + 1}

内の向き付けられた

C^{\infty}

超曲面とし，

D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とする. 各

λ \in Λ

に対し,

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}^{λ}, \dots, u_{n}^{λ})

とする.

T_{p} S

の基底

({(\frac{\partial}{\partial u_{1}^{λ}})}_{p}, \dots, {(\frac{\partial}{\partial u_{n}^{λ}})}_{p}) (p \in S_{λ})

の双対基底を

({(d u_{1}^{λ})}_{p}, \dots, {(d u_{n}^{λ})}_{p})

と表す. つまり,

{(d u_{i}^{λ})}_{p}

は,

{(d u_{i}^{λ})}_{p} ({(\frac{\partial}{\partial u_{j}^{λ}})}_{p}) = δ_{i j} (1 \leq i, j \leq n)

によって定義される

T_{p} S

の双対空間

T_{p}^{*} S

の元である. ここで,

{(d u_{i}^{λ})}_{p}

は,関数

u_{i}^{λ} : S_{λ} \to R

の

p

における微分とよばれる

T_{p}^{*} S_{λ} (= T_{p}^{*} S)

の元（3.4 節を参照）と一致することに注意する。

S

上の 1 次微分形式

ω_{1}, \dots, ω_{k}

に対し,

S

上の

k

次微分形式

ω_{1} \land \dots \land ω_{k}

を次式によって定義する：

\begin{array}{r} {(ω_{1} \land \dots \land ω_{k})}_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) := \frac{1}{k!} \sum_{σ \in S_{k}} sgn σ \cdot {(ω_{1})}_{p} (v_{σ (1)}) \dots {(ω_{k})}_{p} (v_{σ (k)}) \\ (p \in S_{λ}, v_{1}, \dots, v_{k} \in T_{p} S_{λ}) \end{array}

この定義から，任意の

σ \in S_{k}

に対し，

\begin{matrix} (2.6.1) & ω_{σ (1)} \land \dots \land ω_{σ (k)} = sgn σ \cdot (ω_{1} \land \dots \land ω_{k}) \end{matrix}

が成り立つことがわかる。また, 容易に,

\begin{aligned} (2.6.2) & ω_{1} \land \dots \land (a ω_{i} + b {\bar{ω}}_{i}) \land \dots \land ω_{k} \\ = a ω_{1} \land \dots \land ω_{i} \land \dots \land ω_{k} + b ω_{1} \land \dots \land {\bar{ω}}_{i} \land \dots \land ω_{k} \end{aligned}

(a, b \in R, {\bar{ω}}_{i} : 1

次微分形式）が示される. 命題 2.2 .2 によれば,

{(d u_{i_{1}}^{λ} \land \dots \land

{d u_{i_{k}}^{λ})}_{p} ∣ 1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}

は

\land^{k} (T_{p}^{*} S)

の基底を与えるので,

S

上の任意の

k (\leq n)

次微分形式

ω

は,

S_{λ}

上で,

ω = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} ω_{i_{1} \dots i_{k}} d u_{i_{1}}^{λ} \land \dots \land d u_{i_{k}}^{λ}

(ω_{i_{1} \dots i_{k}} ： S_{λ}

上の関数）という形で局所表示される. 特に,

S

上の任意の

n

次微分形式

ω

は

S_{λ}

上で,

ω = f d u_{1}^{λ} \land \dots \land d u_{n}^{λ}

（ f : S_{λ}

上の関数）という形で局所表示される.

S

の第 1 基本形式を

g

とし,

g

の局所座標

x_{λ}^{- 1}

に関する成分を

g_{i j}^{λ}

とする.

S_{λ}

上の

C^{\infty}

級の

n

次微分形式

d V_{λ}

を

d V_{λ} := \sqrt{\det (g_{i j}^{λ})} d u_{1}^{λ} \land \dots \land d u_{n}^{λ}

により定める.

S_{λ} \cap S_{μ} \neq \emptyset

のとき,

S_{λ} \cap S_{μ}

上で

d V_{λ} = d V_{μ}

が成り立つことが次のように示される。まず, 式 (2.1.1)によれば,

\begin{matrix} (2.6.3) & g_{i j}^{μ} = \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{n} g_{a b}^{λ} (\frac{\partial (u_{a}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{i}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1}) (\frac{\partial (u_{b}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{j}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1}) \end{matrix}

が成り立つ. これを行列表示すると,

(g_{i j}^{μ}) =^{t} (\frac{\partial (u_{i}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{j}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1}) (g_{i j}^{λ}) (\frac{\partial (u_{i}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{j}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1})

となり, それゆえ,

\begin{matrix} (2.6.4) & \det (g_{i j}^{μ}) = \det {(\frac{\partial (u_{i}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{j}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1})}^{2} \det (g_{i j}^{λ}) \end{matrix}

が示される. 一方,

S

は向き付けられた

C^{\infty}

超曲面なので,

\det (\frac{\partial (u_{i}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{j}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1}) = \det (J (x_{λ} \circ x_{μ}^{- 1})) > 0

となる. これらの事実から,

\begin{matrix} (2.6.5) & \sqrt{\det (g_{i j}^{μ})} = \det (\frac{\partial (u_{i}^{λ} \circ x_{μ})}{\partial u_{j}^{μ}} \circ x_{μ}^{- 1}) \sqrt{\det (g_{i j}^{λ})} \end{matrix}

が導かれる. 一方, 式 (2.1.1) から,

\begin{matrix} (2.6.6) & d u_{i}^{μ} = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial (u_{i}^{μ} \circ x_{λ})}{\partial u_{j}^{λ}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{j}^{λ} \end{matrix}

が導かれ, さらに

ω_{∙} = d u_{∙}^{λ}

として, 式 (2.6.1) と式 (2.6.2) を用いることにより,

\begin{matrix} (2.6.7) & d u_{1}^{μ} \land \dots \land d u_{n}^{μ} = \det (\frac{\partial (u_{i}^{μ} \circ x_{λ})}{\partial u_{j}^{λ}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{1}^{λ} \land \dots \land d u_{n}^{λ} \end{matrix}

が示される。式 (2.6.5) と式 (2.6.7) から,

S_{λ} \cap S_{μ}

上で

d V_{λ} = d V_{μ}

が成り立つことが示される。それゆえ,

d V_{λ} (λ \in Λ)

