2 超曲面論における変分公式と CHAPTER  CHAPTER  ¯ bar(" CHAPTER ")\overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER  ガウス・ボンネの定理

この章において, まず, 一般次元のユークリッド空間内の超曲面論につい て述べる。次に, 正則超曲面からなる無限次元空間上の体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式を導く. さらに, 曲面論(つまり, 3 次元ユークリッド 空間内の超曲面論)におけるガウス・ボンネの定理の局所版と大域版を紹介 し,それらを証明する。ここで,ガウス・ボンネの定理の局所版とは,区分的 に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面片のガウス曲率に対する積分公式であり,ガ ウス・ボンネの定理の大域版とは, C C C^(oo)C^{\infty}C 閉曲面のガウス曲率に対する積分公式 であり, これは, その閉曲面を三角形分割して, その分割における各三角形小領域上で同定理局所版を適用してえられるものである。この章では、簡単のた め,超曲面,および区分的に滑らかな超曲面は, すべて C C C^(oo)C^{\infty}C 級であるとする. また,特別断りのない限り, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性における r r rrr は 1 以上とする.

2.1 超曲面上の接ベクトル場

この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面上の接べクトル場を定義することにする. S S SSS E n + 1 ( n 2 ) E n + 1 ( n 2 ) E^(n+1)(n >= 2)\mathbb{E}^{n+1}(n \geq 2)En+1(n2) 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とし, D := { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D := S λ , x λ 1 λ Λ D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D:={(Sλ,xλ1)λΛ} S S SSS C C C^(oo)C^{\infty}C 構造とする. S S SSS の各点 p p ppp に対し, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の元 X p X p X_(p)\boldsymbol{X}_{p}Xp を対応させる対応 X X X\boldsymbol{X}X S S S\boldsymbol{S}S 上の 接ベクトル場(tangent vector field)という(図 2.1.1 を参照).
注意 T S := ⨿ p S ( { p } × T p S ) T S := ⨿ p S { p } × T p S TS:=⨿_(p in S)({p}xxT_(p)S)T S:=\underset{p \in S}{\amalg}\left(\{p\} \times T_{p} S\right)TS:=⨿pS({p}×TpS) とおき, π π pi\piπ T S T S TST STS から S S SSS への自然な射影,つまり、 π ( { p } × T p S ) = { p } ( p S ) π { p } × T p S = { p } ( p S ) pi({p}xxT_(p)S)={p}quad(p in S)\pi\left(\{p\} \times T_{p} S\right)=\{p\} \quad(p \in S)π({p}×TpS)={p}(pS) によって定義される写像とする。 π : T S S π : T S S pi:TS rarr S\pi: T S \rightarrow Sπ:TSS C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトルバンドルとよばれる構造をもち,S の接ベクトルバンドル(tangent bundle)とよばれる(接ベクトルバンドルの C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトルバンドル構造について は, 3.7 節を参照のこと). S S SSS 上の接ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X は, π X = id S π X = id S pi@X=id_(S)\pi \circ \boldsymbol{X}=\operatorname{id}_{S}πX=idS を満たす S S SSS か ら T S T S TST STS への写像として定義することもできる. ここで, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS ではなく { p } × T p S { p } × T p S {p}xxT_(p)S\{p\} \times T_{p} S{p}×TpS
S S SSS
図 2.1.1超曲面上の接ベクトル場
束ねる理由を述べておく. 異なる 2 点 p , q S p , q S p,q in Sp, q \in Sp,qS に対し, T p S , T q S T p S , T q S T_(p)S,T_(q)ST_{p} S, T_{q} STpS,TqS は, 共に数べク トル空間 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 n n nnn 次元部分ベクトル空間であり, これらは共通部分をもってしま う. { T p S } p S T p S p S {T_(p)S}_(p in S)\left\{T_{p} S\right\}_{p \in S}{TpS}pS を互いに共通部分をもたない別々の空間として束ねたものとしてTS を定義するために, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS ではなく { p } × T p S { p } × T p S {p}xxT_(p)S\{p\} \times T_{p} S{p}×TpS を束ねる必要があるのである.
x λ 1 = ( u 1 , , u n ) とする. X p = i = 1 n X i ( p ) ( u i ) p ( p S λ ) x λ 1 = u 1 , , u n  とする.  X p = i = 1 n X i ( p ) u i p p S λ {:[x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))" とする. "],[X_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)((del)/(delu_(i)))_(p)quad(p inS_(lambda))]:}\begin{aligned} \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) & \text { とする. } \\ \boldsymbol{X}_{p} & =\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) \end{aligned}xλ1=(u1,,un) とする. Xp=i=1nXi(p)(ui)p(pSλ)
によって定義される S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の関数 X i ( i = 1 , , n ) X i ( i = 1 , , n ) X_(i)(i=1,dots,n)X_{i}(i=1, \ldots, n)Xi(i=1,,n) X X X\boldsymbol{X}X の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\lambda}}^{-1}xλ1 に 関する成分(the component of X X X\boldsymbol{X}X with respect to x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\lambda}}^{-1}xλ1 ) という. p S p S p in Sp \in SpS を固定する. p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる ( S λ , x λ 1 ) D S λ , x λ 1 D (S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D}(Sλ,xλ1)D をとり, x λ ( a 1 , , a n ) = p x λ a 1 , , a n = p x_(lambda)(a_(1),dots,a_(n))=p\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=pxλ(a1,,an)=p と する。 X X X\boldsymbol{X}X x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を X i ( i = 1 , , n ) X i ( i = 1 , , n ) X_(i)(i=1,dots,n)X_{i}(i=1, \ldots, n)Xi(i=1,,n) として, X i x λ ( i = X i x λ ( i = X_(i)@x_(lambda)(i=X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}(i=Xixλ(i= 1 , , n ) 1 , , n ) 1,dots,n)1, \ldots, n)1,,n) ( a 1 , , a n ) a 1 , , a n (a_(1),dots,a_(n))\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)(a1,,an) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, X X X\boldsymbol{X}X p p p\boldsymbol{p}p C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級である( X X X\boldsymbol{X}X is of class C r C r C^(r)C^{r}Cr at p p p\boldsymbol{p}p ) といい, X X X\boldsymbol{X}X S S SSS の各点で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, X X X\boldsymbol{X}X S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場( C r C r C^(r)C^{r}Cr-tangent vector field)という.
Xの p p ppp における C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性がwell-defined であること, つまり, p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ と なる ( S λ , x λ 1 ) D S λ , x λ 1 D (S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D}(Sλ,xλ1)D のとり方によらないことを示そう. そのために, p p p inp \inp S μ S μ S_(mu)S_{\mu}Sμ となる ( S μ , x μ 1 ) D S μ , x μ 1 D (S_(mu),x_(mu)^(-1))inD\left(S_{\mu}, \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \in \mathcal{D}(Sμ,xμ1)D をもう 1 つとろう. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) , x μ 1 = x λ 1 = u 1 , , u n , x μ 1 = x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),quadx_(mu)^(-1)=\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \quad \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=xλ1=(u1,,un),xμ1= ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) u ¯ 1 , , u ¯ n ( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)(u¯1,,u¯n) とする。このとき, 次の事実が成り立つ.
命題 2.1.1 X X X\boldsymbol{X}X x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を X 1 , , X n X 1 , , X n X_(1),dots,X_(n)X_{1}, \ldots, X_{n}X1,,Xn とし, X X X\boldsymbol{X}X x μ 1 x μ 1 x_(mu)^(-1)\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}xμ1 に関す る成分を X ¯ 1 , , X ¯ n X ¯ 1 , , X ¯ n bar(X)_(1),dots, bar(X)_(n)\bar{X}_{1}, \ldots, \bar{X}_{n}X¯1,,X¯n とする。また, x λ ( a 1 , , a n ) = x μ ( a ¯ 1 , , a ¯ n ) = p x λ a 1 , , a n = x μ a ¯ 1 , , a ¯ n = p x_(lambda)(a_(1),dots,a_(n))=x_(mu)( bar(a)_(1),dots, bar(a)_(n))=p\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\boldsymbol{x}_{\mu}\left(\bar{a}_{1}, \ldots, \bar{a}_{n}\right)=pxλ(a1,,an)=xμ(a¯1,,a¯n)=p と する. このとき, X i x λ : x λ 1 ( S λ S μ ) R ( i = 1 , , n ) X i x λ : x λ 1 S λ S μ R ( i = 1 , , n ) X_(i)@x_(lambda):x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=1,dots,n)X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}: \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n)Xixλ:xλ1(SλSμ)R(i=1,,n) ( a 1 , , a n ) a 1 , , a n (a_(1),dots,a_(n))\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)(a1,,an)
C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることと, X ¯ i x μ : x μ 1 ( S λ S μ ) R ( i = 1 , , n ) X ¯ i x μ : x μ 1 S λ S μ R ( i = 1 , , n ) bar(X)_(i)@x_(mu):x_(mu)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=1,dots,n)\bar{X}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}: \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n)X¯ixμ:xμ1(SλSμ)R(i=1,,n) ( a ¯ 1 , , a ¯ n ) a ¯ 1 , , a ¯ n ( bar(a)_(1),dots, bar(a)_(n))\left(\bar{a}_{1}, \ldots, \bar{a}_{n}\right)(a¯1,,a¯n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることは同値である.
証明 1.9 節の式 (1.9.2)によれば, 次式が成り立つ:
(2.1.1) u ¯ i = j = 1 n ( ( u j x μ ) u ¯ i x μ 1 ) u j (2.1.1) u ¯ i = j = 1 n u j x μ u ¯ i x μ 1 u j {:(2.1.1)(del)/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1))(del)/(delu_(j)):}\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \frac{\partial}{\partial u_{j}} \tag{2.1.1} \end{equation*}(2.1.1)u¯i=j=1n((ujxμ)u¯ixμ1)uj
この関係式を用いて, S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で
X = i = 1 n X ¯ i u ¯ i = j = 1 n ( i = 1 n X ¯ i ( ( u j x μ ) u ¯ i x μ 1 ) ) u j X = i = 1 n X ¯ i u ¯ i = j = 1 n i = 1 n X ¯ i u j x μ u ¯ i x μ 1 u j X=sum_(i=1)^(n) bar(X)_(i)(del)/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)(sum_(i=1)^(n) bar(X)_(i)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1)))(del)/(delu_(j))\boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} \bar{X}_{i} \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} \bar{X}_{i}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right) \frac{\partial}{\partial u_{j}}X=i=1nX¯iu¯i=j=1n(i=1nX¯i((ujxμ)u¯ixμ1))uj
が成り立つことがわかる。一方, X = j = 1 n X j u j X = j = 1 n X j u j X=sum_(j=1)^(n)X_(j)(del)/(delu_(j))\boldsymbol{X}=\sum_{j=1}^{n} X_{j} \frac{\partial}{\partial u_{j}}X=j=1nXjuj なので, S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で
X j = i = 1 n X ¯ i ( ( u j x μ ) u ¯ i x μ 1 ) X j = i = 1 n X ¯ i u j x μ u ¯ i x μ 1 X_(j)=sum_(i=1)^(n) bar(X)_(i)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1))X_{j}=\sum_{i=1}^{n} \bar{X}_{i}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)Xj=i=1nX¯i((ujxμ)u¯ixμ1)
が成り立つことがわかり, それゆえ, x λ 1 ( S λ S μ ) x λ 1 S λ S μ x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right)xλ1(SλSμ) 上で
X j x λ = i = 1 2 ( ( X ¯ i x μ ) ( x μ 1 x λ ) ) ( u j u ¯ i x μ 1 x λ ) X j x λ = i = 1 2 X ¯ i x μ x μ 1 x λ u j u ¯ i x μ 1 x λ X_(j)@x_(lambda)=sum_(i=1)^(2)(( bar(X)_(i)@x_(mu))@(x_(mu)^(-1)@x_(lambda)))((delu_(j))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1)@x_(lambda))X_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\sum_{i=1}^{2}\left(\left(\bar{X}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right) \circ\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)Xjxλ=i=12((X¯ixμ)(xμ1xλ))(uju¯ixμ1xλ)
をえる。この関係式から, X ¯ i x μ : x μ 1 ( S λ S μ ) R ( i = 1 , , n ) X ¯ i x μ : x μ 1 S λ S μ R ( i = 1 , , n ) bar(X)_(i)@x_(mu):x_(mu)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=1,dots,n)\bar{X}_{i} \circ \mathbf{x}_{\mu}: \mathbf{x}_{\mu}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n)X¯ixμ:xμ1(SλSμ)R(i=1,,n) ( a ¯ 1 , , a ¯ n ) a ¯ 1 , , a ¯ n ( bar(a)_(1),dots, bar(a)_(n))\left(\bar{a}_{1}, \ldots, \bar{a}_{n}\right)(a¯1,,a¯n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるならば, X i x λ : x λ 1 ( S λ S μ ) R ( i = X i x λ : x λ 1 S λ S μ R ( i = X_(i)@x_(lambda):x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=X_{i} \circ \mathbf{x}_{\lambda}: \mathbf{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=Xixλ:xλ1(SλSμ)R(i= 1 , , n ) 1 , , n ) 1,dots,n)1, \ldots, n)1,,n) ( a 1 , , a n ) a 1 , , a n (a_(1),dots,a_(n))\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)(a1,,an) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることが示される. 逆も同様に示され る。
S S SSS の各点 p p ppp に対し, ベクトル空間 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 (本当は, T p A n + 1 T p A n + 1 T_(p)A^(n+1)T_{p} \mathbb{A}^{n+1}TpAn+1 とすべき)の元 X p X p X_(p)X_{p}Xp を対応させる対応 X X X\boldsymbol{X}X S S SSS に沿うベクトル場(vector field along S S SSS )と いう(図 2.1.2 を参照). p S p S p in Sp \in SpS を固定する。 p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる ( S λ , x λ 1 ) D S λ , x λ 1 D (S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D}(Sλ,xλ1)D に 対し, R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 に値をとるベクトル値関数 X x λ X x λ X@x_(lambda)\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}Xxλ ( a 1 , , a n ) ( ( a 1 , , a n ) a 1 , , a n a 1 , , a n (a_(1),dots,a_(n))((a_(1),dots,a_(n)):}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\left(\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right.(a1,,an)((a1,,an) x λ ( a 1 , , a n ) = p x λ a 1 , , a n = p x_(lambda)(a_(1),dots,a_(n))=p\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=pxλ(a1,,an)=p となる点) で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, X X X\boldsymbol{X}X p p p\boldsymbol{p}p C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級であ るという. X X X\boldsymbol{X}X S S SSS の各点で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, X X X\boldsymbol{X}X S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル 場 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-vector field along S ) S {:S)\left.S\right)S) という.
注意 T p S R n + 1 T p S R n + 1 T_(p)S subR^(n+1)T_{p} S \subset \mathbb{R}^{n+1}TpSRn+1 なので, S S SSS 上の接ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X S S SSS に沿うベクトル場でも ある。 X X X\boldsymbol{X}X S S SSS 上の接ベクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとは, S S SSS に住む人からみて C r C r C^(r)C^{r}Cr
図 2.1.2 超曲面に沿うベクトル場
級(内在的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級)であることを意味し, X X X\boldsymbol{X}X S S SSS に沿うベクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 であるとは、 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 に住む人からみて C r C r C^(r)C^{r}Cr 級(外在的 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級)であることを意味す る.
命題 2.1.2 X X X\boldsymbol{X}X S S SSS 上の接ベクトル場とする. このとき, X X X\boldsymbol{X}X S S SSS 上の接べ クトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることと, X X X\boldsymbol{X}X S S SSS に沿うベクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 であることは同値である.
証明 C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べることにする.
x λ ( u 1 , , u n ) = ( x 1 ( u 1 , , u n ) , , x n + 1 ( u 1 , , u n ) ) x λ u 1 , , u n = x 1 u 1 , , u n , , x n + 1 u 1 , , u n x_(lambda)(u_(1),dots,u_(n))=(x_(1)(u_(1),dots,u_(n)),dots,x_(n+1)(u_(1),dots,u_(n)))\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \ldots, x_{n+1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right)xλ(u1,,un)=(x1(u1,,un),,xn+1(u1,,un))
とし、 X = ( X ^ 1 , , X ^ n + 1 ) X = X ^ 1 , , X ^ n + 1 quad X=( widehat(X)_(1),dots, widehat(X)_(n+1))\quad \boldsymbol{X}=\left(\widehat{X}_{1}, \ldots, \widehat{X}_{n+1}\right)X=(X^1,,X^n+1) とする. また, X = i = 1 n X i u i X = i = 1 n X i u i quad X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delu_(i))\quad \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial u_{i}}X=i=1nXiui とする. このと き,
X x λ = i = 1 n ( X i x λ ) x λ u i = i = 1 n ( X i x λ ) ( x 1 u i , , x n + 1 u i ) = ( i = 1 n ( X i x λ ) x 1 u i , , i = 1 n ( X i x λ ) x n + 1 u i ) X x λ = i = 1 n X i x λ x λ u i = i = 1 n X i x λ x 1 u i , , x n + 1 u i = i = 1 n X i x λ x 1 u i , , i = 1 n X i x λ x n + 1 u i {:[X@x_(lambda)=sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(lambda))/(delu_(i))=sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))((delx_(1))/(delu_(i)),dots,(delx_(n+1))/(delu_(i)))],[=(sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(1))/(delu_(i)),dots,sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(n+1))/(delu_(i)))]:}\begin{aligned} \boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} & =\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{i}}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{i}}, \ldots, \frac{\partial x_{n+1}}{\partial u_{i}}\right) \\ & =\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{i}}, \ldots, \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial x_{n+1}}{\partial u_{i}}\right) \end{aligned}Xxλ=i=1n(Xixλ)xλui=i=1n(Xixλ)(x1ui,,xn+1ui)=(i=1n(Xixλ)x1ui,,i=1n(Xixλ)xn+1ui)
が示され, それゆえ,
(2.1.2) X ^ j x λ = i = 1 n ( X i x λ ) x j u i ( j = 1 , , n + 1 ) (2.1.2) X ^ j x λ = i = 1 n X i x λ x j u i ( j = 1 , , n + 1 ) {:(2.1.2) widehat(X)_(j)@x_(lambda)=sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(j))/(delu_(i))quad(j=1","dots","n+1):}\begin{equation*} \widehat{X}_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{i}} \quad(j=1, \ldots, n+1) \tag{2.1.2} \end{equation*}(2.1.2)X^jxλ=i=1n(Xixλ)xjui(j=1,,n+1)
をえる. この関係式から, X | S λ X S λ X|_(S_(lambda))\left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}}X|Sλ S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の接べクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ならば,
S S SSS
図 2.1.3 T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS への直交射影
X | S λ X S λ X|_(S_(lambda))\left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}}X|Sλ S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に沿うベクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることが示される.
逆を示す. X | S λ X S λ X|_(S_(lambda))\left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}}X|Sλ S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に沿うべクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとする. ヤコ ビ行列 J x λ J x λ Jx_(lambda)J \boldsymbol{x}_{\lambda}Jxλ の階数は n n nnn なので,
rank ( x a 1 u 1 x a n u 1 x a 1 u n x a n u n ) = n rank x a 1 u 1 x a n u 1 x a 1 u n x a n u n = n rank([(delx_(a_(1)))/(delu_(1)),cdots,(delx_(a_(n)))/(delu_(1))],[vdots,ddots,vdots],[(delx_(a_(1)))/(delu_(n)),cdots,(delx_(a_(n)))/(delu_(n))])=n\operatorname{rank}\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{n}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{n}} \end{array}\right)=nrank(xa1u1xanu1xa1unxanun)=n
となる a 1 , , a n { 1 , , n + 1 } a 1 , , a n { 1 , , n + 1 } a_(1),dots,a_(n)in{1,dots,n+1}a_{1}, \ldots, a_{n} \in\{1, \ldots, n+1\}a1,,an{1,,n+1} が存在する. 式 (2.1.2) から,
( X 1 x λ X n x λ ) = ( x a 1 u 1 x a 1 u n x a n u 1 x a n u n ) 1 ( X ^ a 1 x λ X ^ a n x λ ) X 1 x λ X n x λ = x a 1 u 1 x a 1 u n x a n u 1 x a n u n 1 X ^ a 1 x λ X ^ a n x λ ([X_(1)@x_(lambda)],[vdots],[X_(n)@x_(lambda)])=([(delx_(a_(1)))/(delu_(1)),cdots,(delx_(a_(1)))/(delu_(n))],[vdots,ddots,vdots],[(delx_(a_(n)))/(delu_(1)),cdots,(delx_(a_(n)))/(delu_(n))])^(-1)([ widehat(X)_(a_(1))@x_(lambda)],[vdots],[ widehat(X)_(a_(n))@x_(lambda)])\left(\begin{array}{c} X_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} \\ \vdots \\ X_{n} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{n}} \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} \widehat{X}_{a_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} \\ \vdots \\ \widehat{X}_{a_{n}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} \end{array}\right)(X1xλXnxλ)=(xa1u1xa1unxanu1xanun)1(X^a1xλX^anxλ)
が導かれる. したがって仮定から, X ^ a 1 x λ , , X ^ a n x λ X ^ a 1 x λ , , X ^ a n x λ widehat(X)_(a_(1))@x_(lambda),dots, widehat(X)_(a_(n))@x_(lambda)\widehat{X}_{a_{1}} \circ \mathbf{x}_{\lambda}, \ldots, \widehat{X}_{a_{n}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}X^a1xλ,,X^anxλ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級なので, X 1 x λ , , X n x λ X 1 x λ , , X n x λ X_(1)@x_(lambda),dots,X_(n)@x_(lambda)X_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}, \ldots, X_{n} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}X1xλ,,Xnxλ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級, つまり, X | S λ X S λ X|_(S_(lambda))\left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}}X|Sλ S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の接ベクトル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることが示される.
pr T p pr T p pr_(T_(p))\operatorname{pr}_{T_{p}}prTp R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 から T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS への直交射影, つまり, 各 v R n + 1 v R n + 1 v inR^(n+1)\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{n+1}vRn+1 に対し, v v v\boldsymbol{v}v v = v T + v ( v T T p S , v T p S ) v = v T + v v T T p S , v T p S v=v_(T)+v_(_|_)(v_(T)inT_(p)S,v_(_|_)inT_(p)^(_|_)S)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{T}+\boldsymbol{v}_{\perp}\left(\boldsymbol{v}_{T} \in T_{p} S, \boldsymbol{v}_{\perp} \in T_{p}^{\perp} S\right)v=vT+v(vTTpS,vTpS) と分解したときの接成分 v T v T v_(T)\boldsymbol{v}_{T}vT を対応さ せる対応とする(図 2.1.3を参照)。 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn 上のベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, S S SSS 上の接 ベクトル場 X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT
( X T ) p := pr T p ( X p ) ( p S ) X T p := pr T p X p ( p S ) (X_(T))_(p):=pr_(T_(p))(X_(p))quad(p in S)\left(\boldsymbol{X}_{T}\right)_{p}:=\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right) \quad(p \in S)(XT)p:=prTp(Xp)(pS)
によって定義する。 v T , X T v T , X T v_(T),X_(T)\boldsymbol{v}_{T}, \boldsymbol{X}_{T}vT,XT を各々, v , X v , X v,X\boldsymbol{v}, \boldsymbol{X}v,X の接成分 (tangential component)という.
命題 2.1.3 X X X\boldsymbol{X}X S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場ならば, X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベク トル場である.
証明 C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べることにする. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とする. このとき, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ の自然に定まる単位法べクトル場 N λ N λ N_(lambda)N_{\lambda}Nλ は,
N λ = u 1 × × u n u 1 × × u n N λ = u 1 × × u n u 1 × × u n N_(lambda)=((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))/(||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||)\boldsymbol{N}_{\lambda}=\frac{\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}}{\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\|}Nλ=u1××unu1××un
によって与えられるので, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C べクトル場である。容易に,
(2.1.3) ( X T ) p = pr T p ( X p ) = X p ( X p ( N λ ) p ) ( N λ ) p ( p S λ ) (2.1.3) X T p = pr T p X p = X p X p N λ p N λ p p S λ {:(2.1.3)(X_(T))_(p)=pr_(T_(p))(X_(p))=X_(p)-(X_(p)*(N_(lambda))_(p))(N_(lambda))_(p)quad(p inS_(lambda)):}\begin{equation*} \left(\boldsymbol{X}_{T}\right)_{p}=\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right)=\boldsymbol{X}_{p}-\left(\boldsymbol{X}_{p} \cdot\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}\right)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) \tag{2.1.3} \end{equation*}(2.1.3)(XT)p=prTp(Xp)=Xp(Xp(Nλ)p)(Nλ)p(pSλ)
つまり, X T = X ( X N λ ) N λ X T = X X N λ N λ X_(T)=X-(X*N_(lambda))N_(lambda)\boldsymbol{X}_{T}=\boldsymbol{X}-\left(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N}_{\lambda}\right) \boldsymbol{N}_{\lambda}XT=X(XNλ)Nλ が( S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で)成り立つことが示される. こ の式から, X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場であることがわかる. よって, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ の任意性から, X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場であることがわかる. さらに,命題 2.1.2 から, X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場であることが導かれる.
問 2.1.1 次の (i)-(iv) によって定義される単位球面 S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) に沿うベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に 対し、 X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT を求めよ. また, X X X\boldsymbol{X}X X T X T X_(T)\boldsymbol{X}_{T}XT を図示せよ.
(i) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( p 1 , p 2 , 0 ) X p 1 , p 2 , p 3 := p 1 , p 2 , 0 quadX_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(p_(1),p_(2),0)\quad \boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=\left(p_{1}, p_{2}, 0\right)X(p1,p2,p3):=(p1,p2,0)
(ii) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( 0 , 0 , 1 ) X p 1 , p 2 , p 3 := ( 0 , 0 , 1 ) X_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(0,0,1)\boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=(0,0,1)X(p1,p2,p3):=(0,0,1)
(iii) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( p 2 , p 1 , 0 ) X p 1 , p 2 , p 3 := p 2 , p 1 , 0 quadX_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(-p_(2),p_(1),0)\quad \boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=\left(-p_{2}, p_{1}, 0\right)X(p1,p2,p3):=(p2,p1,0)
(iv) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( p 1 , p 2 , p 3 ) X p 1 , p 2 , p 3 := p 1 , p 2 , p 3 X_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(p_(1),p_(2),p_(3))\boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)X(p1,p2,p3):=(p1,p2,p3)
f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 S S SSS 上のスカラー場とし, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y S S SSS に沿うべクトル場とす る. このとき, ベクトル場同士の和 X + Y X + Y X+Y\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}X+Y, ベクトル場のスカラー場倍 f X f X fXf \boldsymbol{X}fX, およびべクトル場同士の内積 X Y X Y X*Y\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y}XY が各々,次式によって定義される:
( X + Y ) p := X p + Y p , ( f X ) p := f p X p , ( X Y ) p := X p Y p ( p S ) ( X + Y ) p := X p + Y p , ( f X ) p := f p X p , ( X Y ) p := X p Y p ( p S ) (X+Y)_(p):=X_(p)+Y_(p),quad(fX)_(p):=f_(p)X_(p),quad(X*Y)_(p):=X_(p)*Y_(p)quad(p in S)(\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})_{p}:=\boldsymbol{X}_{p}+\boldsymbol{Y}_{p}, \quad(f \boldsymbol{X})_{p}:=f_{p} \boldsymbol{X}_{p}, \quad(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y})_{p}:=\boldsymbol{X}_{p} \cdot \boldsymbol{Y}_{p} \quad(p \in S)(X+Y)p:=Xp+Yp,(fX)p:=fpXp,(XY)p:=XpYp(pS)
容易に, 次の命題が示される.
命題 2.1.4 f f fff S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場とし, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクト
ル場とする. このとき, X + Y , f X X + Y , f X X+Y,fX\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}, f \boldsymbol{X}X+Y,fX S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場であり, X X X\boldsymbol{X}X. Yは C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場である.

2.2 超曲面上の k k kkk 次共変テンソル場・ ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場

この節において, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面上の k k kkk 次共変テンソル場, および ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場について述べることにする。
はじめに,(実)ベクトル空間上の k k kkk 次共変テンソル,および ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テン ソルを定義しよう. V V VVV n n nnn 次元(実)べクトル空間とする. Φ Φ Phi\PhiΦ V k = V × V k = V × V^(k)=V xxV^{k}=V \timesVk=V× × V × V cdots xx V\cdots \times V×V k k kkk 個の V V VVV の直積)から R R R\mathbb{R}R への多重線形写像,つまり,
Φ ( v 1 , , a v i + b w i , , v k ) = a Φ ( v 1 , , v i , , v k ) + b Φ ( v 1 , , w i , , v k ) ( v 1 , , v k , w i V , a , b R , 1 i k ) Φ v 1 , , a v i + b w i , , v k = a Φ v 1 , , v i , , v k + b Φ v 1 , , w i , , v k v 1 , , v k , w i V , a , b R , 1 i k {:[Phi(v_(1),dots,av_(i)+bw_(i),dots,v_(k))],[=a Phi(v_(1),dots,v_(i),dots,v_(k))+b Phi(v_(1),dots,w_(i),dots,v_(k))],[(v_(1),dots,v_(k),w_(i)in V,a,b inR,1 <= i <= k)]:}\begin{aligned} & \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, a \boldsymbol{v}_{i}+b \boldsymbol{w}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\ &= a \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)+b \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\ &\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}, \boldsymbol{w}_{i} \in V, a, b \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq k\right) \end{aligned}Φ(v1,,avi+bwi,,vk)=aΦ(v1,,vi,,vk)+bΦ(v1,,wi,,vk)(v1,,vk,wiV,a,bR,1ik)
を満たす写像とする。このとき, Φ Φ Phi\PhiΦ V V VVV 上の k k k\boldsymbol{k}k 次共変テンソル(covariant tensor of degree k ) k ) k)k)k) または ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k) 次テンソル(tensor of type ( 0 , k ) ) ( 0 , k ) ) (0,k))(0, k))(0,k)) という. 同様に, V k V k V^(k)V^{k}Vk から V V VVV への多重線形写像が定義される. これを V V VVV 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル(tensor of type ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) ) という. V V VVV 上の k k kkk 次共変テンソ ル全体のなす集合を k V k V ox^(k)V^(**)\otimes^{k} V^{*}kV, または T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)T^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) と表し, V V VVV 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソ ル全体のなす集合を ( k V ) V k V V (ox^(k)V^(**))ox V\left(\otimes^{k} V^{*}\right) \otimes V(kV)V または T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)T^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) と表す. これらの集合は,次の自然な和,実数倍の下,(実)ベクトル空間になる:
( Φ 1 + Φ 2 ) ( v 1 , , v k ) := Φ 1 ( v 1 , , v k ) + Φ 2 ( v 1 , , v k ) ( a Φ ) ( v 1 , , v k ) := a Φ ( v 1 , , v k ) ( v 1 , , v k V ) Φ 1 + Φ 2 v 1 , , v k := Φ 1 v 1 , , v k + Φ 2 v 1 , , v k ( a Φ ) v 1 , , v k := a Φ v 1 , , v k v 1 , , v k V {:[(Phi_(1)+Phi_(2))(v_(1),dots,v_(k)):=Phi_(1)(v_(1),dots,v_(k))+Phi_(2)(v_(1),dots,v_(k))],[(a Phi)(v_(1),dots,v_(k)):=a*Phi(v_(1),dots,v_(k))quad(v_(1),dots,v_(k)in V)]:}\begin{aligned} & \left(\Phi_{1}+\Phi_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\Phi_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)+\Phi_{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\ & (a \Phi)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=a \cdot \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) \end{aligned}(Φ1+Φ2)(v1,,vk):=Φ1(v1,,vk)+Φ2(v1,,vk)(aΦ)(v1,,vk):=aΦ(v1,,vk)(v1,,vkV)
( Φ , Φ 1 , Φ 2 T ( 0 , k ) ( V ) Φ , Φ 1 , Φ 2 T ( 0 , k ) ( V ) (Phi,Phi_(1),Phi_(2)inT^((0,k))(V):}\left(\Phi, \Phi_{1}, \Phi_{2} \in \mathcal{T}^{(0, k)}(V)\right.(Φ,Φ1,Φ2T(0,k)(V) または, T ( 1 , k ) ( V ) ) , a R ) T ( 1 , k ) ( V ) , a R {:T^((1,k))(V)),a inR)\left.\left.\mathcal{T}^{(1, k)}(V)\right), a \in \mathbb{R}\right)T(1,k)(V)),aR). これらのベクトル空間 T ( 0 , k ) ( V ) , T ( 1 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) , T ( 1 , k ) ( V ) T^((0,k))(V),T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V), \mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(0,k)(V),T(1,k)(V) の次元を求めよう. E = ( e 1 , , e n ) E = e 1 , , e n E=(e_(1),dots,e_(n))E=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)E=(e1,,en) V V VVV の基底とし, ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1)^(**),dots,e_(n)^(**))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{*}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{*}\right)(e1,,en) E E EEE の双対基底とする。つまり, e i ( i = 1 , , n ) e i ( i = 1 , , n ) e_(i)^(**)(i=1,dots,n)\boldsymbol{e}_{i}^{*}(i=1, \ldots, n)ei(i=1,,n)
e i ( e j ) := δ i j ( j = 1 , , n ) e i e j := δ i j ( j = 1 , , n ) e_(i)^(**)(e_(j)):=delta_(ij)quad(j=1,dots,n)\boldsymbol{e}_{i}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{j}\right):=\delta_{i j} \quad(j=1, \ldots, n)ei(ej):=δij(j=1,,n)
によって定義される V V VVV 上の線形関数(つまり, V V VVV の双対空間 V V V^(**)V^{*}V の元)を表 す. e i 1 e i k : Π k V R ( 1 i 1 , , i k n ) e i 1 e i k : Π k V R 1 i 1 , , i k n e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**):Pi^(k)V rarrR(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n)\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}: \Pi^{k} V \rightarrow \mathbb{R}\left(1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right)ei1eik:ΠkVR(1i1,,ikn)
( e i 1 e i k ) ( v 1 , , v k ) := e i 1 ( v 1 ) e i k ( v k ) ( v 1 , , v k V ) e i 1 e i k v 1 , , v k := e i 1 v 1 e i k v k v 1 , , v k V (e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**))(v_(1),dots,v_(k)):=e_(i_(1))^(**)(v_(1))cdotse_(i_(k))^(**)(v_(k))quad(v_(1),dots,v_(k)in V)\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)(ei1eik)(v1,,vk):=ei1(v1)eik(vk)(v1,,vkV)
によって定義する。明らかに, e i 1 e i k e i 1 e i k e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}ei1eik は多重線形,つまり,V上の k k kkk 次共変テンソルになる。また, e i 1 e i k e j : Π k V V ( 1 e i 1 e i k e j : Π k V V ( 1 e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j):Pi^(k)V rarr V(1 <=\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}: \Pi^{k} V \rightarrow V(1 \leqei1eikej:ΠkVV(1 i 1 , , i k , j n ) i 1 , , i k , j n {:i_(1),dots,i_(k),j <= n)\left.i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right)i1,,ik,jn)
( e i 1 e i k e j ) ( v 1 , , v k ) := e i 1 ( v 1 ) e i k ( v k ) e j ( v 1 , , v k V ) e i 1 e i k e j v 1 , , v k := e i 1 v 1 e i k v k e j v 1 , , v k V (e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j))(v_(1),dots,v_(k)):=e_(i_(1))^(**)(v_(1))cdotse_(i_(k))^(**)(v_(k))e_(j)quad(v_(1),dots,v_(k)in V)\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right) \boldsymbol{e}_{j} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)(ei1eikej)(v1,,vk):=ei1(v1)eik(vk)ej(v1,,vkV)
によって定義する。明らかに, e i 1 e i k e j e i 1 e i k e j e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}ei1eikej は多重線形, つまり, V V VVV 上 の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソルになる。
注意 一般に, V V VVV 上の線形関数 ω 1 , , ω k ω 1 , , ω k omega_(1),dots,omega_(k)\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}ω1,,ωk V V VVV のベクトル v v v\boldsymbol{v}v に対し, V V VVV 上の k k kkk次共変テンソル ω 1 ω k ω 1 ω k omega_(1)ox cdots oxomega_(k)\omega_{1} \otimes \cdots \otimes \omega_{k}ω1ωk, および, V V VVV 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル ω 1 ω k v ω 1 ω k v omega_(1)ox cdots oxomega_(k)ox v\omega_{1} \otimes \cdots \otimes \omega_{k} \otimes \boldsymbol{v}ω1ωkv を定義することができる。
命題 2.2.1 (i) { e i 1 e i k 1 i 1 , , i k n } e i 1 e i k 1 i 1 , , i k n {e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right\}{ei1eik1i1,,ikn} は, T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) の基底 を与える. したがって, T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) n k n k n^(k)n^{k}nk 次元べクトル空間である.
(ii) { e i 1 e i k e j 1 i 1 , , i k , j n } e i 1 e i k e j 1 i 1 , , i k , j n quad{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n}\quad\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right\}{ei1eikej1i1,,ik,jn} は, T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) の基底を与 える. したがって, T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) n k + 1 n k + 1 n^(k+1)n^{k+1}nk+1 次元ベクトル空間である.
証明最初に (i) を示す. i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k e i 1 e i k = 0 i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k e i 1 e i k = 0 sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)=0\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}=\mathbf{0}i1=1nik=1nai1ikei1eik=0 とする. こ こで,右辺の 0 0 0\mathbf{0}0 T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) の零ベクトル,つまり,
0 ( v 1 , , v k ) = 0 ( v 1 , , v k V ) 0 v 1 , , v k = 0 v 1 , , v k V 0(v_(1),dots,v_(k))=0quad(AAv_(1),dots,AAv_(k)in V)\mathbf{0}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=0 \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)0(v1,,vk)=0(v1,,vkV)
によって定義される V V VVV 上の k k kkk 次共変テンソルを表す. このとき,
0 = 0 ( e j 1 , , e j k ) = ( i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k e i 1 e i k ) ( e j 1 , , e j k ) = i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k e i 1 ( e j 1 ) e i k ( e j k ) = i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k δ i 1 j 1 δ i k j k = a j 1 j k 0 = 0 e j 1 , , e j k = i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k e i 1 e i k e j 1 , , e j k = i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k e i 1 e j 1 e i k e j k = i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k δ i 1 j 1 δ i k j k = a j 1 j k {:[0=0(e_(j_(1)),dots,e_(j_(k)))=(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**))(e_(j_(1)),dots,e_(j_(k)))],[=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)(e_(j_(1)))cdotse_(i_(k))^(**)(e_(j_(k)))],[=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))delta_(i_(1)j_(1))cdotsdelta_(i_(k)j_(k))=a_(j_(1)cdotsj_(k))]:}\begin{aligned} 0 & =\mathbf{0}\left(\boldsymbol{e}_{j_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{j_{k}}\right)=\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{e}_{j_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{j_{k}}\right) \\ & =\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{j_{1}}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{j_{k}}\right) \\ & =\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \delta_{i_{1} j_{1}} \cdots \delta_{i_{k} j_{k}}=a_{j_{1} \cdots j_{k}} \end{aligned}0=0(ej1,,ejk)=(i1=1nik=1nai1ikei1eik)(ej1,,ejk)=i1=1nik=1nai1ikei1(ej1)eik(ejk)=i1=1nik=1nai1ikδi1j1δikjk=aj1jk
をえる. したがって, { e i 1 e i k 1 i 1 , , i k n } e i 1 e i k 1 i 1 , , i k n {e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right\}{ei1eik1i1,,ikn} が 1 次独立系であ
ることがわかる. 任意に Φ T ( 0 , k ) ( V ) Φ T ( 0 , k ) ( V ) Phi inT^((0,k))(V)\Phi \in \mathcal{T}^{(0, k)}(V)ΦT(0,k)(V) をとる. このとき,容易に
(2.2.1) Φ = i 1 = 1 n i k = 1 n Φ ( e i 1 , , e i k ) e i 1 e i k (2.2.1) Φ = i 1 = 1 n i k = 1 n Φ e i 1 , , e i k e i 1 e i k {:(2.2.1)Phi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)Phi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**):}\begin{equation*} \Phi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \Phi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \tag{2.2.1} \end{equation*}(2.2.1)Φ=i1=1nik=1nΦ(ei1,,eik)ei1eik
が示される。それゆえ, T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) { e i 1 e i k 1 i 1 , , i k n } e i 1 e i k 1 i 1 , , i k n {e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right\}{ei1eik1i1,,ikn} によ って生成されることがわかる。したがって, { e i 1 e i k 1 i 1 , , i k e i 1 e i k 1 i 1 , , i k {e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= :}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq\right.{ei1eik1i1,,ik n } n } n}n\}n} は, T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) の基底を与える。この基底を構成するベクトルの個数は n k n k n^(k)n^{k}nk個なので, dim T ( 0 , k ) ( V ) = n k dim T ( 0 , k ) ( V ) = n k dimT^((0,k))(V)=n^(k)\operatorname{dim} \mathcal{T}^{(0, k)}(V)=n^{k}dimT(0,k)(V)=nk をえる。
次に, (ii)を示す. i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n a i 1 i k j e i 1 e i k e j = 0 i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n a i 1 i k j e i 1 e i k e j = 0 sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)=0\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}=\mathbf{0}i1=1nik=1nj=1nai1ikjei1eikej=0 とする. ここで,右辺の 0 0 0\mathbf{0}0 T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) の零ベクトル,つまり,
0 ( v 1 , , v k ) = 0 ( v 1 , , v k V ) 0 v 1 , , v k = 0 v 1 , , v k V 0(v_(1),dots,v_(k))=0quad(AAv_(1),dots,AAv_(k)in V)\mathbf{0}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=\mathbf{0} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)0(v1,,vk)=0(v1,,vkV)
によって定義される V V VVV 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソルを表す. このとき,
0 = 0 ( e l 1 , , e l k ) = ( i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n a i 1 i k j e i 1 e i k e j ) ( e l 1 , , e l k ) = j = 1 n ( i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k j e i 1 ( e l 1 ) e i k ( e l k ) ) e j = j = 1 n ( i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k j δ i 1 l 1 δ i k l k ) e j = j = 1 n a l 1 l k j e j 0 = 0 e l 1 , , e l k = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n a i 1 i k j e i 1 e i k e j e l 1 , , e l k = j = 1 n i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k j e i 1 e l 1 e i k e l k e j = j = 1 n i 1 = 1 n i k = 1 n a i 1 i k j δ i 1 l 1 δ i k l k e j = j = 1 n a l 1 l k j e j {:[0=0(e_(l_(1)),dots,e_(l_(k)))=(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j))(e_(l_(1)),dots,e_(l_(k)))],[=sum_(j=1)^(n)(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)(e_(l_(1)))cdotse_(i_(k))^(**)(e_(l_(k))))e_(j)],[=sum_(j=1)^(n)(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)delta_(i_(1)l_(1))cdotsdelta_(i_(k)l_(k)))e_(j)=sum_(j=1)^(n)a_(l_(1)cdotsl_(k))^(j)e_(j)]:}\begin{aligned} \mathbf{0} & =\mathbf{0}\left(\boldsymbol{e}_{l_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{l_{k}}\right)=\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}\right)\left(\boldsymbol{e}_{l_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{l_{k}}\right) \\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{l_{1}}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{l_{k}}\right)\right) \boldsymbol{e}_{j} \\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \delta_{i_{1} l_{1}} \cdots \delta_{i_{k} l_{k}}\right) \boldsymbol{e}_{j}=\sum_{j=1}^{n} a_{l_{1} \cdots l_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{j} \end{aligned}0=0(el1,,elk)=(i1=1nik=1nj=1nai1ikjei1eikej)(el1,,elk)=j=1n(i1=1nik=1nai1ikjei1(el1)eik(elk))ej=j=1n(i1=1nik=1nai1ikjδi1l1δiklk)ej=j=1nal1lkjej
それゆえ, a l 1 l k j = 0 ( 1 l 1 , , l k , j n ) a l 1 l k j = 0 1 l 1 , , l k , j n a_(l_(1)cdotsl_(k))^(j)=0(1 <= l_(1),dots,l_(k),j <= n)a_{l_{1} \cdots l_{k}}{ }^{j}=0\left(1 \leq l_{1}, \ldots, l_{k}, j \leq n\right)al1lkj=0(1l1,,lk,jn) をえる.したがって, { e i 1 e i 1 {e_(i_(1))^(**)ox:}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes\right.{ei1 e i k e j 1 i 1 , , i k , j n } e i k e j 1 i 1 , , i k , j n {: cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n}\left.\cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right\}eikej1i1,,ik,jn} が 1 次独立系であることがわかる. 任意 に Φ T ( 1 , k ) ( V ) Φ T ( 1 , k ) ( V ) Phi inT^((1,k))(V)\Phi \in \mathcal{T}^{(1, k)}(V)ΦT(1,k)(V) をとる.このとき, 容易に
(2.2.2) Φ = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n e j ( Φ ( e i 1 , , e i k ) ) e i 1 e i k e j (2.2.2) Φ = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n e j Φ e i 1 , , e i k e i 1 e i k e j {:(2.2.2)Phi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)e_(j)^(**)(Phi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k))))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j):}\begin{equation*} \Phi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \boldsymbol{e}_{j}^{*}\left(\Phi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\right) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \tag{2.2.2} \end{equation*}(2.2.2)Φ=i1=1nik=1nj=1nej(Φ(ei1,,eik))ei1eikej
が示される。それえ, T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) { e i 1 e i k e j 1 i 1 , , i k , j e i 1 e i k e j 1 i 1 , , i k , j {e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= :}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq\right.{ei1eikej1i1,,ik,j n } n } n}n\}n} によって生成されることがわかる. したがって, { e i 1 e i k e j 1 e i 1 e i k e j 1 {e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= :}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq\right.{ei1eikej1 i 1 , , i k , j n } i 1 , , i k , j n {:i_(1),dots,i_(k),j <= n}\left.i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right\}i1,,ik,jn} は, T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) の基底を与える. この基底を構成するベクト ルの個数は, n k + 1 n k + 1 n^(k+1)n^{k+1}nk+1 個なので, dim T ( 1 , k ) ( V ) = n k + 1 dim T ( 1 , k ) ( V ) = n k + 1 dimT^((1,k))(V)=n^(k+1)\operatorname{dim} \mathcal{T}^{(1, k)}(V)=n^{k+1}dimT(1,k)(V)=nk+1 をえる.
これらのべクトル空間 T ( 0 , k ) ( V ) , T ( 1 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) , T ( 1 , k ) ( V ) T^((0,k))(V),T^((1,k))(V)T^{(0, k)}(V), T^{(1, k)}(V)T(0,k)(V),T(1,k)(V) を各々, V V VVV ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(\mathbf{0}, \boldsymbol{k})(0,k) 次テンソ ル空間 (tensor space of ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k)-type), ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル空間 (tensor space of ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k)-type) という. 各 Φ T ( 0 , k ) ( V ) Φ T ( 0 , k ) ( V ) Phi inT^((0,k))(V)\Phi \in \mathcal{T}^{(0, k)}(V)ΦT(0,k)(V) は,
(2.2.3) Φ = i 1 = 1 n i k = 1 n Φ i 1 i k e i 1 e i k ( Φ i 1 i k R ) (2.2.3) Φ = i 1 = 1 n i k = 1 n Φ i 1 i k e i 1 e i k Φ i 1 i k R {:(2.2.3)Phi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)Phi_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)quad(Phi_(i_(1)cdotsi_(k))inR):}\begin{equation*} \Phi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \quad\left(\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \in \mathbb{R}\right) \tag{2.2.3} \end{equation*}(2.2.3)Φ=i1=1nik=1nΦi1ikei1eik(Φi1ikR)
と表される。 Φ i 1 i k Φ i 1 i k Phi_(i_(1)cdotsi_(k))\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}}Φi1ik Φ Φ Phi\boldsymbol{\Phi}Φ 基底 E E E\boldsymbol{E}E に関する成分という。また,各 Ψ Ψ Psi in\Psi \inΨ T ( 1 , k ) ( V ) T ( 1 , k ) ( V ) T^((1,k))(V)\mathcal{T}^{(1, k)}(V)T(1,k)(V) は,
(2.2.4) Ψ = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n Ψ i 1 i k j e i 1 e i k e j ( Ψ i 1 i k j R ) (2.2.4) Ψ = i 1 = 1 n i k = 1 n j = 1 n Ψ i 1 i k j e i 1 e i k e j Ψ i 1 i k j R {:(2.2.4)Psi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)quad(Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)inR):}\begin{equation*} \Psi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \quad\left(\Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j} \in \mathbb{R}\right) \tag{2.2.4} \end{equation*}(2.2.4)Ψ=i1=1nik=1nj=1nΨi1ikjei1eikej(Ψi1ikjR)
と表される. Ψ i 1 i k j Ψ i 1 i k j Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)\Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j}Ψi1ikj Ψ Ψ Psi\boldsymbol{\Psi}Ψ の基底 E E E\boldsymbol{E}E に関する成分という. 式 (2.2.1) から,
(2.2.5) Φ i 1 i k = Φ ( e i 1 , , e i k ) (2.2.5) Φ i 1 i k = Φ e i 1 , , e i k {:(2.2.5)Phi_(i_(1)cdotsi_(k))=Phi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k))):}\begin{equation*} \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}}=\Phi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right) \tag{2.2.5} \end{equation*}(2.2.5)Φi1ik=Φ(ei1,,eik)
が成り立つことがわかる. 式 (2.2.2)から,
(2.2.6) Ψ i 1 i k j = e j ( Ψ ( e i 1 , , e i k ) ) (2.2.6) Ψ i 1 i k j = e j Ψ e i 1 , , e i k {:(2.2.6)Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)=e_(j)^(**)(Psi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))):}\begin{equation*} \Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}=\boldsymbol{e}_{j}^{*}\left(\Psi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\right) \tag{2.2.6} \end{equation*}(2.2.6)Ψi1ikj=ej(Ψ(ei1,,eik))
が成り立つことがわかる。また, 式 (2.2.4)から,
(2.2.7) Ψ ( e i 1 , , e i k ) = j = 1 n Ψ i 1 i k j e j (2.2.7) Ψ e i 1 , , e i k = j = 1 n Ψ i 1 i k j e j {:(2.2.7)Psi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))=sum_(j=1)^(n)Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(j):}\begin{equation*} \Psi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)=\sum_{j=1}^{n} \Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{j} \tag{2.2.7} \end{equation*}(2.2.7)Ψ(ei1,,eik)=j=1nΨi1ikjej
が成り立つことがわかる.
Φ Φ Phi\PhiΦ V V VVV 上の k k kkk 次共変テンソルとする. 次式が成り立つとき, Φ Φ Phi\PhiΦ V V VVV 上の k k k\boldsymbol{k}k次対称形式(symmetric k k k\boldsymbol{k}k-form)という:
Φ ( v σ ( 1 ) , , v σ ( k ) ) = Φ ( v 1 , , v k ) ( σ S k , v 1 , , v k V ) Φ v σ ( 1 ) , , v σ ( k ) = Φ v 1 , , v k σ S k , v 1 , , v k V Phi(v_(sigma(1)),dots,v_(sigma(k)))=Phi(v_(1),dots,v_(k))quad(AA sigma inS_(k),AAv_(1),dots,AAv_(k)in V)\Phi\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right)=\Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\forall \sigma \in S_{k}, \forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)Φ(vσ(1),,vσ(k))=Φ(v1,,vk)(σSk,v1,,vkV)
ここで S k S k S_(k)S_{k}Sk は, k k kkk 文字の置換(つまり, { 1 , , k } { 1 , , k } {1,dots,k}\{1, \ldots, k\}{1,,k} からそれ自身への 1 対 1 対応)全体のなす集合を表す。また, 次式が成り立つとき, Φ Φ Phi\PhiΦ V V VVV 上の k k k\boldsymbol{k}k 次交代形式(alternative k k k\boldsymbol{k}k-form)という:
Φ ( v σ ( 1 ) , , v σ ( k ) ) = sgn σ Φ ( v 1 , , v k ) ( σ S k , v 1 , , v k V ) Φ v σ ( 1 ) , , v σ ( k ) = sgn σ Φ v 1 , , v k σ S k , v 1 , , v k V Phi(v_(sigma(1)),dots,v_(sigma(k)))=sgn sigma Phi(v_(1),dots,v_(k))quad(AA sigma inS_(k),AAv_(1),dots,AAv_(k)in V)\Phi\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right)=\operatorname{sgn} \sigma \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\forall \sigma \in S_{k}, \forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)Φ(vσ(1),,vσ(k))=sgnσΦ(v1,,vk)(σSk,v1,,vkV)
ここで, sgn σ sgn σ sgn sigma\operatorname{sgn} \sigmasgnσ σ σ sigma\sigmaσ の符号を表す. V V VVV 上の k k kkk 次交代形式の全体のなす集合を k V k V ^^^kV^(**)\bigwedge^{k} V^{*}kV と表す. これは, T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) の部分ベクトル空間になる. この部分ベク トル空間の次元を求めよう。 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1)^(**),dots,e_(n)^(**))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{*}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{*}\right)(e1,,en) V V VVV の基底 E = ( e 1 , , e n ) E = e 1 , , e n E=(e_(1),dots,e_(n))E=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)E=(e1,,en) の双対基底とする。 写像 e i 1 e i k : Π k V R ( 1 i 1 < < i k n e i 1 e i k : Π k V R 1 i 1 < < i k n e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**):Pi^(k)V rarrR(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n):}\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}: \Pi^{k} V \rightarrow \mathbb{R}\left(1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n )\right.ei1eik:ΠkVR(1i1<<ikn
( e i 1 e i k ) ( v 1 , , v k ) := 1 k ! σ S k sgn σ ( e i 1 e i k ) ( v σ ( 1 ) , , v σ ( k ) ) e i 1 e i k v 1 , , v k := 1 k ! σ S k sgn σ e i 1 e i k v σ ( 1 ) , , v σ ( k ) (e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**))(v_(1),dots,v_(k)):=(1)/(k!)sum_(sigma inS_(k))sgn sigma(e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**))(v_(sigma(1)),dots,v_(sigma(k)))\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_{k}} \operatorname{sgn} \sigma\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right)(ei1eik)(v1,,vk):=1k!σSksgnσ(ei1eik)(vσ(1),,vσ(k))
( v 1 , , v k V ) v 1 , , v k V (v_(1),dots,v_(k)in V)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)(v1,,vkV)
によって定義する。 容易に, e i 1 e i k e i 1 e i k e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**)\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}ei1eik V V VVV 上の k k kkk 次交代形式であること が示される.
注意一般に, V V VVV 上の線形関数 ω 1 , , ω k ω 1 , , ω k omega_(1),dots,omega_(k)\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}ω1,,ωk に対し, V V VVV 上の k k kkk 次交代形式 ω 1 ω 1 omega_(1)^^cdots\omega_{1} \wedge \cdotsω1 ω k ω k ^^omega_(k)\wedge \omega_{k}ωk を定義することができる.
命題 2.2.2 { e i 1 e i k 1 i 1 < < i k n } e i 1 e i k 1 i 1 < < i k n {e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n}\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n\right\}{ei1eik1i1<<ikn} は, k V k V ^^^(k)V^(**)\wedge^{k} V^{*}kV の基底を与 える. したがって, k V k V ^^^kV^(**)\bigwedge^{k} V^{*}kV T ( 0 , k ) ( V ) T ( 0 , k ) ( V ) T^((0,k))(V)\mathcal{T}^{(0, k)}(V)T(0,k)(V) n C k n C k _(n)C_(k){ }_{n} C_{k}nCk 次元部分ベクトル空間である.
Φ k ( V ) Φ k V Phi in^^^k(V^(**))\Phi \in \bigwedge^{k}\left(V^{*}\right)Φk(V) は,
Φ = 1 i 1 < < i k n Φ i 1 i k e i 1 e i k ( Φ i 1 i k R ) Φ = 1 i 1 < < i k n Φ i 1 i k e i 1 e i k Φ i 1 i k R Phi=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)Phi_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**)quad(Phi_(i_(1)cdotsi_(k))inR)\Phi=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \quad\left(\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \in \mathbb{R}\right)Φ=1i1<<iknΦi1ikei1eik(Φi1ikR)
と表される. Φ i 1 i k Φ i 1 i k Phi_(i_(1)cdotsi_(k))\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}}Φi1ik k k k\boldsymbol{k}k 次交代形式 Φ Φ Phi\boldsymbol{\Phi}Φ の基底 E E E\boldsymbol{E}E に関する成分という.
例 2.2.1 g : R n × R n R g : R n × R n R g:R^(n)xxR^(n)rarrRg: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}g:Rn×RnR
g ( v 1 , v 2 ) := v 1 v 2 ( v 1 , v 2 R n ) g v 1 , v 2 := v 1 v 2 v 1 , v 2 R n g(v_(1),v_(2)):=v_(1)*v_(2)quad(v_(1),v_(2)inR^(n))g\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right):=\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{2} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in \mathbb{R}^{n}\right)g(v1,v2):=v1v2(v1,v2Rn)
と定義する. ここで・は, ベクトル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の通常の内積を表す. g g ggg は, ベク トル空間 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn 上の 2 次対称形式になる.
例 2.2.2 J : R 2 n R 2 n J : R 2 n R 2 n J:R^(2n)rarrR^(2n)J: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}J:R2nR2n
J ( v ) := ( v 2 , v 1 , v 4 , v 3 , , v 2 n , v 2 n 1 ) ( v = ( v 1 , , v 2 n ) R 2 n ) J ( v ) := v 2 , v 1 , v 4 , v 3 , , v 2 n , v 2 n 1 v = v 1 , , v 2 n R 2 n J(v):=(-v_(2),v_(1),-v_(4),v_(3),dots,-v_(2n),v_(2n-1))quad(v=(v_(1),dots,v_(2n))inR^(2n))J(\boldsymbol{v}):=\left(-v_{2}, v_{1},-v_{4}, v_{3}, \ldots,-v_{2 n}, v_{2 n-1}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{2 n}\right) \in \mathbb{R}^{2 n}\right)J(v):=(v2,v1,v4,v3,,v2n,v2n1)(v=(v1,,v2n)R2n)
と定義する. これは, ベクトル空間 R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソルになる.
2.2 .3 ω : R 2 n × R 2 n R 2.2 .3 ω : R 2 n × R 2 n R 2.2.3 omega:R^(2n)xxR^(2n)rarrR2.2 .3 \omega: \mathbb{R}^{2 n} \times \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}2.2.3ω:R2n×R2nR
ω ( v 1 , v 2 ) := g ( J ( v 1 ) , v 2 ) ( v 1 , v 2 R 2 n ) ω v 1 , v 2 := g J v 1 , v 2 v 1 , v 2 R 2 n omega(v_(1),v_(2)):=g(J(v_(1)),v_(2))quad(v_(1),v_(2)inR^(2n))\omega\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right):=g\left(J\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \boldsymbol{v}_{2}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in \mathbb{R}^{2 n}\right)ω(v1,v2):=g(J(v1),v2)(v1,v2R2n)
と定義する. ここで, g , J g , J g,Jg, Jg,J は各々, 例 2.2 .1 , 2.2 .2 2.2 .1 , 2.2 .2 2.2.1,2.2.22.2 .1,2.2 .22.2.1,2.2.2 で述べたものを表す. ω ω omega\omegaω は, ベクトル空間 R 2 n R 2 n R^(2n)\mathbb{R}^{2 n}R2n 上の 2 次交代形式になる.
( S , D ) ( D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } ) ( S , D ) D = S λ , x λ 1 λ Λ (S,D)(D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda})(S, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(S,D)(D={(Sλ,xλ1)λΛ}) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とする. S S SSS の各点 p p ppp に対し, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の k k kkk 次共変テンソル Φ p Φ p Phi_(p)\Phi_{p}Φp を対応させる対応 Φ Φ Phi\PhiΦ を, S S SSS 上の k k k\boldsymbol{k}k 次共変テンソル場(covariant tensor field of degree k k k\boldsymbol{k}k ), または ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k)次テンソル場 (tensor field of type ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k) ) という. 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) として,
Φ i 1 , , i k ( p ) := Φ p ( ( u i 1 ) p , , ( u i k ) p ) ( p S λ ) Φ i 1 , , i k ( p ) := Φ p u i 1 p , , u i k p p S λ Phi_(i_(1),dots,i_(k))(p):=Phi_(p)(((del)/(delu_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(i_(k))))_(p))quad(p inS_(lambda))\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}(p):=\Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{k}}}\right)_{p}\right) \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)Φi1,,ik(p):=Φp((ui1)p,,(uik)p)(pSλ)
によって定義される S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の関数 Φ i 1 , , i k ( 1 i 1 , , i k n ) Φ i 1 , , i k 1 i 1 , , i k n Phi_(i_(1),dots,i_(k))(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n)\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}\left(1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right)Φi1,,ik(1i1,,ikn) Φ Φ Phi\boldsymbol{\Phi}Φ の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)x_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分 (the component of Φ Φ Phi\PhiΦ with respect to the local coordinate x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\lambda}}^{-1}xλ1 ) という. 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, Φ i 1 , , i k x λ Φ i 1 , , i k x λ Phi_(i_(1),dots,i_(k))@x_(lambda)\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}Φi1,,ikxλ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級になると き, Φ Φ Phi\PhiΦ S S SSS 上の C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級の k k k\boldsymbol{k}k 次共変テンソル場 ( C r C r (C^(r):}\left(\boldsymbol{C}^{r}\right.(Cr-covariant tensor field of degree k ) k ) k)k)k), または, C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(0, k)(0,k) 次テンソル場 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-tensor field of type ( 0 , k ) ( 0 , k ) (0,k)(\mathbf{0}, \boldsymbol{k})(0,k) ) という. また, S S SSS の各点 p p ppp に対し, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の k ( n ) k ( n ) k( <= n)k(\leq n)k(n) 次交代形式 ω p ω p omega_(p)\omega_{p}ωp を対応させる対応 ω ω omega\omegaω を, S S SSS 上の k k k\boldsymbol{k}k 次微分形式(differential form of degree k ) k ) k)\boldsymbol{k})k) といい, それが S S SSS 上の k k kkk 次共変テンソル場として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であると き, ω ω omega\omegaω C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の k k k\boldsymbol{k}k 次微分形式 ( C r C r (C^(r):}\left(C^{r}\right.(Cr-differential form of degree k ) k {:k)\left.\boldsymbol{k}\right)k) と いう.
S S SSS の各点 p p ppp に対し, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル Φ p Φ p Phi_(p)\Phi_{p}Φp を対応させる対応 Φ Φ Phi\PhiΦ を, S S SSS 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 (tensor field of degree ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) ) という. 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) として,
Φ p ( ( u i 1 ) p , , ( u i k ) p ) = j = 1 n Φ i 1 , , i k j ( p ) ( u j ) p ( p S λ ) Φ p u i 1 p , , u i k p = j = 1 n Φ i 1 , , i k j ( p ) u j p p S λ Phi_(p)(((del)/(delu_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(i_(k))))_(p))=sum_(j=1)^(n)Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)quad(p inS_(lambda))\Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{k}}}\right)_{p}\right)=\sum_{j=1}^{n} \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)Φp((ui1)p,,(uik)p)=j=1nΦi1,,ikj(p)(uj)p(pSλ)
によって定義される S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の関数 Φ i 1 , , i k j ( 1 i 1 , , i k , j n ) Φ i 1 , , i k j 1 i 1 , , i k , j n Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)(1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n)\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j}\left(1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right)Φi1,,ikj(1i1,,ik,jn) Φ Φ Phi\boldsymbol{\Phi}Φ の局
所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)x_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分という。各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, Φ i 1 , , i k j x λ Φ i 1 , , i k j x λ Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)@x_(lambda)\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}Φi1,,ikjxλ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級に なるとき, Φ Φ Phi\PhiΦ S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 ( C r C r (C^(r)-:}\left(C^{r}-\right.(Cr tensor field of type ( 1 , k ) ) ( 1 , k ) ) (1,k))(1, k))(1,k)) という.
命題 2.2.3 S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)!=O/S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptysetSλSμ とする. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) , x μ 1 = ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) x λ 1 = u 1 , , u n , x μ 1 = u ¯ 1 , , u ¯ n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)xλ1=(u1,,un),xμ1=(u¯1,,u¯n) とし, S S SSS 上の k k kkk 次共変テンソル場 Φ Φ Phi\PhiΦ x λ 1 , x μ 1 x λ 1 , x μ 1 x_(lambda)^(-1),x_(mu)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}, \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}xλ1,xμ1 に関する成分を各々, Φ i 1 , , i k , Φ ¯ i 1 , , i k Φ i 1 , , i k , Φ ¯ i 1 , , i k Phi_(i_(1),dots,i_(k)), bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}, \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}Φi1,,ik,Φ¯i1,,ik とする. このとき S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で, 次の関係式が成り立つ:
Φ ¯ i 1 , , i k = j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 x μ 1 ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k x μ 1 ) Φ ¯ i 1 , , i k = j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 u j k x μ u ¯ i k x μ 1 bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1)))@x_(mu)^(-1))cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k)))@x_(mu)^(-1))\bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)Φ¯i1,,ik=j1=1njk=1nΦj1,,jk((uj1xμ)u¯i1xμ1)((ujkxμ)u¯ikxμ1)
証明 式 (2.1.1)を用いて,
Φ ¯ i 1 , , i k ( p ) = Φ p ( ( u ¯ i 1 ) p , , ( u ¯ i k ) p ) = j 1 = 1 n j k = 1 n ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 ) x μ 1 ( p ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k ) x μ 1 ( p ) × Φ p ( ( u j 1 ) p , , ( u j k ) p ) = j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k ( p ) ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 ) x μ 1 ( p ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k ) x μ 1 ( p ) Φ ¯ i 1 , , i k ( p ) = Φ p u ¯ i 1 p , , u ¯ i k p = j 1 = 1 n j k = 1 n u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 ( p ) u j k x μ u ¯ i k x μ 1 ( p ) × Φ p u j 1 p , , u j k p = j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k ( p ) u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 ( p ) u j k x μ u ¯ i k x μ 1 ( p ) {:[ bar(Phi)_(i_(1),cdots,i_(k))(p)=Phi_(p)(((del)/(del bar(u)_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(del bar(u)_(i_(k))))_(p))],[=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu^(-1)(p)))cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu^(-1)(p)))],[ xxPhi_(p)(((del)/(delu_(j_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(j_(k))))_(p))],[=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu^(-1)(p)))cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu^(-1)(p)))]:}\begin{aligned} & \bar{\Phi}_{i_{1}, \cdots, i_{k}}(p)=\Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{p}\right) \\ & =\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu^{-1}(p)}} \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu^{-1}(p)}} \\ & \times \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{k}}}\right)_{p}\right) \\ & =\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\mu}^{-1}(p)}} \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\mu}^{-1}(p)}} \end{aligned}Φ¯i1,,ik(p)=Φp((u¯i1)p,,(u¯ik)p)=j1=1njk=1n((uj1xμ)u¯i1)xμ1(p)((ujkxμ)u¯ik)xμ1(p)×Φp((uj1)p,,(ujk)p)=j1=1njk=1nΦj1,,jk(p)((uj1xμ)u¯i1)xμ1(p)((ujkxμ)u¯ik)xμ1(p)
が示される.
命題 2.2.4 S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)!=O/S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptysetSλSμ とする. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) , x μ 1 = ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) x λ 1 = u 1 , , u n , x μ 1 = u ¯ 1 , , u ¯ n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)xλ1=(u1,,un),xμ1=(u¯1,,u¯n) とし, S S SSS 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 Φ Φ Phi\PhiΦ x λ 1 , x μ 1 x λ 1 , x μ 1 x_(lambda)^(-1),x_(mu)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}, \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}xλ1,xμ1 に関する成分を各々, Φ i 1 , , i k i 0 , Φ ¯ i 1 , , i k i 0 Φ i 1 , , i k i 0 , Φ ¯ i 1 , , i k i 0 Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0)), bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0))\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{i_{0}}, \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}^{i_{0}}Φi1,,iki0,Φ¯i1,,iki0 とする. このとき S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で, 次の関係式が成り立 つ :
Φ ¯ i 1 , , i k i 0 = j 0 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 x μ 1 ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k x μ 1 ) ( ( u ¯ i 0 x λ ) u j 0 x λ 1 ) Φ ¯ i 1 , , i k i 0 = j 0 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 u j k x μ u ¯ i k x μ 1 u ¯ i 0 x λ u j 0 x λ 1 {:[ bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0))=sum_(j_(0)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1)))@x_(mu)^(-1))],[ cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k)))@x_(mu)^(-1))((del( bar(u)_(i_(0))@x_(lambda)))/(delu_(j_(0)))@x_(lambda)^(-1))]:}\begin{aligned} & \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}^{i_{0}}=\sum_{j_{0}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}^{j_{0}}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \\ & \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i_{0}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j_{0}}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \end{aligned}Φ¯i1,,iki0=j0=1njk=1nΦj1,,jkj0((uj1xμ)u¯i1xμ1)((ujkxμ)u¯ikxμ1)((u¯i0xλ)uj0xλ1)
証明 式 (2.1.1) を用いて,
Φ p ( ( u ¯ i 1 ) p , , ( u ¯ i k ) p ) j 1 = 1 n j k = 1 n ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 ) x μ 1 ( p ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k ) x μ 1 ( p ) = × Φ p ( ( u j 1 ) p , , ( u j k ) p ) x μ ( u j 0 ) p = j 0 = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( p ) ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 ) x μ 1 ( p ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k ) x μ 1 ( p ) = i 0 = 1 n { j 0 = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( p ) ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 ) x μ 1 ( p ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k ) x μ 1 ( p ) ( ( u ¯ i 0 x λ ) u j 0 ) x λ 1 ( p ) } ( u ¯ i 0 ) p Φ p u ¯ i 1 p , , u ¯ i k p j 1 = 1 n j k = 1 n u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 ( p ) u j k x μ u ¯ i k x μ 1 ( p ) = × Φ p u j 1 p , , u j k p x μ u j 0 p = j 0 = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( p ) u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 ( p ) u j k x μ u ¯ i k x μ 1 ( p ) = i 0 = 1 n j 0 = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( p ) u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 ( p ) u j k x μ u ¯ i k x μ 1 ( p ) u ¯ i 0 x λ u j 0 x λ 1 ( p ) u ¯ i 0 p {:[Phi_(p)(((del)/(del bar(u)_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(del bar(u)_(i_(k))))_(p))_(j_(1)=1)^(n)dotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))],[=xxPhi_(p)(((del)/(delu_(j_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(j_(k))))_(p))_(x_(mu))((del)/(delu_(j_(0))))_(p)],[=sum_(j_(0)=1)^(n)sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots],[ cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots],[=sum_(i_(0)=1)^(n){sum_(j_(0)=1)^(n)sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots:}],[{: cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))((del( bar(u)_(i_(0))@x_(lambda)))/(delu_(j_(0))))_(x_(lambda)^(-1)(p))}((del)/(del bar(u)_(i_(0))))_(p)]:}\begin{aligned} & \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{p}\right)_{j_{1}=1}^{n} \ldots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \\ &= \times \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{k}}}\right)_{p}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{0}}}\right)_{p} \\ &=\sum_{j_{0}=1}^{n} \sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}{ }^{j_{0}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots \\ & \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots \\ &= \sum_{i_{0}=1}^{n}\left\{\sum_{j_{0}=1}^{n} \sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}^{j_{0}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots\right. \\ &\left.\cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i_{0}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j_{0}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\right\}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{0}}}\right)_{p} \end{aligned}Φp((u¯i1)p,,(u¯ik)p)j1=1njk=1n((uj1xμ)u¯i1)xμ1(p)((ujkxμ)u¯ik)xμ1(p)=×Φp((uj1)p,,(ujk)p)xμ(uj0)p=j0=1nj1=1njk=1nΦj1,,jkj0(p)((uj1xμ)u¯i1)xμ1(p)((ujkxμ)u¯ik)xμ1(p)=i0=1n{j0=1nj1=1njk=1nΦj1,,jkj0(p)((uj1xμ)u¯i1)xμ1(p)((ujkxμ)u¯ik)xμ1(p)((u¯i0xλ)uj0)xλ1(p)}(u¯i0)p
が示される。それゆえ、
Φ ¯ i 1 , , i k i 0 ( p ) = j 0 = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( p ) ( ( u j 1 x μ ) u ¯ i 1 ) x μ 1 ( p ) ( ( u j k x μ ) u ¯ i k ) x μ 1 ( p ) ( ( u ¯ i 0 x λ ) u j 0 ) x λ 1 ( p ) Φ ¯ i 1 , , i k i 0 ( p ) = j 0 = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n Φ j 1 , , j k j 0 ( p ) u j 1 x μ u ¯ i 1 x μ 1 ( p ) u j k x μ u ¯ i k x μ 1 ( p ) u ¯ i 0 x λ u j 0 x λ 1 ( p ) {:[ bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0))(p)=sum_(j_(0)=1)^(n)sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots],[ cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))((del( bar(u)_(i_(0))@x_(lambda)))/(delu_(j_(0))))_(x_(lambda)^(-1)(p))]:}\begin{aligned} \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}^{i_{0}}(p)= & \sum_{j_{0}=1}^{n} \sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}^{j_{0}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots \\ & \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i_{0}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j_{0}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} \end{aligned}Φ¯i1,,iki0(p)=j0=1nj1=1njk=1nΦj1,,jkj0(p)((uj1xμ)u¯i1)xμ1(p)((ujkxμ)u¯ik)xμ1(p)((u¯i0xλ)uj0)xλ1(p)
が示される.
Φ Φ Phi\PhiΦ S S SSS 上の k k kkk 次共変テンソル場(または, S S SSS 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場)と し, X 1 , , X k X 1 , , X k X_(1),dots,X_(k)\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}X1,,Xk S S SSS 上の接ベクトル場とする。このとき, S S SSS 上のスカラー場 (または,接べクトル場) Φ ( X 1 , , X k ) Φ X 1 , , X k Phi(X_(1),dots,X_(k))\Phi\left(\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}\right)Φ(X1,,Xk)
Φ ( X 1 , , X k ) ( p ) := Φ p ( ( X 1 ) p , , ( X k ) p ) ( p S ) Φ X 1 , , X k ( p ) := Φ p X 1 p , , X k p ( p S ) Phi(X_(1),dots,X_(k))(p):=Phi_(p)((X_(1))_(p),dots,(X_(k))_(p))quad(p in S)\Phi\left(\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}\right)(p):=\Phi_{p}\left(\left(\boldsymbol{X}_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(\boldsymbol{X}_{k}\right)_{p}\right) \quad(p \in S)Φ(X1,,Xk)(p):=Φp((X1)p,,(Xk)p)(pS)
によって定義する。
命題 2.2.5 Φ Φ Phi\PhiΦ S S SSS 上の k k kkk 次共変テンソル場, または S S SSS 上の ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソ
ル場とする。 Φ Φ Phi\PhiΦ, および X 1 , , X k X 1 , , X k X_(1),dots,X_(k)\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}X1,,Xk C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ならば, Φ ( X 1 , , X k ) Φ X 1 , , X k Phi(X_(1),dots,X_(k))\Phi\left(\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}\right)Φ(X1,,Xk) C r C r C^(r)C^{r}Cr級である.
証明 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べる。 x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とする. X i ( i = 1 , , k ) X i ( i = 1 , , k ) X_(i)(i=1,dots,k)\boldsymbol{X}_{i}(i=1, \ldots, k)Xi(i=1,,k) x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を ( X i ) j ( j = 1 , , n ) X i j ( j = 1 , , n ) (X_(i))_(j)(j=1,dots,n)\left(X_{i}\right)_{j}(j=1, \ldots, n)(Xi)j(j=1,,n) とする. まず, Φ Φ Phi\PhiΦ k k kkk 次共変テン ソル場の場合を考える。 Φ Φ Phi\PhiΦ x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を Φ i 1 , , i k Φ i 1 , , i k Phi_(i_(1),dots,i_(k))\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}Φi1,,ik とする. このとき,
Φ ( X i 1 , , X i k ) = j 1 = 1 n j k = 1 n ( X i 1 ) j 1 ( X i k ) j k Φ j 1 , , j k Φ X i 1 , , X i k = j 1 = 1 n j k = 1 n X i 1 j 1 X i k j k Φ j 1 , , j k Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k)))=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)(X_(i_(1)))_(j_(1))cdots(X_(i_(k)))_(j_(k))Phi_(j_(1),dots,j_(k))\Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right)=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(X_{i_{1}}\right)_{j_{1}} \cdots\left(X_{i_{k}}\right)_{j_{k}} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}Φ(Xi1,,Xik)=j1=1njk=1n(Xi1)j1(Xik)jkΦj1,,jk
となる. この式から, スカラー場 Φ ( X i 1 , , X i k ) Φ X i 1 , , X i k Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k)))\Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right)Φ(Xi1,,Xik) S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるこ とがわかる.
次に, Φ Φ Phi\PhiΦ ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場の場合を考える。 Φ Φ Phi\PhiΦ x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を Φ i 1 , , i k j Φ i 1 , , i k j Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)\Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j}Φi1,,ikj とする. このとき,
Φ ( X i 1 , , X i k ) = l = 1 n ( j 1 = 1 n j k = 1 n ( X i 1 ) j 1 ( X i k ) j k Φ j 1 j k l ) u l Φ X i 1 , , X i k = l = 1 n j 1 = 1 n j k = 1 n X i 1 j 1 X i k j k Φ j 1 j k l u l Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k)))=sum_(l=1)^(n)(sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)(X_(i_(1)))_(j_(1))cdots(X_(i_(k)))_(j_(k))Phi_(j_(1)cdotsj_(k))^(l))(del)/(delu_(l))\Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right)=\sum_{l=1}^{n}\left(\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(X_{i_{1}}\right)_{j_{1}} \cdots\left(X_{i_{k}}\right)_{j_{k}} \Phi_{j_{1} \cdots j_{k}}{ }^{l}\right) \frac{\partial}{\partial u_{l}}Φ(Xi1,,Xik)=l=1n(j1=1njk=1n(Xi1)j1(Xik)jkΦj1jkl)ul
となる。この式から,接ベクトル場 Φ ( X i 1 , , X i k ) Φ X i 1 , , X i k Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k)))\Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right)Φ(Xi1,,Xik) S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である ことがわかる.
C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面上の 2 次共変テンソル場の基本的な例を紹介しよう。 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とし,
D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ}
とする. 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, g p : T p S × T p S R g p : T p S × T p S R g_(p):T_(p)S xxT_(p)S rarrRg_{p}: T_{p} S \times T_{p} S \rightarrow \mathbb{R}gp:TpS×TpSR
g p ( v , w ) := v w ( p S ) g p ( v , w ) := v w ( p S ) g_(p)(v,w):=v*w quad(p in S)g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} \quad(p \in S)gp(v,w):=vw(pS)
によって定義し, 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, g p g p g_(p)g_{p}gp を対応させる対応 g g ggg を考える。内積・ の性質より, g p g p g_(p)g_{p}gp T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の 2 次共変テンソルになるので, g g ggg S S SSS 上の 2 次共変テンソル場を与える。しかも内積の性質より, g g ggg は次の対称性条件(symmetry condition)と正定値性条件(positive definiteness condition) を満たす:
(i) g p ( v , w ) = g p ( w , v ) ( p S , v , w T p S ) g p ( v , w ) = g p ( w , v ) p S , v , w T p S g_(p)(v,w)=g_(p)(w,v)quad(p in S,v,w inT_(p)S)quadg_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=g_{p}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v}) \quad\left(p \in S, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} S\right) \quadgp(v,w)=gp(w,v)(pS,v,wTpS) (対称性)
(ii) g p ( v , v ) 0 ( p S , v T p S ) g p ( v , v ) 0 p S , v T p S g_(p)(v,v) >= 0(p in S,v inT_(p)S)g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}) \geq 0\left(p \in S, \boldsymbol{v} \in T_{p} S\right)gp(v,v)0(pS,vTpS) が成り立ち, 等号成立は v = 0 v = 0 v=0\boldsymbol{v}=\mathbf{0}v=0 のと きに限る。(正定値性)
この正定値かつ対称な 2 次共変テンソル場 g g ggg S S SSS の第 1 基本形式(the first fundamental form), または誘導リーマン計量 (induced Riemannian metric) という. また, 組 ( ( S , D ) , g ) ( ( S , D ) , g ) ((S,D),g)((S, \mathcal{D}), g)((S,D),g) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内のリーマン超曲面 (Riemannian hypersurface in E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 ) とよばれる。
命題 2.2.6 S S SSS の第 1 基本形式 g g ggg は, S S SSS 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の 2 次共変テンソル場に なる.
証明 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べる. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とし, g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij g g ggg x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する 成分とする. このとき,
g i j x λ = g ( u i , u j ) x λ = ( u i u j ) x λ = x λ u i x λ u j ( p S λ ) g i j x λ = g u i , u j x λ = u i u j x λ = x λ u i x λ u j p S λ g_(ij)@x_(lambda)=g((del)/(delu_(i)),(del)/(delu_(j)))@x_(lambda)=((del)/(delu_(i))*(del)/(delu_(j)))@x_(lambda)=(del vec(x_(lambda)))/(delu_(i))*(del vec(x_(lambda)))/(delu_(j))quad(p inS_(lambda))g_{i j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j}} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)gijxλ=g(ui,uj)xλ=(uiuj)xλ=xλuixλuj(pSλ)
となる. ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面なので, x λ u i x λ u j x λ u i x λ u j (del vec(x_(lambda)))/(delu_(i))*(del vec(x_(lambda)))/(delu_(j))\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j}}xλuixλuj C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数であり, g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij x λ x λ x_(lambda)\boldsymbol{x}_{\lambda}xλ C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数であることがわかる。それゆえ, 2 次共変テンソル場 g g ggg は, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることが示される.
次に, 3 次元ユークリッド空間 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 内の向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) 上 の基本的な ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) テンソル場の例を紹介しよう.
D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ}
とする. S S SSS の各点 p p ppp に対し, J p : T p S T p S J p : T p S T p S J_(p):T_(p)S rarrT_(p)SJ_{p}: T_{p} S \rightarrow T_{p} SJp:TpSTpS を次のように定義する. p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 = ( u 1 , u 2 ) x λ 1 = u 1 , u 2 x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)xλ1=(u1,u2) とし, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の座標基底 ( ( u 1 ) p u 1 p (((del)/(delu_(1)))_(p):}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}\right.((u1)p ( u 2 ) p ) u 2 p {:((del)/(delu_(2)))_(p))\left.\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right)(u2)p) からシュミットの直交化法によりえられる g p g p g_(p)g_{p}gp に関する正規直交基底を ( e 1 p , e 2 p ) e 1 p , e 2 p (e_(1)^(p),e_(2)^(p))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) とし, J p J p J_(p)J_{p}Jp J p ( e 1 p ) = e 2 p , J p ( e 2 p ) = e 1 p J p e 1 p = e 2 p , J p e 2 p = e 1 p J_(p)(e_(1)^(p))=e_(2)^(p),J_(p)(e_(2)^(p))=-e_(1)^(p)J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}\right)=\boldsymbol{e}_{2}^{p}, J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)=-\boldsymbol{e}_{1}^{p}Jp(e1p)=e2p,Jp(e2p)=e1p を満たす T p ( S ) T p ( S ) T_(p)(S)T_{p}(S)Tp(S) の 線形変換として定義する(シュミットの直交化法については,線形代数の本を 参照のこと). J p J p J_(p)J_{p}Jp がwell-defined であること,つまり, p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ の選び方に依存しないことを示そう. p S μ p S μ p inS_(mu)p \in S_{\mu}pSμ となる μ Λ μ Λ mu in Lambda\mu \in \LambdaμΛ をもう1つと
り, x μ 1 = ( u ¯ 1 , u ¯ 2 ) x μ 1 = u ¯ 1 , u ¯ 2 x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1), bar(u)_(2))\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \bar{u}_{2}\right)xμ1=(u¯1,u¯2) とする。 T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の座標基底 ( ( u ¯ 1 ) p , ( u ¯ 2 ) p ) u ¯ 1 p , u ¯ 2 p (((del)/(del bar(u)_(1)))_(p),((del)/(del bar(u)_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{2}}\right)_{p}\right)((u¯1)p,(u¯2)p) からシ ユミットの直交化法によりえられる g p g p g_(p)g_{p}gp に関する正規直交基底を ( e 1 p , e 2 p ) e ¯ 1 p , e ¯ 2 p ( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p))\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) と し, J ¯ p J ¯ p bar(J)_(p)\bar{J}_{p}J¯p J ¯ p ( e 1 p ) = e 2 p , J ¯ p ( e 2 p ) = e 1 p J ¯ p e ¯ 1 p = e ¯ 2 p , J ¯ p e ¯ 2 p = e ¯ 1 p bar(J)_(p)( bar(e)_(1)^(p))= bar(e)_(2)^(p), bar(J)_(p)( bar(e)_(2)^(p))=- bar(e)_(1)^(p)\bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}\right)=\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}, \bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)=-\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}J¯p(e1p)=e2p,J¯p(e2p)=e1p を満たす T p ( S ) T p ( S ) T_(p)(S)T_{p}(S)Tp(S) の線形変換として 定義する. J p = J ¯ p J p = J ¯ p J_(p)= bar(J)_(p)J_{p}=\bar{J}_{p}Jp=J¯p を示さなければならない. シュミットの直交化法による と, ( ( u 1 ) p , ( u 2 ) p ) u 1 p , u 2 p (((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right)((u1)p,(u2)p) ( e 1 p , e 2 p ) e 1 p , e 2 p (e_(1)^(p),e_(2)^(p))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) は同じ向きを定めることがわかる. 同 じく, ( ( u ¯ 1 ) p , ( u ¯ 2 ) p ) u ¯ 1 p , u ¯ 2 p (((del)/(del bar(u)_(1)))_(p),((del)/(del bar(u)_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{2}}\right)_{p}\right)((u¯1)p,(u¯2)p) ( e 1 p , e 2 p ) e ¯ 1 p , e ¯ 2 p ( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p))\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) が同じ向きを定めることがわかる.一方, ( ( u 1 ) p , ( u 2 ) p ) u 1 p , u 2 p (((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right)((u1)p,(u2)p) ( ( u ¯ 1 ) p , ( u ¯ 2 ) p ) u ¯ 1 p , u ¯ 2 p (((del)/(del bar(u)_(1)))_(p),((del)/(del bar(u)_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{2}}\right)_{p}\right)((u¯1)p,(u¯2)p) も同じ向きを定める ので, 結局, ( e 1 p , e 2 p ) e 1 p , e 2 p (e_(1)^(p),e_(2)^(p))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) ( e 1 p , e 2 p ) e ¯ 1 p , e ¯ 2 p ( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p))\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) が同じ向きを定めることがわかる. 基底 ( e 1 p e 1 p (e_(1)^(p):}\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}\right.(e1p, e 2 p ) e 2 p {:e_(2)^(p))\left.\boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)e2p) から基底 ( e 1 p , e 2 p ) e ¯ 1 p , e ¯ 2 p ( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p))\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) への変換行列 ( a i j ) a i j (a_(ij))\left(a_{i j}\right)(aij) (つまり e i p = j = 1 2 a i j e j p ( i = 1 , 2 ) ) e ¯ i p = j = 1 2 a i j e j p ( i = 1 , 2 ) {: bar(e)_(i)^(p)=sum_(j=1)^(2)a_(ij)e_(j)^(p)quad(i=1,2))\left.\overline{\boldsymbol{e}}_{i}^{p}=\sum_{j=1}^{2} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}^{p} \quad(i=1,2)\right)eip=j=12aijejp(i=1,2)) は, det ( a i j ) > 0 det a i j > 0 det(a_(ij)) > 0\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0det(aij)>0 となる直交行列になるので, 行列 ( a i j ) a i j (a_(ij))\left(a_{i j}\right)(aij) はある定数 θ θ theta\thetaθ を用い て,
( a i j ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) a i j = cos θ sin θ sin θ cos θ (a_(ij))=([cos theta,-sin theta],[sin theta,cos theta])\left(a_{i j}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)(aij)=(cosθsinθsinθcosθ)
と表される。それゆえ,
J p ( e 1 p ) = J p ( j = 1 2 a 1 j e j p ) = j = 1 2 a 1 j J p ( e j p ) = a 11 e 2 p a 12 e 1 p = cos θ e 2 p + sin θ e 1 p = e 2 p = J ¯ p ( e 1 p ) J p e ¯ 1 p = J p j = 1 2 a 1 j e j p = j = 1 2 a 1 j J p e j p = a 11 e 2 p a 12 e 1 p = cos θ e 2 p + sin θ e 1 p = e ¯ 2 p = J ¯ p e ¯ 1 p {:[J_(p)( bar(e)_(1)^(p))=J_(p)(sum_(j=1)^(2)a_(1j)e_(j)^(p))=sum_(j=1)^(2)a_(1j)J_(p)(e_(j)^(p))],[=a_(11)e_(2)^(p)-a_(12)e_(1)^(p)=cos thetae_(2)^(p)+sin thetae_(1)^(p)= bar(e)_(2)^(p)= bar(J)_(p)( bar(e)_(1)^(p))]:}\begin{aligned} J_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}\right) & =J_{p}\left(\sum_{j=1}^{2} a_{1 j} \boldsymbol{e}_{j}^{p}\right)=\sum_{j=1}^{2} a_{1 j} J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{j}^{p}\right) \\ & =a_{11} \boldsymbol{e}_{2}^{p}-a_{12} \boldsymbol{e}_{1}^{p}=\cos \theta \boldsymbol{e}_{2}^{p}+\sin \theta \boldsymbol{e}_{1}^{p}=\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}=\bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}\right) \end{aligned}Jp(e1p)=Jp(j=12a1jejp)=j=12a1jJp(ejp)=a11e2pa12e1p=cosθe2p+sinθe1p=e2p=J¯p(e1p)
および
J p ( e 2 p ) = J p ( j = 1 2 a 2 j e j p ) = j = 1 2 a 2 j J p ( e j p ) = a 21 e 2 p a 22 e 1 p = sin θ e 2 p cos θ e 1 p = e 1 p = J ¯ p ( e 2 p ) J p e ¯ 2 p = J p j = 1 2 a 2 j e j p = j = 1 2 a 2 j J p e j p = a 21 e 2 p a 22 e 1 p = sin θ e 2 p cos θ e 1 p = e ¯ 1 p = J ¯ p e ¯ 2 p {:[J_(p)( bar(e)_(2)^(p))=J_(p)(sum_(j=1)^(2)a_(2j)e_(j)^(p))=sum_(j=1)^(2)a_(2j)J_(p)(e_(j)^(p))],[=a_(21)e_(2)^(p)-a_(22)e_(1)^(p)=sin thetae_(2)^(p)-cos thetae_(1)^(p)=- bar(e)_(1)^(p)= bar(J)_(p)( bar(e)_(2)^(p))]:}\begin{aligned} J_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) & =J_{p}\left(\sum_{j=1}^{2} a_{2 j} \boldsymbol{e}_{j}^{p}\right)=\sum_{j=1}^{2} a_{2 j} J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{j}^{p}\right) \\ & =a_{21} \boldsymbol{e}_{2}^{p}-a_{22} \boldsymbol{e}_{1}^{p}=\sin \theta \boldsymbol{e}_{2}^{p}-\cos \theta \boldsymbol{e}_{1}^{p}=-\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}=\bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) \end{aligned}Jp(e2p)=Jp(j=12a2jejp)=j=12a2jJp(ejp)=a21e2pa22e1p=sinθe2pcosθe1p=e1p=J¯p(e2p)
をえる. したがって, J p = J ¯ p J p = J ¯ p J_(p)= bar(J)_(p)J_{p}=\bar{J}_{p}Jp=J¯p が導かれる。このように, J p J p J_(p)J_{p}Jp が well-defined であることが示される.
J p J p J_(p)J_{p}Jp T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソルなので, 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, J p J p J_(p)J_{p}Jp を対応させ
る対応 J J JJJ S S SSS 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル場を与える.
命題 2.2.7 J J JJJ は, S S SSS 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル場になる.
証明 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べる. x λ 1 = ( u 1 , u 2 ) x λ 1 = u 1 , u 2 x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)xλ1=(u1,u2) とし, 上述のように各点 p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ に 対し, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の座標基底 ( ( u 1 ) p , ( u 2 ) p ) u 1 p , u 2 p (((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p))\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right)((u1)p,(u2)p) からシュミットの直交化法に よりえられる g p g p g_(p)g_{p}gp に関する正規直交基底を ( e 1 p , e 2 p ) e 1 p , e 2 p (e_(1)^(p),e_(2)^(p))\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)(e1p,e2p) とし, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の関数 b i j 1 b i j 1 b_(ij)(1b_{i j} ( 1bij1 i , j 2 ) i , j 2 ) <= i,j <= 2)\leq i, j \leq 2)i,j2)
e i p = j = 1 2 b i j ( p ) ( u j ) p ( p S λ ) e i p = j = 1 2 b i j ( p ) u j p p S λ e_(i)^(p)=sum_(j=1)^(2)b_(ij)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)quad(p inS_(lambda))\boldsymbol{e}_{i}^{p}=\sum_{j=1}^{2} b_{i j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)eip=j=12bij(p)(uj)p(pSλ)
で定義する. b i j b i j b_(ij)b_{i j}bij を求めよう.
e 1 p = 1 ( u 1 ) p ( u 1 ) p = 1 g 11 ( p ) ( u 1 ) p e 2 p = ( u 2 ) p ( ( u 2 ) p e 1 p ) e 1 p ( u 2 ) p ( ( u 2 ) p e 1 p ) e 1 p = ( u 2 ) p g 12 ( p ) g 11 ( p ) ( u 1 ) p ( u 2 ) p g 12 ( p ) g 11 ( p ) ( u 1 ) p = ( u 2 ) p g 12 ( p ) g 11 ( p ) ( u 1 ) p g 22 ( p ) g 12 ( p ) 2 g 11 ( p ) e 1 p = 1 u 1 p u 1 p = 1 g 11 ( p ) u 1 p e 2 p = u 2 p u 2 p e 1 p e 1 p u 2 p u 2 p e 1 p e 1 p = u 2 p g 12 ( p ) g 11 ( p ) u 1 p u 2 p g 12 ( p ) g 11 ( p ) u 1 p = u 2 p g 12 ( p ) g 11 ( p ) u 1 p g 22 ( p ) g 12 ( p ) 2 g 11 ( p ) {:[e_(1)^(p)=(1)/(||((del)/(delu_(1)))_(p)||)((del)/(delu_(1)))_(p)=(1)/(sqrt(g_(11)(p)))((del)/(delu_(1)))_(p)],[e_(2)^(p)=(((del)/(delu_(2)))_(p)-(((del)/(delu_(2)))_(p)*e_(1)^(p))e_(1)^(p))/(||((del)/(delu_(2)))_(p)-(((del)/(delu_(2)))_(p)*e_(1)^(p))e_(1)^(p)||)=(((del)/(delu_(2)))_(p)-(g_(12)(p))/(g_(11)(p))((del)/(delu_(1)))_(p))/(||((del)/(delu_(2)))_(p)-(g_(12)(p))/(g_(11)(p))((del)/(delu_(1)))_(p)||)],[=(((del)/(delu_(2)))_(p)-(g_(12)(p))/(g_(11)(p))((del)/(delu_(1)))_(p))/(sqrt(g_(22)(p)-(g_(12)(p)^(2))/(g_(11)(p))))]:}\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{1}^{p} & =\frac{1}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}\right\|}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}=\frac{1}{\sqrt{g_{11}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \\ \boldsymbol{e}_{2}^{p} & =\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p} \cdot \boldsymbol{e}_{1}^{p}\right) \boldsymbol{e}_{1}^{p}}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p} \cdot \boldsymbol{e}_{1}^{p}\right) \boldsymbol{e}_{1}^{p}\right\|}=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\frac{g_{12}(p)}{g_{11}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\frac{g_{12}(p)}{g_{11}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}\right\|} \\ & =\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\frac{g_{12}(p)}{g_{11}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}}{\sqrt{g_{22}(p)-\frac{g_{12}(p)^{2}}{g_{11}(p)}}} \end{aligned}e1p=1(u1)p(u1)p=1g11(p)(u1)pe2p=(u2)p((u2)pe1p)e1p(u2)p((u2)pe1p)e1p=(u2)pg12(p)g11(p)(u1)p(u2)pg12(p)g11(p)(u1)p=(u2)pg12(p)g11(p)(u1)pg22(p)g12(p)2g11(p)
よって,
b 11 = 1 g 11 , b 12 = 0 , b 21 = g 12 g 11 2 g 22 g 11 g 12 2 , b 22 = 1 g 22 g 12 2 g 11 b 11 = 1 g 11 , b 12 = 0 , b 21 = g 12 g 11 2 g 22 g 11 g 12 2 , b 22 = 1 g 22 g 12 2 g 11 b_(11)=(1)/(sqrt(g_(11))),quadb_(12)=0,quadb_(21)=-(g_(12))/(sqrt(g_(11)^(2)g_(22)-g_(11)g_(12)^(2))),quadb_(22)=(1)/(sqrt(g_(22)-(g_(12)^(2))/(g_(11))))b_{11}=\frac{1}{\sqrt{g_{11}}}, \quad b_{12}=0, \quad b_{21}=-\frac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}^{2} g_{22}-g_{11} g_{12}^{2}}}, \quad b_{22}=\frac{1}{\sqrt{g_{22}-\frac{g_{12}^{2}}{g_{11}}}}b11=1g11,b12=0,b21=g12g112g22g11g122,b22=1g22g122g11
をえる。それゆえ, g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることから, b i j b i j b_(ij)b_{i j}bij C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることが 示される. ( b i j ) b i j (b_(ij))\left(b_{i j}\right)(bij) の逆行列を ( c i j ) c i j (c_(ij))\left(c_{i j}\right)(cij) と表す. 逆行列を求める公式から, c i j c i j c_(ij)c_{i j}cij C C C^(oo)C^{\infty}C級であることが容易にわかる。また, 明らかに,
( u i ) p = j = 1 2 c i j ( p ) e j p ( p S λ ) u i p = j = 1 2 c i j ( p ) e j p p S λ ((del)/(delu_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(2)c_(ij)(p)e_(j)^(p)quad(p inS_(lambda))\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{2} c_{i j}(p) \boldsymbol{e}_{j}^{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)(ui)p=j=12cij(p)ejp(pSλ)
が成り立つ. J J JJJ の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分 J i j J i j J_(i)^(j)J_{i}^{j}Jij を求めよう.
J p ( ( u i ) p ) = j = 1 2 c i j ( p ) J p ( e j p ) = c i 1 ( p ) e 2 p c i 2 ( p ) e 1 p = c i 1 ( p ) j = 1 2 b 2 j ( p ) ( u j ) p c i 2 ( p ) j = 1 2 b 1 j ( p ) ( u j ) p = j = 1 2 ( c i 1 ( p ) b 2 j ( p ) c i 2 ( p ) b 1 j ( p ) ) ( u j ) p ( p S λ ) J p u i p = j = 1 2 c i j ( p ) J p e j p = c i 1 ( p ) e 2 p c i 2 ( p ) e 1 p = c i 1 ( p ) j = 1 2 b 2 j ( p ) u j p c i 2 ( p ) j = 1 2 b 1 j ( p ) u j p = j = 1 2 c i 1 ( p ) b 2 j ( p ) c i 2 ( p ) b 1 j ( p ) u j p p S λ {:[J_(p)(((del)/(delu_(i)))_(p))=sum_(j=1)^(2)c_(ij)(p)J_(p)(e_(j)^(p))=c_(i1)(p)e_(2)^(p)-c_(i2)(p)e_(1)^(p)],[=c_(i1)(p)sum_(j=1)^(2)b_(2j)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)-c_(i2)(p)sum_(j=1)^(2)b_(1j)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)],[=sum_(j=1)^(2)(c_(i1)(p)b_(2j)(p)-c_(i2)(p)b_(1j)(p))((del)/(delu_(j)))_(p)quad(p inS_(lambda))]:}\begin{aligned} J_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}\right) & =\sum_{j=1}^{2} c_{i j}(p) J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{j}^{p}\right)=c_{i 1}(p) \boldsymbol{e}_{2}^{p}-c_{i 2}(p) \boldsymbol{e}_{1}^{p} \\ & =c_{i 1}(p) \sum_{j=1}^{2} b_{2 j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p}-c_{i 2}(p) \sum_{j=1}^{2} b_{1 j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \\ & =\sum_{j=1}^{2}\left(c_{i 1}(p) b_{2 j}(p)-c_{i 2}(p) b_{1 j}(p)\right)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) \end{aligned}Jp((ui)p)=j=12cij(p)Jp(ejp)=ci1(p)e2pci2(p)e1p=ci1(p)j=12b2j(p)(uj)pci2(p)j=12b1j(p)(uj)p=j=12(ci1(p)b2j(p)ci2(p)b1j(p))(uj)p(pSλ)
となるので,
J i j = c i 1 b 2 j c i 2 b 1 j ( 1 i 2 , 1 j 2 ) J i j = c i 1 b 2 j c i 2 b 1 j ( 1 i 2 , 1 j 2 ) J_(i)^(j)=c_(i1)b_(2j)-c_(i2)b_(1j)quad(1 <= i <= 2,quad1 <= j <= 2)J_{i}^{j}=c_{i 1} b_{2 j}-c_{i 2} b_{1 j} \quad(1 \leq i \leq 2, \quad 1 \leq j \leq 2)Jij=ci1b2jci2b1j(1i2,1j2)
となり, J i j x λ ( 1 i , j 2 ) J i j x λ ( 1 i , j 2 ) J_(i)^(j)@x_(lambda)(1 <= i,j <= 2)J_{i}^{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}(1 \leq i, j \leq 2)Jijxλ(1i,j2) C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることが示される。したがって、 λ λ lambda\lambdaλ の任意性より, J J JJJ S S SSS 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル場である.
明らかに, 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, J p 2 = id T p S J p 2 = id T p S J_(p)^(2)=-id_(T_(p)S)J_{p}^{2}=-\mathrm{id}_{T_{p} S}Jp2=idTpS が成り立つ.一般に, 偶数次元の超曲面上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) テンソル場 J ^ J ^ hat(J)\hat{J}J^ J ^ p 2 = id T p S ( p S ) J ^ p 2 = id T p S ( p S ) hat(J)_(p)^(2)=-id_(T_(p)S)(p in S)\hat{J}_{p}^{2}=-\mathrm{id}_{T_{p} S}(p \in S)J^p2=idTpS(pS) を満たすよう なものを,その超曲面上の概複素構造(almost complex structure)とい う. J J JJJ は, S S SSS 上の自然に定まる概複素構造とよばれる.