を貼り合わせて

S

上の

C^{\infty}

級の

n

次微分形式をえる。この

C^{\infty}

級の

n

次微分形式を

d V_{g}

と表し,

S

の体積要素（volume element）という. 特に,

n = 2

のとき,

d V_{g}

は

d A_{g}

と表され,

S

の面積要素（area element）とよばれる。

S

上のコンパクトな台をもつ連続関数

f

の体積要素

d V_{g}

に関する積分

\int_{S} f d V_{g}

を定義しよう. ここで,

f

がコンパクトな台をもつとは,

f

の台

supp f := \overset{―}{{p \in S ∣ f (p) \neq 0}}

を

S

の開被覆

{{\overset{\circ}{S}}_{λ} ∣ λ \in Λ}

に従属する1の分割とする（1 の分割の定義については 3.1 節を参照). ここで,

{\overset{\circ}{S}}_{λ}

は

S_{λ}

の内部を表す. 1 の分割の定義から,各

μ \in M

に対し,

supp ρ_{μ} \subset {\dot{S}}_{λ (μ)}

となる

λ (μ) \in Λ

が存在する. このような族

{λ (μ)}_{μ \in M}

を 1 つ固定しておく.

x_{λ}

の定義域を

D_{λ}

とする.

f

の体積要素

d V_{g}

に関する積分

\int_{S} f d V_{g}

を

\begin{aligned} \int_{S} f d V_{g} := \sum_{μ \in M} \int \dots \int_{D_{λ (μ)}} & (ρ_{μ} \circ x_{λ (μ)}) \cdot (f \circ x_{λ (μ)}) \\ \times \sqrt{\det (g_{i j}^{λ (μ)} \circ x_{λ (μ)})} d u_{1} \dots d u_{n} \end{aligned}

によって定義する.

\int_{S} f d V_{g}

はwell-defined, つまり, 1 の分割

{ρ_{μ} ∣ μ \in M}

のとり方によらずに定まる. 特に,

S

が

C^{\infty}

閉超曲面の場合, 恒等的に 1 の値をとる定値関数を

f

としてとることができ,

\int_{S} 1 d V_{g}

を定義することができる。この積分値を

S

の超曲面積（hypersurface area），または体積（volume）といい,

Vol (S)

と表す.

S

が一般の

C^{\infty}

超曲面の場合に戻ろう.

supp f

がコンパクトとは限らない一般の場合を考える。

S

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ有界閉領域

S^{'}

に対し，

f

の

S^{'}

上での体積要素

d V_{g}

に関する積分

\int_{S^{'}} f d V_{g}

を

\begin{aligned} \int_{S^{'}} f d V_{g} := \sum_{μ \in M} \int \dots \int_{x_{λ (μ)}^{- 1} (S^{'})} & (ρ_{μ} \circ x_{λ (μ)}) \cdot (f \circ x_{λ (μ)}) \\ \times \sqrt{\det (g_{i j}^{λ (μ)} \circ x_{λ (μ)})} d u_{1} \dots d u_{n} \end{aligned}

によって定義することができる（有限確定する）。特に,

\int_{S^{'}} 1 d A

を

S^{'}

の超曲面積, または体積といい,

Vol (S^{'})

と表す.

D

を

R^{n}

の区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ有界閉領域とし,

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

を,

D

を定義域とする

E^{n + 1}

内の区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ

C^{\infty}

正則局所超曲面（つまり，

D

を含むある領域から

E^{n + 1}

への

C^{\infty}

はめ込みの

D

への制限）全体のなす空間とする。この空間には，無限次元フレシェ多様体とよばれる微分構造が入ることを注意しておく.

x : D \to E^{n + 1}

を

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

の元とし、

\tilde{x} : \tilde{D} \to E^{n + 1}

を

D

を含むある領域

\tilde{D}

から

E^{n + 1} へ

の

C^{\infty}

はめ込みで,

{\tilde{x} |}_{D} = x

となるようなものとする.このとき,

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

上の汎
関数

Vol

を, 各

x \in {Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

に対し,

Vol (x (D))

を対応させる対応として定義する．この汎関数を体積汎関数（volume functional）という。特に

n = 2

の場合は, この汎関数は面積汎関数（area functional）とよばれ，通常は

A

と表される。

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

における

C^{\infty}

変形を定義しよう.

x \in {Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

を固定する.

S = x (D)

とおく.

ε

を正の数とし,

δ

を

D \times (- ε, ε)

から

E^{n + 1} へ

の

C^{\infty}

写像, つまり,

\vec{δ} (u_{1}, \dots, u_{n}, t) = \vec{o δ (u_{1}, \dots, u_{n}, t)} ((u_{1}, \dots, u_{n}, t) \in D \times (- ε, ε))

によって定義される

D \times (- ε, ε)

上のべクトル値関数

\vec{δ}

が

C^{\infty}

級であるようなものとする.

δ

が次の 2 条件を満たしているとする：

(i)

δ (u_{1}, \dots, u_{n}, 0) = x (u_{1}, \dots, u_{n}) ((u_{1}, \dots, u_{n}) \in D)

;

(ii) 各

t \in (- ε, ε)

に対し,

x_{t} (u_{1}, \dots, u_{n}) := δ (u_{1}, \dots, u_{n}, t)

によって定義される

x_{t} : D \to E^{n + 1}

は, 区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ

C^{\infty}

正則局所超曲面になる.

このとき,

(

または

{x_{t}}_{t \in (- ε, ε)})

を

x

Imm

{Im}^{\infty} (D, E^{n + 1})

にける

C^{\infty}

変形

(C^{\infty}

-deformation）という。以下,

δ = {x_{t}}_{t \in (ε, ε)}

と表すことにする。

x

の

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

における

C^{\infty}

変形

δ

に対し,

V_{(u_{1}, \dots, u_{n})} := {(\frac{\partial \vec{δ}}{\partial t})}_{(u_{1}, \dots, u_{n}, 0)} ((u_{1}, \dots, u_{n}) \in D)

によって定まる

D

上のべクトル値関数

V

を,

C^{\infty}

変形

δ

の変分ベクトル場という.特に

{x_{t} |}_{\partial D} = {x |}_{\partial D} (t \in (- ε, ε))

のとき,

δ

を境界固定の

C^{\infty}

変形 (boundary fixed

C^{\infty}

-deformation) という. また,

V_{(u_{1}, \dots, u_{n})} \in T_{x (u_{1}, \dots, u_{n})}^{⊥} S

が成り立つとき,

δ

を

x

の

C^{\infty}

法変形

(C^{\infty} -

normal deformation) という.