2.3 第 2 基本形式・形作用素

この節において, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面の第 2 基本形式, および形作用素に ついて述べることにする。この節では, r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする.
はじめに, C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場, および, S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクト ル場の方向微分を定義しよう。 ( S , D ) ( D = { ( S λ , x λ ) λ Λ } ) ( S , D ) D = S λ , x λ λ Λ (S,D)(D={(S_(lambda),x_(lambda))∣lambda in Lambda})(S, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(S,D)(D={(Sλ,xλ)λΛ}) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とする。 f , Y f , Y f,Yf, \boldsymbol{Y}f,Y S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場, S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 とし, v T p S v T p S v inT_(p)S\boldsymbol{v} \in T_{p} SvTpS とする. p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる S λ D S λ D S_(lambda)inDS_{\lambda} \in \mathcal{D}SλD をり, x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とする. v = i = 1 n v i ( u i ) p v = i = 1 n v i u i p v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delu_(i)))_(p)\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}v=i=1nvi(ui)p として, v ( f ) , D v Y v ( f ) , D v Y v(f),D_(v)Y\boldsymbol{v}(f), D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}v(f),DvY
v ( f ) := i = 1 n v i ( ( f x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) , D v Y := i = 1 n v i ( ( Y x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) v ( f ) := i = 1 n v i f x λ u i x λ 1 ( p ) , D v Y := i = 1 n v i Y x λ u i x λ 1 ( p ) v(f):=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p)),quadD_(v)Y:=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))\boldsymbol{v}(f):=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}, \quad D_{v} \boldsymbol{Y}:=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}v(f):=i=1nvi((fxλ)ui)xλ1(p),DvY:=i=1nvi((Yxλ)ui)xλ1(p)
によって定義する。 これらがwell-defined であること,つまり, p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ とな る S λ D S λ D S_(lambda)inDS_{\lambda} \in \mathcal{D}SλD のと方によらないことを示そう。そのために, p S μ p S μ p inS_(mu)p \in S_{\mu}pSμ となる S μ D S μ D S_(mu)inDS_{\mu} \in \mathcal{D}SμD をもう 1 つとり, x μ 1 = ( u ¯ 1 , , u ¯ n ) x μ 1 = u ¯ 1 , , u ¯ n x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n))\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right)xμ1=(u¯1,,u¯n) とし, v = i = 1 n v ¯ i ( u ¯ i ) p v = i = 1 n v ¯ i u ¯ i p v=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del)/(del bar(u)_(i)))_(p)\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{p}v=i=1nv¯i(u¯i)p とす る. このとき, 上述の定義に従って, v ( f ) , D v Y v ( f ) , D v Y v(f),D_(v)Y\boldsymbol{v}(f), D_{v} \boldsymbol{Y}v(f),DvY を定義すると,
v ( f ) := i = 1 n v ¯ i ( ( f x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) , D v Y := i = 1 n v ¯ i ( ( Y x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) v ( f ) := i = 1 n v ¯ i f x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) , D v Y := i = 1 n v ¯ i Y x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) v(f):=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(f@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p)),quadD_(v)Y:=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(Y@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))\boldsymbol{v}(f):=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}, \quad D_{v} \boldsymbol{Y}:=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}v(f):=i=1nv¯i((fxμ)u¯i)xμ1(p),DvY:=i=1nv¯i((Yxμ)u¯i)xμ1(p)
となる。それゆえ,
i = 1 n v i ( ( f x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) = i = 1 n v ¯ i ( ( f x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) i = 1 n v i f x λ u i x λ 1 ( p ) = i = 1 n v ¯ i f x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(f@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}i=1nvi((fxλ)ui)xλ1(p)=i=1nv¯i((fxμ)u¯i)xμ1(p)
および
i = 1 n v i ( ( Y x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) = i = 1 n v ¯ i ( ( Y x μ ) u ¯ i ) x μ 1 ( p ) i = 1 n v i Y x λ u i x λ 1 ( p ) = i = 1 n v ¯ i Y x μ u ¯ i x μ 1 ( p ) sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(Y@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p))\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}i=1nvi((Yxλ)ui)xλ1(p)=i=1nv¯i((Yxμ)u¯i)xμ1(p)
を示さなければならない。式(2.1.1) を用いて,
v = j = 1 n v ¯ j ( u ¯ j ) p = i = 1 n ( j = 1 n v ¯ j ( u i x μ u ¯ j ) x μ 1 ( p ) ) ( u i ) p v = j = 1 n v ¯ j u ¯ j p = i = 1 n j = 1 n v ¯ j u i x μ u ¯ j x μ 1 ( p ) u i p v=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((del)/(del bar(u)_(j)))_(p)=sum_(i=1)^(n)(sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((delu_(i)@x_(mu))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)))((del)/(delu_(i)))_(p)\boldsymbol{v}=\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial u_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}v=j=1nv¯j(u¯j)p=i=1n(j=1nv¯j(uixμu¯j)xμ1(p))(ui)p
が示される. それゆえ,
(2.3.1) v i = j = 1 n v ¯ j ( u i x μ u ¯ j ) x μ 1 ( p ) (2.3.1) v i = j = 1 n v ¯ j u i x μ u ¯ j x μ 1 ( p ) {:(2.3.1)v_(i)=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((delu_(i)@x_(mu))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)):}\begin{equation*} v_{i}=\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial u_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \tag{2.3.1} \end{equation*}(2.3.1)vi=j=1nv¯j(uixμu¯j)xμ1(p)
をえる. したがって,
i = 1 n v i ( ( f x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) = j = 1 n v ¯ j ( i = 1 n ( ( f x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) ( u i x μ u ¯ j ) x μ 1 ( p ) ) = j = 1 n v ¯ j ( ( f x μ ) u ¯ j ) x μ 1 ( p ) i = 1 n v i f x λ u i x λ 1 ( p ) = j = 1 n v ¯ j i = 1 n f x λ u i x λ 1 ( p ) u i x μ u ¯ j x μ 1 ( p ) = j = 1 n v ¯ j f x μ u ¯ j x μ 1 ( p ) {:[sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)(sum_(i=1)^(n)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))((delu_(i)@x_(mu))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)))],[=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((del(f@x_(mu)))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p))]:}\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} & =\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial u_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\right) \\ & =\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \end{aligned}i=1nvi((fxλ)ui)xλ1(p)=j=1nv¯j(i=1n((fxλ)ui)xλ1(p)(uixμu¯j)xμ1(p))=j=1nv¯j((fxμ)u¯j)xμ1(p)
が示される. 同様に,
i = 1 n v i ( ( Y x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) = j = 1 n v ¯ j ( ( Y x μ ) u ¯ j ) x μ 1 ( p ) i = 1 n v i Y x λ u i x λ 1 ( p ) = j = 1 n v ¯ j Y x μ u ¯ j x μ 1 ( p ) sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((del(Y@x_(mu)))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p))\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}=\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}i=1nvi((Yxλ)ui)xλ1(p)=j=1nv¯j((Yxμ)u¯j)xμ1(p)
が示される. このように, v ( f ) , D v Y v ( f ) , D v Y v(f),D_(v)Y\boldsymbol{v}(f), D_{v} \boldsymbol{Y}v(f),DvY は well-defined である. v ( f ) , D v Y v ( f ) , D v Y v(f),D_(v)Y\boldsymbol{v}(f), D_{v} \boldsymbol{Y}v(f),DvY を各々, f , Y f , Y f,Yf, Yf,Y v v vvv に関する方向微分 (directional derivative) という.
命題 2.3.1 c : ( ε , ε ) S c : ( ε , ε ) S c:(-epsi,epsi)rarr Sc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Sc:(ε,ε)S c ( 0 ) = v c ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c(0)=v を満たす S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線とする. このとき,
d ( f c ) d t | t = 0 = v ( f ) , d ( Y c ) d t | t = 0 = D v Y d ( f c ) d t t = 0 = v ( f ) , d ( Y c ) d t t = 0 = D v Y (d(f@c))/(dt)|_(t=0)=v(f), quad(d(Y@c))/(dt)|_(t=0)=D_(v)Y\left.\frac{d(f \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{v}(f),\left.\quad \frac{d(\boldsymbol{Y} \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=D_{v} \boldsymbol{Y}d(fc)dt|t=0=v(f),d(Yc)dt|t=0=DvY
が成り立つ.
証明 p S λ p S λ p inS_(lambda)p \in S_{\lambda}pSλ となる S λ D S λ D S_(lambda)inDS_{\lambda} \in \mathcal{D}SλD をとる. 合成関数の偏微分法(連鎖律)を用 いて,
d ( f c ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ( f x λ ) ( u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) ) = i = 1 n ( ( f x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 d ( f c ) d t t = 0 = d d t t = 0 f x λ u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) = i = 1 n f x λ u i x λ 1 ( p ) d u i ( c ( t ) ) d t t = 0 {:[(d(f@c))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)((f@x_(lambda))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))):}],[=sum_(i=1)^(n)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)]:}\begin{aligned} \left.\frac{d(f \circ c)}{d t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)\right. \\ & =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0} \end{aligned}d(fc)dt|t=0=ddt|t=0((fxλ)(u1(c(t)),,un(c(t)))=i=1n((fxλ)ui)xλ1(p)dui(c(t))dt|t=0
をえる. 一方,
v = c ( 0 ) = d d t | t = 0 ( x λ ( u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) ) = i = 1 n ( x λ u i ) x λ 1 ( p ) d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 = i = 1 n d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 ( u i ) p v = c ( 0 ) = d d t t = 0 x λ u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) = i = 1 n x λ u i x λ 1 ( p ) d u i ( c ( t ) ) d t t = 0 = i = 1 n d u i ( c ( t ) ) d t t = 0 u i p {:[v=c^(')(0)=(d)/(dt)|_(t=0)( vec(x_(lambda))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))):}],[=sum_(i=1)^(n)((del vec(x)_(lambda))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)=sum_(i=1)^(n)(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)((del)/(delu_(i)))_(p)]:}\begin{aligned} \boldsymbol{v} & =c^{\prime}(0)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)\right. \\ & =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} \end{aligned}v=c(0)=ddt|t=0(xλ(u1(c(t)),,un(c(t)))=i=1n(xλui)xλ1(p)dui(c(t))dt|t=0=i=1ndui(c(t))dt|t=0(ui)p
となるので,
v ( f ) = i = 1 n d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 ( ( f x λ ) u i ) x λ 1 ( p ) v ( f ) = i = 1 n d u i ( c ( t ) ) d t t = 0 f x λ u i x λ 1 ( p ) v(f)=sum_(i=1)^(n)(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))\boldsymbol{v}(f)=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}v(f)=i=1ndui(c(t))dt|t=0((fxλ)ui)xλ1(p)
をえる。したがって, d ( f c ) d t | t = 0 = v ( f ) d ( f c ) d t t = 0 = v ( f ) (d(f@c))/(dt)|_(t=0)=v(f)\left.\frac{d(f \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{v}(f)d(fc)dt|t=0=v(f) をえる. d ( Y c ) d t | t = 0 = D v Y d ( Y c ) d t t = 0 = D v Y (d(Y@c))/(dt)|_(t=0)=D_(v)Y\left.\frac{d(\boldsymbol{Y} \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}d(Yc)dt|t=0=DvY も 同様に示される.
S S SSS 上の接ベクトル場 X , S X , S X,S\boldsymbol{X}, SX,S 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場 f , S f , S f,Sf, Sf,S に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y に対し, S S SSS 上のスカラー場 X ( f ) X ( f ) X(f)\boldsymbol{X}(f)X(f) S S SSS に沿うベクトル場 D X Y D X Y D_(X)YD_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}DXY を各々,
X ( f ) p := X p ( f ) , ( D X Y ) p := D X p Y ( p S ) X ( f ) p := X p ( f ) , D X Y p := D X p Y ( p S ) X(f)_(p):=X_(p)(f),quad(D_(X)Y)_(p):=D_(X_(p))Y quad(p in S)\boldsymbol{X}(f)_{p}:=\boldsymbol{X}_{p}(f), \quad\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}:=D_{\boldsymbol{X}_{p}} \boldsymbol{Y} \quad(p \in S)X(f)p:=Xp(f),(DXY)p:=DXpY(pS)
によって定義する.
命題 2.3.2 X , f , Y X , f , Y X,f,Y\boldsymbol{X}, f, \boldsymbol{Y}X,f,Y C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ならば, X ( f ) , D X Y X ( f ) , D X Y X(f),D_(X)Y\boldsymbol{X}(f), D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}X(f),DXY C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級である.
証明 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べる. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とし, X X X\boldsymbol{X}X の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関 する成分を, X i ( i = 1 , , n ) X i ( i = 1 , , n ) X_(i)(i=1,dots,n)X_{i}(i=1, \ldots, n)Xi(i=1,,n) とする。このとき、
X ( f ) = i = 1 X i ( ( f x λ ) u i x λ 1 ) , D X Y = i = 1 X i ( ( Y x λ ) u i x λ 1 ) X ( f ) = i = 1 X i f x λ u i x λ 1 , D X Y = i = 1 X i Y x λ u i x λ 1 X(f)=sum_(i=1)X_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i))@x_(lambda)^(-1)),quadD_(X)Y=sum_(i=1)X_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i))@x_(lambda)^(-1))\boldsymbol{X}(f)=\sum_{i=1} X_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right), \quad D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1} X_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)X(f)=i=1Xi((fxλ)uixλ1),DXY=i=1Xi((Yxλ)uixλ1)
となるので, X ( f ) , D X Y X ( f ) , D X Y X(f),D_(X)Y\boldsymbol{X}(f), D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}X(f),DXY S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であることがわかる.
命題 2.3.3 X , X 1 , X 2 X , X 1 , X 2 X,X_(1),X_(2)\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}X,X1,X2 S S SSS 上の接べクトル場, f , f 1 , f 2 f , f 1 , f 2 f,f_(1),f_(2)f, f_{1}, f_{2}f,f1,f2 S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカ ラー場とし, Y , Y 1 , Y 2 Y , Y 1 , Y 2 Y,Y_(1),Y_(2)\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{Y}_{2}Y,Y1,Y2 S S SSS に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル場とする. このとき、
X ( α f 1 + β f 2 ) = α X ( f 1 ) + β X ( f 2 ) (2.3.2) X ( f 1 f 2 ) = f 1 X ( f 2 ) + f 1 X ( f 2 ) X α f 1 + β f 2 = α X f 1 + β X f 2 (2.3.2) X f 1 f 2 = f 1 X f 2 + f 1 X f 2 {:[X(alphaf_(1)+betaf_(2))=alpha X(f_(1))+beta X(f_(2))],[(2.3.2)X(f_(1)f_(2))=f_(1)X(f_(2))+f_(1)X(f_(2))]:}\begin{gather*} \boldsymbol{X}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)=\alpha \boldsymbol{X}\left(f_{1}\right)+\beta \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \\ \boldsymbol{X}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1} \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right)+f_{1} \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \tag{2.3.2} \end{gather*}X(αf1+βf2)=αX(f1)+βX(f2)(2.3.2)X(f1f2)=f1X(f2)+f1X(f2)
および,
D X ( α Y 1 + β Y 2 ) = α D X Y 1 + β D X Y 2 (2.3.3) D X ( f Y ) = X ( f ) Y + f D X Y D f X Y = f D X Y , D α X 1 + β X 2 Y = α D X 1 Y + β D X 2 Y D X α Y 1 + β Y 2 = α D X Y 1 + β D X Y 2 (2.3.3) D X ( f Y ) = X ( f ) Y + f D X Y D f X Y = f D X Y , D α X 1 + β X 2 Y = α D X 1 Y + β D X 2 Y {:[D_(X)(alphaY_(1)+betaY_(2))=alphaD_(X)Y_(1)+betaD_(X)Y_(2)],[(2.3.3)D_(X)(fY)=X(f)Y+fD_(X)Y],[D_(fX)Y=fD_(X)Y","quadD_(alphaX_(1)+betaX_(2))Y=alphaD_(X_(1))Y+betaD_(X_(2))Y]:}\begin{gather*} D_{\boldsymbol{X}}\left(\alpha \boldsymbol{Y}_{1}+\beta \boldsymbol{Y}_{2}\right)=\alpha D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}_{1}+\beta D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}_{2} \\ D_{\boldsymbol{X}}(f \boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X}(f) \boldsymbol{Y}+f D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \tag{2.3.3}\\ D_{f \boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=f D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}, \quad D_{\alpha \boldsymbol{X}_{1}+\beta \boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}=\alpha D_{\mathbf{X}_{1}} \boldsymbol{Y}+\beta D_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y} \end{gather*}DX(αY1+βY2)=αDXY1+βDXY2(2.3.3)DX(fY)=X(f)Y+fDXYDfXY=fDXY,DαX1+βX2Y=αDX1Y+βDX2Y
が成り立つ. ここで, α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β は実数を表す.
証明 方向微分の定義より, 直接, これらの関係式は示される.
以上の準備の下に, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場の共変微分 を定義しよう. v T p S v T p S v inT_(p)S\boldsymbol{v} \in T_{p} SvTpS とし, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場とする. このと き, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の元 v Y v Y grad_(v)Y\nabla_{v} YvY
v Y = pr T p ( D v Y ) v Y = pr T p D v Y grad_(v)Y=pr_(T_(p))(D_(v)Y)\nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}=\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(D_{v} \boldsymbol{Y}\right)vY=prTp(DvY)
により定義する. v Y v Y grad_(v)Y\nabla_{v} YvY を, Y Y YYY v v vvv に関する共変微分(the covariant
derivative of Y Y Y\boldsymbol{Y}Y with respect to v v v\boldsymbol{v}v ) という. また, S S SSS 上の接ベクトル 場 X X X\boldsymbol{X}X S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y に対し, S S SSS 上の接ベクトル場 X Y X Y grad_(X)Y\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}XY
( X Y ) p := X p Y ( p S ) X Y p := X p Y ( p S ) (grad_(X)Y)_(p):=grad_(X_(p))Y quad(p in S)\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}:=\nabla_{\boldsymbol{X}_{p}} \boldsymbol{Y} \quad(p \in S)(XY)p:=XpY(pS)
により定義する. X Y X Y grad_(X)Y\nabla_{X} \boldsymbol{Y}XY を, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y X X X\boldsymbol{X}X に関する共変微分という.
問 2.3.1 単位球面 S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : ( ε , ε ) S 2 ( 1 ) c : ( ε , ε ) S 2 ( 1 ) c:(-epsi,epsi)rarrS^(2)(1)c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S^{2}(1)c:(ε,ε)S2(1)
c ( t ) := ( cos ( t + π 4 ) , 0 , sin ( t + π 4 ) ) ( ε < t < ε ) c ( t ) := cos t + π 4 , 0 , sin t + π 4 ( ε < t < ε ) c(t):=(cos(t+(pi)/(4)),0,sin(t+(pi)/(4)))quad(-epsi < t < epsi)c(t):=\left(\cos \left(t+\frac{\pi}{4}\right), 0, \sin \left(t+\frac{\pi}{4}\right)\right) \quad(-\varepsilon<t<\varepsilon)c(t):=(cos(t+π4),0,sin(t+π4))(ε<t<ε)
と定義し, v := c ( 0 ) ( T c ( 0 ) S 2 ( 1 ) ) v := c ( 0 ) T c ( 0 ) S 2 ( 1 ) v:=c^(')(0)(inT_(c(0))S^(2)(1))\boldsymbol{v}:=c^{\prime}(0)\left(\in T_{c(0)} S^{2}(1)\right)v:=c(0)(Tc(0)S2(1)) とおく. S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) に沿うベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y, Z Z Z\boldsymbol{Z}Z を各々,次のように定義する:
Y p := ( p 3 , 0 , p 1 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) S 2 ( 1 ) ) Z p := ( p 1 p 3 , 0 , p 1 2 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) S 2 ( 1 ) ) Y p := p 3 , 0 , p 1      p = p 1 , p 2 , p 3 S 2 ( 1 ) Z p := p 1 p 3 , 0 , p 1 2      p = p 1 , p 2 , p 3 S 2 ( 1 ) {:[Y_(p):=(-p_(3),0,p_(1)),(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1))],[Z_(p):=(-p_(1)p_(3),0,p_(1)^(2)),(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1))]:}\begin{array}{ll} \boldsymbol{Y}_{p}:=\left(-p_{3}, 0, p_{1}\right) & \left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right) \\ \boldsymbol{Z}_{p}:=\left(-p_{1} p_{3}, 0, p_{1}^{2}\right) & \left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right) \end{array}Yp:=(p3,0,p1)(p=(p1,p2,p3)S2(1))Zp:=(p1p3,0,p12)(p=(p1,p2,p3)S2(1))
次の各問いに答えよ.
(i) Y , Z Y , Z Y,Z\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}Y,Z S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級接ベクトル場であることを示せ(ヒント: S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) の単位法ベクトル場 N N N\boldsymbol{N}N N p := ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) S 2 ( 1 ) ) N p := p 1 , p 2 , p 3 p = p 1 , p 2 , p 3 S 2 ( 1 ) N_(p):=(p_(1),p_(2),p_(3))(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1))\boldsymbol{N}_{p}:=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right)Np:=(p1,p2,p3)(p=(p1,p2,p3)S2(1)) によ って与えられることに注意する).
(ii) v Y , v Z v Y , v Z grad_(v)Y,grad_(v)Z\nabla_{v} \boldsymbol{Y}, \nabla_{v} \boldsymbol{Z}vY,vZ を計算せよ.
(iii) (ii)の計算結果を気にせず, Y , Z Y , Z Y,Z\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}Y,Z c c ccc に沿う変化の様子を図示することに より, v Y , v Z v Y , v Z grad_(v)Y,grad_(v)Z\nabla_{v} \boldsymbol{Y}, \nabla_{v} \boldsymbol{Z}vY,vZ がおおよそどのようなべクトルになるか分析し, その図形的分析結果と (ii)の計算結果とが整合していることを確認せよ.
命題 2.3.4 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接べクトル場とする。このとき, X Y X Y grad_(X)Y\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}XY は, S S SSS 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 接ベクトル場である.
証明 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べる。 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ の自然に定まる単位法べクトル場を N λ N λ N_(lambda)\boldsymbol{N}_{\lambda}Nλ とする とき,
( X Y ) p = pr T p ( ( D X Y ) p ) = ( D X Y ) p ( ( ( D X Y ) p ) ( N λ ) p ) ( N λ ) p ( p S λ ) X Y p = pr T p D X Y p = D X Y p D X Y p N λ p N λ p p S λ {:[(grad_(X)Y)_(p)=pr_(T_(p))((D_(X)Y)_(p))],[=(D_(X)Y)_(p)-(((D_(X)Y)_(p))*(N_(lambda))_(p))(N_(lambda))_(p)quad(p inS_(lambda))]:}\begin{aligned} \left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p} & =\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right) \\ & =\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}-\left(\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right) \cdot\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}\right)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) \end{aligned}(XY)p=prTp((DXY)p)=(DXY)p(((DXY)p)(Nλ)p)(Nλ)p(pSλ)
が成り立ち, それゆえ S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で
X Y = D X Y ( ( D X Y ) N λ ) N λ X Y = D X Y D X Y N λ N λ grad_(X)Y=D_(X)Y-((D_(X)Y)*N_(lambda))N_(lambda)\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{\lambda}\right) \boldsymbol{N}_{\lambda}XY=DXY((DXY)Nλ)Nλ
が成り立つ.ゆえに, N λ N λ N_(lambda)\boldsymbol{N}_{\lambda}Nλ C C C^(oo)C^{\infty}C 級であり, D X Y D X Y D_(X)YD_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}DXY C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であるので,
X Y X Y grad_(X)Y\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}XY S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に沿うべクトル場として C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であることがわかる. さらに,命題 2.1.2により, X Y X Y grad_(X)Y\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}XY S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の接ベクトル場として C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であること がわかる.
命題 2.3.5 X i , Y i ( i = 1 , 2 ) X i , Y i ( i = 1 , 2 ) X_(i),Y_(i)(i=1,2)\boldsymbol{X}_{i}, \boldsymbol{Y}_{i}(i=1,2)Xi,Yi(i=1,2) S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場とし, f f fff S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr スカラー場とする。このとき, 次式が成り立つ:
X ( α Y 1 + β Y 2 ) = α X Y 1 + β X Y 2 , X ( f Y ) = X ( f ) Y + f X Y α X 1 + β X 2 Y = α X 1 Y + β X 2 Y , f X Y = f X Y X α Y 1 + β Y 2 = α X Y 1 + β X Y 2 ,      X ( f Y ) = X ( f ) Y + f X Y α X 1 + β X 2 Y = α X 1 Y + β X 2 Y ,      f X Y = f X Y {:[grad_(X)(alphaY_(1)+betaY_(2))=alphagrad_(X)Y_(1)+betagrad_(X)Y_(2)",",grad_(X)(fY)=X(f)Y+fgrad_(X)Y],[grad_(alphaX_(1)+betaX_(2))Y=alphagrad_(X_(1))Y+betagrad_(X_(2))Y",",grad_(fX)Y=fgrad_(X)Y]:}\begin{array}{ll} \nabla_{\boldsymbol{X}}\left(\alpha \boldsymbol{Y}_{1}+\beta \boldsymbol{Y}_{2}\right)=\alpha \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}_{1}+\beta \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}_{2}, & \nabla_{\boldsymbol{X}}(f \boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X}(f) \boldsymbol{Y}+f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \\ \nabla_{\alpha \boldsymbol{X}_{1}+\beta \boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}=\alpha \nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{Y}+\beta \nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}, & \nabla_{f \boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \end{array}X(αY1+βY2)=αXY1+βXY2,X(fY)=X(f)Y+fXYαX1+βX2Y=αX1Y+βX2Y,fXY=fXY
証明 式 (2.3.3)と pr T p pr T p pr_(T_(p))\mathrm{pr}_{T_{p}}prTp の線形性を用いて, 直接, これらの関係式は示され る.
Y Y Y\boldsymbol{Y}Y S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接べクトル場とする. 各 v T p S v T p S v inT_(p)S\boldsymbol{v} \in T_{p} SvTpS に対し, v Y v Y grad_(v)Y\nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}vY を対応 させる対応を ( Y ) p ( Y ) p (grad Y)_(p)(\nabla \boldsymbol{Y})_{p}(Y)p と表す. 明らかに, この対応 ( Y ) p ( Y ) p (grad Y)_(p)(\nabla \boldsymbol{Y})_{p}(Y)p T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS からそれ自身への線形写像, つまり, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) テンソルである. 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対 し, ( Y ) p ( Y ) p (grad Y)_(p)(\nabla \boldsymbol{Y})_{p}(Y)p のトレース Tr ( Y ) p Tr ( Y ) p Tr(grad Y)_(p)\operatorname{Tr}(\nabla \boldsymbol{Y})_{p}Tr(Y)p を対応させる対応は, S S SSS 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 スカラ 一場を与える。このスカラー場を Y Y YYY g g ggg に関する発散(the divergence of Y Y Y\boldsymbol{Y}Y with respect to g g g\boldsymbol{g}g ) といい, div g Y div g Y div_(g)Y\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{Y}divgY と表す. ここで, ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) の正規直交基底としたとき, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で
(2.3.4) ( div g Y ) p = i = 1 n g p ( e i Y , e i ) (2.3.4) div g Y p = i = 1 n g p e i Y , e i {:(2.3.4)(div_(g)Y)_(p)=sum_(i=1)^(n)g_(p)(grad_(e_(i))Y,e_(i)):}\begin{equation*} \left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\sum_{i=1}^{n} g_{p}\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \tag{2.3.4} \end{equation*}(2.3.4)(divgY)p=i=1ngp(eiY,ei)
が成り立ち, S S SSS の局所座標 x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) に関する g g ggg の成分を g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij とし,行列 ( g i j ) g i j (g_(ij))\left(g_{i j}\right)(gij) の逆行列を ( g i j ) g i j (g^(ij))\left(g^{i j}\right)(gij) とするとき,
(2.3.5) div g Y = i = 1 n j = 1 n g ( u i Y , u j ) g i j (2.3.5) div g Y = i = 1 n j = 1 n g u i Y , u j g i j {:(2.3.5)div_(g)Y=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)g(grad_((del)/(delu_(i)))Y,(del)/(delu_(j)))g^(ij):}\begin{equation*} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \boldsymbol{Y}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) g^{i j} \tag{2.3.5} \end{equation*}(2.3.5)divgY=i=1nj=1ng(uiY,uj)gij
が成り立つことに注意する.
次に, 向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 S S SSS の形作用素, および, 第 2 基本形式を 定義することにする。 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とする. g g ggg S S SSS の第 1 基本形式とし, N N NNN S S SSS の自然に定まる単位法ベクトル場とす
る. 点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS からそれ自身への写像 A p A p A_(p)A_{p}Ap
A p ( v ) := D v N ( v T p S ) A p ( v ) := D v N v T p S A_(p)(v):=-D_(v)N quad(v inT_(p)S)A_{p}(\boldsymbol{v}):=-D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{N} \quad\left(\boldsymbol{v} \in T_{p} S\right)Ap(v):=DvN(vTpS)
によって定める. ここで,
A p ( v ) N p = ( D v N ) N p = 1 2 v ( N N ) = 0 A p ( v ) N p = D v N N p = 1 2 v ( N N ) = 0 A_(p)(v)*N_(p)=-(D_(v)N)*N_(p)=(1)/(2)v(N*N)=0A_{p}(\boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{N}_{p}=-\left(D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{N}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}=\frac{1}{2} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{N})=0Ap(v)Np=(DvN)Np=12v(NN)=0
となるので, A p ( v ) T p S A p ( v ) T p S A_(p)(v)inT_(p)SA_{p}(\boldsymbol{v}) \in T_{p} SAp(v)TpS が成り立つことを注意しておく. v , w T p S v , w T p S v,w inT_(p)S\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} Sv,wTpS と し, α , β R α , β R alpha,beta inR\alpha, \beta \in \mathbb{R}α,βR とするとき,
A p ( α v + β w ) = D α v + β w N = α D v N β D w N = α A p ( v ) + β A p ( w ) A p ( α v + β w ) = D α v + β w N = α D v N β D w N = α A p ( v ) + β A p ( w ) A_(p)(alpha v+beta w)=-D_(alpha v+beta w)N=-alphaD_(v)N-betaD_(w)N=alphaA_(p)(v)+betaA_(p)(w)A_{p}(\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w})=-D_{\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w}} \boldsymbol{N}=-\alpha D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{N}-\beta D_{\boldsymbol{w}} \boldsymbol{N}=\alpha A_{p}(\boldsymbol{v})+\beta A_{p}(\boldsymbol{w})Ap(αv+βw)=Dαv+βwN=αDvNβDwN=αAp(v)+βAp(w)
となり, A p A p A_(p)A_{p}Ap が線形変換になることがわかる. 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, A p A p A_(p)A_{p}Ap を対応 させる対応 A A AAA S S SSS 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル場を与える. この ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル 場 A A AAA S S SSS の形作用素(shape operator)という.
命題 2.3.6 形作用素 A A AAA C C C^(oo)C^{\infty}C 級の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル場である.
証明 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で調べることにする. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とし, A A AAA の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を A i j A i j A_(i)^(j)A_{i}{ }^{j}Aij とするとき, 接ベクトル場 A ( u i ) A u i A((del)/(delu_(i)))A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)A(ui)
A ( u i ) = j = 1 n A i j u j A u i = j = 1 n A i j u j A((del)/(delu_(i)))=sum_(j=1)^(n)A_(i)^(j)(del)/(delu_(j))A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)=\sum_{j=1}^{n} A_{i}{ }^{j} \frac{\partial}{\partial u_{j}}A(ui)=j=1nAijuj
と表されるので, 接ベクトル場 A ( u i ) A u i A((del)/(delu_(i)))A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)A(ui) の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分は A i j ( j = 1 , , n ) A i j ( j = 1 , , n ) A_(i)^(j)(j=1,dots,n)A_{i}{ }^{j}(j=1, \ldots, n)Aij(j=1,,n) となる。一方, A ( u i ) = D u i N A u i = D u i N A((del)/(delu_(i)))=-D_((del)/(delu_(i)))NA\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)=-D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} NA(ui)=DuiN であり, 命題 2.1.3 の証明中で述べたように N N N\boldsymbol{N}N C C C^(oo)C^{\infty}C 級であり,ゆえに命題 2.3 .2 により, D u i N D u i N D_((del)/(delu_(i)))ND_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} NDuiN C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることがわかる。したがって, 接べクトル場 A ( u i ) A u i A((del)/(delu_(i)))A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)A(ui) C C C^(oo)C^{\infty}C 級であり, それゆえ, その成分 A i j A i j A_(i)^(j)A_{i}{ }^{j}Aij C C C^(oo)C^{\infty}C 級であること,つまり A A AAA S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることが示される.
A の定義より, 直接, 次の関係式が導かれる.
命題 2.3.7 S S SSS 上の接ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, D X N = A ( X ) D X N = A ( X ) D_(X)N=-A(X)D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{N}=-A(\boldsymbol{X})DXN=A(X) が成り立つ.
この関係式は, ワインガルテンの公式(Weingarten formula)とよばれ る. 次に, 第 2 基本形式を定義することにする. p S p S p in Sp \in SpS に対し, h p : T p S × h p : T p S × h_(p):T_(p)S xxh_{p}: T_{p} S \timeshp:TpS× T p S R T p S R T_(p)S rarrRT_{p} S \rightarrow \mathbb{R}TpSR
h p ( v , w ) := g p ( A p ( v ) , w ) ( v , w T p ( S ) ) h p ( v , w ) := g p A p ( v ) , w v , w T p ( S ) h_(p)(v,w):=g_(p)(A_(p)(v),w)quad(v,w inT_(p)(S))h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=g_{p}\left(A_{p}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p}(S)\right)hp(v,w):=gp(Ap(v),w)(v,wTp(S))
によって定める.このとき, g p g p g_(p)g_{p}gp が 2 次共変テンソルであることと, A p A p A_(p)A_{p}Ap ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソルであることから, h p h p h_(p)h_{p}hp T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS 上の 2 次共変テンソルであるこ とが導かれる。それゆえ, 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, h p h p h_(p)h_{p}hp を対応させる対応 h h hhh は, S S SSS上の 2 次共変テンソル場を与える。さらに, g , A g , A g,Ag, Ag,A C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることから, h h hhh C C C^(oo)C^{\infty}C 級の 2 次共変テンソル場であることが導かれる。この C C C^(oo)C^{\infty}C 級の 2 次共変テンソル場 h h hhh S S SSS の第 2 基本形式(second fundamental form)とい う.

命題 2.3.8 第 2 基本形式 h h hhh は対称である.

証明 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場とする. このとき,
h ( X , Y ) = g ( A ( X ) , Y ) = g ( D X N , Y ) (2.3.6) = X ( N Y ) + N ( D X Y ) = N ( D X Y ) h ( X , Y ) = g ( A ( X ) , Y ) = g D X N , Y (2.3.6) = X ( N Y ) + N D X Y = N D X Y {:[h(X","Y)=g(A(X)","Y)=-g(D_(X)N,Y)],[(2.3.6)=-X(N*Y)+N*(D_(X)Y)=N*(D_(X)Y)]:}\begin{align*} h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) & =g(A(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{Y})=-g\left(D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{N}, \boldsymbol{Y}\right) \\ & =-\boldsymbol{X}(\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{Y})+\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)=\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}\right) \tag{2.3.6} \end{align*}h(X,Y)=g(A(X),Y)=g(DXN,Y)(2.3.6)=X(NY)+N(DXY)=N(DXY)
が示される. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とし, X i , Y i ( i = 1 , , n ) X i , Y i ( i = 1 , , n ) X_(i),Y_(i)(i=1,dots,n)X_{i}, Y_{i}(i=1, \ldots, n)Xi,Yi(i=1,,n) を各々, X X X\boldsymbol{X}X, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分とする。このとき, 命題 2.3.3を用いて,
D X Y = i = 1 n j = 1 n X i ( Y j u i u j + Y j D u i u j ) D X Y = i = 1 n j = 1 n X i Y j u i u j + Y j D u i u j D_(X)Y=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)((delY_(j))/(delu_(i))(del)/(delu_(j))+Y_(j)D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j)))D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}\left(\frac{\partial Y_{j}}{\partial u_{i}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}+Y_{j} D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)DXY=i=1nj=1nXi(Yjuiuj+YjDuiuj)
が示され, それゆえ,
N ( D X Y ) = i = 1 n j = 1 n X i Y j ( N ( D u i u j ) ) N D X Y = i = 1 n j = 1 n X i Y j N D u i u j N*(D_(X)Y)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)Y_(j)(N*(D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))))\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i} Y_{j}\left(\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)\right)N(DXY)=i=1nj=1nXiYj(N(Duiuj))
をえる. 同様に,
N ( D Y X ) = i = 1 n j = 1 n Y j X i ( N ( D u j u i ) ) N D Y X = i = 1 n j = 1 n Y j X i N D u j u i N*(D_(Y)X)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)Y_(j)X_(i)(N*(D_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i))))\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{Y} \boldsymbol{X}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} Y_{j} X_{i}\left(\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)\right)N(DYX)=i=1nj=1nYjXi(N(Dujui))
が示される. それゆえ,
(2.3.7) N ( D X Y D Y X ) = i = 1 n j = 1 n X i Y j ( N ( D u i u j D u j u i ) ) (2.3.7) N D X Y D Y X = i = 1 n j = 1 n X i Y j N D u i u j D u j u i {:(2.3.7)N*(D_(X)Y-D_(Y)X)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)Y_(j)(N*(D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))-D_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i)))):}\begin{equation*} \boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-D_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i} Y_{j}\left(\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}-D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)\right) \tag{2.3.7} \end{equation*}(2.3.7)N(DXYDYX)=i=1nj=1nXiYj(N(DuiujDujui))
をえる。一方,
D u i u j D u j u i = 2 x λ u i u j 2 x λ u j u i = 0 D u i u j D u j u i = 2 x λ u i u j 2 x λ u j u i = 0 D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))-D_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i))=(del^(2) vec(x_(lambda)))/(delu_(i)delu_(j))-(del^(2) vec(x_(lambda)))/(delu_(j)delu_(i))=0D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}-D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}=\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}-\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}=\mathbf{0}DuiujDujui=2xλuiuj2xλujui=0
が示される. したがって式 (2.3.7) より, N ( D X Y D Y X ) = 0 N D X Y D Y X = 0 N*(D_(X)Y-D_(Y)X)=0\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-D_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}\right)=\mathbf{0}N(DXYDYX)=0 が示され, さらに式 ( 2.3 .6 ) ( 2.3 .6 ) (2.3.6)(2.3 .6)(2.3.6) より, h ( X , Y ) = h ( Y , X ) h ( X , Y ) = h ( Y , X ) h(X,Y)=h(Y,X)h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})=h(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})h(X,Y)=h(Y,X) が導かれる.
pr p pr p pr_(_|__(p))\mathrm{pr}_{\perp_{p}}prp R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 から T p S T p S T_(p)^(_|_)ST_{p}^{\perp} STpS への直交射影, つまり, 各 v R n + 1 v R n + 1 v inR^(n+1)\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{n+1}vRn+1 に対し, v v v\boldsymbol{v}v v = v T + v ( v T T p S , v T p S ) v = v T + v v T T p S , v T p S v=v_(T)+v_(_|_)(v_(T)inT_(p)S,v_(_|_)inT_(p)^(_|_)S)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{T}+\boldsymbol{v}_{\perp}\left(\boldsymbol{v}_{T} \in T_{p} S, \boldsymbol{v}_{\perp} \in T_{p}^{\perp} S\right)v=vT+v(vTTpS,vTpS) と分解したときの接成分 v v v_(_|_)\boldsymbol{v}_{\perp}v を対応さ せる対応とする。 R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn 上のベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, S S SSS に沿うベクトル場 X X X_(_|_)\boldsymbol{X}_{\perp}X
( X ) p := pr p ( X p ) ( p S ) X p := pr p X p ( p S ) (X_(_|_))_(p):=pr_(_|__(p))(X_(p))quad(p in S)\left(\boldsymbol{X}_{\perp}\right)_{p}:=\operatorname{pr}_{\perp_{p}}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right) \quad(p \in S)(X)p:=prp(Xp)(pS)
で定める. v , X v , X v_(_|_),X_(_|_)v_{\perp}, X_{\perp}v,X を各々, v , X v , X v,Xv, Xv,X の法成分(normal component)とい う.
D , D , D,gradD, \nablaD,, および h h hhh の間に, 次の関係式が成り立つ.
命題 2.3.9 S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y に対し,
(2.3.8) D X Y = X Y + h ( X , Y ) N (2.3.8) D X Y = X Y + h ( X , Y ) N {:(2.3.8)D_(X)Y=grad_(X)Y+h(X","Y)N:}\begin{equation*} D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=\nabla_{\boldsymbol{X}} \mathbf{Y}+h(\boldsymbol{X}, \mathbf{Y}) \boldsymbol{N} \tag{2.3.8} \end{equation*}(2.3.8)DXY=XY+h(X,Y)N
が成り立つ.
証明 ( ( D X Y ) p ) p Span { N p } D X Y p p Span N p quad((D_(X)Y)_(p))_(_|__(p))in Span{N_(p)}\quad\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right)_{\perp_{p}} \in \operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{N}_{p}\right\}((DXY)p)pSpan{Np} なので, ( ( D X Y ) p ) p = a N p ( a R ) D X Y p p = a N p ( a R ) ((D_(X)Y)_(p))_(_|__(p))=aN_(p)(a inR)\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right)_{\perp_{p}}=a \boldsymbol{N}_{p}(a \in \mathbb{R})((DXY)p)p=aNp(aR) と表される. a a aaa を求めよう. grad\nabla の定義より,
(2.3.9) ( D X Y ) p = ( ( D X Y ) p ) T p + ( ( D X Y ) p ) p = ( X Y ) p + a N p (2.3.9) D X Y p = D X Y p T p + D X Y p p = X Y p + a N p {:(2.3.9)(D_(X)Y)_(p)=((D_(X)Y)_(p))_(T_(p))+((D_(X)Y)_(p))_(_|__(p))=(grad_(X)Y)_(p)+aN_(p):}\begin{equation*} \left(D_{\mathbf{X}} \mathbf{Y}\right)_{p}=\left(\left(D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right)_{T_{p}}+\left(\left(D_{\mathbf{X}} \mathbf{Y}\right)_{p}\right)_{\perp_{p}}=\left(\nabla_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}+a \boldsymbol{N}_{p} \tag{2.3.9} \end{equation*}(2.3.9)(DXY)p=((DXY)p)Tp+((DXY)p)p=(XY)p+aNp
が成り立つ. この式の両辺と N p N p N_(p)N_{p}Np との内積をとることにより,
a = N p ( D X Y ) p = X p ( N Y ) ( D X N ) p Y p = g p ( A p ( X p ) , Y p ) = h p ( X p , Y p ) a = N p D X Y p = X p ( N Y ) D X N p Y p = g p A p X p , Y p = h p X p , Y p a=N_(p)*(D_(X)Y)_(p)=X_(p)(N*Y)-(D_(X)N)_(p)*Y_(p)=g_(p)(A_(p)(X_(p)),Y_(p))=h_(p)(X_(p),Y_(p))a=\boldsymbol{N}_{p} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\boldsymbol{X}_{p}(\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{Y})-\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{N}\right)_{p} \cdot \boldsymbol{Y}_{p}=g_{p}\left(A_{p}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right), \boldsymbol{Y}_{p}\right)=h_{p}\left(\boldsymbol{X}_{p}, \boldsymbol{Y}_{p}\right)a=Np(DXY)p=Xp(NY)(DXN)pYp=gp(Ap(Xp),Yp)=hp(Xp,Yp)
をえる. これを式 (2.3.9) に代入して,
( D X Y ) p = ( X Y ) p + h p ( X p , Y p ) N p D X Y p = X Y p + h p X p , Y p N p (D_(X)Y)_(p)=(grad_(X)Y)_(p)+h_(p)(X_(p),Y_(p))N_(p)\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}+h_{p}\left(\boldsymbol{X}_{p}, \boldsymbol{Y}_{p}\right) \boldsymbol{N}_{p}(DXY)p=(XY)p+hp(Xp,Yp)Np
をえる。したがって, p p ppp の任意性により, 求めるべき関係式が示される.
上述の式 (2.3.8) をガウスの公式(Gauss formula)という. 命題 2.3 .8 か ら直接, 形作用素 A A AAA について, 次の事実が導かれる.
命題 2.3.10 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, A p : ( T p S , g p ) ( T p S , g p ) A p : T p S , g p T p S , g p A_(p):(T_(p)S,g_(p))rarr(T_(p)S,g_(p))A_{p}:\left(T_{p} S, g_{p}\right) \rightarrow\left(T_{p} S, g_{p}\right)Ap:(TpS,gp)(TpS,gp) は対称変換で ある.
A p A p A_(p)A_{p}Ap は対称変換なので, A p A p A_(p)A_{p}Ap ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) のある正規直交基底に関する表現行列は対角行列になる。具体的に, A p A p A_(p)A_{p}Ap ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) の正規直交基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) に関する表現行列が
( λ 1 0 0 0 0 λ n ) λ 1 0 0 0 0 λ n ([lambda_(1),0,cdots,0],[vdots,vdots,vdots,vdots],[0,0,cdots,lambda_(n)])\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)(λ10000λn)
になるとする. このとき, A p ( e i ) = λ i e i ( i = 1 , , n ) A p e i = λ i e i ( i = 1 , , n ) A_(p)(e_(i))=lambda_(i)e_(i)(i=1,dots,n)A_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\lambda_{i} \boldsymbol{e}_{i}(i=1, \ldots, n)Ap(ei)=λiei(i=1,,n) となるので, λ 1 , λ 1 , lambda_(1),dots\lambda_{1}, \ldotsλ1,, λ n λ n lambda_(n)\lambda_{n}λn は, A p A p A_(p)A_{p}Ap の固有値である. A p A p A_(p)A_{p}Ap の各固有値は, S S SSS の点 p p ppp における主曲率 (principal curvature) とよばれ, A p A p A_(p)A_{p}Ap の各固有べクトルは, S S SSS の点 p p ppp にお ける主曲率ベクトル(principal curvature vector)とよばれ, 特に A p A p A_(p)A_{p}Ap の 各単位固有ベクトルは, S S SSS の点 p p ppp における主方向(principal direction)と よばれる。また, A p A p A_(p)A_{p}Ap の各固有空間は, S S SSS の点 p p ppp にける主曲率空間 (principal curvature space) とよばれる。命題 2.3 .1 によれば, v = c ( 0 ) v = c ( 0 ) v=c^(')(0)\boldsymbol{v}=c^{\prime}(0)v=c(0) ( = d c d t | t = 0 ) = d c d t t = 0 (=(dc)/(dt)|_(t=0))\left(=\left.\frac{d c}{d t}\right|_{t=0}\right)(=dcdt|t=0) とするとき,
A p ( v ) = d ( N c ) d t | t = 0 A p ( v ) = d ( N c ) d t t = 0 A_(p)(v)=-(d(N@c))/(dt)|_(t=0)A_{p}(\boldsymbol{v})=-\left.\frac{d(\boldsymbol{N} \circ c)}{d t}\right|_{t=0}Ap(v)=d(Nc)dt|t=0
が成り立つので, N N NNN の振る舞いから図形的考察により, 主曲率, および主方向を分析することができる(図 2.3.1, 2.3.2 を参照).
図 2.3.1 主曲率を図形的に分析する方法(その 1)
図 2.3.2主曲率を図形的に分析する方法(その 2 )
A p A p A_(p)A_{p}Ap の固有値の全体を Spec A p Spec A p SpecA_(p)\operatorname{Spec} A_{p}SpecAp と表す.
Spec A p = { λ ^ i i = 1 , , l } ( λ ^ 1 > > λ ^ l ) Spec A p = λ ^ i i = 1 , , l λ ^ 1 > > λ ^ l SpecA_(p)={ widehat(lambda)_(i)∣i=1,dots,l}quad( widehat(lambda)_(1) > cdots > widehat(lambda)_(l))\operatorname{Spec} A_{p}=\left\{\widehat{\lambda}_{i} \mid i=1, \ldots, l\right\} \quad\left(\widehat{\lambda}_{1}>\cdots>\widehat{\lambda}_{l}\right)SpecAp={λ^ii=1,,l}(λ^1>>λ^l)
であり, λ ^ i λ ^ i widehat(lambda)_(i)\widehat{\lambda}_{i}λ^i の重複度が m i m i m_(i)m_{i}mi, つまり, dim Ker ( A p λ ^ i id ) = m i dim Ker A p λ ^ i id = m i dim Ker(A_(p)- widehat(lambda)_(i)id)=m_(i)\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A_{p}-\widehat{\lambda}_{i} \mathrm{id}\right)=m_{i}dimKer(Apλ^iid)=mi であるとす る. このとき, λ 1 , , λ n λ 1 , , λ n lambda_(1),dots,lambda_(n)\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}λ1,,λn
λ i := { λ ^ 1 ( 1 i m 1 ) λ ^ 2 ( m 1 + 1 i m 1 + m 2 ) λ ^ l ( m 1 + + m l 1 + 1 i n ) λ i := λ ^ 1      1 i m 1 λ ^ 2      m 1 + 1 i m 1 + m 2      λ ^ l      m 1 + + m l 1 + 1 i n lambda_(i):={[ widehat(lambda)_(1),(1 <= i <= m_(1))],[ widehat(lambda)_(2),(m_(1)+1 <= i <= m_(1)+m_(2))],[vdots,vdots],[ widehat(lambda)_(l),(m_(1)+cdots+m_(l-1)+1 <= i <= n)]:}\lambda_{i}:= \begin{cases}\widehat{\lambda}_{1} & \left(1 \leq i \leq m_{1}\right) \\ \widehat{\lambda}_{2} & \left(m_{1}+1 \leq i \leq m_{1}+m_{2}\right) \\ \vdots & \vdots \\ \widehat{\lambda}_{l} & \left(m_{1}+\cdots+m_{l-1}+1 \leq i \leq n\right)\end{cases}λi:={λ^1(1im1)λ^2(m1+1im1+m2)λ^l(m1++ml1+1in)
によって定義する. このとき, 少し乱暴ではあるが, Spec A p = { λ 1 λ 2 Spec A p = λ 1 λ 2 SpecA_(p)={lambda_(1) >= lambda_(2) >= :}\operatorname{Spec} A_{p}=\left\{\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq\right.SpecAp={λ1λ2 λ n } λ n {: cdots >= lambda_(n)}\left.\cdots \geq \lambda_{n}\right\}λn} と表すことにする。 H i p ( i = 1 , , n ) H i p ( i = 1 , , n ) H_(i)^(p)(i=1,dots,n)\mathcal{H}_{i}^{p}(i=1, \ldots, n)Hip(i=1,,n)
i = 1 n ( t λ i ) = t n + i = 1 n ( 1 ) i H i p t n i i = 1 n t λ i = t n + i = 1 n ( 1 ) i H i p t n i prod_(i=1)^(n)(t-lambda_(i))=t^(n)+sum_(i=1)^(n)(-1)^(i)H_(i)^(p)t^(n-i)\prod_{i=1}^{n}\left(t-\lambda_{i}\right)=t^{n}+\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i} \mathcal{H}_{i}^{p} t^{n-i}i=1n(tλi)=tn+i=1n(1)iHiptni
によって定義する. 各点 p S p S p in Sp \in SpS に対し, H i p H i p H_(i)^(p)\mathcal{H}_{i}^{p}Hip を対応させることにより定義され る S S SSS 上のスカラー場 H i H i H_(i)\mathcal{H}_{i}Hi S S SSS の第 i i i\boldsymbol{i}i 次平均曲率(i-th mean curvature)と いう。例えば,
H 1 p = i = 1 n λ i = Tr A p , H 2 p = 1 i < j n λ i λ j H 3 p = 1 i < j < k n λ i λ j λ k , , H n p = λ 1 λ n = det A p H 1 p = i = 1 n λ i = Tr A p , H 2 p = 1 i < j n λ i λ j H 3 p = 1 i < j < k n λ i λ j λ k , , H n p = λ 1 λ n = det A p {:[H_(1)^(p)=sum_(i=1)^(n)lambda_(i)=TrA_(p)","quadH_(2)^(p)=sum_(1 <= i < j <= n)lambda_(i)lambda_(j)],[H_(3)^(p)=sum_(1 <= i < j < k <= n)lambda_(i)lambda_(j)lambda_(k)","dots","H_(n)^(p)=lambda_(1)cdotslambda_(n)=detA_(p)]:}\begin{aligned} & \mathcal{H}_{1}^{p}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\operatorname{Tr} A_{p}, \quad \mathcal{H}_{2}^{p}=\sum_{1 \leq i<j \leq n} \lambda_{i} \lambda_{j} \\ & \mathcal{H}_{3}^{p}=\sum_{1 \leq i<j<k \leq n} \lambda_{i} \lambda_{j} \lambda_{k}, \ldots, \mathcal{H}_{n}^{p}=\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}=\operatorname{det} A_{p} \end{aligned}H1p=i=1nλi=TrAp,H2p=1i<jnλiλjH3p=1i<j<knλiλjλk,,Hnp=λ1λn=detAp
となる. 特に, H := H 1 n H := H 1 n H:=(H_(1))/(n)\mathcal{H}:=\frac{\mathcal{H}_{1}}{n}H:=H1n S S SSS の平均曲率 (mean curvature), G := H n = G := H n = G:=H_(n)=G:=\mathcal{H}_{n}=G:=Hn= det A det A det A\operatorname{det} AdetA S S SSS のガウス・クロネッカー曲率(Gauss-Kronecker's curvature) とよばれる。また, H := H N H := H N H:=HN\boldsymbol{H}:=H \boldsymbol{N}H:=HN S S SSS の平均曲率ベクトル場(mean curvature vector field)とよばれる. 特に, n = 2 n = 2 n=2n=2n=2 の場合, G G GGG S S SSS のガウス曲率 (Gaussian curvature) とよばれ, K K KKK で表される。また, K p > 0 K p > 0 K_(p) > 0K_{p}>0Kp>0 となる点 は S S SSS の楕円点(elliptic point), K p < 0 K p < 0 K_(p) < 0K_{p}<0Kp<0 となる点は S S SSS の双曲点(hyperbolic point), K p = 0 K p = 0 K_(p)=0K_{p}=0Kp=0 となる点は S S SSS の放物点(parabolic point)とよば れる.
この節の最後に, 主曲率の計算問題を 5 つ与えておく.
問 2.3.2 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面 x : R n E n + 1 x : R n E n + 1 x:R^(n)rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:RnEn+1
x ( u 1 , , u n ) = ( u 1 , , u n , i = 1 n a i u i ) ( ( u 1 , , u n ) R n ) x u 1 , , u n = u 1 , , u n , i = 1 n a i u i u 1 , , u n R n x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),sum_(i=1)^(n)a_(i)u_(i))quad((u_(1),dots,u_(n))inR^(n))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right)x(u1,,un)=(u1,,un,i=1naiui)((u1,,un)Rn)
( a 1 , , a n a 1 , , a n (a_(1),dots,a_(n):}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right.(a1,,an :定数)と定義する. C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S := x ( R n ) S := x R n S:=x(R^(n))S:=\boldsymbol{x}\left(\mathbb{R}^{n}\right)S:=x(Rn) の各点における主曲率, 主曲率空間, および第 i i iii 次平均曲率 ( i = 1 , , n ) ( i = 1 , , n ) (i=1,dots,n)(i=1, \ldots, n)(i=1,,n) を求めよ.
問 2.3.3 B n ( r ) ( r > 0 ) B n ( r ) ( r > 0 ) B^(n)(r)(r > 0)B^{n}(r)(r>0)Bn(r)(r>0) R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の原点を中心とする半径 r r rrr の開球体, つまり,
B n ( r ) := { ( u 1 , , u n ) R n u 1 2 + + u n 2 < r 2 } B n ( r ) := u 1 , , u n R n u 1 2 + + u n 2 < r 2 B^(n)(r):={(u_(1),dots,u_(n))inR^(n)∣u_(1)^(2)+cdots+u_(n)^(2) < r^(2)}B^{n}(r):=\left\{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid u_{1}^{2}+\cdots+u_{n}^{2}<r^{2}\right\}Bn(r):={(u1,,un)Rnu12++un2<r2}
とする. E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面 x : B n ( r ) E n + 1 x : B n ( r ) E n + 1 x:B^(n)(r)rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: B^{n}(r) \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:Bn(r)En+1
x ( u 1 , , u n ) = ( u 1 , , u n , r 2 i = 1 n u i 2 ) x u 1 , , u n = u 1 , , u n , r 2 i = 1 n u i 2 x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),sqrt(r^(2)-sum_(i=1)^(n)u_(i)^(2)))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, \sqrt{r^{2}-\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}}\right)x(u1,,un)=(u1,,un,r2i=1nui2)
と定義する. C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S := x ( B n ( r ) ) S := x B n ( r ) S:=x(B^(n)(r))S:=\boldsymbol{x}\left(B^{n}(r)\right)S:=x(Bn(r)) の各点における主曲率, 主曲率空間, お
よび第 i i iii 次平均曲率 ( i = 1 , , n ) ( i = 1 , , n ) (i=1,dots,n)(i=1, \ldots, n)(i=1,,n) を求めよ.
問 2.3.4 1 k n 1 1 k n 1 1 <= k <= n-11 \leq k \leq n-11kn1 とし, B k ( r ) ( r > 0 ) B k ( r ) ( r > 0 ) B^(k)(r)(r > 0)B^{k}(r)(r>0)Bk(r)(r>0) R k R k R^(k)\mathbb{R}^{k}Rk の原点を中心とする半径 r r rrr の 開球体とする。 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面 x : B k ( r ) × R n k E n + 1 x : B k ( r ) × R n k E n + 1 x:B^(k)(r)xxR^(n-k)rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: B^{k}(r) \times \mathbb{R}^{n-k} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:Bk(r)×RnkEn+1
x ( u 1 , , u n ) = ( u 1 , , u n , r 2 i = 1 k u i 2 ) x u 1 , , u n = u 1 , , u n , r 2 i = 1 k u i 2 x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),sqrt(r^(2)-sum_(i=1)^(k)u_(i)^(2)))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, \sqrt{r^{2}-\sum_{i=1}^{k} u_{i}^{2}}\right)x(u1,,un)=(u1,,un,r2i=1kui2)
と定義する. C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S := x ( B k ( r ) × R n k ) S := x B k ( r ) × R n k S:=x(B^(k)(r)xxR^(n-k))S:=\boldsymbol{x}\left(B^{k}(r) \times \mathbb{R}^{n-k}\right)S:=x(Bk(r)×Rnk) の各点における主曲率, 主曲率空間, および第 i i iii 次平均曲率 ( i = 1 , , n ) ( i = 1 , , n ) (i=1,dots,n)(i=1, \ldots, n)(i=1,,n) を求めよ.
問 2.3.5 C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所曲面 x : R 2 E 3 x : R 2 E 3 x:R^(2)rarrE^(3)\boldsymbol{x}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:R2E3
x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , u 1 u 2 ) x u 1 , u 2 = u 1 , u 2 , u 1 u 2 x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),u_(1)u_(2))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, u_{1} u_{2}\right)x(u1,u2)=(u1,u2,u1u2)
と定義する. C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S := x ( R 2 ) S := x R 2 S:=x(R^(2))S:=\boldsymbol{x}\left(\mathbb{R}^{2}\right)S:=x(R2) の点 p = x ( 1 , 1 ) p = x ( 1 , 1 ) p=x(1,1)p=\boldsymbol{x}(1,1)p=x(1,1) における主曲率, 主曲率空間, ガウス曲率, および平均曲率を求めよ.
問 2.3.6 C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所曲面 x : [ 0 , 2 π ) 2 E 3 x : [ 0 , 2 π ) 2 E 3 x:[0,2pi)^(2)rarrE^(3)\boldsymbol{x}:[0,2 \pi)^{2} \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:[0,2π)2E3
x ( u 1 , u 2 ) = ( ( b + a cos u 1 ) cos u 2 , ( b + a cos u 1 ) sin u 2 , a sin u 1 ) x u 1 , u 2 = b + a cos u 1 cos u 2 , b + a cos u 1 sin u 2 , a sin u 1 x(u_(1),u_(2))=((b+a cos u_(1))cos u_(2),(b+a cos u_(1))sin u_(2),a sin u_(1))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(\left(b+a \cos u_{1}\right) \cos u_{2},\left(b+a \cos u_{1}\right) \sin u_{2}, a \sin u_{1}\right)x(u1,u2)=((b+acosu1)cosu2,(b+acosu1)sinu2,asinu1)
と定義する. ただし, a , b a , b a,ba, ba,b a < b a < b a < ba<ba<b となる正の定数を表す.
(i) C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面片 S := x ( [ 0 , 2 π ) 2 ) S := x [ 0 , 2 π ) 2 S:=x([0,2pi)^(2))S:=\boldsymbol{x}\left([0,2 \pi)^{2}\right)S:=x([0,2π)2) の各点における主曲率, および主曲率空間を求 めよ.
(ii) S S SSS のガウス曲率を求め, S S SSS を楕円点の集合, 双曲点の集合, および放物点の 集合に類別せよ.