以下, この節では

r \geq 2

とする。体積汎関数

Vol : {Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1}) \to R

に対し, 次の第 1 変分公式が成り立つ.

定理 2.6.1（第 1 変分公式）

x

の

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

における任意の

C^{\infty}

変
形

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

\begin{matrix} (2.6.8) & {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) = \int_{S} ({div}_{g} V_{T} - n H \cdot V) d V_{g} \end{matrix}

が成り立つ. ここで,

S

は

x (D)

を表し,

N, H, d V_{g}

は,

S = x (D)

の単位法ベクトル場, 平均曲率ベクトル場, 体積要素を表す.

証明

S_{t} := x_{t} (D)

の第 1 基本形式を

g_{t}

とし，その座標

x_{t}^{- 1} = (u_{1}, \dots

u_{n})

に関する成分を

{(g_{t})}_{i j}

とし, 行列

(g_{. .})

の逆行列を

(g^{\circ})

と表す. また, 行列

(g .

) の 第 (i, j)

余因子を

G_{i j}

と表すことにする. 以下の計算過程において, “○

x_{t}

", および “○

x "

を略すことにする. このとき, 行列式の展開と逆行列を求める公式により,

\begin{aligned} {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (S_{t}) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} \int \dots \int_{D} \sqrt{\det ({(g_{t})}_{i j})} d u_{1} \dots d u_{n} \\ = & \int \dots \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\det (g .)}} \sum_{j = 1}^{n} | \begin{array}{ccc} g_{11} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{1 j}}{d t} |}_{t = 0} \\ \dots & ⋮ & g_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ g_{n 1} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{n j}}{d t} |}_{t = 0} \\ \dots & g_{n n} \end{array} | d u_{1} \dots d u_{n} \\ = & {\int \dots \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\det (g . .)}} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} G_{i j} d u_{1} \dots d u_{n} \\ (2.6.9) & = & {\int \dots \int_{D} \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} g^{i j} \sqrt{\det (g . .)} d u_{1} \dots d u_{n} \end{aligned}

が示される。一方,

\begin{aligned} {\frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} = & {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\frac{\partial x_{t}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial x_{t}}{\partial u_{j}}) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\frac{\partial δ}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial δ}{\partial u_{j}}) \\ = & \frac{\partial V}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_{j}} + \frac{\partial x}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial V}{\partial u_{j}} \\ = & \frac{\partial V_{T}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_{j}} + \frac{\partial x}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial V_{T}}{\partial u_{j}} + \frac{\partial V_{⊥}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_{j}} + \frac{\partial x}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial V_{⊥}}{\partial u_{j}} \\ = & g (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} V_{T}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}) + g (\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} V_{T}) \\ - (V^{2} \cdot N) (g (A (\frac{\partial}{\partial u_{i}}), \frac{\partial}{\partial u_{j}}) + g (\frac{\partial}{\partial u_{i}}, A (\frac{\partial}{\partial u_{j}}))) \end{aligned}

それゆえ。

\begin{matrix} (2.6.10) & {\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} g^{i j} = 2 ({div}_{g} V_{T} - n H \cdot V) \end{matrix}

をえる。式 (2.6.10) を式 (2.6.9) に代入して, 求めるべき変分公式が導かれる.

E^{n + 1}

内の区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ

C^{\infty}

超曲面片

S = x (D)

を有界閉領域として含む

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面

\tilde{S} := \tilde{x} (\tilde{D})

をとり,

S

の境界

\partial S

(これは

\tilde{S}

内の区分的に

C^{\infty}

級の超曲面）の外側向きの単位法ベクトル場を

\bar{N}

とする（図 2.6 .1 を参照）. このとき, 3.12 節で述べるリーマン多様体上のべクトル場に対するガウスの発散定理（定理 3.12.1）によれば,

図 2.6.1

\partial S

の外側向き単位法ベクトル場

\begin{matrix} (2.6.11) & \int_{S} {div}_{g} V_{T} d V_{g} = \int_{\partial S} g (V_{T}, \overset{―}{N}) d V_{ι^{*} g} \end{matrix}

が成り立つ. ここでしは,

\partial S

から

\tilde{S}

への包含写像を表し,

ι^{*} g

は

g

からによって誘導されるリーマン計量を表す.

式 (2.6.11) から,

{V_{T} |}_{\partial S} = 0

のとき,

\int_{S} {div}_{g} V_{T} d V_{g} = 0

が成り立つことがわかる. それゆえ, 定理 2.6.1 から次の事実が導かれる。

系 2.6.2

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

x

の

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

における境界固定の

C^{\infty}

変形，または

C^{\infty}

法変形とする. このとき,

\begin{matrix} (2.6.12) & {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) = - n \int_{S} H \cdot V d V_{g} \end{matrix}

が成り立つ. ここで

S

は

x (D)

を表し,

H, d V_{g}

は,

S = x (D)

の平均曲率べ

クトル場, 体積要素を表す.

H = 0

であるとき,

x

, または

S := x (D)

は極小（minimal）であるという。

系 2.6 .2 から次の事実が導かれる。

定理 2.6.3

x \in {Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

とする. このとき，次の３つの主張は同値である：

(i)

x

の任意の境界固定の

C^{\infty}

変形

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) = 0

が成り立つ；

(ii)

x

の任意の

C^{\infty}

法変形

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) = 0

が成り立つ；

(iii)

x

は極小である.

証明

(iii)

\Rightarrow

(i), および (iii)

\Rightarrow

(ii) は, 系 2.6 .2 における変分公式から直接導かれる。（i)

\Rightarrow

(iii)を示そう.

S := x (D)

とおく.

ρ

を

{ρ |}_{\partial S} = 0, {ρ |}_{S ∖ \partial S} >

0 を満たす

S

上の

C^{\infty}

級関数とし,

C^{\infty}

変形

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

\begin{array}{r} \vec{δ} (u_{1}, \dots, u_{n}, t) := \vec{x} (u_{1}, \dots, u_{n}) + t ρ (u_{1}, \dots, u_{n}) H_{(u_{1}, \dots, u_{n})} \\ ((u_{1}, \dots, u_{n}, t) \in D \times (- ε, ε)) \end{array}

によって定義する.

S_{t} := x_{t} (D)

とおく. 明らかに,

δ

は

x

の境界固定の

C^{\infty}

変形になる．それゆえ，（i）を仮定しているので，

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (S_{t}) = 0

となる.一方,

δ

の変分ベクトル場

V_{(u_{1}, \dots, u_{n})}

が

V_{(u_{1}, \dots, u_{n})} = ρ (u_{1}, \dots, u_{n}) H_{(u_{1}, \dots, u_{n})}

によって与えられるので, 系 2.6 .2 における変分公式より,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (S_{t}) = - n \int_{S} ρ ‖ H ‖^{2} d V_{g}

が示される. したがって,

\int_{S} ρ ‖ H ‖^{2} d V_{g} = 0

が示され,

ρ

の任意性から

H

= 0

が導かれる. この

C^{\infty}

変形

δ

は,

C^{\infty}

法変形でもあるので, 同様の議論により (ii)

\Rightarrow

(iii) も示される.

問 2.6.1

D

を原点を中心とする半径

\frac{1}{\sqrt{2}}

の閉円板とする：

(D := {(u_{1}, u_{2}) \in R^{2} | u_{1}^{2} + u_{2}^{2} \leq \frac{1}{2}})

C^{\infty}

級の境界をもつ

C^{\infty}

正則局所曲面

x : D \to E^{3}

を

x (u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, u_{2}, \sqrt{1 - u_{1}^{2} - u_{2}^{2}})

によって定義し, その境界固定の

C^{\infty}

変形

{x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

x_{t} (u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, u_{2}, (1 - t) \sqrt{1 - u_{1}^{2} - u_{2}^{2}} + \frac{t}{\sqrt{2}})

によって定義する. 次の各問いに答えよ.

(i)

x

の単位法ベクトル場

N

と平均曲率

H

を求めよ.

(ii)

C^{\infty}

変形

{x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

の変分ベクトル場を求めよ. (iii) (i), (ii) の結果から, 第 1 変分公式（系

2.6 .2 ）

を用いて,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D))

の値が負になることを示せ.

(iv)

x_{t}

の第 1 基本形式

g_{t}

の成分

{(g_{t})}_{i j}

を求めよ.

(v)

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D))

を計算せよ.

以下, この節では

r \geq 3

とする. Vol に対して, 次の第 2 変分公式が成り立 כ.

定理 2.6.4（Vol の第 2 変分公式）区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{\infty}

超曲面

x : D \to E^{n + 1}

が極小であるとする.このとき,

x

の

{Imm}^{\infty} (D, E^{n + 1})

における任意の境界固定の

C^{\infty}

変形

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し, 次の積分公式が成り立つ：

\begin{aligned} {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) = & \int_{S} (- {({div}_{g} V_{T})}^{2} + {‖ A (V_{T}) ‖}^{2} - {‖ \nabla V_{T} ‖}^{2} \\ + 2 (V \cdot N) Tr (A \circ \nabla V_{T}) + 2 {grad}_{g} (V \cdot N) \cdot A (V_{T}) \\ (2.6.13) & - (V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2} + {‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}) d V_{g} \end{aligned}

ここで,

x_{t}, N, d V_{g}

は, 定理 2.6.1 で述べた量を表し,

A

は

S = x (D)

の形
作用素を表す。また,

‖ A ‖^{2}, {‖ \nabla V_{T} ‖}^{2}

は各々,

Tr (A^{2}), Tr ({(\nabla V_{T})}^{2})

を表し,

{grad}_{g} (V \cdot N)

は, スカラー場

V \cdot N

の

g

に関する勾配べクトル場, つまり,

v (V \cdot N) = g_{p} ({grad}_{g} (V \cdot N), v) (p \in S, v \in T_{p} S)

によって定義される

S

上の接ベクトル場を表す.

証明この証明において,

n

重積分

\int \dots \int_{D} (∙) d u_{1} \dots d u_{n}

を

\int_{D} (∙) d u_{1} \dots

d u_{n}

と表すことにし，“○

x ”

, およ゙ “○

x_{t} ”

を略すことにする。微分と重積分の順序交換可能性を用いて,

\begin{aligned} {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\det ((g_{t}) . .})} \\ \times \sum_{j = 1}^{n} | \begin{array}{ccccc} {(g_{t})}_{11} & \dots & \frac{d {(g_{t})}_{1 j}}{d t} & \dots & {(g_{t})}_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {(g_{t})}_{n 1} & \dots & \frac{d {(g_{t})}_{n j}}{d t} & \dots & {(g_{t})}_{n n} \end{array} | d u_{1} \dots d u_{n} \\ = - \frac{1}{4} \int_{D} \frac{1}{(\sqrt{\det (g . .)})^{3}} \\ \times {(\sum_{j = 1}^{n} | \begin{array}{ccccc} g_{11} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{1 j}}{d t} |}_{t = 0} & \dots & g_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ g_{n 1} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{n j}}{d t} |}_{t = 0} & \dots & g_{n n} \end{array} |)}^{2} d u_{1} \dots d u_{n} \\ + \int_{D} \frac{1}{\sqrt{\det (g . .)}} \end{aligned}

が示される. この式の右辺の第 1 項目の積分は, 定理 2.6.1 の証明中で示した式 (2.6.10) と

x = x_{0}

が極小であることを用いて, 次のように計算される：

（式 (2.6.14) の右辺の第 1 項目）

\begin{aligned} = - \int_{D} \frac{1}{4 (\sqrt{\det (g . .)})^{3}} {({\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{k j}}{d t} |}_{t = 0} g^{k j} \det (g . .))}^{2} d u_{1} \dots d u_{n} \\ = - \frac{1}{4} \int_{S} {({\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{k j}}{d t} |}_{t = 0} g^{k j})}^{2} d V_{g} \\ (2.6.15) & = - \int_{S} {({div}_{g} V_{T} - n H \cdot V)}^{2} d V_{g} = - \int_{S} {({div}_{g} V_{T})}^{2} d V_{g} \end{aligned}