2.4 平行移動・測地線

この節において, ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元ユークリッド空間 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線に沿う平行移動,および,測地線について述べる. この節では r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 と する。 ( S , D ) ( D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } ) ( S , D ) D = S λ , x λ 1 λ Λ (S,D)(D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda})(S, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(S,D)(D={(Sλ,xλ1)λΛ}) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とする. S S SSS上の曲線 c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S を考える。 c 1 ( S λ ) c 1 S λ c^(-1)(S_(lambda))!=O/c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptysetc1(Sλ) となる各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 c c ccc C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である,つまり, x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) として, u i c ( i = 1 , , n ) u i c ( i = 1 , , n ) u_(i)@c(i=1,dots,n)u_{i} \circ c(i=1, \ldots, n)uic(i=1,,n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, c c ccc S S S\boldsymbol{S}S 上の C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 曲線という. このとき, c ( t ) = c ( t ) = c(t)=c(t)=c(t)= x λ ( u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) ) x λ u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) x_(lambda)(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t)))\boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)xλ(u1(c(t)),,un(c(t))) となるので, c c ccc E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の曲線としても C r C r C^(r)C^{r}Cr 級で あることがわかる. 以下, c c ccc C C C^(oo)C^{\infty}C 級であるとする. 各 t [ a , b ] t [ a , b ] t in[a,b]t \in[a, b]t[a,b] に対し, T c ( t ) S T c ( t ) S T_(c(t))ST_{c(t)} STc(t)S の元 X t X t X_(t)\boldsymbol{X}_{t}Xt を対応させる対応 X X X\boldsymbol{X}X c c c\boldsymbol{c}c に沿う接ベクトル場(tangent vector field along c c c\boldsymbol{c}c ) という. c 1 ( S λ ) c 1 S λ c^(-1)(S_(lambda))!=O/c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptysetc1(Sλ) となる各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 = x λ 1 = x_(lambda)^(-1)=\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=xλ1=
( u 1 , , u n ) u 1 , , u n (u_(1),dots,u_(n))\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)(u1,,un) として,
X t = i = 1 n X i ( t ) ( u i ) c ( t ) X t = i = 1 n X i ( t ) u i c ( t ) X_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))\boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}Xt=i=1nXi(t)(ui)c(t)
によって定義される関数 X i : c 1 ( S λ ) R ( i = 1 , , n ) X i : c 1 S λ R ( i = 1 , , n ) X_(i):c^(-1)(S_(lambda))rarrR(i=1,dots,n)X_{i}: c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n)Xi:c1(Sλ)R(i=1,,n) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である とき, X X X\boldsymbol{X}X c c c\boldsymbol{c}c に沿う C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 接ベクトル場という. c ( t ) T c ( t ) S c ( t ) T c ( t ) S c^(')(t)inT_(c(t))Sc^{\prime}(t) \in T_{c(t)} Sc(t)Tc(t)S なので, 各 t t t int \int [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] に対し, c ( t ) c ( t ) c^(')(t)c^{\prime}(t)c(t) を対応させる対応 c c c^(')c^{\prime}c c c ccc に沿う接ベクトル場を与える. c c c^(')c^{\prime}c をcの速度ベクトル場(velocity vector field), または, 接ベクトル場とい う. c c c^(')c^{\prime}c c c ccc に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C 接べクトル場になる。実際,
c ( t ) = x λ ( x λ 1 ( c ( t ) ) ) = x λ ( u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) ) c ( t ) = x λ x λ 1 ( c ( t ) ) = x λ u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) vec(c)(t)= vec(x_(lambda))(x_(lambda)^(-1)(c(t)))= vec(x_(lambda))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t)))\vec{c}(t)=\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(c(t))\right)=\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)c(t)=xλ(xλ1(c(t)))=xλ(u1(c(t)),,un(c(t)))
なので,
(2.4.1) c ( t ) = i = 1 n x λ u i d ( u i c ) d t = i = 1 n d ( u i c ) d t ( u i ) c ( t ) (2.4.1) c ( t ) = i = 1 n x λ u i d u i c d t = i = 1 n d u i c d t u i c ( t ) {:(2.4.1)c^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(del vec(x_(lambda)))/(delu_(i))(d(u_(i)@c))/(dt)=sum_(i=1)^(n)(d(u_(i)@c))/(dt)((del)/(delu_(i)))_(c(t)):}\begin{equation*} c^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}} \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} \tag{2.4.1} \end{equation*}(2.4.1)c(t)=i=1nxλuid(uic)dt=i=1nd(uic)dt(ui)c(t)
となり, u i c u i c u_(i)@cu_{i} \circ cuic C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることから, d ( u i c ) d t d u i c d t (d(u_(i)@c))/(dt)\frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}d(uic)dt C C C^(oo)C^{\infty}C 級になる。それゆ え, c ( t ) c ( t ) c^(')(t)c^{\prime}(t)c(t) c c ccc に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C 接べクトル場であることがわかる.
X X X\boldsymbol{X}X C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr 接ベクトル場とする. t 0 [ a , b ] t 0 [ a , b ] t_(0)in[a,b]t_{0} \in[a, b]t0[a,b] を 固定する. c ( t 0 ) X ( T c ( t 0 ) S ) c t 0 X T c t 0 S grad_(c^(')(t_(0)))X(inT_(c(t_(0)))S)\nabla_{c^{\prime}\left(t_{0}\right)} \boldsymbol{X}\left(\in T_{c\left(t_{0}\right)} S\right)c(t0)X(Tc(t0)S)
c ( t 0 ) X := pr T c ( t 0 ) ( d ( X c ) d t | t = t 0 ) c t 0 X := pr T c t 0 d ( X c ) d t t = t 0 grad_(c^(')(t_(0)))X:=pr_(T_(c(t_(0))))((d(X@c))/(dt)|_(t=t_(0)))\nabla_{c^{\prime}\left(t_{0}\right)} \boldsymbol{X}:=\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d(\boldsymbol{X} \circ c)}{d t}\right|_{t=t_{0}}\right)c(t0)X:=prTc(t0)(d(Xc)dt|t=t0)
によって定義する。ただし, pr T c ( t 0 ) pr T c t 0 pr_(T_(c(t_(0))))\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}prTc(t0) は, R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 から T c ( t 0 ) S T c t 0 S T_(c(t_(0)))ST_{c\left(t_{0}\right)} STc(t0)S への直交射影を表 す. 各 t [ a , b ] t [ a , b ] t in[a,b]t \in[a, b]t[a,b] c ( t ) X c ( t ) X grad_(c^(')(t))X\nabla_{c^{\prime}(t)} \boldsymbol{X}c(t)X を対応させる対応を c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX と表す. 明らかに, c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX c c ccc に沿う接ベクトル場である. c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX X X X\boldsymbol{X}X の共変微分(covariant derivative)という。容易に,次の事実が示される。
命題 2.4.1 X X X\boldsymbol{X}X c c ccc に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr 接べクトル場ならば, c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX c c ccc に沿う C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 接べクトル場である.
X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S に沿う接ベクトル場とし, f f fff [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] 上の関
数とする. このとき, c c ccc に沿う接ベクトル場 X + Y X + Y X+Y\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}X+Y f X f X fXf \boldsymbol{X}fX が各々,
( X + Y ) t := X t + Y t , ( f X ) t := f t X t ( t [ a , b ] ) ( X + Y ) t := X t + Y t , ( f X ) t := f t X t ( t [ a , b ] ) (X+Y)_(t):=X_(t)+Y_(t),quad(fX)_(t):=f_(t)X_(t)quad(t in[a,b])(\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})_{t}:=\boldsymbol{X}_{t}+\boldsymbol{Y}_{t}, \quad(f \boldsymbol{X})_{t}:=f_{t} \boldsymbol{X}_{t} \quad(t \in[a, b])(X+Y)t:=Xt+Yt,(fX)t:=ftXt(t[a,b])
によって定義される。明らかに, 次の事実が成り立つ.
命題 2 . 4 . 2 2 . 4 . 2 2.4.2\mathbf{2 . 4 . 2}2.4.2 (i) X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ならば, X + Y X + Y X+Y\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}X+Y C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である.
(ii) f , X f , X f,Xf, \boldsymbol{X}f,X C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ならば, f X f X fXf \boldsymbol{X}fX C r C r C^(r)C^{r}Cr 級である.
共変微分 c c grad_(c^('))\nabla_{c^{\prime}}c について, 次の事実が成り立つ.
命題 2.4.3 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y c c ccc に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr 接べクトル場とし, f f fff [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数とする。このとき, 次式が成り立つ.
(i) c ( X + Y ) = c X + c Y c ( X + Y ) = c X + c Y grad_(c^('))(X+Y)=grad_(c^('))X+grad_(c^('))Y\nabla_{c^{\prime}}(\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})=\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}+\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}c(X+Y)=cX+cY;
(ii) c ( f X ) = f X + f c X c ( f X ) = f X + f c X grad_(c^('))(fX)=f^(')X+fgrad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}}(f \boldsymbol{X})=f^{\prime} \boldsymbol{X}+f \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}c(fX)=fX+fcX.
証明 pr T p pr T p pr_(T_(p))\mathrm{pr}_{T_{p}}prTp の線形性に注意して, 直接, これらの関係式を示すことができ る。
問 2.4.1 D ( 1 ) D ( 1 ) D(1)D(1)D(1) を原点を中心とする半径 1 の開円板(つまり D ( 1 ) := { ( u 1 , u 2 ) D ( 1 ) := u 1 , u 2 D(1):={(u_(1),u_(2))in:}D(1):=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right) \in\right.D(1):={(u1,u2) R 2 u 1 2 + u 2 2 < 1 } ) R 2 u 1 2 + u 2 2 < 1 {:R^(2)∣u_(1)^(2)+u_(2)^(2) < 1})\left.\left.\mathbb{R}^{2} \mid u_{1}^{2}+u_{2}^{2}<1\right\}\right)R2u12+u22<1}) とし, C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所曲面 x : D ( 1 ) E 3 x : D ( 1 ) E 3 x:D(1)rarrE^(3)\boldsymbol{x}: D(1) \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:D(1)E3
x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , 1 u 1 2 u 2 2 ) x u 1 , u 2 = u 1 , u 2 , 1 u 1 2 u 2 2 x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),sqrt(1-u_(1)^(2)-u_(2)^(2)))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, \sqrt{1-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}\right)x(u1,u2)=(u1,u2,1u12u22)
と定義する. C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面片 S := x ( D ( 1 ) ) S := x ( D ( 1 ) ) S:=x(D(1))S:=\boldsymbol{x}(D(1))S:=x(D(1)) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : ( 0 , π ) S c : ( 0 , π ) S c:(0,pi)rarr Sc:(0, \pi) \rightarrow Sc:(0,π)S
c ( t ) := ( cos t , 0 , sin t ) ( t ( 0 , π ) ) c ( t ) := ( cos t , 0 , sin t ) ( t ( 0 , π ) ) c(t):=(cos t,0,sin t)quad(t in(0,pi))c(t):=(\cos t, 0, \sin t) \quad(t \in(0, \pi))c(t):=(cost,0,sint)(t(0,π))
と定義し, c c ccc に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C 接ベクトル場 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y
X t := ( sin t , 0 , cos t ) , Y t = ( 2 t π sin t , 0 , 2 t π cos t ) X t := ( sin t , 0 , cos t ) , Y t = 2 t π sin t , 0 , 2 t π cos t X_(t):=(-sin t,0,cos t),quadY_(t)=(-(2t)/(pi)sin t,0,(2t)/(pi)cos t)\boldsymbol{X}_{t}:=(-\sin t, 0, \cos t), \quad \boldsymbol{Y}_{t}=\left(-\frac{2 t}{\pi} \sin t, 0, \frac{2 t}{\pi} \cos t\right)Xt:=(sint,0,cost),Yt=(2tπsint,0,2tπcost)
と定義する.
(i) X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y を図示し, 定義に従って, ( c X ) π 2 , ( c Y ) π 2 c X π 2 , c Y π 2 (grad_(c^('))X)_((pi)/(2)),(grad_(c^('))Y)_((pi)/(2))\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{\frac{\pi}{2}},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}\right)_{\frac{\pi}{2}}(cX)π2,(cY)π2 がどのようなべクト ルになるか図示せよ.
(ii) c X , c Y c X , c Y grad_(c^('))X,grad_(c^('))Y\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}, \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}cX,cY を計算し, (i) で求めた図と整合しているかどうか確認せよ.
以上の準備の下に, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン超曲面 ( ( S , D ) , g ) ( ( S , D ) , g ) ((S,D),g)((S, \mathcal{D}), g)((S,D),g) 上の測地線, および, C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン超曲面 ( ( S , D ) , g ) ( ( S , D ) , g ) ((S,D),g)((S, \mathcal{D}), g)((S,D),g) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線に沿う平行移動を定義
しよう. c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とする. 各 t I t I t in It \in ItI T c ( t ) S T c ( t ) S T_(c(t))ST_{c(t)} STc(t)S の零ベクトル 0 c ( t ) 0 c ( t ) 0_(c(t))\mathbf{0}_{c(t)}0c(t) を対応させることにより定義される c c ccc に沿う接ベクトル場を 0 で表し, これを c c ccc に沿う零ベクトル場(zero vector field along c c ccc )という。 c c ccc に沿 う C r C r C^(r)C^{r}Cr 接べクトル場 X X X\boldsymbol{X}X c X = 0 c X = 0 grad_(c^('))X=0\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}cX=0 を満たすとき, X X X\boldsymbol{X}X c c c\boldsymbol{c}c に沿う平行ベク トル場(parallel vector field along c c c\boldsymbol{c}c ) という。また, c c = 0 c c = 0 grad_(c^('))c^(')=0\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\mathbf{0}cc=0 が成り 立つとき, c c ccc S S SSS 上の測地線という。 c c c c grad_(c^('))c^(')\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}cc は, c c ccc S S SSS 上の物体の運動の軌道 とみなしたときの加速度と解釈され, それゆえ c c = 0 c c = 0 grad_(c^('))c^(')=0\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=0cc=0 であることは, c c ccc S S SSS 上を等速度運動する物体の軌道であることを意味する。
x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とする. S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の関数 Γ i j k ( 1 i , j , k n ) Γ i j k ( 1 i , j , k n ) Gamma_(ij)^(k)(1 <= i,j,k <= n)\Gamma_{i j}^{k}(1 \leq i, j, k \leq n)Γijk(1i,j,kn)
u i u j = k = 1 n Γ i j k u k u i u j = k = 1 n Γ i j k u k grad_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))=sum_(k=1)^(n)Gamma_(ij)^(k)(del)/(delu_(k))\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}=\sum_{k=1}^{n} \Gamma_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}}uiuj=k=1nΓijkuk
によって定義する。この関数 Γ i j k Γ i j k Gamma_(ij)^(k)\Gamma_{i j}^{k}Γijk をの局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する接続係数 (connection coefficient) という. g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij S S SSS の第 1 基本形式 g g ggg の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分とし, ( g i j ) g i j (g^(ij))\left(g^{i j}\right)(gij) ( g i j ) g i j (g_(ij))\left(g_{i j}\right)(gij) の逆行列とする。このとき, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数 { k i j } ( 1 i , j , k n ) k i j ( 1 i , j , k n ) {[k],[ij]}(1 <= i,j,k <= n)\left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\}(1 \leq i, j, k \leq n){kij}(1i,j,kn)
{ k i j } = 1 2 l = 1 2 g k l ( g l j u i + g i l u j g i j u l ) k i j = 1 2 l = 1 2 g k l g l j u i + g i l u j g i j u l {[k],[ij]}=(1)/(2)sum_(l=1)^(2)g^(kl)((delg_(lj))/(delu_(i))+(delg_(il))/(delu_(j))-(delg_(ij))/(delu_(l)))\left\{\begin{array}{c} k \\ i j \end{array}\right\}=\frac{1}{2} \sum_{l=1}^{2} g^{k l}\left(\frac{\partial g_{l j}}{\partial u_{i}}+\frac{\partial g_{i l}}{\partial u_{j}}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{l}}\right){kij}=12l=12gkl(gljui+gilujgijul)
によって定義する。この関数 { k i j } k i j {[k],[ij]}\left\{\begin{array}{l}k \\ i j\end{array}\right\}{kij} g g ggg の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関するクリスト ツフェルの記号(Christoffel symbol)という. このとき, 次の事実が成り 立つ。
命題 2.4.4 Γ i j k = { k i j } Γ i j k = k i j Gamma_(ij)^(k)={[k],[ij]}\Gamma_{i j}^{k}=\left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\}Γijk={kij} が成り立つ.
証明 単純計算により,
k = 1 n Γ i j k u k = u i u j = ( D u i u j ) T = ( D u i x λ u j ) T k = 1 n Γ i j k u k = u i u j = D u i u j T = D u i x λ u j T {:[sum_(k=1)^(n)Gamma_(ij)^(k)(del)/(delu_(k))=grad_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))],[=(D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j)))_(T)=(D_((del)/(delu_(i)))(del vec(x)_(lambda))/(delu_(j)))_(T)]:}\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \Gamma_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}} & =\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} \\ & =\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{T}=\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}\right)_{T} \end{aligned}k=1nΓijkuk=uiuj=(Duiuj)T=(Duixλuj)T
(2.4.2) = ( ( x λ u j ) u i ) T = ( 2 x λ u i u j ) T = ( 2 x λ u j u i ) T = u j u i = k = 1 n Γ j i k u k (2.4.2) = x λ u j u i T = 2 x λ u i u j T = 2 x λ u j u i T = u j u i = k = 1 n Γ j i k u k {:[(2.4.2)=((del((del vec(x)_(lambda))/(delu_(j))))/(delu_(i)))_(T)=((del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(i)delu_(j)))_(T)],[=((del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(j)delu_(i)))_(T)=grad_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i))=sum_(k=1)^(n)Gamma_(ji)^(k)(del)/(delu_(k))]:}\begin{align*} & =\left(\frac{\partial\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{T}=\left(\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}\right)_{T} \tag{2.4.2}\\ & =\left(\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}\right)_{T}=\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}=\sum_{k=1}^{n} \Gamma_{j i}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}} \end{align*}(2.4.2)=((xλuj)ui)T=(2xλuiuj)T=(2xλujui)T=ujui=k=1nΓjikuk
および,
g i j u k = u k ( x λ u i x λ u j ) = 2 x λ u k u i x λ u j + x λ u i 2 x λ u k u j (2.4.3) = ( u k u i ) u j + u i ( u k u j ) = g ( u k u i , u j ) + g ( u i , u k u j ) = l = 1 n Γ k i l g l j + l = 1 n Γ k j l g i l g i j u k = u k x λ u i x λ u j = 2 x λ u k u i x λ u j + x λ u i 2 x λ u k u j (2.4.3) = u k u i u j + u i u k u j = g u k u i , u j + g u i , u k u j = l = 1 n Γ k i l g l j + l = 1 n Γ k j l g i l {:[(delg_(ij))/(delu_(k))=(del)/(delu_(k))((del vec(x)_(lambda))/(delu_(i))*(del vec(x)_(lambda))/(delu_(j)))],[=(del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(k)delu_(i))*(del vec(x)_(lambda))/(delu_(j))+(del vec(x)_(lambda))/(delu_(i))*(del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(k)delu_(j))],[(2.4.3)=(grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(i)))*(del)/(delu_(j))+(del)/(delu_(i))*(grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(j)))],[=g(grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(i)),(del)/(delu_(j)))+g((del)/(delu_(i)),grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(j)))],[=sum_(l=1)^(n)Gamma_(ki)^(l)g_(lj)+sum_(l=1)^(n)Gamma_(kj)^(l)g_(il)]:}\begin{align*} \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}} & =\frac{\partial}{\partial u_{k}}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}\right) \\ & =\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{k} \partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{k} \partial u_{j}} \\ & =\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}+\frac{\partial}{\partial u_{i}} \cdot\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \tag{2.4.3}\\ & =g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)+g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \\ & =\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k i}^{l} g_{l j}+\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k j}^{l} g_{i l} \end{align*}gijuk=uk(xλuixλuj)=2xλukuixλuj+xλui2xλukuj(2.4.3)=(ukui)uj+ui(ukuj)=g(ukui,uj)+g(ui,ukuj)=l=1nΓkilglj+l=1nΓkjlgil
をえる. このように,
(2.4.4) Γ i j k = Γ j i k , g i j u k = l = 1 n Γ k i l g l j + l = 1 n Γ k j l g i l (2.4.4) Γ i j k = Γ j i k , g i j u k = l = 1 n Γ k i l g l j + l = 1 n Γ k j l g i l {:(2.4.4)Gamma_(ij)^(k)=Gamma_(ji)^(k)","quad(delg_(ij))/(delu_(k))=sum_(l=1)^(n)Gamma_(ki)^(l)g_(lj)+sum_(l=1)^(n)Gamma_(kj)^(l)g_(il):}\begin{equation*} \Gamma_{i j}^{k}=\Gamma_{j i}^{k}, \quad \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}}=\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k i}^{l} g_{l j}+\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k j}^{l} g_{i l} \tag{2.4.4} \end{equation*}(2.4.4)Γijk=Γjik,gijuk=l=1nΓkilglj+l=1nΓkjlgil
が示される. これらの関係式とクリストッフェルの記号の定義式を用いて, 求 めるべき関係式を導出することができる。
次に, c X , c c c X , c c grad_(c^('))X,grad_(c^('))c^(')\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}, \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}cX,cc の局所表示を与える.
命題 2.4.5 c 1 ( S λ ) c 1 S λ c^(-1)(S_(lambda))!=O/c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptysetc1(Sλ) とし, X t = i = 1 n X i ( t ) ( u i ) c ( t ) ( t c 1 ( S λ ) ) X t = i = 1 n X i ( t ) u i c ( t ) t c 1 S λ quadX_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))quad(t inc^(-1)(S_(lambda)))\quad \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} \quad\left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right)Xt=i=1nXi(t)(ui)c(t)(tc1(Sλ))
とする. このとき, c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX は次のように局所表示される:
(2.4.5) ( c X ) t = i = 1 n ( d X i d t + j = 1 n k = 1 n d ( u j c ) d t X k ( t ) { i j k } c ( t ) ( u i ) c ( t ) ( t c 1 ( S λ ) ) (2.4.5) c X t = i = 1 n d X i d t + j = 1 n k = 1 n d u j c d t X k ( t ) i j k c ( t ) u i c ( t ) t c 1 S λ {:(2.4.5){:[(grad_(c^('))X)_(t)=sum_(i=1)^(n)((dX_(i))/(dt)+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)X_(k)(t){[i],[jk]}_(c(t))((del)/(delu_(i)))_(c(t)):}],[(t inc^(-1)(S_(lambda)))]:}:}\begin{array}{r} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d X_{i}}{d t}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} X_{k}(t)\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(t)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right. \\ \left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right) \tag{2.4.5} \end{array}(2.4.5)(cX)t=i=1n(dXidt+j=1nk=1nd(ujc)dtXk(t){ijk}c(t)(ui)c(t)(tc1(Sλ))
特に, c c c c grad_(c^('))c^(')\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}cc は次のように局所表示される:
(2.4.6) c c = i = 1 n ( d 2 ( u i c ) d t 2 + j = 1 n k = 1 n d ( u j c ) d t d ( u k c ) d t { i j k } c ( t ) ( u i ) c ( t ) ( t c 1 ( S λ ) ) (2.4.6) c c = i = 1 n d 2 u i c d t 2 + j = 1 n k = 1 n d u j c d t d u k c d t i j k c ( t ) u i c ( t ) t c 1 S λ {:(2.4.6){:[grad_(c^('))c^(')=sum_(i=1)^(n)((d^(2)(u_(i)@c))/(dt^(2))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)(d(u_(k)@c))/(dt){[i],[jk]}_(c(t))((del)/(delu_(i)))_(c(t)):}],[(t inc^(-1)(S_(lambda)))]:}:}\begin{array}{r} \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d^{2}\left(u_{i} \circ c\right)}{d t^{2}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} \frac{d\left(u_{k} \circ c\right)}{d t}\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(t)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right. \\ \left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right) \tag{2.4.6} \end{array}(2.4.6)cc=i=1n(d2(uic)dt2+j=1nk=1nd(ujc)dtd(ukc)dt{ijk}c(t)(ui)c(t)(tc1(Sλ))
証明 t 0 c 1 ( S λ ) t 0 c 1 S λ t_(0)inc^(-1)(S_(lambda))t_{0} \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)t0c1(Sλ) を任意にとる。 ( c X ) t 0 c X t 0 (grad_(c^('))X)_(t_(0))\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t_{0}}(cX)t0 を計算すると,
( c X ) t 0 = pr T c ( t 0 ) ( d X d t | t = t 0 ) = pr T c ( t 0 ) ( d d t | t = t 0 ( i = 1 n X i ( t ) ( u i ) c ( t ) ) ) = i = 1 n pr T c ( t 0 ) ( d X i d t | t = t 0 ( u i ) c ( t 0 ) + X i ( t 0 ) d d t | t = t 0 ( u i ) c ( t ) ) = i = 1 n d X i d t | t = t 0 ( u i ) c ( t 0 ) + i = 1 n X i ( t 0 ) pr T c ( t 0 ) ( d d t | t = t 0 ( x λ u i ) ( u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) ) ) = i = 1 n d X i d t | t = t 0 ( u i ) c ( t 0 ) + i = 1 n X i ( t 0 ) pr T c ( t 0 ) ( j = 1 n d u j ( c ( t ) ) d t | t = t 0 ( 2 x λ u j u i ) x λ 1 ( c ( t 0 ) ) ) = i = 1 n d X i d t | t = t 0 ( u i ) c ( t 0 ) + i = 1 n j = 1 n X i ( t 0 ) d u j ( c ( t ) ) d t | t = t 0 ( u j u i ) c ( t 0 ) = i = 1 n ( d X i d t | t = t 0 + j = 1 n k = 1 n d u j ( c ( t ) ) d t | t = t 0 X k ( t 0 ) { i j k } c ( t 0 ) ) ( u i ) c ( t 0 ) c X t 0 = pr T c t 0 d X d t t = t 0 = pr T c t 0 d d t t = t 0 i = 1 n X i ( t ) u i c ( t ) = i = 1 n pr T c t 0 d X i d t t = t 0 u i c t 0 + X i t 0 d d t t = t 0 u i c ( t ) = i = 1 n d X i d t t = t 0 u i c t 0 + i = 1 n X i t 0 pr T c t 0 d d t t = t 0 x λ u i u 1 ( c ( t ) ) , , u n ( c ( t ) ) = i = 1 n d X i d t t = t 0 u i c t 0 + i = 1 n X i t 0 pr T c t 0 j = 1 n d u j ( c ( t ) ) d t t = t 0 2 x λ u j u i x λ 1 c t 0 = i = 1 n d X i d t t = t 0 u i c t 0 + i = 1 n j = 1 n X i t 0 d u j ( c ( t ) ) d t t = t 0 u j u i c t 0 = i = 1 n d X i d t t = t 0 + j = 1 n k = 1 n d u j ( c ( t ) ) d t t = t 0 X k t 0 i j k c t 0 u i c t 0 {:[(grad_(c^('))X)_(t_(0))=pr_(T_(c(t_(0))))((dX)/(dt)|_(t=t_(0)))],[=pr_(T_(c(t_(0))))((d)/(dt)|_(t=t_(0))(sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))))],[=sum_(i=1)^(n)pr_(T_(c(t_(0))))((dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))+X_(i)(t_(0))(d)/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t)))],[=sum_(i=1)^(n)(dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))],[+sum_(i=1)^(n)X_(i)(t_(0))pr_(T_(c(t_(0))))((d)/(dt)|_(t=t_(0))((del vec(x_(lambda)))/(delu_(i)))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))))],[=sum_(i=1)^(n)(dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))],[+sum_(i=1)^(n)X_(i)(t_(0))pr_(T_(c(t_(0))))(sum_(j=1)^(n)(du_(j)(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))((del^(2) vec(x_(lambda)))/(delu_(j)delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(c(t_(0)))))],[=sum_(i=1)^(n)(dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(t_(0))(du_(j)(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))(grad_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))],[=sum_(i=1)^(n)((dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(du_(j)(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))X_(k)(t_(0)){[i],[jk]}_(c(t_(0))))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))]:}\begin{aligned} & \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t_{0}}=\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d \boldsymbol{X}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\right) \\ & =\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right)\right) \\ & =\sum_{i=1}^{n} \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)}+\left.X_{i}\left(t_{0}\right) \frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right) \\ & =\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \\ & +\sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(t_{0}\right) \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}}\right)\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)\right) \\ & =\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \\ & +\sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(t_{0}\right) \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d u_{j}(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(c\left(t_{0}\right)\right)}\right) \\ & =\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)}+\left.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}\left(t_{0}\right) \frac{d u_{j}(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\left.\frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}+\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d u_{j}(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}} X_{k}\left(t_{0}\right)\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c\left(t_{0}\right)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \end{aligned}(cX)t0=prTc(t0)(dXdt|t=t0)=prTc(t0)(ddt|t=t0(i=1nXi(t)(ui)c(t)))=i=1nprTc(t0)(dXidt|t=t0(ui)c(t0)+Xi(t0)ddt|t=t0(ui)c(t))=i=1ndXidt|t=t0(ui)c(t0)+i=1nXi(t0)prTc(t0)(ddt|t=t0(xλui)(u1(c(t)),,un(c(t))))=i=1ndXidt|t=t0(ui)c(t0)+i=1nXi(t0)prTc(t0)(j=1nduj(c(t))dt|t=t0(2xλujui)xλ1(c(t0)))=i=1ndXidt|t=t0(ui)c(t0)+i=1nj=1nXi(t0)duj(c(t))dt|t=t0(ujui)c(t0)=i=1n(dXidt|t=t0+j=1nk=1nduj(c(t))dt|t=t0Xk(t0){ijk}c(t0))(ui)c(t0)
をえる。このように, 求めるべき c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX の局所表示式 (2.4.5) をえることが できる. 特に, c ( t ) = i = 1 n d ( u i c ) d t ( u i ) c ( t ) c ( t ) = i = 1 n d u i c d t u i c ( t ) c^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(d(u_(i)@c))/(dt)((del)/(delu_(i)))_(c(t))c^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}c(t)=i=1nd(uic)dt(ui)c(t) なので, 式 (2.4.5) から直接, c c c c grad_(c^('))c^(')\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}cc の局所表示式 (2.4.6) をえる.
命題 2.4.5 から直接, 次の事実が導かれる.
系 2.4.6 c 1 ( S λ ) c 1 S λ c^(-1)(S_(lambda))!=O/c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptysetc1(Sλ) とし, X t = i = 1 n X i ( t ) ( u i ) c ( t ) ( t c 1 ( S λ ) ) X t = i = 1 n X i ( t ) u i c ( t ) t c 1 S λ quadX_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))(t inc^(-1)(S_(lambda)))\quad \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right)Xt=i=1nXi(t)(ui)c(t)(tc1(Sλ)) とす る. このとき, 次の事実が成り立つ.
(i) X X X\boldsymbol{X}X が平行ベクトル場であることと
d X i d t + j = 1 n k = 1 n d ( u j c ) d t X k { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) d X i d t + j = 1 n k = 1 n d u j c d t X k i j k c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) (dX_(i))/(dt)+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)X_(k){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n)\frac{d X_{i}}{d t}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} X_{k}\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n)dXidt+j=1nk=1nd(ujc)dtXk{ijk}c(t)=0(i=1,,n)
が成り立つことは同値である;
(ii) c c ccc が測地線であることと
d 2 ( u i c ) d t 2 + j = 1 n k = 1 n d ( u j c ) d t d ( u k c ) d t { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) d 2 u i c d t 2 + j = 1 n k = 1 n d u j c d t d u k c d t i j k c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) (d^(2)(u_(i)@c))/(dt^(2))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)(d(u_(k)@c))/(dt){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n)\frac{d^{2}\left(u_{i} \circ c\right)}{d t^{2}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} \frac{d\left(u_{k} \circ c\right)}{d t}\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n)d2(uic)dt2+j=1nk=1nd(ujc)dtd(ukc)dt{ijk}c(t)=0(i=1,,n)
が成り立つことは同値である.
この系と正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理(常微分方程式 の本を参照)を用いて, 次の事実が導かれる。
定理 2.4.7 (i) c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とする. 各 v T c ( a ) ( S ) v T c ( a ) ( S ) v inT_(c(a))(S)\boldsymbol{v} \in T_{c(a)}(S)vTc(a)(S) に対し, X a = v X a = v X_(a)=v\boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v}Xa=v となる c c ccc に沿う平行ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X がただ 1 つ存在する.
(ii) 各 v T p ( S ) v T p ( S ) v inT_(p)(S)\boldsymbol{v} \in T_{p}(S)vTp(S) と十分小さな正の数 ε ε epsi\varepsilonε に対し, c ( 0 ) = v c ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c(0)=v となる S S SSS 上の 測地線 c : ( ε , ε ) S c : ( ε , ε ) S c:(-epsi,epsi)rarr Sc:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Sc:(ε,ε)S がただ 1 つ存在する.
証明 最初に, (i) を示そう。まず, c ( [ a , b ] ) c ( [ a , b ] ) c([a,b])c([a, b])c([a,b]) がある S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に含まれている場合 を考えよう. x λ 1 = ( u 1 , , u n ) x λ 1 = u 1 , , u n x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)xλ1=(u1,,un) とする。 X X X\boldsymbol{X}X c [ a , b ] c [ a , b ] c∣[a,b]c \mid[a, b]c[a,b] に沿うべクトル場とし、 X t = i = 1 n X i ( t ) ( u i ) c ( t ) X t = i = 1 n X i ( t ) u i c ( t ) X_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))\boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}Xt=i=1nXi(t)(ui)c(t) とする. また, v = i = 1 n v i ( u i ) c ( a ) v = i = 1 n v i u i c ( a ) v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delu_(i)))_(c(a))\boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(a)}v=i=1nvi(ui)c(a) とする. このと き, 系 2.4 .6 によれば, X X X\boldsymbol{X}X が平行ベクトル場であることと
d X i d t + j = 1 n k = 1 n d ( u j c ) d t X k ( t ) { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) d X i d t + j = 1 n k = 1 n d u j c d t X k ( t ) i j k c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) (dX_(i))/(dt)+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)X_(k)(t){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n)\frac{d X_{i}}{d t}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} X_{k}(t)\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n)dXidt+j=1nk=1nd(ujc)dtXk(t){ijk}c(t)=0(i=1,,n)
(これは, X 1 , , X n X 1 , , X n X_(1),dots,X_(n)X_{1}, \ldots, X_{n}X1,,Xn を未知関数とする 1 階の正規型連立常微分方程式であ
る)が成り立つことは同値である。また, X a = v X a = v X_(a)=v\boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v}Xa=v であることと X i ( a ) = X i ( a ) = X_(i)(a)=X_{i}(a)=Xi(a)= v i ( i = 1 , , n ) v i ( i = 1 , , n ) v_(i)(i=1,dots,n)v_{i}(i=1, \ldots, n)vi(i=1,,n) が成り立つことは同値である. それゆえ, 1 階の正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理から, X a = v X a = v X_(a)=v\boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v}Xa=v となる c | [ a , b ] c [ a , b ] c|_([a,b])\left.c\right|_{[a, b]}c|[a,b] に沿う 平行べクトル場 X X X\boldsymbol{X}X が一意的に存在することが導かれる。
一般の場合を考えよう. [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割 a = t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = b a = t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = b a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=ba=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=ba=t0<t1<<tk1<tk=b で, 各 i { 1 , , k } i { 1 , , k } i in{1,dots,k}i \in\{1, \ldots, k\}i{1,,k} に対し, c ( [ t i 1 , t i ] ) S λ i c t i 1 , t i S λ i c([t_(i-1),t_(i)])subS_(lambda_(i))c\left(\left[t_{i-1}, t_{i}\right]\right) \subset S_{\lambda_{i}}c([ti1,ti])Sλi となる ( S λ i , x λ i 1 ) D S λ i , x λ i 1 D (S_(lambda_(i)),x_(lambda_(i))^(-1))inD\left(S_{\lambda_{i}}, \boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}^{-1}\right) \in \mathcal{D}(Sλi,xλi1)D が存在するようなものをとる。すでに示した事実によれば, X a 1 = v X a 1 = v X_(a)^(1)=v\boldsymbol{X}_{a}^{1}=\boldsymbol{v}Xa1=v となる c | [ a , t 1 ] c a , t 1 c|_([a,t_(1)])\left.c\right|_{\left[a, t_{1}\right]}c|[a,t1] に沿う平行ベクトル場 X 1 X 1 X^(1)\boldsymbol{X}^{1}X1 が一意的に存在する. 同様に, X t 1 2 = X t 1 1 X t 1 2 = X t 1 1 X_(t_(1))^(2)=X_(t_(1))^(1)\boldsymbol{X}_{t_{1}}^{2}=\boldsymbol{X}_{t_{1}}^{1}Xt12=Xt11 となる c | [ t 1 , t 2 ] c t 1 , t 2 c|_([t_(1),t_(2)])\left.c\right|_{\left[t_{1}, t_{2}\right]}c|[t1,t2] に沿う平行ベクトル場 X 2 X 2 X^(2)\boldsymbol{X}^{2}X2 が一意的に存在する. 以下, 順次, X t i 1 i = X t i 1 i = X_(t_(i-1))^(i)=\boldsymbol{X}_{t_{i-1}}^{i}=Xti1i= X t i 1 i 1 X t i 1 i 1 X_(t_(i-1))^(i-1)\boldsymbol{X}_{t_{i-1}}^{i-1}Xti1i1 となる c | [ t i 1 , t i ] c t i 1 , t i c|_([t_(i-1),t_(i)])\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}c|[ti1,ti] に沿う平行ベクトル場 X i X i X^(i)\boldsymbol{X}^{i}Xi が一意的に存在することがわ かる ( i = 3 , 4 , , k ) ( i = 3 , 4 , , k ) (i=3,4,dots,k)(i=3,4, \ldots, k)(i=3,4,,k). 明らかに, X 1 , , X k X 1 , , X k X^(1),dots,X^(k)\boldsymbol{X}^{1}, \ldots, \boldsymbol{X}^{k}X1,,Xk を貼り合わせて c c ccc に沿う平行 ベクトル場がえられ,同時に,その一意性も示される。
次に, (ii) を示そう. p S λ , x λ 1 = ( u 1 , , u n ) p S λ , x λ 1 = u 1 , , u n p inS_(lambda),x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))p \in S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)pSλ,xλ1=(u1,,un) とし, x λ 1 ( p ) = ( a 1 , x λ 1 ( p ) = a 1 , x_(lambda)^(-1)(p)=(a_(1),dots:}\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)=\left(a_{1}, \ldots\right.xλ1(p)=(a1,, a n ) , v = i = 1 n v i ( u i ) p a n , v = i = 1 n v i u i p {:a_(n)),v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delu_(i)))_(p)\left.a_{n}\right), \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}an),v=i=1nvi(ui)p とする. c : ( ε , ε ) S λ c : ( ε , ε ) S λ c:(-epsi,epsi)rarrS_(lambda)c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S_{\lambda}c:(ε,ε)Sλ C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とする. このと き, 系 2.4.6の (ii)によれば, c c ccc が測地線であること
d 2 ( u i c ) d t 2 + j = 1 n k = 1 n d ( u j c ) d t d ( u k c ) d t { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) d 2 u i c d t 2 + j = 1 n k = 1 n d u j c d t d u k c d t i j k c ( t ) = 0 ( i = 1 , , n ) (d^(2)(u_(i)@c))/(dt^(2))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)(d(u_(k)@c))/(dt){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n)\frac{d^{2}\left(u_{i} \circ c\right)}{d t^{2}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} \frac{d\left(u_{k} \circ c\right)}{d t}\left\{\begin{array}{c} i \\ j k \end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n)d2(uic)dt2+j=1nk=1nd(ujc)dtd(ukc)dt{ijk}c(t)=0(i=1,,n)
(これは, u 1 c , , u n c u 1 c , , u n c u_(1)@c,dots,u_(n)@cu_{1} \circ c, \ldots, u_{n} \circ cu1c,,unc を未知関数とする 2 階の正規型連立常微分方程式で ある)が成り立つことは同値である。また, c ( 0 ) = v c ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c(0)=v であることと
( u i c ) ( 0 ) = a i , d ( u i c ) d t | t = 0 = v i ( i = 1 , , n ) u i c ( 0 ) = a i , d u i c d t t = 0 = v i ( i = 1 , , n ) (u_(i)@c)(0)=a_(i), quad(d(u_(i)@c))/(dt)|_(t=0)=v_(i)quad(i=1,dots,n)\left(u_{i} \circ c\right)(0)=a_{i},\left.\quad \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=0}=v_{i} \quad(i=1, \ldots, n)(uic)(0)=ai,d(uic)dt|t=0=vi(i=1,,n)
が成り立つことは同値である。それゆえ, 2 階の正規型連立常微分方程式の解 の存在性・一意性定理から (ii) が導かれる。
C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S に対し, T c ( a ) S T c ( a ) S T_(c(a))ST_{c(a)} STc(a)S から T c ( b ) S T c ( b ) S T_(c(b))ST_{c(b)} STc(b)S への写像 P c P c P_(c)P_{c}Pc
P c ( v ) := X b ( v T c ( a ) S ) ( X : X a = v となる c に沿う平行ベクトル場 ) . P c ( v ) := X b v T c ( a ) S X : X a = v  となる  c  に沿う平行ベクトル場  . {:[P_(c)(v):=X_(b)quad(v inT_(c(a))S)],[(X:X_(a)=v" となる "c" に沿う平行ベクトル場 ").]:}\begin{gathered} P_{c}(\boldsymbol{v}):=\boldsymbol{X}_{b} \quad\left(\boldsymbol{v} \in T_{c(a)} S\right) \\ \left(\boldsymbol{X}: \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} \text { となる } c \text { に沿う平行ベクトル場 }\right) . \end{gathered}Pc(v):=Xb(vTc(a)S)(X:Xa=v となる c に沿う平行ベクトル場 ).
この写像 P c P c P_(c)P_{c}Pc c c ccc に沿う平行移動(parallel translation along c c ccc )という. c 1 ( a ) = c 2 ( a ) , c 1 ( b ) = c 2 ( b ) c 1 ( a ) = c 2 ( a ) , c 1 ( b ) = c 2 ( b ) c_(1)(a)=c_(2)(a),c_(1)(b)=c_(2)(b)c_{1}(a)=c_{2}(a), c_{1}(b)=c_{2}(b)c1(a)=c2(a),c1(b)=c2(b) となる 2 つの異なる C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c 1 , c 2 c 1 , c 2 c_(1),c_(2)c_{1}, c_{2}c1,c2 に対し, P c 1 P c 1 P_(c_(1))P_{c_{1}}Pc1
P c 2 P c 2 P_(c_(2))P_{c_{2}}Pc2 は, 一般には異なることに注意する(図 2.4.1 を参照).
c 1 ( a ) = c 2 ( a ) = p , c 1 ( b ) = c 2 ( b ) = q X i : X i ( a ) = v となる c i に沿う平行ベクトル場 ( i = 1 , 2 ) c 1 ( a ) = c 2 ( a ) = p , c 1 ( b ) = c 2 ( b ) = q X i : X i ( a ) = v  となる  c i  に沿う平行ベクトル場  ( i = 1 , 2 ) {:[c_(1)(a)=c_(2)(a)=p","quadc_(1)(b)=c_(2)(b)=q],[X_(i):X_(i)(a)=v" となる "c_(i)" に沿う平行ベクトル場 "(i=1","2)]:}\begin{gathered} c_{1}(a)=c_{2}(a)=p, \quad c_{1}(b)=c_{2}(b)=q \\ \boldsymbol{X}_{i}: \boldsymbol{X}_{i}(a)=\boldsymbol{v} \text { となる } c_{i} \text { に沿う平行ベクトル場 }(i=1,2) \end{gathered}c1(a)=c2(a)=p,c1(b)=c2(b)=qXi:Xi(a)=v となる ci に沿う平行ベクトル場 (i=1,2)
図 2.4.1 平行移動
定理 2.4.8 P c P c quadP_(c)\quad P_{c}Pc は線形同型写像である.
証明 まず, P c P c P_(c)P_{c}Pc が線形写像であることを示そう. v , w T p S , α , β R v , w T p S , α , β R v,w inT_(p)S,alpha,beta inR\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} S, \alpha, \beta \in \mathbb{R}v,wTpS,α,βR と し, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y を各々, X p = v , Y p = w X p = v , Y p = w X_(p)=v,Y_(p)=w\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w}Xp=v,Yp=w となる c c ccc に沿う平行べクトル場とする. Z := α X + β Y Z := α X + β Y Z:=alpha X+beta Y\boldsymbol{Z}:=\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y}Z:=αX+βY とおく. c c grad_(c^('))\nabla_{c^{\prime}}c の性質(命題 2.4 .3 を参照)を用いて,
c Z = α c X + β c Y = 0 c Z = α c X + β c Y = 0 grad_(c^('))Z=alphagrad_(c^('))X+betagrad_(c^('))Y=0\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Z}=\alpha \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}+\beta \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}=\mathbf{0}cZ=αcX+βcY=0
が示され, さらに, Z a = α X a + β Y a = α v + β w Z a = α X a + β Y a = α v + β w Z_(a)=alphaX_(a)+betaY_(a)=alpha v+beta w\boldsymbol{Z}_{a}=\alpha \boldsymbol{X}_{a}+\beta \boldsymbol{Y}_{a}=\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w}Za=αXa+βYa=αv+βw が示される. このように, Z Z Z\boldsymbol{Z}Z Z a = α v + β w Z a = α v + β w Z_(a)=alpha v+beta w\boldsymbol{Z}_{a}=\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w}Za=αv+βw となる c c ccc に沿う平行べクトル場である. したがって,
P c ( α v + β w ) = Z b = α X b + β Y b = α P c ( v ) + β P c ( w ) P c ( α v + β w ) = Z b = α X b + β Y b = α P c ( v ) + β P c ( w ) P_(c)(alpha v+beta w)=Z_(b)=alphaX_(b)+betaY_(b)=alphaP_(c)(v)+betaP_(c)(w)P_{c}(\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w})=\boldsymbol{Z}_{b}=\alpha \boldsymbol{X}_{b}+\beta \boldsymbol{Y}_{b}=\alpha P_{c}(\boldsymbol{v})+\beta P_{c}(\boldsymbol{w})Pc(αv+βw)=Zb=αXb+βYb=αPc(v)+βPc(w)
をえる. したがって, P c P c P_(c)P_{c}Pc が線形写像であることが示される.
次に, P c P c P_(c)P_{c}Pc が全単射であることを示そう. T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の零ベクトルを 0 p 0 p 0_(p)\mathbf{0}_{p}0p で表し, c c ccc に沿う零べクトル場を0で表すことにする. v Ker P c v Ker P c v in KerP_(c)\boldsymbol{v} \in \operatorname{Ker} P_{c}vKerPc (つまり P c ( v ) = P c ( v ) = P_(c)(v)=P_{c}(\boldsymbol{v})=Pc(v)= 0 c ( b ) 0 c ( b ) 0_(c(b))\mathbf{0}_{c(b)}0c(b) ) とし, X X X\boldsymbol{X}X X a = v X a = v X_(a)=v\boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v}Xa=v となる c c ccc に沿う平行べクトル場とする. このと き, X b = P c ( v ) = 0 c ( b ) X b = P c ( v ) = 0 c ( b ) X_(b)=P_(c)(v)=0_(c(b))\boldsymbol{X}_{b}=P_{c}(\boldsymbol{v})=\mathbf{0}_{c(b)}Xb=Pc(v)=0c(b) となる. 一方, c c ccc に沿う零ベクトル場 0 0 0\mathbf{0}0 0 b = 0 b = 0_(b)=\mathbf{0}_{b}=0b= 0 c ( b ) 0 c ( b ) 0_(c(b))\mathbf{0}_{c(b)}0c(b) となる平行ベクトル場である。それゆえ, 平行ベクトル場の一意性(定理 2.4.7の (i)) より, X = 0 X = 0 X=0\boldsymbol{X}=\mathbf{0}X=0, 特に v = X a = 0 a = 0 c ( a ) v = X a = 0 a = 0 c ( a ) v=X_(a)=0_(a)=0_(c(a))\boldsymbol{v}=\boldsymbol{X}_{a}=\mathbf{0}_{a}=\mathbf{0}_{c(a)}v=Xa=0a=0c(a) をえる. このよう に Ker P c = { 0 c ( a ) } , , P c P c = 0 c ( a ) , , P c P_(c)={0_(c(a))},つまり,P_(c)P_{c}=\left\{\mathbf{0}_{c(a)}\right\}, つ ま り, P_{c}Pc={0c(a)},,Pc が単射であることが示される. さらに, 線
形代数学における次元定理を用いて,
dim T c ( a ) S = dim ( Ker P c ) + dim ( Im P c ) = dim ( Im P c ) dim T c ( a ) S = dim Ker P c + dim Im P c = dim Im P c dimT_(c(a))S=dim(KerP_(c))+dim(ImP_(c))=dim(ImP_(c))\operatorname{dim} T_{c(a)} S=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} P_{c}\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} P_{c}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} P_{c}\right)dimTc(a)S=dim(KerPc)+dim(ImPc)=dim(ImPc)
それゆえ dim ( Im P c ) = dim T c ( b ) S dim Im P c = dim T c ( b ) S dim(ImP_(c))=dimT_(c(b))S\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} P_{c}\right)=\operatorname{dim} T_{c(b)} Sdim(ImPc)=dimTc(b)S が示され, Im P c = T c ( b ) S Im P c = T c ( b ) S ImP_(c)=T_(c(b))S\operatorname{Im} P_{c}=T_{c(b)} SImPc=Tc(b)S, つまり, P c P c P_(c)P_{c}Pc が 全射であることが導かれる。したがって, P c P c P_(c)P_{c}Pc は線形同型写像である.
問 2.4 .2
D = { ( u 1 , u 2 ) R 2 0 < u 1 < 1 , π < u 2 < π } ( = ( 0 , 1 ) × ( π , π ) ) D = u 1 , u 2 R 2 0 < u 1 < 1 , π < u 2 < π ( = ( 0 , 1 ) × ( π , π ) ) D={(u_(1),u_(2))inR^(2)∣0 < u_(1) < 1,-pi < u_(2) < pi}(=(0,1)xx(-pi,pi))D=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0<u_{1}<1,-\pi<u_{2}<\pi\right\}(=(0,1) \times(-\pi, \pi))D={(u1,u2)R20<u1<1,π<u2<π}(=(0,1)×(π,π))
とし, C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面 x : D E 3 x : D E 3 x:D rarrE^(3)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:DE3
x ( u 1 , u 2 ) = ( 1 u 1 2 cos u 2 , 1 u 1 2 sin u 2 , u 1 ) x u 1 , u 2 = 1 u 1 2 cos u 2 , 1 u 1 2 sin u 2 , u 1 x(u_(1),u_(2))=(sqrt(1-u_(1)^(2))cos u_(2),sqrt(1-u_(1)^(2))sin u_(2),u_(1))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(\sqrt{1-u_{1}^{2}} \cos u_{2}, \sqrt{1-u_{1}^{2}} \sin u_{2}, u_{1}\right)x(u1,u2)=(1u12cosu2,1u12sinu2,u1)
と定義する. 次の各問いに答えよ.
(i) S S quad S\quad SS 上の曲線 c 1 ( t ) := ( cos t , 0 , sin t ) ( 0 < t < π 2 ) c 1 ( t ) := ( cos t , 0 , sin t ) 0 < t < π 2 c_(1)(t):=(cos t,0,sin t)quad(0 < t < (pi)/(2))c_{1}(t):=(\cos t, 0, \sin t) \quad\left(0<t<\frac{\pi}{2}\right)c1(t):=(cost,0,sint)(0<t<π2) は, S S SSS 上の測地線である かどうか調べよ.
(ii) S S SSS 上の曲線 c 2 ( t ) := ( 1 2 cos t , 1 2 sin t , 1 2 ) ( π < t < π ) c 2 ( t ) := 1 2 cos t , 1 2 sin t , 1 2 ( π < t < π ) c_(2)(t):=((1)/(sqrt2)cos t,(1)/(sqrt2)sin t,(1)/(sqrt2))(-pi < t < pi)c_{2}(t):=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos t, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin t, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(-\pi<t<\pi)c2(t):=(12cost,12sint,12)(π<t<π) は, S S SSS 上の 測地線であるかどうか調べよ.
(ヒント:クリストッフェルの記号を求めるのは大変なので, d 2 c 1 d t 2 , d 2 c 2 d t 2 d 2 c 1 d t 2 , d 2 c 2 d t 2 (d^(2)c_(1))/(dt^(2)),(d^(2)c_(2))/(dt^(2))\frac{d^{2} c_{1}}{d t^{2}}, \frac{d^{2} c_{2}}{d t^{2}}d2c1dt2,d2c2dt2 を計算 し,それらの接成分が0になるかどうか調べる.)
問 2.4.3 図 2.4.2 におけるような単位球面 S 2 ( 1 ) S 2 ( 1 ) S^(2)(1)S^{2}(1)S2(1) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] S 2 ( 1 ) c : [ a , b ] S 2 ( 1 ) c:[a,b]rarrS^(2)(1)c:[a, b] \rightarrow S^{2}(1)c:[a,b]S2(1) v v v\boldsymbol{v}v に対し, X a = v X a = v X_(a)=v\boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v}Xa=v となる平行ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X を作図せよ.
(i)
(ii)
図 2.4.2