次に, 式 (2.6.14)の右辺の第 3 項目の積分を計算しよう. まず，単純計算により、

\begin{aligned} {\frac{d^{2} {(g_{t})}_{i j}}{d t^{2}} |}_{t = 0} = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} (\frac{\partial x_{t}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial x_{t}}{\partial u_{j}}) = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} (\frac{\partial δ}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial δ}{\partial u_{j}}) \\ = & \frac{\partial}{\partial u_{i}} ({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0}) \cdot \frac{\partial δ}{\partial u_{j}} + 2 \frac{\partial V}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial V}{\partial u_{j}} + \frac{\partial δ}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}} ({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0}) \\ = & \frac{\partial}{\partial u_{i}} ({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0}) \cdot \frac{\partial δ}{\partial u_{j}} + \frac{\partial δ}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}} ({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0}) \\ + 2 (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} V_{T} - (V \cdot N) A (\frac{\partial}{\partial u_{i}})) \cdot (\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} V_{T} - (V \cdot N) A (\frac{\partial}{\partial u_{j}})) \\ (2.6.16) & + 2 (A (V_{T}) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{i}} + \frac{\partial (V \cdot N)}{\partial u_{i}}) (A (V_{T}) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}} + \frac{\partial (V \cdot N)}{\partial u_{j}}) \end{aligned}

が示される. この式と

x

が極小であること，および

δ

が境界固定の

C^{\infty}

変形であることを用いて, 式 (2.6.14) の第 3 項目の積分は, 次のように計算される：

（式 (2.6.14)の右辺の第 3 項目）

\begin{aligned} = {\int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\det (g . .)}} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d^{2} {(g_{t})}_{k j}}{d t^{2}} |}_{t = 0} g^{k j} \det (g . .) d u_{1} \dots d u_{n} \\ = {\frac{1}{2} \int_{S} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{d^{2} {(g_{t})}_{k j}}{d t^{2}} |}_{t = 0} g^{k j} d V_{g} \\ = \int_{S} ({‖ \nabla V_{T} ‖}^{2} - 2 (V \cdot N) Tr (A \circ \nabla V_{T}) + {‖ A (V_{T}) ‖}^{2}) d V_{g} \\ + \int_{S} ((V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2} + 2 {grad}_{g} (V \cdot N) \cdot A (V_{T}) + {‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}) d V_{g} \\ + \int_{S} {div}_{g} ({({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0}) |}_{T}) d V_{g} - {\int_{S} H \cdot \frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0} d V_{g} \\ \int_{S} ({‖ \nabla V_{T} ‖}^{2} - 2 (V \cdot N) Tr (A \circ \nabla V_{T}) + {‖ A (V_{T}) ‖}^{2}) d V_{g} \\ (2.6.17) & + \int_{S} ((V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2} + 2 {grad}_{g} (V \cdot N) \cdot A (V_{T}) + {‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}) d V_{g} \end{aligned}

ここで, 最後の等号は,

x

の極小性, および

δ

が境界固定の

C^{\infty}

変形であることから, 式 (2.6.11)を用いて,

\int_{S} {div}_{g} ({({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0})}_{T}) d V_{g} = {\int_{\partial S} ({\frac{\partial^{2} δ}{\partial t^{2}} |}_{t = 0}) |}_{T} \cdot \overset{―}{N} = 0

が示されることにより成立することを注意しておく.

次に, 式 (2.6.14)の右辺の第 2 項目の積分を計算しよう. まず, 式 (2.6.10) を用いて,

\begin{aligned} \sum_{1 \leq j_{1} < j_{2} \leq n} | \begin{array}{ccccccc} g_{11} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{1 j_{1}}}{d t} |}_{t = 0} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{1 j_{2}}}{d t} |}_{t = 0} & \dots & g_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ g_{n 1} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{n j_{1}}}{d t} |}_{t = 0} & \dots & {\frac{d {(g_{t})}_{n j_{2}}}{d t} |}_{t = 0} & \dots & g_{n n} \end{array} | \\ = - \frac{1}{2} \sum_{j_{1} = 1}^{n} \sum_{j_{2} = 1}^{n} \sum_{k_{1} = 1}^{n} \sum_{k_{2} = 1}^{n} ({\frac{d {(g_{t})}_{k_{1} j_{1}}}{d t} |}_{t = 0}) ({\frac{d {(g_{t})}_{k_{2} j_{2}}}{d t} |}_{t = 0}) g^{k_{1} k_{2}} g^{j_{1} j_{2}} \det (g . .) \end{aligned}

\begin{matrix} (2.6.18) & = - 2 ({‖ \nabla V_{T} ‖}^{2} + (V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2} - 2 (V \cdot N) Tr (A \circ \nabla V_{T})) \det (g . .) \end{matrix}

をえる。それゆえ, 式 (2.6.14)の右辺の第 2 項目の積分は, 次のように計算される：

（式 (2.6.14) の右辺の第 2 項目）

\begin{matrix} (2.6.19) & = - 2 \int_{S} ({‖ \nabla V_{T} ‖}^{2} + (V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2} - 2 (V \cdot N) Tr (A \circ \nabla V_{T})) d V_{g} \end{matrix}

式 (2.6.15), (2.6.17), (2.6.19) を式 (2.6.14) に代入して, 求めるべき変分公式 (2.6.13)をえる.

さらに,

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

が法変形の場合に, 次の事実が導かれる.

系 2.6.5

x : D \to E^{n + 1}

が極小であるとする.このとき,

x

の

{Imm}^{r} (D

E^{n + 1})

における任意の境界固定の

C^{\infty}

法変形

δ = {x_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し，次の積分公式が成り立つ:

\begin{matrix} (2.6.20) & {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (x_{t} (D)) = \int_{S} (- (V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2} + {‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}) d V_{g} \end{matrix}

注意 4.7 節において, 法ベクトル場

ξ

の法接続

\nabla^{⊥}

に関するラプラシアン（略して, 法ラプラシアン)

Δ^{⊥} ξ

が定義される。式 (2.6.20) の右辺の被積分関数の第 2 項目の

{‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}

は, 法ラプラシアンを用いて,

{‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2} = - (Δ^{⊥} V) \cdot V - \frac{1}{2} Δ_{g} ((V \cdot N)^{2})

(Δ_{g} ((V \cdot N)^{2})