2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠

この節において, ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元ユークリッド空間 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の向き付けられ
C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線の曲率・フルネ枠を定義する. この節では, r n + 1 r n + 1 r >= n+1r \geq n+1rn+1 とする. ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とし, D = D = D=\mathcal{D}=D= { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } S λ , x λ 1 λ Λ {(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}{(Sλ,xλ1)λΛ} とし, g g ggg S S SSS の第 1 基本形式とする。 c : [ 0 , l ] S c : [ 0 , l ] S c:[0,l]rarr Sc:[0, l] \rightarrow Sc:[0,l]S を弧長でパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線とし, c c ccc の速度ベクトル場 c c c^(')c^{\prime}c t t t\boldsymbol{t}t と 表し, t t t\boldsymbol{t}t の共変微分 ( c t ) s ( = ( c c ) s ) c t s = c c s (grad_(c^('))t)_(s)(=(grad_(c^('))c^('))_(s))\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\left(=\left(\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}\right)_{s}\right)(ct)s(=(cc)s) のノルム ( c t ) s c t s ||(grad_(c^('))t)_(s)||\left\|\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\right\|(ct)s κ 1 ( s ) κ 1 ( s ) kappa_(1)(s)\kappa_{1}(s)κ1(s) と表す. κ 1 : [ 0 , l ] R κ 1 : [ 0 , l ] R kappa_(1):[0,l]rarrR\kappa_{1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κ1:[0,l]R c c ccc の第 1 曲率(the first curvature)という. κ 1 ( s ) κ 1 ( s ) kappa_(1)(s)!=\kappa_{1}(s) \neqκ1(s) 0 ( s [ 0 , l ] ) 0 ( s [ 0 , l ] ) 0(s in[0,l])0(s \in[0, l])0(s[0,l]) と仮定する. ( n 1 ) s := 1 κ 1 ( s ) ( c t ) s n 1 s := 1 κ 1 ( s ) c t s (n_(1))_(s):=(1)/(kappa_(1)(s))(grad_(c^('))t)_(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}:=\frac{1}{\kappa_{1}(s)}\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}(n1)s:=1κ1(s)(ct)s とおく. c c ccc に沿う接ベクトル 場 n 1 : [ 0 , l ] T S n 1 : [ 0 , l ] T S n_(1):[0,l]rarr TS\boldsymbol{n}_{1}:[0, l] \rightarrow T Sn1:[0,l]TS c c ccc の第 1 1 1\mathbf{1}1 法線ベクトル場という。明らかに,
(2.5.1) ( c t ) s = κ 1 ( s ) ( n 1 ) s (2.5.1) c t s = κ 1 ( s ) n 1 s {:(2.5.1)(grad_(c^('))t)_(s)=kappa_(1)(s)(n_(1))_(s):}\begin{equation*} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}=\kappa_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s} \tag{2.5.1} \end{equation*}(2.5.1)(ct)s=κ1(s)(n1)s
が成り立つ. 容易に, g c ( s ) ( t s , ( n 1 ) s ) = 0 g c ( s ) t s , n 1 s = 0 g_(c(s))(t_(s),(n_(1))_(s))=0g_{c(s)}\left(\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=0gc(s)(ts,(n1)s)=0 が示される. T c ( s ) S T c ( s ) S T_(c(s))ST_{c(s)} STc(s)S の 2 次元部分 ベクトル空間
O 1 ( s ) := Span { ( t ) s , ( n 1 ) s } O 1 ( s ) := Span ( t ) s , n 1 s O_(1)(s):=Span{(t)_(s),(n_(1))_(s)}\mathcal{O}_{1}(s):=\operatorname{Span}\left\{(\boldsymbol{t})_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right\}O1(s):=Span{(t)s,(n1)s}
c c ccc s s sss における第 1 1 1\mathbf{1}1 接触空間という. c c ccc の沿う接ベクトル場 s ( n 1 ) s s n 1 s s|->(n_(1))_(s)s \mapsto\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}s(n1)s の 共変微分 ( c n 1 ) s c n 1 s (grad_(c^('))n_(1))_(s)\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}(cn1)s
( c n 1 ) s = α ( s ) t s + β ( s ) ( n 1 ) s + ( w 2 ) s ( α ( s ) , β ( s ) R , ( w 2 ) s O 1 ( s ) ) c n 1 s = α ( s ) t s + β ( s ) n 1 s + w 2 s α ( s ) , β ( s ) R , w 2 s O 1 ( s ) (grad_(c^('))n_(1))_(s)=alpha(s)t_(s)+beta(s)(n_(1))_(s)+(w_(2))_(s)quad(alpha(s),beta(s)inR,quad(w_(2))_(s)inO_(1)(s)^(_|_))\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}=\alpha(s) \boldsymbol{t}_{s}+\beta(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s} \quad\left(\alpha(s), \beta(s) \in \mathbb{R}, \quad\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s} \in \mathcal{O}_{1}(s)^{\perp}\right)(cn1)s=α(s)ts+β(s)(n1)s+(w2)s(α(s),β(s)R,(w2)sO1(s))
という形に分解する. ここで, O 1 ( s ) O 1 ( s ) O_(1)(s)^(_|_)\mathcal{O}_{1}(s)^{\perp}O1(s) ( T c ( s ) S , g c ( s ) ) T c ( s ) S , g c ( s ) (T_(c(s))S,g_(c(s)))\left(T_{c(s)} S, g_{c(s)}\right)(Tc(s)S,gc(s)) における O 1 ( s ) O 1 ( s ) O_(1)(s)\mathcal{O}_{1}(s)O1(s) の直交補空間を表す. α ( s ) , β ( s ) α ( s ) , β ( s ) alpha(s),beta(s)\alpha(s), \beta(s)α(s),β(s) を求めると,
α ( s ) = g c ( s ) ( ( c n 1 ) s , t s ) = g c ( s ) ( ( n 1 ) s , ( c t ) s ) = κ 1 ( s ) β ( s ) = g c ( s ) ( ( c n 1 ) s , ( n 1 ) s ) = 0 α ( s ) = g c ( s ) c n 1 s , t s = g c ( s ) n 1 s , c t s = κ 1 ( s ) β ( s ) = g c ( s ) c n 1 s , n 1 s = 0 {:[alpha(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(1))_(s),t_(s))=-g_(c(s))((n_(1))_(s),(grad_(c^('))t)_(s))=-kappa_(1)(s)],[beta(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(1))_(s),(n_(1))_(s))=0]:}\begin{aligned} & \alpha(s)=g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \boldsymbol{t}_{s}\right)=-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\right)=-\kappa_{1}(s) \\ & \beta(s)=g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=0 \end{aligned}α(s)=gc(s)((cn1)s,ts)=gc(s)((n1)s,(ct)s)=κ1(s)β(s)=gc(s)((cn1)s,(n1)s)=0
となる. κ 2 ( s ) := ( w 2 ) s κ 2 ( s ) := w 2 s kappa_(2)(s):=||(w_(2))_(s)||\kappa_{2}(s):=\left\|\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s}\right\|κ2(s):=(w2)s とおく. κ 2 : [ 0 , l ] R κ 2 : [ 0 , l ] R kappa_(2):[0,l]rarrR\kappa_{2}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κ2:[0,l]R c c ccc 2 2 2\mathbf{2}2 曲率という. κ 2 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) κ 2 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) kappa_(2)(s)!=0quad(s in[0,l])\kappa_{2}(s) \neq 0 \quad(s \in[0, l])κ2(s)0(s[0,l]) と仮定する. ( n 2 ) s := 1 κ 2 ( s ) ( w 2 ) s n 2 s := 1 κ 2 ( s ) w 2 s (n_(2))_(s):=(1)/(kappa_(2)(s))(w_(2))_(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}:=\frac{1}{\kappa_{2}(s)}\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s}(n2)s:=1κ2(s)(w2)s とおく. n 2 : [ 0 , l ] n 2 : [ 0 , l ] n_(2):[0,l]rarr\boldsymbol{n}_{2}:[0, l] \rightarrown2:[0,l] T S T S TST STS を, c c ccc の第 2 2 2\mathbf{2}2 法線ベクトル場という. このとき, 上述の事実より, c n 1 c n 1 grad_(c^('))n_(1)\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}cn1 は次のように表される:
(2.5.2) ( c n 1 ) s = κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) ( n 2 ) s (2.5.2) c n 1 s = κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) n 2 s {:(2.5.2)(grad_(c^('))n_(1))_(s)=-kappa_(1)(s)t_(s)+kappa_(2)(s)(n_(2))_(s):}\begin{equation*} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s} \tag{2.5.2} \end{equation*}(2.5.2)(cn1)s=κ1(s)ts+κ2(s)(n2)s
T c ( s ) S T c ( s ) S T_(c(s))ST_{c(s)} STc(s)S の 3 次元部分ベクトル空間
O 2 ( s ) := Span { t s , ( n 1 ) s , ( n 2 ) s } O 2 ( s ) := Span t s , n 1 s , n 2 s O_(2)(s):=Span{t_(s),(n_(1))_(s),(n_(2))_(s)}\mathcal{O}_{2}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}\right\}O2(s):=Span{ts,(n1)s,(n2)s}
c c ccc s s sss における第 2 2 2\mathbf{2}2 接触空間という. c c ccc に沿う接べクトル場 s ( n 2 ) s s n 2 s s|->(n_(2))_(s)s \mapsto\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}s(n2)s の 共変微分 c n 2 c n 2 grad_(c^('))n_(2)\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}cn2
( c n 2 ) s = α ^ ( s ) t s + β ^ 1 ( s ) ( n 1 ) s + β ^ 2 ( s ) ( n 2 ) s + ( w 3 ) s ( α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) R , ( w 3 ) s O 2 ( s ) ) c n 2 s = α ^ ( s ) t s + β ^ 1 ( s ) n 1 s + β ^ 2 ( s ) n 2 s + w 3 s α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) R , w 3 s O 2 ( s ) {:[(grad_(c^('))n_(2))_(s)= hat(alpha)(s)t_(s)+ hat(beta)_(1)(s)(n_(1))_(s)+ hat(beta)_(2)(s)(n_(2))_(s)+(w_(3))_(s)],[(( hat(alpha))(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s)inR,(w_(3))_(s)inO_(2)(s)^(_|_))]:}\begin{array}{r} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}=\hat{\alpha}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\hat{\beta}_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\hat{\beta}_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}+\left(\boldsymbol{w}_{3}\right)_{s} \\ \left(\hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s) \in \mathbb{R},\left(\boldsymbol{w}_{3}\right)_{s} \in \mathcal{O}_{2}(s)^{\perp}\right) \end{array}(cn2)s=α^(s)ts+β^1(s)(n1)s+β^2(s)(n2)s+(w3)s(α^(s),β^1(s),β^2(s)R,(w3)sO2(s))
という形に分解する. α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) hat(alpha)(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s)\hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s)α^(s),β^1(s),β^2(s) を求めると,
α ^ ( s ) = g c ( s ) ( ( c n 2 ) s , t s ) = g c ( s ) ( ( n 2 ) s , ( c t ) s ) = κ 1 ( s ) g c ( s ) ( ( n 2 ) s , ( n 1 ) s ) = 0 β ^ 1 ( s ) = g c ( s ) ( ( c n 2 ) s , ( n 1 ) s ) = g c ( s ) ( ( n 2 ) s , ( c n 1 ) s ) = g c ( s ) ( ( n 2 ) s , κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) ( n 2 ) s ) = κ 2 ( s ) β ^ 2 ( s ) = g c ( s ) ( ( c n 2 ) s , ( n 2 ) s ) = 0 α ^ ( s ) = g c ( s ) c n 2 s , t s = g c ( s ) n 2 s , c t s = κ 1 ( s ) g c ( s ) n 2 s , n 1 s = 0 β ^ 1 ( s ) = g c ( s ) c n 2 s , n 1 s = g c ( s ) n 2 s , c n 1 s = g c ( s ) n 2 s , κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) n 2 s = κ 2 ( s ) β ^ 2 ( s ) = g c ( s ) c n 2 s , n 2 s = 0 {:[ hat(alpha)(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(2))_(s),t_(s))=-g_(c(s))((n_(2))_(s),(grad_(c^('))t)_(s))],[=-kappa_(1)(s)g_(c(s))((n_(2))_(s),(n_(1))_(s))=0],[ hat(beta)_(1)(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(2))_(s),(n_(1))_(s))=-g_(c(s))((n_(2))_(s),(grad_(c^('))n_(1))_(s))],[=-g_(c(s))((n_(2))_(s),-kappa_(1)(s)t_(s)+kappa_(2)(s)(n_(2))_(s))=-kappa_(2)(s)],[ hat(beta)_(2)(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(2))_(s),(n_(2))_(s))=0]:}\begin{aligned} \hat{\alpha}(s) & =g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}, \boldsymbol{t}_{s}\right)=-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\right) \\ & =-\kappa_{1}(s) g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=0 \\ \hat{\beta}_{1}(s) & =g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right) \\ & =-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}\right)=-\kappa_{2}(s) \\ \hat{\beta}_{2}(s) & =g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}\right)=0 \end{aligned}α^(s)=gc(s)((cn2)s,ts)=gc(s)((n2)s,(ct)s)=κ1(s)gc(s)((n2)s,(n1)s)=0β^1(s)=gc(s)((cn2)s,(n1)s)=gc(s)((n2)s,(cn1)s)=gc(s)((n2)s,κ1(s)ts+κ2(s)(n2)s)=κ2(s)β^2(s)=gc(s)((cn2)s,(n2)s)=0
となる. κ 3 ( s ) := w 3 ( s ) κ 3 ( s ) := w 3 ( s ) kappa_(3)(s):=||w_(3)(s)||\kappa_{3}(s):=\left\|\boldsymbol{w}_{3}(s)\right\|κ3(s):=w3(s) とおく. κ 3 : [ 0 , l ] R κ 3 : [ 0 , l ] R kappa_(3):[0,l]rarrR\kappa_{3}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κ3:[0,l]R c c ccc の第 3 3 3\mathbf{3}3 曲率という. κ 3 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) κ 3 ( s ) 0 ( s [ 0 , l ] ) kappa_(3)(s)!=0quad(s in[0,l])\kappa_{3}(s) \neq 0 \quad(s \in[0, l])κ3(s)0(s[0,l]) と仮定する. ( n 3 ) s := 1 κ 3 ( s ) ( w 3 ) s n 3 s := 1 κ 3 ( s ) w 3 s (n_(3))_(s):=(1)/(kappa_(3)(s))(w_(3))_(s)\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s}:=\frac{1}{\kappa_{3}(s)}\left(\boldsymbol{w}_{3}\right)_{s}(n3)s:=1κ3(s)(w3)s とおく. n 3 : [ 0 , l ] n 3 : [ 0 , l ] n_(3):[0,l]rarr\boldsymbol{n}_{3}:[0, l] \rightarrown3:[0,l] T S T S TST STS を, c c ccc の第 3 法線ベクトル場という.このとき, 上述の事実より, ( c n 2 ) s c n 2 s (grad_(c^('))n_(2))_(s)\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}(cn2)s は次のように表される:
(2.5.3) ( c n 2 ) s = κ 2 ( s ) ( n 1 ) s + κ 3 ( s ) ( n 3 ) s (2.5.3) c n 2 s = κ 2 ( s ) n 1 s + κ 3 ( s ) n 3 s {:(2.5.3)(grad_(c^('))n_(2))_(s)=-kappa_(2)(s)(n_(1))_(s)+kappa_(3)(s)(n_(3))_(s):}\begin{equation*} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}=-\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\kappa_{3}(s)\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s} \tag{2.5.3} \end{equation*}(2.5.3)(cn2)s=κ2(s)(n1)s+κ3(s)(n3)s
T c ( s ) S T c ( s ) S T_(c(s))ST_{c(s)} STc(s)S の 4 次元部分べクトル空間
O 3 ( s ) := Span { t s , ( n 1 ) s , ( n 2 ) s , ( n 3 ) s } O 3 ( s ) := Span t s , n 1 s , n 2 s , n 3 s O_(3)(s):=Span{t_(s),(n_(1))_(s),(n_(2))_(s),(n_(3))_(s)}\mathcal{O}_{3}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s}\right\}O3(s):=Span{ts,(n1)s,(n2)s,(n3)s}
c c ccc c ( s ) c ( s ) c(s)c(s)c(s) における第 3 3 3\mathbf{3}3 接触空間という. 以下, 同様のプロセスを繰り返す ことにより, 順次, κ 4 , κ 5 , , n 4 , n 5 , κ 4 , κ 5 , , n 4 , n 5 , kappa_(4),kappa_(5),dots,n_(4),n_(5),dots\kappa_{4}, \kappa_{5}, \ldots, \boldsymbol{n}_{4}, \boldsymbol{n}_{5}, \ldotsκ4,κ5,,n4,n5, および O 4 ( s ) , O 5 ( s ) , O 4 ( s ) , O 5 ( s ) , O_(4)(s),O_(5)(s),dots\mathcal{O}_{4}(s), \mathcal{O}_{5}(s), \ldotsO4(s),O5(s), が定義 され,
(2.5.4) ( c n i ) s = κ i ( s ) ( n i 1 ) s + κ i + 1 ( s ) ( n i + 1 ) s ( i = 3 , 4 , ) (2.5.4) c n i s = κ i ( s ) n i 1 s + κ i + 1 ( s ) n i + 1 s ( i = 3 , 4 , ) {:(2.5.4)(grad_(c^('))n_(i))_(s)=-kappa_(i)(s)(n_(i-1))_(s)+kappa_(i+1)(s)(n_(i+1))_(s)quad(i=3","4","dots):}\begin{equation*} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{i}\right)_{s}=-\kappa_{i}(s)\left(\boldsymbol{n}_{i-1}\right)_{s}+\kappa_{i+1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{i+1}\right)_{s} \quad(i=3,4, \ldots) \tag{2.5.4} \end{equation*}(2.5.4)(cni)s=κi(s)(ni1)s+κi+1(s)(ni+1)s(i=3,4,)
が示される. κ i ( i = 4 , 5 , ) κ i ( i = 4 , 5 , ) kappa_(i)(i=4,5,dots)\kappa_{i}(i=4,5, \ldots)κi(i=4,5,) c c ccc の第 i i i\boldsymbol{i}i 曲率といい, n i ( i = 4 , 5 , ) n i ( i = 4 , 5 , ) n_(i)(i=4,5,dots)\boldsymbol{n}_{i}(i=4,5, \ldots)ni(i=4,5,) を第 i i i\boldsymbol{i}i法線ベクトル場という。また,
O i ( s ) := Span { t s , ( n 1 ) s , , ( n i ) s } ( i = 4 , 5 , ) O i ( s ) := Span t s , n 1 s , , n i s ( i = 4 , 5 , ) O_(i)(s):=Span{t_(s),(n_(1))_(s),dots,(n_(i))_(s)}quad(i=4,5,dots)\mathcal{O}_{i}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \ldots,\left(\boldsymbol{n}_{i}\right)_{s}\right\} \quad(i=4,5, \ldots)Oi(s):=Span{ts,(n1)s,,(ni)s}(i=4,5,)
c c ccc c ( s ) c ( s ) c(s)c(s)c(s) における第 i i i\boldsymbol{i}i 接触空間という.
κ i , n i ( i = 1 , , n 2 ) κ i , n i ( i = 1 , , n 2 ) kappa_(i),n_(i)(i=1,dots,n-2)\kappa_{i}, \boldsymbol{n}_{i}(i=1, \ldots, n-2)κi,ni(i=1,,n2) が定義される場合を考える. このとき, c c ccc に沿う 接べクトル場 s ( n n 2 ) s s n n 2 s s|->(n_(n-2))_(s)s \mapsto\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}s(nn2)s の共変微分 ( c n n 2 ) s c n n 2 s (grad_(c^('))n_(n-2))_(s)\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}(cnn2)s
( c n n 2 ) s = κ n 2 ( s ) ( n n 3 ) s + ( w n 1 ) s ( ( w n 1 ) s O n 2 ( s ) ) c n n 2 s = κ n 2 ( s ) n n 3 s + w n 1 s w n 1 s O n 2 ( s ) (grad_(c^('))n_(n-2))_(s)=-kappa_(n-2)(s)(n_(n-3))_(s)+(w_(n-1))_(s)quad((w_(n-1))_(s)inO_(n-2)(s)^(_|_))\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}=-\kappa_{n-2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-3}\right)_{s}+\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s} \quad\left(\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s} \in \mathcal{O}_{n-2}(s)^{\perp}\right)(cnn2)s=κn2(s)(nn3)s+(wn1)s((wn1)sOn2(s))
という形に分解される. さらに, ( w n 1 ) s 0 ( s [ 0 , l ] ) w n 1 s 0 ( s [ 0 , l ] ) (w_(n-1))_(s)!=0(s in[0,l])\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s} \neq \mathbf{0}(s \in[0, l])(wn1)s0(s[0,l]) の場合を考える. ε ε epsi\varepsilonε
(2.5.5) ε := { 1 ( | N c ( s ) , t s , ( n 1 ) s , , ( n n 2 ) s , ( w n 1 ) s | > 0 のとき) 1 ( | N c ( s ) , t s , ( n 1 ) s , , ( n n 2 ) s , ( w n 1 ) s | < 0 のとき) (2.5.5) ε := 1 N c ( s ) , t s , n 1 s , , n n 2 s , w n 1 s > 0  のとき)  1 N c ( s ) , t s , n 1 s , , n n 2 s , w n 1 s < 0  のとき)  {:(2.5.5)epsi:={[1,(|N_(c(s)),t_(s),(n_(1))_(s),dots,(n_(n-2))_(s),(w_(n-1))_(s)| > 0:}" のとき) "],[-1,(|N_(c(s)),t_(s),(n_(1))_(s),dots,(n_(n-2))_(s),(w_(n-1))_(s)| < 0:}" のとき) "]:}:}\varepsilon:= \begin{cases}1 & \left(\left|\boldsymbol{N}_{c(s)}, \boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \ldots,\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right|>0\right. \text { のとき) } \tag{2.5.5}\\ -1 & \left(\left|\boldsymbol{N}_{c(s)}, \boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \ldots,\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right|<0\right. \text { のとき) }\end{cases}(2.5.5)ε:={1(|Nc(s),ts,(n1)s,,(nn2)s,(wn1)s|>0 のとき) 1(|Nc(s),ts,(n1)s,,(nn2)s,(wn1)s|<0 のとき) 
κ n 1 ( s ) , ( n n 1 ) s κ n 1 ( s ) , n n 1 s kappa_(n-1)(s),(n_(n-1))_(s)\kappa_{n-1}(s),\left(\boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s}κn1(s),(nn1)s を各々,
κ n 1 ( s ) := ε ( w n 1 ) s (2.5.6) ( n n 1 ) s := ε 1 ( w n 1 ) s w n 1 ( s ) κ n 1 ( s ) := ε w n 1 s (2.5.6) n n 1 s := ε 1 w n 1 s w n 1 ( s ) {:[kappa_(n-1)(s):=epsi||(w_(n-1))_(s)||],[(2.5.6)(n_(n-1))_(s):=epsi(1)/(||(w_(n-1))_(s)||)w_(n-1)(s)]:}\begin{align*} \kappa_{n-1}(s) & :=\varepsilon\left\|\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right\| \\ \left(\boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s} & :=\varepsilon \frac{1}{\left\|\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right\|} \boldsymbol{w}_{n-1}(s) \tag{2.5.6} \end{align*}κn1(s):=ε(wn1)s(2.5.6)(nn1)s:=ε1(wn1)swn1(s)
によって定義する。 κ n 1 : [ 0 , l ] R κ n 1 : [ 0 , l ] R kappa_(n-1):[0,l]rarrR\kappa_{n-1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R}κn1:[0,l]R c c ccc ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(\boldsymbol{n} \boldsymbol{-} \mathbf{1})(n1) 曲率といい, n n 1 n n 1 n_(n-1)\boldsymbol{n}_{n-1}nn1 : [ 0 , l ] T S [ 0 , l ] T S [0,l]rarr TS[0, l] \rightarrow T S[0,l]TS c c ccc の第 ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(\boldsymbol{n}-\mathbf{1})(n1) 法線ベクトル場という. κ 1 , , κ n 2 κ 1 , , κ n 2 kappa_(1),dots,kappa_(n-2)\kappa_{1}, \ldots, \kappa_{n-2}κ1,,κn2 は正値で あるが, κ n 1 κ n 1 kappa_(n-1)\kappa_{n-1}κn1 は正値であるとは限らないことに注意する. このような曲線 c c ccc を至る所位数 n n n\boldsymbol{n}n C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線 ( C r C r (C^(r)-:}\left(C^{r}-\right.(Cr regular curve of order n n n\boldsymbol{n}n everywhere)という.上述の定義より,次の関係式が成り立つ:
(2.5.7) { ( c t ) s = κ 1 ( s ) ( n 1 ) s ( c n 1 ) s = κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) ( n 2 ) s ( c n 2 ) s = κ 2 ( s ) ( n 1 ) s + κ 3 ( s ) ( n 3 ) s ( c n n 2 ) s = κ n 2 ( s ) ( n n 3 ) s + κ n 1 ( s ) ( n n 1 ) s ( c n n 1 ) s = κ n 1 ( s ) ( n n 2 ) s (2.5.7) c t s = κ 1 ( s ) n 1 s c n 1 s = κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) n 2 s c n 2 s = κ 2 ( s ) n 1 s + κ 3 ( s ) n 3 s c n n 2 s = κ n 2 ( s ) n n 3 s + κ n 1 ( s ) n n 1 s c n n 1 s = κ n 1 ( s ) n n 2 s {:(2.5.7){[(grad_(c^('))t)_(s)=kappa_(1)(s)(n_(1))_(s)],[(grad_(c^('))n_(1))_(s)=-kappa_(1)(s)t_(s)+kappa_(2)(s)(n_(2))_(s)],[(grad_(c^('))n_(2))_(s)=-kappa_(2)(s)(n_(1))_(s)+kappa_(3)(s)(n_(3))_(s)],[vdots],[(grad_(c^('))n_(n-2))_(s)=-kappa_(n-2)(s)(n_(n-3))_(s)+kappa_(n-1)(s)(n_(n-1))_(s)],[(grad_(c^('))n_(n-1))_(s)=-kappa_(n-1)(s)(n_(n-2))_(s)]:}:}\left\{\begin{array}{l} \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}=\kappa_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s} \tag{2.5.7}\\ \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s} \\ \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}=-\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\kappa_{3}(s)\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s} \\ \vdots \\ \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}=-\kappa_{n-2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-3}\right)_{s}+\kappa_{n-1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s} \\ \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s}=-\kappa_{n-1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s} \end{array}\right.(2.5.7){(ct)s=κ1(s)(n1)s(cn1)s=κ1(s)ts+κ2(s)(n2)s(cn2)s=κ2(s)(n1)s+κ3(s)(n3)s(cnn2)s=κn2(s)(nn3)s+κn1(s)(nn1)s(cnn1)s=κn1(s)(nn2)s
この関係式を c c ccc のフルネ・セレの公式(Frenet-Serret formula)といい, ( t , n 1 , , n n 1 ) t , n 1 , , n n 1 (t,n_(1),dots,n_(n-1))\left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}_{1}, \ldots, \boldsymbol{n}_{n-1}\right)(t,n1,,nn1) をcのフルネ枠(Frenet frame)という.特に, κ 1 , κ 1 , kappa_(1),dots\kappa_{1}, \ldotsκ1,,
κ n 1 κ n 1 kappa_(n-1)\kappa_{n-1}κn1 が定数であるとき, c c ccc S S SSS 上の位数 ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) の常螺旋(helix of order ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) in S ) S ) S)S)S) という.
最後に, S S SSS 上の一般のパラメーターでパラメーター付けられた C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線 の第 i i iii 曲率, 第 i i iii 法線ベクトル場を定義しておく. c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S C r C r C^(r)C^{r}Cr 正則曲線とし, c ^ : [ 0 , l ] S c ^ : [ 0 , l ] S hat(c):[0,l]rarr S\hat{c}:[0, l] \rightarrow Sc^:[0,l]S c c ccc を弧長でパラメーター付けし直した曲線, つまり, c ^ := c φ 1 ( φ ( t ) := a t c ( t ) d t ) c ^ := c φ 1 φ ( t ) := a t c ( t ) d t hat(c):=c@varphi^(-1)(varphi(t):=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt)\hat{c}:=c \circ \varphi^{-1}\left(\varphi(t):=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t\right)c^:=cφ1(φ(t):=atc(t)dt) とする. c ^ c ^ hat(c)\hat{c}c^ の第 i i iii 曲率, 第 i i iii 法線ベクトル 場を κ ^ i , n ^ i κ ^ i , n ^ i hat(kappa)_(i), hat(n)_(i)\hat{\kappa}_{i}, \hat{\boldsymbol{n}}_{i}κ^i,n^i とするとき, κ ^ i φ ( : [ a , b ] R ) , n ^ i φ ( : [ a , b ] T S ) κ ^ i φ ( : [ a , b ] R ) , n ^ i φ ( : [ a , b ] T S ) hat(kappa)_(i)@varphi(:[a,b]rarrR), hat(n)_(i)@varphi(:[a,b]rarr TS)\hat{\kappa}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}), \hat{\boldsymbol{n}}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow T S)κ^iφ(:[a,b]R),n^iφ(:[a,b]TS) c c ccc の第 i i iii 曲率, 第 i i iii 法線ベクトル場という.

2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式

この節の前半部では, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面の体積要素, お よび、スカラー場の体積要素に関する積分を定義する。後半部では,区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片からなる無限次元空間上の体積汎関数を定義 し,その第 1 変分公式, および第 2 変分公式を導くことにする.
( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元ユークリッド空間 E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面とし,
D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ}
とする. 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 = ( u 1 λ , , u n λ ) x λ 1 = u 1 λ , , u n λ x_(lambda)^(-1)=(u_(1)^(lambda),dots,u_(n)^(lambda))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}^{\lambda}, \ldots, u_{n}^{\lambda}\right)xλ1=(u1λ,,unλ) とする. T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の基底
( ( u 1 λ ) p , , ( u n λ ) p ) ( p S λ ) u 1 λ p , , u n λ p p S λ (((del)/(delu_(1)^(lambda)))_(p),dots,((del)/(delu_(n)^(lambda)))_(p))quad(p inS_(lambda))\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}^{\lambda}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}^{\lambda}}\right)_{p}\right) \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)((u1λ)p,,(unλ)p)(pSλ)
の双対基底を ( ( d u 1 λ ) p , , ( d u n λ ) p ) d u 1 λ p , , d u n λ p ((du_(1)^(lambda))_(p),dots,(du_(n)^(lambda))_(p))\left(\left(d u_{1}^{\lambda}\right)_{p}, \ldots,\left(d u_{n}^{\lambda}\right)_{p}\right)((du1λ)p,,(dunλ)p) と表す. つまり, ( d u i λ ) p d u i λ p (du_(i)^(lambda))_(p)\left(d u_{i}^{\lambda}\right)_{p}(duiλ)p は,
( d u i λ ) p ( ( u j λ ) p ) = δ i j ( 1 i , j n ) d u i λ p u j λ p = δ i j ( 1 i , j n ) (du_(i)^(lambda))_(p)(((del)/(delu_(j)^(lambda)))_(p))=delta_(ij)quad(1 <= i,j <= n)\left(d u_{i}^{\lambda}\right)_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}^{\lambda}}\right)_{p}\right)=\delta_{i j} \quad(1 \leq i, j \leq n)(duiλ)p((ujλ)p)=δij(1i,jn)
によって定義される T p S T p S T_(p)ST_{p} STpS の双対空間 T p S T p S T_(p)^(**)ST_{p}^{*} STpS の元である. ここで, ( d u i λ ) p d u i λ p (du_(i)^(lambda))_(p)\left(d u_{i}^{\lambda}\right)_{p}(duiλ)p は,関数 u i λ : S λ R u i λ : S λ R u_(i)^(lambda):S_(lambda)rarrRu_{i}^{\lambda}: S_{\lambda} \rightarrow \mathbb{R}uiλ:SλR p p ppp における微分とよばれる T p S λ ( = T p S ) T p S λ = T p S T_(p)^(**)S_(lambda)(=T_(p)^(**)S)T_{p}^{*} S_{\lambda}\left(=T_{p}^{*} S\right)TpSλ(=TpS) の元(3.4 節 を参照)と一致することに注意する。 S S SSS 上の 1 次微分形式 ω 1 , , ω k ω 1 , , ω k omega_(1),dots,omega_(k)\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}ω1,,ωk に対し, S S SSS 上の k k kkk 次微分形式 ω 1 ω k ω 1 ω k omega_(1)^^cdots^^omega_(k)\omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}ω1ωk を次式によって定義する:
( ω 1 ω k ) p ( v 1 , , v k ) := 1 k ! σ S k sgn σ ( ω 1 ) p ( v σ ( 1 ) ) ( ω k ) p ( v σ ( k ) ) ( p S λ , v 1 , , v k T p S λ ) ω 1 ω k p v 1 , , v k := 1 k ! σ S k sgn σ ω 1 p v σ ( 1 ) ω k p v σ ( k ) p S λ , v 1 , , v k T p S λ {:[(omega_(1)^^cdots^^omega_(k))_(p)(v_(1),dots,v_(k)):=(1)/(k!)sum_(sigma inS_(k))sgn sigma*(omega_(1))_(p)(v_(sigma(1)))cdots(omega_(k))_(p)(v_(sigma(k)))],[(p inS_(lambda),v_(1),dots,v_(k)inT_(p)S_(lambda))]:}\begin{array}{r} \left(\omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_{k}} \operatorname{sgn} \sigma \cdot\left(\omega_{1}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}\right) \cdots\left(\omega_{k}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right) \\ \left(p \in S_{\lambda}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} S_{\lambda}\right) \end{array}(ω1ωk)p(v1,,vk):=1k!σSksgnσ(ω1)p(vσ(1))(ωk)p(vσ(k))(pSλ,v1,,vkTpSλ)
この定義から,任意の σ S k σ S k sigma inS_(k)\sigma \in \mathcal{S}_{k}σSk に対し,
(2.6.1) ω σ ( 1 ) ω σ ( k ) = sgn σ ( ω 1 ω k ) (2.6.1) ω σ ( 1 ) ω σ ( k ) = sgn σ ω 1 ω k {:(2.6.1)omega_(sigma(1))^^cdots^^omega_(sigma(k))=sgn sigma*(omega_(1)^^cdots^^omega_(k)):}\begin{equation*} \omega_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge \omega_{\sigma(k)}=\operatorname{sgn} \sigma \cdot\left(\omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}\right) \tag{2.6.1} \end{equation*}(2.6.1)ωσ(1)ωσ(k)=sgnσ(ω1ωk)
が成り立つことがわかる。また, 容易に,
(2.6.2) ω 1 ( a ω i + b ω ¯ i ) ω k = a ω 1 ω i ω k + b ω 1 ω ¯ i ω k (2.6.2) ω 1 a ω i + b ω ¯ i ω k = a ω 1 ω i ω k + b ω 1 ω ¯ i ω k {:[(2.6.2)omega_(1)^^cdots^^(aomega_(i)+b bar(omega)_(i))^^cdots^^omega_(k)],[quad=aomega_(1)^^cdots^^omega_(i)^^cdots^^omega_(k)+bomega_(1)^^cdots^^ bar(omega)_(i)^^cdots^^omega_(k)]:}\begin{align*} & \omega_{1} \wedge \cdots \wedge\left(a \omega_{i}+b \bar{\omega}_{i}\right) \wedge \cdots \wedge \omega_{k} \tag{2.6.2}\\ & \quad=a \omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{i} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}+b \omega_{1} \wedge \cdots \wedge \bar{\omega}_{i} \wedge \cdots \wedge \omega_{k} \end{align*}(2.6.2)ω1(aωi+bω¯i)ωk=aω1ωiωk+bω1ω¯iωk
( a , b R , ω ¯ i : 1 a , b R , ω ¯ i : 1 (a,b inR, bar(omega)_(i):1:}\left(a, b \in \mathbb{R}, \bar{\omega}_{i}: 1\right.(a,bR,ω¯i:1 次微分形式)が示される. 命題 2.2 .2 によれば, { ( d u i 1 λ d u i 1 λ {(du_(i_(1))^(lambda)^^cdots^^:}\left\{\left(d u_{i_{1}}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge\right.\right.{(dui1λ d u i k λ ) p 1 i 1 < < i k n } d u i k λ p 1 i 1 < < i k n {:du_(i_(k))^(lambda))_(p)∣1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n}\left.\left.d u_{i_{k}}^{\lambda}\right)_{p} \mid 1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n\right\}duikλ)p1i1<<ikn} k ( T p S ) k T p S ^^^(k)(T_(p)^(**)S)\wedge^{k}\left(T_{p}^{*} S\right)k(TpS) の基底を与えるので, S S SSS 上の任意の k ( n ) k ( n ) k( <= n)k(\leq n)k(n) 次微分形式 ω ω omega\omegaω は, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で,
ω = 1 i 1 < < i k n ω i 1 i k d u i 1 λ d u i k λ ω = 1 i 1 < < i k n ω i 1 i k d u i 1 λ d u i k λ omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1)cdotsi_(k))du_(i_(1))^(lambda)^^cdots^^du_(i_(k))^(lambda)\omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}} d u_{i_{1}}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{i_{k}}^{\lambda}ω=1i1<<iknωi1ikdui1λduikλ
( ω i 1 i k S λ ω i 1 i k S λ (omega_(i_(1)cdotsi_(k)):S_(lambda):}\left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}} : S_{\lambda}\right.(ωi1ikSλ 上の関数)という形で局所表示される. 特に, S S SSS 上の任意の n n nnn次微分形式 ω ω omega\omegaω S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上で,
ω = f d u 1 λ d u n λ ω = f d u 1 λ d u n λ omega=fdu_(1)^(lambda)^^cdots^^du_(n)^(lambda)\omega=f d u_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\lambda}ω=fdu1λdunλ
f : S λ f : S λ (f:S_(lambda)( f: S_{\lambda}f:Sλ 上の関数)という形で局所表示される.
S S SSS の第 1 基本形式を g g ggg とし, g g ggg の局所座標 x λ 1 x λ 1 x_(lambda)^(-1)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}xλ1 に関する成分を g i j λ g i j λ g_(ij)^(lambda)g_{i j}^{\lambda}gijλ とする. S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式 d V λ d V λ dV_(lambda)d V_{\lambda}dVλ
d V λ := det ( g i j λ ) d u 1 λ d u n λ d V λ := det g i j λ d u 1 λ d u n λ dV_(lambda):=sqrt(det(g_(ij)^(lambda)))du_(1)^(lambda)^^cdots^^du_(n)^(lambda)d V_{\lambda}:=\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda}\right)} d u_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\lambda}dVλ:=det(gijλ)du1λdunλ
により定める. S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)!=O/S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptysetSλSμ のとき, S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で d V λ = d V μ d V λ = d V μ dV_(lambda)=dV_(mu)d V_{\lambda}=d V_{\mu}dVλ=dVμ が成り立つこと が次のように示される。まず, 式 (2.1.1)によれば,
(2.6.3) g i j μ = a = 1 n b = 1 n g a b λ ( ( u a λ x μ ) u i μ x μ 1 ) ( ( u b λ x μ ) u j μ x μ 1 ) (2.6.3) g i j μ = a = 1 n b = 1 n g a b λ u a λ x μ u i μ x μ 1 u b λ x μ u j μ x μ 1 {:(2.6.3)g_(ij)^(mu)=sum_(a=1)^(n)sum_(b=1)^(n)g_(ab)^(lambda)((del(u_(a)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(i)^(mu))@x_(mu)^(-1))((del(u_(b)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1)):}\begin{equation*} g_{i j}^{\mu}=\sum_{a=1}^{n} \sum_{b=1}^{n} g_{a b}^{\lambda}\left(\frac{\partial\left(u_{a}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{i}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(u_{b}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \tag{2.6.3} \end{equation*}(2.6.3)gijμ=a=1nb=1ngabλ((uaλxμ)uiμxμ1)((ubλxμ)ujμxμ1)
が成り立つ. これを行列表示すると,
( g i j μ ) = t ( ( u i λ x μ ) u j μ x μ 1 ) ( g i j λ ) ( ( u i λ x μ ) u j μ x μ 1 ) g i j μ = t u i λ x μ u j μ x μ 1 g i j λ u i λ x μ u j μ x μ 1 (g_(ij)^(mu))=^(t)((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))(g_(ij)^(lambda))((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))\left(g_{i j}^{\mu}\right)={ }^{t}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(g_{i j}^{\lambda}\right)\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)(gijμ)=t((uiλxμ)ujμxμ1)(gijλ)((uiλxμ)ujμxμ1)
となり, それゆえ,
(2.6.4) det ( g i j μ ) = det ( ( u i λ x μ ) u j μ x μ 1 ) 2 det ( g i j λ ) (2.6.4) det g i j μ = det u i λ x μ u j μ x μ 1 2 det g i j λ {:(2.6.4)det(g_(ij)^(mu))=det((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))^(2)det(g_(ij)^(lambda)):}\begin{equation*} \operatorname{det}\left(g_{i j}^{\mu}\right)=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)^{2} \operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda}\right) \tag{2.6.4} \end{equation*}(2.6.4)det(gijμ)=det((uiλxμ)ujμxμ1)2det(gijλ)
が示される. 一方, S S SSS は向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面なので,
det ( ( u i λ x μ ) u j μ x μ 1 ) = det ( J ( x λ x μ 1 ) ) > 0 det u i λ x μ u j μ x μ 1 = det J x λ x μ 1 > 0 det((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))=det(J(x_(lambda)@x_(mu)^(-1))) > 0\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)=\operatorname{det}\left(J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right)>0det((uiλxμ)ujμxμ1)=det(J(xλxμ1))>0
となる. これらの事実から,
(2.6.5) det ( g i j μ ) = det ( ( u i λ x μ ) u j μ x μ 1 ) det ( g i j λ ) (2.6.5) det g i j μ = det u i λ x μ u j μ x μ 1 det g i j λ {:(2.6.5)sqrt(det(g_(ij)^(mu)))=det((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))sqrt(det(g_(ij)^(lambda))):}\begin{equation*} \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\mu}\right)}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda}\right)} \tag{2.6.5} \end{equation*}(2.6.5)det(gijμ)=det((uiλxμ)ujμxμ1)det(gijλ)
が導かれる. 一方, 式 (2.1.1) から,
(2.6.6) d u i μ = j = 1 n ( ( u i μ x λ ) u j λ x λ 1 ) d u j λ (2.6.6) d u i μ = j = 1 n u i μ x λ u j λ x λ 1 d u j λ {:(2.6.6)du_(i)^(mu)=sum_(j=1)^(n)((del(u_(i)^(mu)@x_(lambda)))/(delu_(j)^(lambda))@x_(lambda)^(-1))du_(j)^(lambda):}\begin{equation*} d u_{i}^{\mu}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}^{\lambda}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{j}^{\lambda} \tag{2.6.6} \end{equation*}(2.6.6)duiμ=j=1n((uiμxλ)ujλxλ1)dujλ
が導かれ, さらに ω = d u λ ω = d u λ omega_(∙)=du_(∙)^(lambda)\omega_{\bullet}=d u_{\bullet}^{\lambda}ω=duλ として, 式 (2.6.1) と式 (2.6.2) を用いることによ り,
(2.6.7) d u 1 μ d u n μ = det ( ( u i μ x λ ) u j λ x λ 1 ) d u 1 λ d u n λ (2.6.7) d u 1 μ d u n μ = det u i μ x λ u j λ x λ 1 d u 1 λ d u n λ {:(2.6.7)du_(1)^(mu)^^cdots^^du_(n)^(mu)=det((del(u_(i)^(mu)@x_(lambda)))/(delu_(j)^(lambda))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^(lambda)^^cdots^^du_(n)^(lambda):}\begin{equation*} d u_{1}^{\mu} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\mu}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}^{\lambda}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\lambda} \tag{2.6.7} \end{equation*}(2.6.7)du1μdunμ=det((uiμxλ)ujλxλ1)du1λdunλ
が示される。式 (2.6.5) と式 (2.6.7) から, S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で d V λ = d V μ d V λ = d V μ dV_(lambda)=dV_(mu)d V_{\lambda}=d V_{\mu}dVλ=dVμ が成り立 つことが示される。それゆえ, d V λ ( λ Λ ) d V λ ( λ Λ ) dV_(lambda)(lambda in Lambda)d V_{\lambda}(\lambda \in \Lambda)dVλ(λΛ) を貼り合わせて S S SSS 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式をえる。この C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式を d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg と表し, S S SSS の体積要素(volume element)という. 特に, n = 2 n = 2 n=2n=2n=2 のとき, d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg d A g d A g dA_(g)d A_{g}dAg と表され, S S SSS の面積要素(area element)とよばれる。
S S SSS 上のコンパクトな台をもつ連続関数 f f fff の体積要素 d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg に関する積分 S f d V g S f d V g int_(S)fdV_(g)\int_{S} f d V_{g}SfdVg を定義しよう. ここで, f f fff がコンパクトな台をもつとは, f f fff の台
supp f := { p S f ( p ) 0 } supp f := { p S f ( p ) 0 } ¯ supp f:= bar({p in S∣f(p)!=0})\operatorname{supp} f:=\overline{\{p \in S \mid f(p) \neq 0\}}suppf:={pSf(p)0}
S S SSS の開被覆 { S λ λ Λ } S λ λ Λ {S^(@)_(lambda)∣lambda in Lambda}\left\{\stackrel{\circ}{S}_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\}{SλλΛ} に従属する1の分割とする(1 の分割の定義につ いては 3.1 節を参照). ここで, S λ S λ S^(@)_(lambda)\stackrel{\circ}{S}_{\lambda}Sλ S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ の内部を表す. 1 の分割の定義から,各 μ M μ M mu inM\mu \in \mathcal{M}μM に対し, supp ρ μ S ˙ λ ( μ ) supp ρ μ S ˙ λ ( μ ) supprho_(mu)subS^(˙)_(lambda(mu))\operatorname{supp} \rho_{\mu} \subset \dot{S}_{\lambda(\mu)}suppρμS˙λ(μ) となる λ ( μ ) Λ λ ( μ ) Λ lambda(mu)in Lambda\lambda(\mu) \in \Lambdaλ(μ)Λ が存在する. このよ うな族 { λ ( μ ) } μ M { λ ( μ ) } μ M {lambda(mu)}_(mu inM)\{\lambda(\mu)\}_{\mu \in \mathcal{M}}{λ(μ)}μM を 1 つ固定しておく. x λ x λ x_(lambda)\boldsymbol{x}_{\lambda}xλ の定義域を D λ D λ D_(lambda)D_{\lambda}Dλ とする. f f fff の体積要素 d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg に関する積分 S f d V g S f d V g int_(S)fdV_(g)\int_{S} f d V_{g}SfdVg
S f d V g := μ M D λ ( μ ) ( ρ μ x λ ( μ ) ) ( f x λ ( μ ) ) × det ( g i j λ ( μ ) x λ ( μ ) ) d u 1 d u n S f d V g := μ M D λ ( μ ) ρ μ x λ ( μ ) f x λ ( μ ) × det g i j λ ( μ ) x λ ( μ ) d u 1 d u n {:[int_(S)fdV_(g):=sum_(mu inM)int cdotsint_(D_(lambda(mu)))(rho_(mu)@x_(lambda(mu)))*(f@x_(lambda(mu)))],[ xxsqrt(det(g_(ij)^(lambda(mu))@x_(lambda(mu))))du_(1)cdots du_(n)]:}\begin{aligned} \int_{S} f d V_{g}:=\sum_{\mu \in \mathcal{M}} \int \cdots \int_{D_{\lambda(\mu)}} & \left(\rho_{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \cdot\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \\ & \times \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda(\mu)} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right)} d u_{1} \cdots d u_{n} \end{aligned}SfdVg:=μMDλ(μ)(ρμxλ(μ))(fxλ(μ))×det(gijλ(μ)xλ(μ))du1dun
によって定義する. S f d V g S f d V g int_(S)fdV_(g)\int_{S} f d V_{g}SfdVg はwell-defined, つまり, 1 の分割 { ρ μ μ M } ρ μ μ M {rho_(mu)∣mu inM}\left\{\rho_{\mu} \mid \mu \in \mathcal{M}\right\}{ρμμM} のとり方によらずに定まる. 特に, S S SSS C C C^(oo)C^{\infty}C 閉超曲面の場合, 恒等的に 1 の 値をとる定値関数を f f fff としてとることができ, S 1 d V g S 1 d V g int_(S)1dV_(g)\int_{S} 1 d V_{g}S1dVg を定義することがで きる。この積分値を S S SSS の超曲面積(hypersurface area),または体積(volume)といい, Vol ( S ) Vol ( S ) Vol(S)\operatorname{Vol}(S)Vol(S) と表す. S S SSS が一般の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面の場合に戻ろう. supp f supp f supp f\operatorname{supp} fsuppf がコンパクトとは限らない一般の場合を考える。 S S SSS の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界を もつ有界閉領域 S S S^(')S^{\prime}S に対し, f f fff S S S^(')S^{\prime}S 上での体積要素 d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg に関する積分 S f d V g S f d V g int_(S^('))fdV_(g)\int_{S^{\prime}} f d V_{g}SfdVg
S f d V g := μ M x λ ( μ ) 1 ( S ) ( ρ μ x λ ( μ ) ) ( f x λ ( μ ) ) × det ( g i j λ ( μ ) x λ ( μ ) ) d u 1 d u n S f d V g := μ M x λ ( μ ) 1 S ρ μ x λ ( μ ) f x λ ( μ ) × det g i j λ ( μ ) x λ ( μ ) d u 1 d u n {:[int_(S^('))fdV_(g):=sum_(mu inM)int cdotsint_(x_(lambda(mu))^(-1)(S^(')))(rho_(mu)@x_(lambda(mu)))*(f@x_(lambda(mu)))],[ xxsqrt(det(g_(ij)^(lambda(mu))@x_(lambda(mu))))du_(1)cdots du_(n)]:}\begin{aligned} \int_{S^{\prime}} f d V_{g}:=\sum_{\mu \in \mathcal{M}} \int \cdots \int_{\boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}^{-1}\left(S^{\prime}\right)} & \left(\rho_{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \cdot\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \\ & \times \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda(\mu)} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right)} d u_{1} \cdots d u_{n} \end{aligned}SfdVg:=μMxλ(μ)1(S)(ρμxλ(μ))(fxλ(μ))×det(gijλ(μ)xλ(μ))du1dun
によって定義することができる(有限確定する)。特に, S 1 d A S 1 d A int_(S^('))1dA\int_{S^{\prime}} 1 d AS1dA S S S^(')S^{\prime}S の超曲面積, または体積といい, Vol ( S ) Vol S Vol(S^('))\operatorname{Vol}\left(S^{\prime}\right)Vol(S) と表す.
D D DDD R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ有界閉領域とし, Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) を, D D DDD を定義域とする E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面(つまり, D D DDD を含むある領域から E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 への C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込みの D D DDD への制限)全体のなす空間とする。この空間には,無限次元フレシェ多様体とよばれ る微分構造が入ることを注意しておく. x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) の 元とし、 x ~ : D ~ E n + 1 x ~ : D ~ E n + 1 widetilde(x): widetilde(D)rarrE^(n+1)\widetilde{\boldsymbol{x}}: \widetilde{D} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x~:D~En+1 D D DDD を含むある領域 D ~ D ~ widetilde(D)\widetilde{D}D~ から E n + 1 E n + 1 E^(n+1)へ\mathbb{E}^{n+1} へEn+1 C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込み で, x ~ | D = x x ~ D = x ( widetilde(x))|_(D)=x\left.\widetilde{\boldsymbol{x}}\right|_{D}=\boldsymbol{x}x~|D=x となるようなものとする.このとき, Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) 上の汎
関数 Vol Vol Vol\operatorname{Vol}Vol を, 各 x Imm ( D , E n + 1 ) x Imm D , E n + 1 x inImm^(oo)(D,E^(n+1))\boldsymbol{x} \in \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)xImm(D,En+1) に対し, Vol ( x ( D ) ) Vol ( x ( D ) ) Vol(x(D))\operatorname{Vol}(\boldsymbol{x}(D))Vol(x(D)) を対応させる対応 として定義する.この汎関数を体積汎関数(volume functional)という。特に n = 2 n = 2 n=2n=2n=2 の場合は, この汎関数は面積汎関数(area functional)とよば れ,通常は A A A\mathcal{A}A と表される。
Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) における C C C^(oo)C^{\infty}C 変形を定義しよう. x Imm ( D , E n + 1 ) x Imm D , E n + 1 x inImm^(oo)(D,E^(n+1))\boldsymbol{x} \in \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)xImm(D,En+1) を 固定する. S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) とおく. ε ε epsi\varepsilonε を正の数とし, δ δ delta\deltaδ D × ( ε , ε ) D × ( ε , ε ) D xx(-epsi,epsi)D \times(-\varepsilon, \varepsilon)D×(ε,ε) から E n + 1 E n + 1 E^(n+1)へ\mathbb{E}^{n+1} へEn+1 C C C^(oo)C^{\infty}C 写像, つまり,
δ ( u 1 , , u n , t ) = o δ ( u 1 , , u n , t ) ( ( u 1 , , u n , t ) D × ( ε , ε ) ) δ u 1 , , u n , t = o δ u 1 , , u n , t u 1 , , u n , t D × ( ε , ε ) vec(delta)(u_(1),dots,u_(n),t)= vec(o delta(u_(1),dots,u_(n),t))quad((u_(1),dots,u_(n),t)in D xx(-epsi,epsi))\vec{\delta}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right)=\overrightarrow{o \delta\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right)} \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon)\right)δ(u1,,un,t)=oδ(u1,,un,t)((u1,,un,t)D×(ε,ε))
によって定義される D × ( ε , ε ) D × ( ε , ε ) D xx(-epsi,epsi)D \times(-\varepsilon, \varepsilon)D×(ε,ε) 上のべクトル値関数 δ δ vec(delta)\vec{\delta}δ C C C^(oo)C^{\infty}C 級であるよう なものとする. δ δ delta\deltaδ が次の 2 条件を満たしているとする:
(i) δ ( u 1 , , u n , 0 ) = x ( u 1 , , u n ) ( ( u 1 , , u n ) D ) δ u 1 , , u n , 0 = x u 1 , , u n u 1 , , u n D delta(u_(1),dots,u_(n),0)=x(u_(1),dots,u_(n))quad((u_(1),dots,u_(n))in D)\delta\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, 0\right)=\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)δ(u1,,un,0)=x(u1,,un)((u1,,un)D);
(ii) 各 t ( ε , ε ) t ( ε , ε ) t in(-epsi,epsi)t \in(-\varepsilon, \varepsilon)t(ε,ε) に対し, x t ( u 1 , , u n ) := δ ( u 1 , , u n , t ) x t u 1 , , u n := δ u 1 , , u n , t x_(t)(u_(1),dots,u_(n)):=delta(u_(1),dots,u_(n),t)\boldsymbol{x}_{t}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right):=\delta\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right)xt(u1,,un):=δ(u1,,un,t) によって定義される x t : D E n + 1 x t : D E n + 1 x_(t):D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}_{t}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}xt:DEn+1 は, 区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所超曲面になる.
このとき, ( (:}\left(\right.( または { x t } t ( ε , ε ) ) x t t ( ε , ε ) {:{x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)))\left.\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}\right){xt}t(ε,ε)) x x x\boldsymbol{x}x Imm Im ( D , E n + 1 ) Im D , E n + 1 Im^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Im}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Im(D,En+1) にける C C C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C 変形 ( C C (C^(oo):}\left(\boldsymbol{C}^{\infty}\right.(C-deformation)という。以下, δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) と表すこと にする。 x x x\boldsymbol{x}x Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) における C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 δ δ delta\deltaδ に対し,
V ( u 1 , , u n ) := ( δ t ) ( u 1 , , u n , 0 ) ( ( u 1 , , u n ) D ) V u 1 , , u n := δ t u 1 , , u n , 0 u 1 , , u n D V_((u_(1),dots,u_(n))):=((del( vec(delta)))/(del t))_((u_(1),dots,u_(n),0))quad((u_(1),dots,u_(n))in D)V_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}:=\left(\frac{\partial \vec{\delta}}{\partial t}\right)_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, 0\right)} \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right)V(u1,,un):=(δt)(u1,,un,0)((u1,,un)D)
によって定まる D D DDD 上のべクトル値関数 V V VVV を, C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 δ δ delta\deltaδ の変分ベクトル場という.特に x t | D = x | D ( t ( ε , ε ) ) x t D = x D ( t ( ε , ε ) ) x_(t)|_(del D)=x|_(del D)(t in(-epsi,epsi))\left.\boldsymbol{x}_{t}\right|_{\partial D}=\left.\boldsymbol{x}\right|_{\partial D}(t \in(-\varepsilon, \varepsilon))xt|D=x|D(t(ε,ε)) のとき, δ δ delta\deltaδ を境界固定の C C C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C 変形 (boundary fixed C C C^(oo)C^{\infty}C-deformation) という. また, V ( u 1 , , u n ) T x ( u 1 , , u n ) S V u 1 , , u n T x u 1 , , u n S V_((u_(1),dots,u_(n)))inT_(x(u_(1),dots,u_(n)))^(_|_)SV_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \in T_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}^{\perp} SV(u1,,un)Tx(u1,,un)S が成り立つとき, δ δ delta\deltaδ x x x\boldsymbol{x}x C C C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C 法変形 ( C C (C^(oo)-:}\left(\boldsymbol{C}^{\infty}-\right.(C normal deformation) とい う.
以下, この節では r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする。体積汎関数 Vol : Imm ( D , E n + 1 ) R Vol : Imm D , E n + 1 R Vol:Imm^(oo)(D,E^(n+1))rarrR\operatorname{Vol}: \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) \rightarrow \mathbb{R}Vol:Imm(D,En+1)R に 対し, 次の第 1 変分公式が成り立つ.
定理 2.6.1(第 1 変分公式) x x x\boldsymbol{x}x Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) における任意の C C C^(oo)C^{\infty}C
δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) に対し,
(2.6.8) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = S ( div g V T n H V ) d V g (2.6.8) d d t t = 0 Vol x t ( D ) = S div g V T n H V d V g {:(2.6.8)(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=int_(S)(div_(g)V_(T)-nH*V)dV_(g):}\begin{equation*} \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=\int_{S}\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V}\right) d V_{g} \tag{2.6.8} \end{equation*}(2.6.8)ddt|t=0Vol(xt(D))=S(divgVTnHV)dVg
が成り立つ. ここで, S S SSS x ( D ) x ( D ) x(D)\boldsymbol{x}(D)x(D) を表し, N , H , d V g N , H , d V g N,H,dV_(g)\boldsymbol{N}, \boldsymbol{H}, d V_{g}N,H,dVg は, S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) の単位法ベクトル場, 平均曲率ベクトル場, 体積要素を表す.
証明 S t := x t ( D ) S t := x t ( D ) S_(t):=x_(t)(D)S_{t}:=\boldsymbol{x}_{t}(D)St:=xt(D) の第 1 基本形式を g t g t g_(t)g_{t}gt とし,その座標 x t 1 = ( u 1 , x t 1 = u 1 , x_(t)^(-1)=(u_(1),dots:}\boldsymbol{x}_{t}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots\right.xt1=(u1,, u n ) u n {:u_(n))\left.u_{n}\right)un) に関する成分を ( g t ) i j g t i j (g_(t))_(ij)\left(g_{t}\right)_{i j}(gt)ij とし, 行列 ( g . . ) g . . (g_(..))\left(g_{. .}\right)(g..)の逆行列を ( g ) g (g^(@))\left(g^{\circ}\right)(g) と表す. また, 行列 ( g . ( g . (g.(g .(g.. ) ( i , j ) ) ( i , j ) )の第(i,j)) の第 (i, j))(i,j) 余因子を G i j G i j G_(ij)G_{i j}Gij と表すことにする. 以下の計算過程において, “○ x t x t x_(t)\boldsymbol{x}_{t}xt ", および “○ x " x " x"\boldsymbol{x} "x" を略すことにする. このとき, 行列式の展開と逆行列を 求める公式により,
d d t | t = 0 Vol ( S t ) = d d t | t = 0 D det ( ( g t ) i j ) d u 1 d u n = D 1 2 det ( g . ) j = 1 n | g 11 d ( g t ) 1 j d t | t = 0 g 1 n g n 1 d ( g t ) n j d t | t = 0 g n n | d u 1 d u n = D 1 2 det ( g . . ) j = 1 n i = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 G i j d u 1 d u n (2.6.9) = D 1 2 i = 1 n j = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j det ( g . . ) d u 1 d u n d d t t = 0 Vol S t = d d t t = 0 D det g t i j d u 1 d u n = D 1 2 det ( g . ) j = 1 n g 11 d g t 1 j d t t = 0 g 1 n g n 1 d g t n j d t t = 0 g n n d u 1 d u n = D 1 2 det ( g . . ) j = 1 n i = 1 n d g t i j d t t = 0 G i j d u 1 d u n (2.6.9) = D 1 2 i = 1 n j = 1 n d g t i j d t t = 0 g i j det ( g . . ) d u 1 d u n {:[(d)/(dt)|_(t=0)Vol(S_(t))=(d)/(dt)|_(t=0)int cdotsint_(D)sqrt(det((g_(t))_(ij)))du_(1)cdots du_(n)],[= int cdotsint_(D)(1)/(2sqrt(det(g.)))sum_(j=1)^(n)|[g_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt)|_(t=0)],[cdots,vdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt)|_(t=0)],[cdots,g_(nn)]|du_(1)cdots du_(n)],[= int cdotsint_(D)(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)G_(ij)du_(1)cdots du_(n)],[(2.6.9)= int cdotsint_(D)(1)/(2)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)sqrt(det(g..))du_(1)cdots du_(n)]:}\begin{align*} & \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(S_{t}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \int \cdots \int_{D} \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right)_{i j}\right)} d u_{1} \cdots d u_{n} \\ = & \int \cdots \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g .)}} \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccc} g_{11} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t}\right|_{t=0} \\ \cdots & \vdots & g_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ g_{n 1} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t}\right|_{t=0} \\ \cdots & g_{n n} \end{array}\right| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ = & \left.\int \cdots \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} G_{i j} d u_{1} \cdots d u_{n} \\ = & \left.\int \cdots \int_{D} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j} \sqrt{\operatorname{det}(g . .)} d u_{1} \cdots d u_{n} \tag{2.6.9} \end{align*}ddt|t=0Vol(St)=ddt|t=0Ddet((gt)ij)du1dun=D12det(g.)j=1n|g11d(gt)1jdt|t=0g1ngn1d(gt)njdt|t=0gnn|du1dun=D12det(g..)j=1ni=1nd(gt)ijdt|t=0Gijdu1dun(2.6.9)=D12i=1nj=1nd(gt)ijdt|t=0gijdet(g..)du1dun
が示される。一方,
d ( g t ) i j d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( x t u i x t u j ) = d d t | t = 0 ( δ u i δ u j ) = V u i x u j + x u i V u j = V T u i x u j + x u i V T u j + V u i x u j + x u i V u j = g ( u i V T , u j ) + g ( u i , u j V T ) ( V 2 N ) ( g ( A ( u i ) , u j ) + g ( u i , A ( u j ) ) ) d g t i j d t t = 0 = d d t t = 0 x t u i x t u j = d d t t = 0 δ u i δ u j = V u i x u j + x u i V u j = V T u i x u j + x u i V T u j + V u i x u j + x u i V u j = g u i V T , u j + g u i , u j V T V 2 N g A u i , u j + g u i , A u j {:[(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)((delx_(t))/(delu_(i))*(delx_(t))/(delu_(j)))=(d)/(dt)|_(t=0)((del delta)/(delu_(i))*(del delta)/(delu_(j)))],[=(del V)/(delu_(i))*(del x)/(delu_(j))+(del x)/(delu_(i))*(del V)/(delu_(j))],[=(delV_(T))/(delu_(i))*(del x)/(delu_(j))+(del x)/(delu_(i))*(delV_(T))/(delu_(j))+(delV_(_|_))/(delu_(i))*(del x)/(delu_(j))+(del x)/(delu_(i))*(delV_(_|_))/(delu_(j))],[=g(grad_((del)/(delu_(i)))V_(T),(del)/(delu_(j)))+g((del)/(delu_(i)),grad_((del)/(delu_(j)))V_(T))],[-(V^(2)*N)(g(A((del)/(delu_(i))),(del)/(delu_(j)))+g((del)/(delu_(i)),A((del)/(delu_(j)))))]:}\begin{aligned} \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0}= & \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{j}}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}\right) \\ = & \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{j}} \\ = & \frac{\partial \boldsymbol{V}_{T}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}_{T}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{V}_{\perp}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}_{\perp}}{\partial u_{j}} \\ = & g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \boldsymbol{V}_{T}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)+g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \boldsymbol{V}_{T}\right) \\ & -\left(\boldsymbol{V}^{2} \cdot \boldsymbol{N}\right)\left(g\left(A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right), \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)+g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, A\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)\right)\right) \end{aligned}d(gt)ijdt|t=0=ddt|t=0(xtuixtuj)=ddt|t=0(δuiδuj)=Vuixuj+xuiVuj=VTuixuj+xuiVTuj+Vuixuj+xuiVuj=g(uiVT,uj)+g(ui,ujVT)(V2N)(g(A(ui),uj)+g(ui,A(uj)))
それゆえ。
(2.6.10) i = 1 n j = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j = 2 ( div g V T n H V ) (2.6.10) i = 1 n j = 1 n d g t i j d t t = 0 g i j = 2 div g V T n H V {:(2.6.10)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)=2(div_(g)V_(T)-nH*V):}\begin{equation*} \left.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j}=2\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V}\right) \tag{2.6.10} \end{equation*}(2.6.10)i=1nj=1nd(gt)ijdt|t=0gij=2(divgVTnHV)
をえる。式 (2.6.10) を式 (2.6.9) に代入して, 求めるべき変分公式が導かれる.
E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) を有界閉領域として含む E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 S ~ := x ~ ( D ~ ) S ~ := x ~ ( D ~ ) widetilde(S):= widetilde(x)( widetilde(D))\widetilde{S}:=\widetilde{\boldsymbol{x}}(\widetilde{D})S~:=x~(D~) をとり, S S SSS の境界 S S del S\partial SS (こ れは S ~ S ~ widetilde(S)\widetilde{S}S~ 内の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の超曲面)の外側向きの単位法ベクトル場を N ¯ N ¯ bar(N)\bar{N}N¯ とする(図 2.6 .1 を参照). このとき, 3.12 節で述べるリーマン多様体上のべ クトル場に対するガウスの発散定理(定理 3.12.1)によれば,
図 2.6.1 S S del S\partial SS の外側向き単位法ベクトル場
(2.6.11) S div g V T d V g = S g ( V T , N ) d V ι g (2.6.11) S div g V T d V g = S g V T , N ¯ d V ι g {:(2.6.11)int_(S)div_(g)V_(T)dV_(g)=int_(del S)g(V_(T), bar(N))dV_(iota^(**)g):}\begin{equation*} \int_{S} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T} d V_{g}=\int_{\partial S} g\left(\boldsymbol{V}_{T}, \overline{\boldsymbol{N}}\right) d V_{\iota^{*} g} \tag{2.6.11} \end{equation*}(2.6.11)SdivgVTdVg=Sg(VT,N)dVιg
が成り立つ. ここでしは, S S del S\partial SS から S ~ S ~ widetilde(S)\widetilde{S}S~ への包含写像を表し, ι g ι g iota^(**)g\iota^{*} gιg g g ggg から に よって誘導されるリーマン計量を表す.
式 (2.6.11) から, V T | S = 0 V T S = 0 V_(T)|_(del S)=0\left.\boldsymbol{V}_{T}\right|_{\partial S}=\mathbf{0}VT|S=0 のとき, S div g V T d V g = 0 S div g V T d V g = 0 int_(S)div_(g)V_(T)dV_(g)=0\int_{S} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T} d V_{g}=0SdivgVTdVg=0 が成り立つこと がわかる. それゆえ, 定理 2.6.1 から次の事実が導かれる。
系 2.6.2 δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) x x x\boldsymbol{x}x Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) における境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形,または C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形とする. このとき,
(2.6.12) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = n S H V d V g (2.6.12) d d t t = 0 Vol x t ( D ) = n S H V d V g {:(2.6.12)(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=-nint_(S)H*VdV_(g):}\begin{equation*} \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=-n \int_{S} \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V} d V_{g} \tag{2.6.12} \end{equation*}(2.6.12)ddt|t=0Vol(xt(D))=nSHVdVg
が成り立つ. ここで S S SSS x ( D ) x ( D ) x(D)\boldsymbol{x}(D)x(D) を表し, H , d V g H , d V g H,dV_(g)\boldsymbol{H}, d V_{g}H,dVg は, S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) の平均曲率べ
クトル場, 体積要素を表す.
H = 0 H = 0 H=0\boldsymbol{H}=\mathbf{0}H=0 であるとき, x x x\boldsymbol{x}x, または S := x ( D ) S := x ( D ) S:=x(D)S:=\boldsymbol{x}(D)S:=x(D) は極小(minimal)であると いう。
系 2.6 .2 から次の事実が導かれる。
定理 2.6.3 x Imm ( D , E n + 1 ) x Imm D , E n + 1 x inImm^(oo)(D,E^(n+1))\boldsymbol{x} \in \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)xImm(D,En+1) とする. このとき,次の3つの主張は同値である:
(i) x x x\boldsymbol{x}x の任意の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) に対し,
d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = 0 d d t t = 0 Vol x t ( D ) = 0 (d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=0\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=0ddt|t=0Vol(xt(D))=0
が成り立つ;
(ii) x x x\boldsymbol{x}x の任意の C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形 δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) に対し,
d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = 0 d d t t = 0 Vol x t ( D ) = 0 (d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=0\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=0ddt|t=0Vol(xt(D))=0
が成り立つ;
(iii) x x x\boldsymbol{x}x は極小である.
証明 quad\quad (iii) =>\Rightarrow (i), および (iii) =>\Rightarrow (ii) は, 系 2.6 .2 における変分公式から直接導かれる。(i) =>\Rightarrow (iii)を示そう. S := x ( D ) S := x ( D ) S:=x(D)S:=\boldsymbol{x}(D)S:=x(D) とおく. ρ ρ rho\rhoρ ρ | S = 0 , ρ | S S > ρ S = 0 , ρ S S > rho|_(del S)=0, rho|_(S\\del S) >\left.\rho\right|_{\partial S}=0,\left.\rho\right|_{S \backslash \partial S}>ρ|S=0,ρ|SS> 0 を満たす S S SSS 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数とし, C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε)
δ ( u 1 , , u n , t ) := x ( u 1 , , u n ) + t ρ ( u 1 , , u n ) H ( u 1 , , u n ) ( ( u 1 , , u n , t ) D × ( ε , ε ) ) δ u 1 , , u n , t := x u 1 , , u n + t ρ u 1 , , u n H u 1 , , u n u 1 , , u n , t D × ( ε , ε ) {:[ vec(delta)(u_(1),dots,u_(n),t):= vec(x)(u_(1),dots,u_(n))+t rho(u_(1),dots,u_(n))H_((u_(1),dots,u_(n)))],[((u_(1),dots,u_(n),t)in D xx(-epsi,epsi))]:}\begin{array}{r} \vec{\delta}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right):=\overrightarrow{\boldsymbol{x}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)+t \rho\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \boldsymbol{H}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \\ \left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon)\right) \end{array}δ(u1,,un,t):=x(u1,,un)+tρ(u1,,un)H(u1,,un)((u1,,un,t)D×(ε,ε))
によって定義する. S t := x t ( D ) S t := x t ( D ) S_(t):=x_(t)(D)S_{t}:=\boldsymbol{x}_{t}(D)St:=xt(D) とおく. 明らかに, δ δ delta\deltaδ x x x\boldsymbol{x}x の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C変形になる.それゆえ,(i)を仮定しているので, d d t | t = 0 Vol ( S t ) = 0 d d t t = 0 Vol S t = 0 (d)/(dt)|_(t=0)Vol(S_(t))=0\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(S_{t}\right)=0ddt|t=0Vol(St)=0 となる.一方, δ δ delta\deltaδ の変分ベクトル場 V ( u 1 , , u n ) V u 1 , , u n V_((u_(1),dots,u_(n)))\boldsymbol{V}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}V(u1,,un) V ( u 1 , , u n ) = ρ ( u 1 , , u n ) H ( u 1 , , u n ) V u 1 , , u n = ρ u 1 , , u n H u 1 , , u n V_((u_(1),dots,u_(n)))=rho(u_(1),dots,u_(n))H_((u_(1),dots,u_(n)))\boldsymbol{V}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}=\rho\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \boldsymbol{H}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}V(u1,,un)=ρ(u1,,un)H(u1,,un) によって与えられるので, 系 2.6 .2 における変分公式より,
d d t | t = 0 Vol ( S t ) = n S ρ H 2 d V g d d t t = 0 Vol S t = n S ρ H 2 d V g (d)/(dt)|_(t=0)Vol(S_(t))=-nint_(S)rho||H||^(2)dV_(g)\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(S_{t}\right)=-n \int_{S} \rho\|\boldsymbol{H}\|^{2} d V_{g}ddt|t=0Vol(St)=nSρH2dVg
が示される. したがって, S ρ H 2 d V g = 0 S ρ H 2 d V g = 0 int_(S)rho||H||^(2)dV_(g)=0\int_{S} \rho\|\boldsymbol{H}\|^{2} d V_{g}=0SρH2dVg=0 が示され, ρ ρ rho\rhoρ の任意性から H H H\boldsymbol{H}H
= 0 = 0 =0=\mathbf{0}=0 が導かれる. この C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 δ δ delta\deltaδ は, C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形でもあるので, 同様の議論 により (ii) =>\Rightarrow (iii) も示される.
問 2.6.1 D D DDD を原点を中心とする半径 1 2 1 2 (1)/(sqrt2)\frac{1}{\sqrt{2}}12 の閉円板とする:
( D := { ( u 1 , u 2 ) R 2 | u 1 2 + u 2 2 1 2 } ) D := u 1 , u 2 R 2 u 1 2 + u 2 2 1 2 (D:={(u_(1),u_(2))inR^(2)|u_(1)^(2)+u_(2)^(2) <= (1)/(2)})\left(D:=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, u_{1}^{2}+u_{2}^{2} \leq \frac{1}{2}\right.\right\}\right)(D:={(u1,u2)R2|u12+u2212})
C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 正則局所曲面 x : D E 3 x : D E 3 x:D rarrE^(3)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3}x:DE3
x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , 1 u 1 2 u 2 2 ) x u 1 , u 2 = u 1 , u 2 , 1 u 1 2 u 2 2 x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),sqrt(1-u_(1)^(2)-u_(2)^(2)))\boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, \sqrt{1-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}\right)x(u1,u2)=(u1,u2,1u12u22)
によって定義し, その境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 { x t } t ( ε , ε ) x t t ( ε , ε ) {x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{xt}t(ε,ε)
x t ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , ( 1 t ) 1 u 1 2 u 2 2 + t 2 ) x t u 1 , u 2 = u 1 , u 2 , ( 1 t ) 1 u 1 2 u 2 2 + t 2 x_(t)(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),(1-t)sqrt(1-u_(1)^(2)-u_(2)^(2))+(t)/(sqrt2))\boldsymbol{x}_{t}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2},(1-t) \sqrt{1-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}+\frac{t}{\sqrt{2}}\right)xt(u1,u2)=(u1,u2,(1t)1u12u22+t2)
によって定義する. 次の各問いに答えよ.
(i) x x x\boldsymbol{x}x の単位法ベクトル場 N N N\boldsymbol{N}N と平均曲率 H H HHH を求めよ.
(ii) C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 { x t } t ( ε , ε ) x t t ( ε , ε ) {x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{xt}t(ε,ε) の変分ベクトル場を求めよ. (iii) (i), (ii) の結果から, 第 1 変分公式(系 2.6 .2 2.6 .2 2.6.2)2.6 .2 )2.6.2 を用いて, d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) d d t t = 0 Vol x t ( D ) (d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)ddt|t=0Vol(xt(D))
の値が負になることを示せ.
(iv) x t x t x_(t)\boldsymbol{x}_{t}xt の第 1 基本形式 g t g t g_(t)g_{t}gt の成分 ( g t ) i j g t i j (g_(t))_(ij)\left(g_{t}\right)_{i j}(gt)ij を求めよ.
(v) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) d d t t = 0 Vol x t ( D ) quad(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))\left.\quad \frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)ddt|t=0Vol(xt(D)) を計算せよ.
以下, この節では r 3 r 3 r >= 3r \geq 3r3 とする. Vol に対して, 次の第 2 変分公式が成り立 כ.
定理 2.6.4(Vol の第 2 変分公式)区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 が極小であるとする.このとき, x x x\boldsymbol{x}x Imm ( D , E n + 1 ) Imm D , E n + 1 Imm^(oo)(D,E^(n+1))\operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right)Imm(D,En+1) に おける任意の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) に対し, 次の積分公式が 成り立つ:
d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = S ( ( div g V T ) 2 + A ( V T ) 2 V T 2 + 2 ( V N ) Tr ( A V T ) + 2 grad g ( V N ) A ( V T ) (2.6.13) ( V N ) 2 A 2 + grad g ( V N ) 2 ) d V g d 2 d t 2 t = 0 Vol x t ( D ) = S div g V T 2 + A V T 2 V T 2 + 2 ( V N ) Tr A V T + 2 grad g ( V N ) A V T (2.6.13) ( V N ) 2 A 2 + grad g ( V N ) 2 d V g {:[(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=int_(S)(-(div_(g)V_(T))^(2)+||A(V_(T))||^(2)-||gradV_(T)||^(2):}],[+2(V*N)Tr(A@gradV_(T))+2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))],[(2.6.13){:-(V*N)^(2)||A||^(2)+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)]:}\begin{align*} \left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)= & \int_{S}\left(-\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2}+\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}-\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}\right. \\ & +2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)+2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) \\ & \left.-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \tag{2.6.13} \end{align*}d2dt2|t=0Vol(xt(D))=S((divgVT)2+A(VT)2VT2+2(VN)Tr(AVT)+2gradg(VN)A(VT)(2.6.13)(VN)2A2+gradg(VN)2)dVg
ここで, x t , N , d V g x t , N , d V g x_(t),N,dV_(g)\boldsymbol{x}_{t}, \boldsymbol{N}, d V_{g}xt,N,dVg は, 定理 2.6.1 で述べた量を表し, A A AAA S = x ( D ) S = x ( D ) S=x(D)S=\boldsymbol{x}(D)S=x(D) の形
作用素を表す。 また, A 2 , V T 2 A 2 , V T 2 ||A||^(2),||gradV_(T)||^(2)\|A\|^{2},\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}A2,VT2 は各々, Tr ( A 2 ) , Tr ( ( V T ) 2 ) Tr A 2 , Tr V T 2 Tr(A^(2)),Tr((gradV_(T))^(2))\operatorname{Tr}\left(A^{2}\right), \operatorname{Tr}\left(\left(\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2}\right)Tr(A2),Tr((VT)2) を表し, grad g ( V N ) grad g ( V N ) grad_(g)(V*N)\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})gradg(VN) は, スカラー場 V N V N V*N\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}VN g g ggg に関する勾配べクトル場, つまり,
v ( V N ) = g p ( grad g ( V N ) , v ) ( p S , v T p S ) v ( V N ) = g p grad g ( V N ) , v p S , v T p S v(V*N)=g_(p)(grad_(g)(V*N),v)quad(p in S,v inT_(p)S)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})=g_{p}\left(\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}), \boldsymbol{v}\right) \quad\left(p \in S, \boldsymbol{v} \in T_{p} S\right)v(VN)=gp(gradg(VN),v)(pS,vTpS)
によって定義される S S SSS 上の接ベクトル場を表す.
証明 この証明において, n n nnn 重積分 D ( ) d u 1 d u n D ( ) d u 1 d u n int cdotsint_(D)(∙)du_(1)cdots du_(n)\int \cdots \int_{D}(\bullet) d u_{1} \cdots d u_{n}D()du1dun D ( ) d u 1 D ( ) d u 1 int_(D)(∙)du_(1)cdots\int_{D}(\bullet) d u_{1} \cdotsD()du1 d u n d u n du_(n)d u_{n}dun と表すことにし,“○ x x x”\boldsymbol{x} ”x, およ゙ “○ x t x t x_(t)”\boldsymbol{x}_{t} ”xt を略すことにする。微分と重積分 の順序交換可能性を用いて,
d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = d d t | t = 0 D 1 2 det ( ( g t ) . . ) × j = 1 n | ( g t ) 11 d ( g t ) 1 j d t ( g t ) 1 n ( g t ) n 1 d ( g t ) n j d t ( g t ) n n | d u 1 d u n = 1 4 D 1 ( det ( g . . ) ) 3 × ( j = 1 n | g 11 d ( g t ) 1 j d t | t = 0 g 1 n g n 1 d ( g t ) n j d t | t = 0 g n n | ) 2 d u 1 d u n + D 1 det ( g . . ) d 2 d t 2 t = 0 Vol x t ( D ) = d d t t = 0 D 1 2 det g t . . × j = 1 n g t 11 d g t 1 j d t g t 1 n g t n 1 d g t n j d t g t n n d u 1 d u n = 1 4 D 1 ( det ( g . . ) ) 3 × j = 1 n g 11 d g t 1 j d t t = 0 g 1 n g n 1 d g t n j d t t = 0 g n n 2 d u 1 d u n + D 1 det ( g . . ) {:[(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(x_(t)(D))],[=(d)/(dt)|_(t=0)int_(D)(1)/(2sqrt(det((g_(t))..:})))],[ xxsum_(j=1)^(n)|[(g_(t))_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt),cdots,(g_(t))_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[(g_(t))_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt),cdots,(g_(t))_(nn)]|du_(1)cdots du_(n)],[=-(1)/(4)int_(D)(1)/((sqrt(det(g..)))^(3))],[ xx(sum_(j=1)^(n)|[g_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(nn)]|)^(2)du_(1)cdots du_(n)],[+int_(D)(1)/(sqrt(det(g..)))]:}\begin{aligned} & \left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right) \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \int_{D} \frac{1}{\left.2 \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right) . .\right.}\right)} \\ & \times \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc} \left(g_{t}\right)_{11} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \left(g_{t}\right)_{n 1} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{n n} \end{array}\right| d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & =-\frac{1}{4} \int_{D} \frac{1}{(\sqrt{\operatorname{det}(g . .)})^{3}} \\ & \times\left(\sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc} g_{11} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ g_{n 1} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{n n} \end{array}\right|\right)^{2} d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & +\int_{D} \frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \end{aligned}d2dt2|t=0Vol(xt(D))=ddt|t=0D12det((gt)..)×j=1n|(gt)11d(gt)1jdt(gt)1n(gt)n1d(gt)njdt(gt)nn|du1dun=14D1(det(g..))3×(j=1n|g11d(gt)1jdt|t=0g1ngn1d(gt)njdt|t=0gnn|)2du1dun+D1det(g..)
が示される. この式の右辺の第 1 項目の積分は, 定理 2.6.1 の証明中で示した 式 (2.6.10) と x = x 0 x = x 0 x=x_(0)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}x=x0 が極小であることを用いて, 次のように計算される:
(式 (2.6.14) の右辺の第 1 項目)
= D 1 4 ( det ( g . . ) ) 3 ( j = 1 n k = 1 n d ( g t ) k j d t | t = 0 g k j det ( g . . ) ) 2 d u 1 d u n = 1 4 S ( j = 1 n k = 1 n d ( g t ) k j d t | t = 0 g k j ) 2 d V g (2.6.15) = S ( div g V T n H V ) 2 d V g = S ( div g V T ) 2 d V g = D 1 4 ( det ( g . . ) ) 3 j = 1 n k = 1 n d g t k j d t t = 0 g k j det ( g . . ) 2 d u 1 d u n = 1 4 S j = 1 n k = 1 n d g t k j d t t = 0 g k j 2 d V g (2.6.15) = S div g V T n H V 2 d V g = S div g V T 2 d V g {:[=-int_(D)(1)/(4(sqrt(det(g..)))^(3))(sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(g_(t))_(kj))/(dt)|_(t=0)g^(kj)det(g..))^(2)du_(1)cdots du_(n)],[=-(1)/(4)int_(S)(sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(g_(t))_(kj))/(dt)|_(t=0)g^(kj))^(2)dV_(g)],[(2.6.15)=-int_(S)(div_(g)V_(T)-nH*V)^(2)dV_(g)=-int_(S)(div_(g)V_(T))^(2)dV_(g)]:}\begin{align*} & =-\int_{D} \frac{1}{4(\sqrt{\operatorname{det}(g . .)})^{3}}\left(\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t}\right|_{t=0} g^{k j} \operatorname{det}(g . .)\right)^{2} d u_{1} \cdots d u_{n} \\ & =-\frac{1}{4} \int_{S}\left(\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t}\right|_{t=0} g^{k j}\right)^{2} d V_{g} \\ & =-\int_{S}\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V}\right)^{2} d V_{g}=-\int_{S}\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2} d V_{g} \tag{2.6.15} \end{align*}=D14(det(g..))3(j=1nk=1nd(gt)kjdt|t=0gkjdet(g..))2du1dun=14S(j=1nk=1nd(gt)kjdt|t=0gkj)2dVg(2.6.15)=S(divgVTnHV)2dVg=S(divgVT)2dVg
次に, 式 (2.6.14)の右辺の第 3 項目の積分を計算しよう. まず,単純計算に より、
d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 = d 2 d t 2 | t = 0 ( x t u i x t u j ) = d 2 d t 2 | t = 0 ( δ u i δ u j ) = u i ( 2 δ t 2 | t = 0 ) δ u j + 2 V u i V u j + δ u i u j ( 2 δ t 2 | t = 0 ) = u i ( 2 δ t 2 | t = 0 ) δ u j + δ u i u j ( 2 δ t 2 | t = 0 ) + 2 ( u i V T ( V N ) A ( u i ) ) ( u j V T ( V N ) A ( u j ) ) (2.6.16) + 2 ( A ( V T ) u i + ( V N ) u i ) ( A ( V T ) u j + ( V N ) u j ) d 2 g t i j d t 2 t = 0 = d 2 d t 2 t = 0 x t u i x t u j = d 2 d t 2 t = 0 δ u i δ u j = u i 2 δ t 2 t = 0 δ u j + 2 V u i V u j + δ u i u j 2 δ t 2 t = 0 = u i 2 δ t 2 t = 0 δ u j + δ u i u j 2 δ t 2 t = 0 + 2 u i V T ( V N ) A u i u j V T ( V N ) A u j (2.6.16) + 2 A V T u i + ( V N ) u i A V T u j + ( V N ) u j {:[(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)((delx_(t))/(delu_(i))*(delx_(t))/(delu_(j)))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)((del delta)/(delu_(i))*(del delta)/(delu_(j)))],[=(del)/(delu_(i))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))*(del delta)/(delu_(j))+2(del V)/(delu_(i))*(del V)/(delu_(j))+(del delta)/(delu_(i))*(del)/(delu_(j))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))],[=(del)/(delu_(i))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))*(del delta)/(delu_(j))+(del delta)/(delu_(i))*(del)/(delu_(j))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))],[+2(grad_((del)/(delu_(i)))V_(T)-(V*N)A((del)/(delu_(i))))*(grad_((del)/(delu_(j)))V_(T)-(V*N)A((del)/(delu_(j))))],[(2.6.16)+2(A(V_(T))*(del)/(delu_(i))+(del(V*N))/(delu_(i)))(A(V_(T))*(del)/(delu_(j))+(del(V*N))/(delu_(j)))]:}\begin{align*} & \left.\frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0}=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{j}}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}\right) \\ = & \frac{\partial}{\partial u_{i}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}+2 \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \\ = & \frac{\partial}{\partial u_{i}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \\ & +2\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \boldsymbol{V}_{T}-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)\right) \cdot\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \boldsymbol{V}_{T}-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)\right) \\ & +2\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{i}}+\frac{\partial(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})}{\partial u_{i}}\right)\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}+\frac{\partial(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})}{\partial u_{j}}\right) \tag{2.6.16} \end{align*}d2(gt)ijdt2|t=0=d2dt2|t=0(xtuixtuj)=d2dt2|t=0(δuiδuj)=ui(2δt2|t=0)δuj+2VuiVuj+δuiuj(2δt2|t=0)=ui(2δt2|t=0)δuj+δuiuj(2δt2|t=0)+2(uiVT(VN)A(ui))(ujVT(VN)A(uj))(2.6.16)+2(A(VT)ui+(VN)ui)(A(VT)uj+(VN)uj)
が示される. この式と x x x\boldsymbol{x}x が極小であること,および δ δ delta\deltaδ が境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 であることを用いて, 式 (2.6.14) の第 3 項目の積分は, 次のように計算され る:
(式 (2.6.14)の右辺の第 3 項目)
= D 1 2 det ( g . . ) j = 1 n k = 1 n d 2 ( g t ) k j d t 2 | t = 0 g k j det ( g . . ) d u 1 d u n = 1 2 S j = 1 n k = 1 n d 2 ( g t ) k j d t 2 | t = 0 g k j d V g = S ( V T 2 2 ( V N ) Tr ( A V T ) + A ( V T ) 2 ) d V g + S ( ( V N ) 2 A 2 + 2 grad g ( V N ) A ( V T ) + grad g ( V N ) 2 ) d V g + S div g ( ( 2 δ t 2 | t = 0 ) | T ) d V g S H 2 δ t 2 | t = 0 d V g S ( V T 2 2 ( V N ) Tr ( A V T ) + A ( V T ) 2 ) d V g (2.6.17) + S ( ( V N ) 2 A 2 + 2 grad g ( V N ) A ( V T ) + grad g ( V N ) 2 ) d V g = D 1 2 det ( g . . ) j = 1 n k = 1 n d 2 g t k j d t 2 t = 0 g k j det ( g . . ) d u 1 d u n = 1 2 S j = 1 n k = 1 n d 2 g t k j d t 2 t = 0 g k j d V g = S V T 2 2 ( V N ) Tr A V T + A V T 2 d V g + S ( V N ) 2 A 2 + 2 grad g ( V N ) A V T + grad g ( V N ) 2 d V g + S div g 2 δ t 2 t = 0 T d V g S H 2 δ t 2 t = 0 d V g S V T 2 2 ( V N ) Tr A V T + A V T 2 d V g (2.6.17) + S ( V N ) 2 A 2 + 2 grad g ( V N ) A V T + grad g ( V N ) 2 d V g {:[=int_(D)(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(kj))/(dt^(2))|_(t=0)g^(kj)det(g..)du_(1)cdots du_(n)],[=(1)/(2)int_(S)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(kj))/(dt^(2))|_(t=0)g^(kj)dV_(g)],[=int_(S)(||gradV_(T)||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T))+||A(V_(T))||^(2))dV_(g)],[+int_(S)((V*N)^(2)||A||^(2)+2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)],[quad+int_(S)div_(g)(((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))|_(T))dV_(g)-int_(S)H*(del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0)dV_(g)],[int_(S)(||gradV_(T)||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T))+||A(V_(T))||^(2))dV_(g)],[(2.6.17)quad+int_(S)((V*N)^(2)||A||^(2)+2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)]:}\begin{align*} &=\left.\int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} g^{k j} \operatorname{det}(g . .) d u_{1} \cdots d u_{n} \\ &=\left.\frac{1}{2} \int_{S} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} g^{k j} d V_{g} \\ &= \int_{S}\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}\right) d V_{g} \\ &+\int_{S}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \\ & \quad+\int_{S} \operatorname{div}_{g}\left(\left.\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right)\right|_{T}\right) d V_{g}-\left.\int_{S} \boldsymbol{H} \cdot \frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0} d V_{g} \\ & \int_{S}\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}\right) d V_{g} \\ & \quad+\int_{S}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \tag{2.6.17} \end{align*}=D12det(g..)j=1nk=1nd2(gt)kjdt2|t=0gkjdet(g..)du1dun=12Sj=1nk=1nd2(gt)kjdt2|t=0gkjdVg=S(VT22(VN)Tr(AVT)+A(VT)2)dVg+S((VN)2A2+2gradg(VN)A(VT)+gradg(VN)2)dVg+Sdivg((2δt2|t=0)|T)dVgSH2δt2|t=0dVgS(VT22(VN)Tr(AVT)+A(VT)2)dVg(2.6.17)+S((VN)2A2+2gradg(VN)A(VT)+gradg(VN)2)dVg
ここで, 最後の等号は, x x x\boldsymbol{x}x の極小性, および δ δ delta\deltaδ が境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形である ことから, 式 (2.6.11)を用いて,
S div g ( ( 2 δ t 2 | t = 0 ) T ) d V g = S ( 2 δ t 2 | t = 0 ) | T N = 0 S div g 2 δ t 2 t = 0 T d V g = S 2 δ t 2 t = 0 T N ¯ = 0 int_(S)div_(g)(((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))_(T))dV_(g)=int_(del S)((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))|_(T)* bar(N)=0\int_{S} \operatorname{div}_{g}\left(\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right)_{T}\right) d V_{g}=\left.\int_{\partial S}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right)\right|_{T} \cdot \overline{\boldsymbol{N}}=0Sdivg((2δt2|t=0)T)dVg=S(2δt2|t=0)|TN=0
が示されることにより成立することを注意しておく.
次に, 式 (2.6.14)の右辺の第 2 項目の積分を計算しよう. まず, 式 (2.6.10) を用いて,
1 j 1 < j 2 n | g 11 d ( g t ) 1 j 1 d t | t = 0 d ( g t ) 1 j 2 d t | t = 0 g 1 n g n 1 d ( g t ) n j 1 d t | t = 0 d ( g t ) n j 2 d t | t = 0 g n n | = 1 2 j 1 = 1 n j 2 = 1 n k 1 = 1 n k 2 = 1 n ( d ( g t ) k 1 j 1 d t | t = 0 ) ( d ( g t ) k 2 j 2 d t | t = 0 ) g k 1 k 2 g j 1 j 2 det ( g . . ) 1 j 1 < j 2 n g 11 d g t 1 j 1 d t t = 0 d g t 1 j 2 d t t = 0 g 1 n g n 1 d g t n j 1 d t t = 0 d g t n j 2 d t t = 0 g n n = 1 2 j 1 = 1 n j 2 = 1 n k 1 = 1 n k 2 = 1 n d g t k 1 j 1 d t t = 0 d g t k 2 j 2 d t t = 0 g k 1 k 2 g j 1 j 2 det ( g . . ) {:[sum_(1 <= j_(1) < j_(2) <= n)|[g_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j_(1)))/(dt)|_(t=0),cdots,(d(g_(t))_(1j_(2)))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj_(1)))/(dt)|_(t=0),cdots,(d(g_(t))_(nj_(2)))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(nn)]|],[=-(1)/(2)sum_(j_(1)=1)^(n)sum_(j_(2)=1)^(n)sum_(k_(1)=1)^(n)sum_(k_(2)=1)^(n)((d(g_(t))_(k_(1)j_(1)))/(dt)|_(t=0))((d(g_(t))_(k_(2)j_(2)))/(dt)|_(t=0))g^(k_(1)k_(2))g^(j_(1)j_(2))det(g..)]:}\begin{aligned} & \sum_{1 \leq j_{1}<j_{2} \leq n}\left|\begin{array}{ccccccc} g_{11} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j_{1}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j_{2}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ g_{n 1} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j_{1}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j_{2}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{n n} \end{array}\right| \\ & =-\frac{1}{2} \sum_{j_{1}=1}^{n} \sum_{j_{2}=1}^{n} \sum_{k_{1}=1}^{n} \sum_{k_{2}=1}^{n}\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{1} j_{1}}}{d t}\right|_{t=0}\right)\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{2} j_{2}}}{d t}\right|_{t=0}\right) g^{k_{1} k_{2}} g^{j_{1} j_{2}} \operatorname{det}(g . .) \end{aligned}1j1<j2n|g11d(gt)1j1dt|t=0d(gt)1j2dt|t=0g1ngn1d(gt)nj1dt|t=0d(gt)nj2dt|t=0gnn|=12j1=1nj2=1nk1=1nk2=1n(d(gt)k1j1dt|t=0)(d(gt)k2j2dt|t=0)gk1k2gj1j2det(g..)
(2.6.18) = 2 ( V T 2 + ( V N ) 2 A 2 2 ( V N ) Tr ( A V T ) ) det ( g . . ) (2.6.18) = 2 V T 2 + ( V N ) 2 A 2 2 ( V N ) Tr A V T det ( g . . ) {:(2.6.18)=-2(||gradV_(T)||^(2)+(V*N)^(2)||A||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T)))det(g..):}\begin{equation*} =-2\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}+(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)\right) \operatorname{det}(g . .) \tag{2.6.18} \end{equation*}(2.6.18)=2(VT2+(VN)2A22(VN)Tr(AVT))det(g..)
をえる。それゆえ, 式 (2.6.14)の右辺の第 2 項目の積分は, 次のように計算 される:
(式 (2.6.14) の右辺の第 2 項目)
(2.6.19) = 2 S ( V T 2 + ( V N ) 2 A 2 2 ( V N ) Tr ( A V T ) ) d V g (2.6.19) = 2 S V T 2 + ( V N ) 2 A 2 2 ( V N ) Tr A V T d V g {:(2.6.19)=-2int_(S)(||gradV_(T)||^(2)+(V*N)^(2)||A||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T)))dV_(g):}\begin{equation*} =-2 \int_{S}\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}+(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)\right) d V_{g} \tag{2.6.19} \end{equation*}(2.6.19)=2S(VT2+(VN)2A22(VN)Tr(AVT))dVg
式 (2.6.15), (2.6.17), (2.6.19) を式 (2.6.14) に代入して, 求めるべき変分公式 (2.6.13)をえる.
さらに, δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) が法変形の場合に, 次の事実が導かれる.
系 2.6.5 x : D E n + 1 x : D E n + 1 x:D rarrE^(n+1)\boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1}x:DEn+1 が極小であるとする.このとき, x x x\boldsymbol{x}x Imm r ( D Imm r ( D Imm^(r)(D\operatorname{Imm}^{r}(DImmr(D, E n + 1 ) E n + 1 {:E^(n+1))\left.\mathbb{E}^{n+1}\right)En+1) における任意の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形 δ = { x t } t ( ε , ε ) δ = x t t ( ε , ε ) delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={xt}t(ε,ε) に対し,次の 積分公式が成り立つ:
(2.6.20) d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = S ( ( V N ) 2 A 2 + grad g ( V N ) 2 ) d V g (2.6.20) d 2 d t 2 t = 0 Vol x t ( D ) = S ( V N ) 2 A 2 + grad g ( V N ) 2 d V g {:(2.6.20)(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=int_(S)(-(V*N)^(2)||A||^(2)+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g):}\begin{equation*} \left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=\int_{S}\left(-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \tag{2.6.20} \end{equation*}(2.6.20)d2dt2|t=0Vol(xt(D))=S((VN)2A2+gradg(VN)2)dVg
注意 4.7 節において, 法ベクトル場 ξ ξ xi\xiξ の法接続 grad^(_|_)\nabla^{\perp} に関するラプラシアン(略 して, 法ラプラシアン) Δ ξ Δ ξ Delta^(_|_)xi\Delta^{\perp} \xiΔξ が定義される。 式 (2.6.20) の右辺の被積分関数の第 2 項目の grad g ( V N ) 2 grad g ( V N ) 2 ||grad_(g)(V*N)||^(2)\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}gradg(VN)2 は, 法ラプラシアンを用いて,
grad g ( V N ) 2 = ( Δ V ) V 1 2 Δ g ( ( V N ) 2 ) grad g ( V N ) 2 = Δ V V 1 2 Δ g ( V N ) 2 ||grad_(g)(V*N)||^(2)=-(Delta^(_|_)V)*V-(1)/(2)Delta_(g)((V*N)^(2))\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}=-\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V}-\frac{1}{2} \Delta_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right)gradg(VN)2=(ΔV)V12Δg((VN)2)
( Δ g ( ( V N ) 2 ) Δ g ( V N ) 2 (Delta_(g)((V*N)^(2)):}\left(\Delta_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right)\right.(Δg((VN)2) は関数 ( V N ) 2 ( V N ) 2 (V*N)^(2)(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}(VN)2 g g ggg に関する通常のラプラシアンを表す)と表さ れ,それゆえ,
S grad g ( V N ) 2 ) d V g = S ( Δ V ) V d V g 1 2 S Δ g ( ( V N ) 2 ) d V g = S ( Δ V ) V d V g 1 2 S div g ( grad g ( ( V N ) 2 ) ) d V g S grad g ( V N ) 2 d V g = S Δ V V d V g 1 2 S Δ g ( V N ) 2 d V g = S Δ V V d V g 1 2 S div g grad g ( V N ) 2 d V g {:[{:int_(S)||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)],[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)-(1)/(2)int_(S)Delta_(g)((V*N)^(2))dV_(g)],[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)-(1)/(2)int_(S)div_(g)(grad_(g)((V*N)^(2)))dV_(g)]:}\begin{aligned} & \left.\int_{S}\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \\ = & -\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}-\frac{1}{2} \int_{S} \Delta_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right) d V_{g} \\ = & -\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}-\frac{1}{2} \int_{S} \operatorname{div}_{g}\left(\operatorname{grad}_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right)\right) d V_{g} \end{aligned}Sgradg(VN)2)dVg=S(ΔV)VdVg12SΔg((VN)2)dVg=S(ΔV)VdVg12Sdivg(gradg((VN)2))dVg
= S ( Δ V ) V d V g 1 2 S g ( grad g ( ( V N ) 2 ) , N ) d V ι g = S ( Δ V ) V d V g = S Δ V V d V g 1 2 S g grad g ( V N ) 2 , N ¯ d V ι g = S Δ V V d V g {:[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)-(1)/(2)int_(del S)g(grad_(g)((V*N)^(2)), bar(N))dV_(iota^(**)g)],[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)]:}\begin{aligned} & =-\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}-\frac{1}{2} \int_{\partial S} g\left(\operatorname{grad}_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right), \overline{\boldsymbol{N}}\right) d V_{\iota^{*} g} \\ & =-\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g} \end{aligned}=S(ΔV)VdVg12Sg(gradg((VN)2),N)dVιg=S(ΔV)VdVg
が成り立つ. ここで, N , d V ι g N ¯ , d V ι g bar(N),dV_(iota^(**)g)\overline{\boldsymbol{N}}, d V_{\iota^{*} g}N,dVιg は式 (2.6.11)のところで述べた量である.