は関数

(V \cdot N)^{2}

の

g

に関する通常のラプラシアンを表す）と表され，それゆえ，

\begin{aligned} \int_{S} {‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}) d V_{g} \\ = & - \int_{S} (Δ^{⊥} V) \cdot V d V_{g} - \frac{1}{2} \int_{S} Δ_{g} ((V \cdot N)^{2}) d V_{g} \\ = & - \int_{S} (Δ^{⊥} V) \cdot V d V_{g} - \frac{1}{2} \int_{S} {div}_{g} ({grad}_{g} ((V \cdot N)^{2})) d V_{g} \end{aligned}

\begin{aligned} = - \int_{S} (Δ^{⊥} V) \cdot V d V_{g} - \frac{1}{2} \int_{\partial S} g ({grad}_{g} ((V \cdot N)^{2}), \overset{―}{N}) d V_{ι^{*} g} \\ = - \int_{S} (Δ^{⊥} V) \cdot V d V_{g} \end{aligned}

が成り立つ. ここで,

\overset{―}{N}, d V_{ι^{*} g}

は式 (2.6.11)のところで述べた量である.

2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理

1.11 節で,

E^{3}

上のベクトル場の回転の（超）曲面片に沿う面積分に関するストークスの定理を述べた。この節では，曲面上の１次微分形式の外微分に対するストークスの定理を証明し，この定理が，1.11 節で述べたストークスの定理を特別な場合として含むことを説明する.

C^{\infty}

曲面

(S, D)

上の区分的に

C^{r}

級の曲線に沿う

C^{r}

級の 1 次微分形式の積分を定義しよう.

c : [a, b] \to S

を

S

上の区分的に

C^{r}

級の曲線とし,

a =

t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k - 1} < t_{k} = b

を

{c |}_{[t_{i - 1}, t_{i}]} (i = 1, \dots, k)

が

C^{r}

曲線であるような

[a, b]

の分割とする。このとき,

S

上の

C^{r}

級の 1 次微分形式

ω

に対し,

ω

の

c

に沿う積分

\int_{c} ω

が

\int_{c} ω := \sum_{i = 1}^{k} \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} ω_{c (t)} ({\vec{c}}^{'} (t)) d t

によって定義される。

次に,

C^{\infty}

曲面

(S, D)

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ有界閉領域上の

C^{r}

級の 2 次微分形式の積分を定義しよう。

D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とする。

S^{'}

を

S

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ有界閉領域とし，

S^{'} = \cup_{i = 1}^{k} S_{i}^{'}

を

S^{'}

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつ有界閉領域からなる分割で, 各

i \in {1, \dots, k}

に対し,

S_{i}^{'} \subset S_{λ_{i}}

となる

λ_{i} \in Λ

が存在するようなものとする。

x_{λ_{i}}^{- 1} = (u_{1}^{i}, u_{2}^{i})

ω = f_{i} d u_{1}^{i} \land d u_{2}^{i}

とし,

S_{i}^{'} = x_{λ_{i}} (E_{i})

とする. このとき,

S

上の

C^{r}

級の 2 次微分形式

ω

に対し,

\int_{S^{'}} ω

を

\int_{S^{'}} ω := \sum_{i = 1}^{k} \iint_{E_{i}} (f_{i} \circ x_{λ_{i}}) d u_{1} d u_{2}

によって定義する.
次に,

C^{\infty}

曲面

(S, D)

上の

C^{r}

級の 1 次微分形式

ω

の外微分

d ω

を定義しよう.

D = {(S_{λ}, x_{λ}^{- 1}) ∣ λ \in Λ}

とする.

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

とするとき,

S_{λ}

上で

ω

は

ω = f_{1} d u_{1} + f_{2} d u_{2} (f_{1}, f_{2} : S_{λ}

上の

C^{r}

級関数）と表される。

S_{λ}

上の

C^{r - 1}

級の 2 次微分形式

d ω_{λ}

を

d ω_{λ} := (- (\frac{\partial (f_{1} \circ x_{λ})}{\partial u_{2}} \circ x_{λ}^{- 1}) + (\frac{\partial (f_{2} \circ x_{λ})}{\partial u_{1}} \circ x_{λ}^{- 1})) d u_{1} \land d u_{2}

により定義する。

S_{λ} \cap S_{μ} \neq \emptyset

とする。

S_{μ}

上でも同様に,

S_{μ}

上の

C^{r - 1}

級の 2 次微分形式

d ω_{μ}

を定義する.

S_{λ} \cap S_{μ}

上で

d ω_{λ} = d ω_{μ}

が成り立つことを示そう.

x_{λ}^{- 1} = ({\bar{u}}_{1}, {\bar{u}}_{2})

とし,

ω = {\bar{f}}_{1} d {\bar{u}}_{1} + {\bar{f}}_{2} d {\bar{u}}_{2} ({\bar{f}}_{1}, {\bar{f}}_{2} : S_{μ}

上の

C^{r}

級関数)として,

d ω_{μ}

は

d ω_{μ} := (- (\frac{\partial ({\bar{f}}_{1} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{2}} \circ x_{μ}^{- 1}) + (\frac{\partial ({\bar{f}}_{2} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{1}} \circ x_{μ}^{- 1})) d {\bar{u}}_{1} \land d {\bar{u}}_{2}

により定義される。

(d u_{1}, d u_{2})

と

(d {\bar{u}}_{1}, d {\bar{u}}_{2})

の間に, 次の関係式が成り立つ：

d {\bar{u}}_{i} = \sum_{j = 1}^{2} (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{j}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{j} (i = 1, 2)

この関係式から,

\begin{matrix} (2.7.1) & d {\bar{u}}_{1} \land d {\bar{u}}_{2} = \det (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{j}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{1} \land d u_{2} \\ (2.7.2) & ω = \sum_{i = 1}^{2} {\bar{f}}_{i} d {\bar{u}}_{i} = \sum_{j = 1}^{2} (\sum_{i = 1}^{2} {\bar{f}}_{i} (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{j}} \circ x_{λ}^{- 1})) d u_{j} \end{matrix}

が導かれる。式 (2.7.2) から,

\begin{matrix} (2.7.3) & f_{j} = \sum_{i = 1}^{2} {\bar{f}}_{i} (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{j}} \circ x_{λ}^{- 1}) \end{matrix}

をえる. さらに, 式 (2.7.1), (2.7.3) から,

\begin{aligned} d ω_{λ} = - (\sum_{i = 1}^{2} (\frac{\partial}{\partial u_{2}} (({\bar{f}}_{i} \circ x_{λ}) \frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{1}}) \circ x_{λ}^{- 1})) d u_{1} \land d u_{2} \\ + (\sum_{i = 1}^{2} (\frac{\partial}{\partial u_{1}} (({\bar{f}}_{i} \circ x_{λ}) \frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{2}}) \circ x_{λ}^{- 1})) d u_{1} \land d u_{2} \\ = - \sum_{i = 1}^{2} (\frac{\partial ({\bar{f}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{2}} \circ x_{λ}^{- 1}) (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{1}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{1} \land d u_{2} \\ + \sum_{i = 1}^{2} (\frac{\partial ({\bar{f}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{1}} \circ x_{λ}^{- 1}) (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{2}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{1} \land d u_{2} \\ = - \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} (\frac{\partial ({\bar{f}}_{i} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{j}} \circ x_{μ}^{- 1}) (\frac{\partial ({\bar{u}}_{j} \circ x_{λ})}{\partial u_{2}} \circ x_{λ}^{- 1}) \\ \times (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{1}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{1} \land d u_{2} \\ + \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} (\frac{\partial ({\bar{f}}_{i} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{j}} \circ x_{μ}^{- 1}) (\frac{\partial ({\bar{u}}_{j} \circ x_{λ})}{\partial u_{1}} \circ x_{λ}^{- 1}) \\ \times (\frac{\partial ({\bar{u}}_{i} \circ x_{λ})}{\partial u_{2}} \circ x_{λ}^{- 1}) d u_{1} \land d u_{2} \\ = (- (\frac{\partial ({\bar{f}}_{1} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{2}} \circ x_{μ}^{- 1}) + (\frac{\partial ({\bar{f}}_{2} \circ x_{μ})}{\partial {\bar{u}}_{1}} \circ x_{μ}^{- 1})) d {\bar{u}}_{1} \land d {\bar{u}}_{2} \\ = d ω_{μ} \end{aligned}

したがって,

d ω_{λ} (λ \in Λ)

らを貼り合わせて,

S

上の

C^{r - 1}

級の 2 次微分形式がえられる。この

S

上の

C^{r - 1}

級の 2 次微分形式を

d ω

と表し,

ω

の外微分 (exterior derivative) とよぶ.

C^{\infty}

曲面上の

C^{r}

級の 1 次微分形式に対し, 次のストークスの定理が成り立つ.

定理 2.7.1 (曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理）

ω

を

C^{\infty}

曲面

(S, D)

上の

C^{r}

級の 1 次微分形式とし，

S^{'}

を区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

S

の有界閉領域とする. また,

c : [a, b] \to S

を

S^{'}

の境界

\partial S^{'}

を与える

S

上の区分的に

C^{r}

級の単純閉曲線で,

S_{λ} \cap c ([a, b]) \neq \emptyset

となるような各

λ \in Λ

に対し,

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

として,

{(d u_{1} \land d u_{2})}_{c (t)} ({\overset{―}{N}}_{c (t)}, {\vec{c}}^{'} (t)) > 0

となるようなものとする. ここで

\overset{―}{N}

は,

c ([a, b])

の

S

における単位法ベクトル場で

S^{'}

からみて外側向きのものを表す. このとき, 次式が成り立つ：

\begin{matrix} (2.7.4) & \int_{S^{'}} d ω = \int_{c} ω \end{matrix}

証明簡単のため,

S^{'}

がある

S_{λ}

に含まれる場合を考える。

x_{λ}^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

とし,

E := x_{λ}^{- 1} (S^{'})

とおく.

S^{'}

を,いくつかの

[0, 1] \times [0, 1]

を定義域とする区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{\infty}

超曲面片

S_{α}^{'} = {\hat{x}}_{α} ([0, 1] \times [0, 1]) (α =

1, \dots, l)

たちに分割する. ただし，

{\hat{x}}_{α}

は

J (x_{λ}^{- 1} \circ {\hat{x}}_{α}) > 0

となるようにとる.

C^{r}

曲線

c_{j}^{α} : [0, 1] \to E^{3} (j = 1, \dots, 4)

を

\begin{array}{lll} c_{1}^{α} (u_{1}) := {\hat{x}}_{α} (u_{1}, 0), & c_{3}^{α} (u_{1}) := {\hat{x}}_{α} (1 - u_{1}, 1) & (0 \leq u_{1} \leq 1) \\ c_{2}^{α} (u_{2}) := {\hat{x}}_{α} (1, u_{2}), & c_{4}^{α} (u_{2}) := {\hat{x}}_{α} (0, 1 - u_{2}) & (0 \leq u_{2} \leq 1) \end{array}

によって定義する.

c_{1}^{α} \sim c_{4}^{α}

を順に結んでできる区分的に滑らかな閉曲線を

c_{α}

と表す. このとき、明らかに

c_{α}

は

\partial S_{α}^{'}

を与える単純閉曲線で,

x_{λ}^{- 1} \circ c_{α}

が反時計回りに進むようなものである。最初に, 各

α \in {1, \dots, l}

に対し,

\begin{matrix} (2.7.5) & \int_{S_{α}^{'}} d ω = \int_{c_{α}} ω \end{matrix}

が成り立つことを示す.

{\hat{x}}_{α}^{- 1} = (u_{1}^{α}, u_{2}^{α})

とし，

ω = \sum_{i = 1}^{2} f_{i}^{α} d u_{i}^{α}

とする. このとき，

d ω = (- (\frac{\partial (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α})}{\partial u_{2}^{α}} \circ {\hat{x}}_{α}^{- 1}) + (\frac{\partial (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α})}{\partial u_{1}^{α}} \circ {\hat{x}}_{α}^{- 1})) d u_{1}^{α} \land d u_{2}^{α}

となる. それゆえ,

\begin{aligned} \int_{S_{α}^{'}} d ω = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (- \frac{\partial (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α})}{\partial u_{2}^{α}} + \frac{\partial (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α})}{\partial u_{1}^{α}}) d u_{1}^{α} d u_{2}^{α} \\ = - \int_{0}^{1} ((f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (u_{1}^{α}, 1) - (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (u_{1}^{α}, 0)) d u_{1}^{α} \\ + \int_{0}^{1} ((f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1, u_{2}^{α}) - (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (0, u_{2}^{α})) d u_{2}^{α} \\ (2.7.6) & = \int_{0}^{1} (- (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 1) + (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 0) + (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1, t) - (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (0, t)) d t \end{aligned}

が示される。一方,

\begin{aligned} \int_{c_{1}^{α}} ω + \int_{c_{3}^{α}} ω = \int_{0}^{1} ω_{c_{1}^{α} (t)} ({(c_{1}^{α})}^{'} (t)) d t + \int_{0}^{1} ω_{c_{3}^{α} (t)} ({(\vec{c_{3}^{α}})}^{'} (t)) d t \\ = & \int_{0}^{1} (f_{1}^{α} (c_{1}^{α} (t)) \frac{d u_{1}^{α} (c_{1}^{α} (t))}{d t} + f_{2}^{α} (c_{1}^{α} (t)) \frac{d u_{2} (c_{1}^{α} (t))}{d t}) d t \\ + \int_{0}^{1} (f_{1}^{α} (c_{3}^{α} (t)) \frac{d u_{1} (c_{3}^{α} (t))}{d t} + f_{2}^{α} (c_{3}^{α} (t)) \frac{d u_{2} (c_{3}^{α} (t))}{d t}) d t \\ = & \int_{0}^{1} ((f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 0) \frac{d t}{d t} + (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 0) \frac{d 0}{d t}) d t \\ + \int_{0}^{1} ((f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1 - t, 1) \frac{d (1 - t)}{d t} + (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1 - t, 1) \frac{d 1}{d t}) d t \\ = & \int_{0}^{1} ((f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 0) - (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1 - t, 1)) d t \\ (2.7.7) & = & \int_{0}^{1} ((f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 0) - (f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (t, 1)) d t \end{aligned}

および

\begin{aligned} \int_{c_{2}^{α}} ω + \int_{c_{4}^{α}} ω = \int_{0}^{1} ω_{c_{2}^{α} (t)} ({(c_{2}^{α})}^{'} (t)) d t + \int_{0}^{1} ω_{c_{4}^{α} (t)} ({(\vec{c_{4}^{α}})}^{'} (t)) d t \\ = & \int_{0}^{1} (f_{1}^{α} (c_{2}^{α} (t)) \frac{d u_{1} (c_{2}^{α} (t))}{d t} + f_{2}^{α} (c_{2}^{α} (t)) \frac{d u_{2} (c_{2}^{α} (t))}{d t}) d t \\ + \int_{0}^{1} (f_{1}^{α} (c_{4}^{α} (t)) \frac{d u_{1} (c_{4}^{α} (t))}{d t} + f_{2}^{α} (c_{4}^{α} (t)) \frac{d u_{2} (c_{4}^{α} (t))}{d t}) d t \\ = & \int_{0}^{1} ((f_{1}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1, t) \frac{d 1}{d t} + (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1, t) \frac{d t}{d t}) d t \\ = & \int_{0}^{1} ((f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1, t) - (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (0, 1 - t)) d t \\ = & \int_{0}^{1} ((f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (1, t) - (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (0, t)) d t \\ (2.7.8) & = & {\hat{x}}_{α}) (0, 1 - t) \frac{d 0}{d t} + (f_{2}^{α} \circ {\hat{x}}_{α}) (0, 1 - t) \frac{d (1 - t)}{d t}) d t \\ = \end{aligned}

が示される。式 (2.7.6), (2.7.7), および式 (2.7.8)から, 式 (2.7.5)が導かれる. それゆえ。

\int_{S^{'}} d ω = \sum_{α = 1}^{l} \int_{S_{α}^{'}} d ω = \sum_{α = 1}^{l} \int_{c_{α}} ω = \int_{c} ω

が示される。最初の等号は,

\det J (x_{λ}^{- 1} \circ {\hat{x}}_{α}) > 0

であることより, 2 重積分の変数変換の公式を用いて示され，最後の等号は，

S_{α}^{'}

と

S_{β}^{'}

が隣接するとき，その隣接する部分で

c_{α}

と

c_{β}

が逆向きになることより導かれる.

1.11 節で述べた定理 1.11.1が, 定理 2.7 .1 の特別な場合であることを説明しよう. 定理 1.11.1の主張における区分的に

C^{r}

級の境界をもつ

C^{r}

超曲面片

S = x (E)

上での積分公式とは, 次のようなものであった：

\int_{S} rot X \cdot d A = \int_{c} X \cdot d r

x^{- 1} = (u_{1}, u_{2})

として,

S

上の

C^{r}

級の 1 次微分形式

ω

を

ω := \sum_{i = 1}^{2} ({X |}_{S}) \cdot (\frac{\partial x}{\partial u_{i}} \circ x^{- 1}) d u_{i}

によって定める. このとき,

d ω = rot X \cdot ((\frac{\partial x}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial x}{\partial u_{2}}) \circ x^{- 1}) d u_{1} \land d u_{2}

となり,

\int_{S} rot X \cdot d A = \int_{S} d ω

となることがわかる. 一方,

ω_{c (t)} ({\vec{c}}^{'} (t)) d t = {({X |}_{S})}_{c (t)} \cdot {\vec{c}}^{'} (t) d t

となり,

\int_{c} X \cdot d r = \int_{c} ω

となることがわかる。ゆに,定理 1.11.1が, 定理 2.7 .1 の特別な場合であることがわかる.

2 超曲面論における変分公式と CHAPTER ― CHAPTER ¯ bar(" CHAPTER ")\overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER ― ガウス・ボンネの定理

2.1 超曲面上の接ベクトル場

2.2 超曲面上の k k kkk 次共変テンソル場・ ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場

2.3 第 2 基本形式・形作用素

命題 2.3.8 第 2 基本形式 h h hhh は対称である.

2.4 平行移動・測地線

2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠

2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式

2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理

2 超曲面論における変分公式と $\overset{―}{CHAPTER}$ ガウス・ボンネの定理

2.2 超曲面上の $k$ 次共変テンソル場・ $(1, k)$ 次テンソル場

命題 2.3.8 第 2 基本形式 $h$ は対称である.