2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理

1.11 節で, E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 上のベクトル場の回転の(超)曲面片に沿う面積分に関する ストークスの定理を述べた。 この節では,曲面上の1次微分形式の外微分に 対するストークスの定理を証明し,この定理が,1.11 節で述べたストークス の定理を特別な場合として含むことを説明する.
C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) 上の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 1 次微分形式の積分を定義しよう. c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S S S SSS 上の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の曲線とし, a = a = a=a=a= t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = b t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = b t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=bt_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=bt0<t1<<tk1<tk=b c | [ t i 1 , t i ] ( i = 1 , , k ) c t i 1 , t i ( i = 1 , , k ) c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=1,dots,k)\left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=1, \ldots, k)c|[ti1,ti](i=1,,k) C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線であ るような [ a , b ] [ a , b ] [a,b][a, b][a,b] の分割とする。このとき, S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 1 次微分形式 ω ω omega\omegaω に対 し, ω ω omega\omegaω c c ccc に沿う積分 c ω c ω int_(c)omega\int_{c} \omegacω
c ω := i = 1 k t i 1 t i ω c ( t ) ( c ( t ) ) d t c ω := i = 1 k t i 1 t i ω c ( t ) c ( t ) d t int_(c)omega:=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))omega_(c(t))( vec(c)^(')(t))dt\int_{c} \omega:=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \omega_{c(t)}\left(\vec{c}^{\prime}(t)\right) d tcω:=i=1kti1tiωc(t)(c(t))dt
によって定義される。
次に, C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級 の 2 次微分形式の積分を定義しよう。 D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ} とする。 S S S^(')S^{\prime}S S S SSS の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域とし, S = i = 1 k S i S = i = 1 k S i S^(')=uu_(i=1)^(k)S_(i)^(')S^{\prime}=\cup_{i=1}^{k} S_{i}^{\prime}S=i=1kSi S S S^(')S^{\prime}S の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ有界閉領域からなる分割で, 各 i { 1 , , k } i { 1 , , k } i in{1,dots,k}i \in\{1, \ldots, k\}i{1,,k} に対 し, S i S λ i S i S λ i S_(i)^(')subS_(lambda_(i))S_{i}^{\prime} \subset S_{\lambda_{i}}SiSλi となる λ i Λ λ i Λ lambda_(i)in Lambda\lambda_{i} \in \LambdaλiΛ が存在するようなものとする。 x λ i 1 = ( u 1 i , u 2 i ) x λ i 1 = u 1 i , u 2 i x_(lambda_(i))^(-1)=(u_(1)^(i),u_(2)^(i))\boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}^{-1}=\left(u_{1}^{i}, u_{2}^{i}\right)xλi1=(u1i,u2i), ω = f i d u 1 i d u 2 i ω = f i d u 1 i d u 2 i omega=f_(i)du_(1)^(i)^^du_(2)^(i)\omega=f_{i} d u_{1}^{i} \wedge d u_{2}^{i}ω=fidu1idu2i とし, S i = x λ i ( E i ) S i = x λ i E i S_(i)^(')=x_(lambda_(i))(E_(i))S_{i}^{\prime}=\boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}\left(E_{i}\right)Si=xλi(Ei) とする. このとき, S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 2 次微分形式 ω ω omega\omegaω に対し, S ω S ω int_(S^('))omega\int_{S^{\prime}} \omegaSω
S ω := i = 1 k E i ( f i x λ i ) d u 1 d u 2 S ω := i = 1 k E i f i x λ i d u 1 d u 2 int_(S^('))omega:=sum_(i=1)^(k)∬_(E_(i))(f_(i)@x_(lambda_(i)))du_(1)du_(2)\int_{S^{\prime}} \omega:=\sum_{i=1}^{k} \iint_{E_{i}}\left(f_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}\right) d u_{1} d u_{2}Sω:=i=1kEi(fixλi)du1du2
によって定義する.
次に, C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 1 次微分形式 ω ω omega\omegaω の外微分 d ω d ω d omegad \omegadω を定義し よう. D = { ( S λ , x λ 1 ) λ Λ } D = S λ , x λ 1 λ Λ D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Sλ,xλ1)λΛ} とする. x λ 1 = ( u 1 , u 2 ) x λ 1 = u 1 , u 2 x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)xλ1=(u1,u2) とするとき, S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上 で ω ω omega\omegaω ω = f 1 d u 1 + f 2 d u 2 ( f 1 , f 2 : S λ ω = f 1 d u 1 + f 2 d u 2 f 1 , f 2 : S λ omega=f_(1)du_(1)+f_(2)du_(2)(f_(1),f_(2):S_(lambda):}\omega=f_{1} d u_{1}+f_{2} d u_{2}\left(f_{1}, f_{2}: S_{\lambda}\right.ω=f1du1+f2du2(f1,f2:Sλ 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数)と表される。 S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ 上 の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の 2 次微分形式 d ω λ d ω λ domega_(lambda)d \omega_{\lambda}dωλ
d ω λ := ( ( ( f 1 x λ ) u 2 x λ 1 ) + ( ( f 2 x λ ) u 1 x λ 1 ) ) d u 1 d u 2 d ω λ := f 1 x λ u 2 x λ 1 + f 2 x λ u 1 x λ 1 d u 1 d u 2 domega_(lambda):=(-((del(f_(1)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))+((del(f_(2)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1)))du_(1)^^du_(2)d \omega_{\lambda}:=\left(-\left(\frac{\partial\left(f_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(f_{2} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{1} \wedge d u_{2}dωλ:=(((f1xλ)u2xλ1)+((f2xλ)u1xλ1))du1du2
により定義する。 S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)!=O/S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptysetSλSμ とする。 S μ S μ S_(mu)S_{\mu}Sμ 上でも同様に, S μ S μ S_(mu)S_{\mu}Sμ 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の 2 次微分形式 d ω μ d ω μ domega_(mu)d \omega_{\mu}dωμ を定義する. S λ S μ S λ S μ S_(lambda)nnS_(mu)S_{\lambda} \cap S_{\mu}SλSμ 上で d ω λ = d ω μ d ω λ = d ω μ domega_(lambda)=domega_(mu)d \omega_{\lambda}=d \omega_{\mu}dωλ=dωμ が成り立つことを示 そう. x λ 1 = ( u ¯ 1 , u ¯ 2 ) x λ 1 = u ¯ 1 , u ¯ 2 x_(lambda)^(-1)=( bar(u)_(1), bar(u)_(2))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \bar{u}_{2}\right)xλ1=(u¯1,u¯2) とし, ω = f ¯ 1 d u ¯ 1 + f ¯ 2 d u ¯ 2 ( f ¯ 1 , f ¯ 2 : S μ ω = f ¯ 1 d u ¯ 1 + f ¯ 2 d u ¯ 2 f ¯ 1 , f ¯ 2 : S μ omega= bar(f)_(1)d bar(u)_(1)+ bar(f)_(2)d bar(u)_(2)( bar(f)_(1), bar(f)_(2):S_(mu):}\omega=\bar{f}_{1} d \bar{u}_{1}+\bar{f}_{2} d \bar{u}_{2}\left(\bar{f}_{1}, \bar{f}_{2}: S_{\mu}\right.ω=f¯1du¯1+f¯2du¯2(f¯1,f¯2:Sμ 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数)として, d ω μ d ω μ domega_(mu)d \omega_{\mu}dωμ
d ω μ := ( ( ( f ¯ 1 x μ ) u ¯ 2 x μ 1 ) + ( ( f ¯ 2 x μ ) u ¯ 1 x μ 1 ) ) d u ¯ 1 d u ¯ 2 d ω μ := f ¯ 1 x μ u ¯ 2 x μ 1 + f ¯ 2 x μ u ¯ 1 x μ 1 d u ¯ 1 d u ¯ 2 domega_(mu):=(-((del( bar(f)_(1)@x_(mu)))/(del bar(u)_(2))@x_(mu)^(-1))+((del( bar(f)_(2)@x_(mu)))/(del bar(u)_(1))@x_(mu)^(-1)))d bar(u)_(1)^^d bar(u)_(2)d \omega_{\mu}:=\left(-\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{2} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right) d \bar{u}_{1} \wedge d \bar{u}_{2}dωμ:=(((f¯1xμ)u¯2xμ1)+((f¯2xμ)u¯1xμ1))du¯1du¯2
により定義される。 ( d u 1 , d u 2 ) d u 1 , d u 2 (du_(1),du_(2))\left(d u_{1}, d u_{2}\right)(du1,du2) ( d u ¯ 1 , d u ¯ 2 ) d u ¯ 1 , d u ¯ 2 (d bar(u)_(1),d bar(u)_(2))\left(d \bar{u}_{1}, d \bar{u}_{2}\right)(du¯1,du¯2) の間に, 次の関係式が成り立つ:
d u ¯ i = j = 1 2 ( ( u ¯ i x λ ) u j x λ 1 ) d u j ( i = 1 , 2 ) d u ¯ i = j = 1 2 u ¯ i x λ u j x λ 1 d u j ( i = 1 , 2 ) d bar(u)_(i)=sum_(j=1)^(2)((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1))du_(j)quad(i=1,2)d \bar{u}_{i}=\sum_{j=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{j} \quad(i=1,2)du¯i=j=12((u¯ixλ)ujxλ1)duj(i=1,2)
この関係式から,
(2.7.1) d u ¯ 1 d u ¯ 2 = det ( ( u ¯ i x λ ) u j x λ 1 ) d u 1 d u 2 (2.7.2) ω = i = 1 2 f ¯ i d u ¯ i = j = 1 2 ( i = 1 2 f ¯ i ( ( u ¯ i x λ ) u j x λ 1 ) ) d u j (2.7.1) d u ¯ 1 d u ¯ 2 = det u ¯ i x λ u j x λ 1 d u 1 d u 2 (2.7.2) ω = i = 1 2 f ¯ i d u ¯ i = j = 1 2 i = 1 2 f ¯ i u ¯ i x λ u j x λ 1 d u j {:[(2.7.1)d bar(u)_(1)^^d bar(u)_(2)=det((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[(2.7.2)omega=sum_(i=1)^(2) bar(f)_(i)d bar(u)_(i)=sum_(j=1)^(2)(sum_(i=1)^(2) bar(f)_(i)((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1)))du_(j)]:}\begin{gather*} d \bar{u}_{1} \wedge d \bar{u}_{2}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \tag{2.7.1}\\ \omega=\sum_{i=1}^{2} \bar{f}_{i} d \bar{u}_{i}=\sum_{j=1}^{2}\left(\sum_{i=1}^{2} \bar{f}_{i}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{j} \tag{2.7.2} \end{gather*}(2.7.1)du¯1du¯2=det((u¯ixλ)ujxλ1)du1du2(2.7.2)ω=i=12f¯idu¯i=j=12(i=12f¯i((u¯ixλ)ujxλ1))duj
が導かれる。式 (2.7.2) から,
(2.7.3) f j = i = 1 2 f ¯ i ( ( u ¯ i x λ ) u j x λ 1 ) (2.7.3) f j = i = 1 2 f ¯ i u ¯ i x λ u j x λ 1 {:(2.7.3)f_(j)=sum_(i=1)^(2) bar(f)_(i)((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1)):}\begin{equation*} f_{j}=\sum_{i=1}^{2} \bar{f}_{i}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \tag{2.7.3} \end{equation*}(2.7.3)fj=i=12f¯i((u¯ixλ)ujxλ1)
をえる. さらに, 式 (2.7.1), (2.7.3) から,
d ω λ = ( i = 1 2 ( u 2 ( ( f ¯ i x λ ) ( u ¯ i x λ ) u 1 ) x λ 1 ) ) d u 1 d u 2 + ( i = 1 2 ( u 1 ( ( f ¯ i x λ ) ( u ¯ i x λ ) u 2 ) x λ 1 ) ) d u 1 d u 2 = i = 1 2 ( ( f ¯ i x λ ) u 2 x λ 1 ) ( ( u ¯ i x λ ) u 1 x λ 1 ) d u 1 d u 2 + i = 1 2 ( ( f ¯ i x λ ) u 1 x λ 1 ) ( ( u ¯ i x λ ) u 2 x λ 1 ) d u 1 d u 2 = i = 1 2 j = 1 2 ( ( f ¯ i x μ ) u ¯ j x μ 1 ) ( ( u ¯ j x λ ) u 2 x λ 1 ) × ( ( u ¯ i x λ ) u 1 x λ 1 ) d u 1 d u 2 + i = 1 2 j = 1 2 ( ( f ¯ i x μ ) u ¯ j x μ 1 ) ( ( u ¯ j x λ ) u 1 x λ 1 ) × ( ( u ¯ i x λ ) u 2 x λ 1 ) d u 1 d u 2 = ( ( ( f ¯ 1 x μ ) u ¯ 2 x μ 1 ) + ( ( f ¯ 2 x μ ) u ¯ 1 x μ 1 ) ) d u ¯ 1 d u ¯ 2 = d ω μ d ω λ = i = 1 2 u 2 f ¯ i x λ u ¯ i x λ u 1 x λ 1 d u 1 d u 2 + i = 1 2 u 1 f ¯ i x λ u ¯ i x λ u 2 x λ 1 d u 1 d u 2 = i = 1 2 f ¯ i x λ u 2 x λ 1 u ¯ i x λ u 1 x λ 1 d u 1 d u 2 + i = 1 2 f ¯ i x λ u 1 x λ 1 u ¯ i x λ u 2 x λ 1 d u 1 d u 2 = i = 1 2 j = 1 2 f ¯ i x μ u ¯ j x μ 1 u ¯ j x λ u 2 x λ 1 × u ¯ i x λ u 1 x λ 1 d u 1 d u 2 + i = 1 2 j = 1 2 f ¯ i x μ u ¯ j x μ 1 u ¯ j x λ u 1 x λ 1 × u ¯ i x λ u 2 x λ 1 d u 1 d u 2 = f ¯ 1 x μ u ¯ 2 x μ 1 + f ¯ 2 x μ u ¯ 1 x μ 1 d u ¯ 1 d u ¯ 2 = d ω μ {:[domega_(lambda)=-(sum_(i=1)^(2)((del)/(delu_(2))(( bar(f)_(i)@x_(lambda))(del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1)))@x_(lambda)^(-1)))du_(1)^^du_(2)],[+(sum_(i=1)^(2)((del)/(delu_(1))(( bar(f)_(i)@x_(lambda))(del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2)))@x_(lambda)^(-1)))du_(1)^^du_(2)],[=-sum_(i=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[+sum_(i=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[=-sum_(i=1)^(2)sum_(j=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(mu)))/(del bar(u)_(j))@x_(mu)^(-1))((del( bar(u)_(j)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))],[ xx((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[+sum_(i=1)^(2)sum_(j=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(mu)))/(del bar(u)_(j))@x_(mu)^(-1))((del( bar(u)_(j)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))],[ xx((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[=(-((del( bar(f)_(1)@x_(mu)))/(del bar(u)_(2))@x_(mu)^(-1))+((del( bar(f)_(2)@x_(mu)))/(del bar(u)_(1))@x_(mu)^(-1)))d bar(u)_(1)^^d bar(u)_(2)],[=domega_(mu)]:}\begin{aligned} & d \omega_{\lambda}=-\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\left(\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\ & +\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\left(\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\ & =-\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\ & +\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\ & =-\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \\ & \times\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\ & +\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \\ & \times\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\ & =\left(-\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{2} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right) d \bar{u}_{1} \wedge d \bar{u}_{2} \\ & =d \omega_{\mu} \end{aligned}dωλ=(i=12(u2((f¯ixλ)(u¯ixλ)u1)xλ1))du1du2+(i=12(u1((f¯ixλ)(u¯ixλ)u2)xλ1))du1du2=i=12((f¯ixλ)u2xλ1)((u¯ixλ)u1xλ1)du1du2+i=12((f¯ixλ)u1xλ1)((u¯ixλ)u2xλ1)du1du2=i=12j=12((f¯ixμ)u¯jxμ1)((u¯jxλ)u2xλ1)×((u¯ixλ)u1xλ1)du1du2+i=12j=12((f¯ixμ)u¯jxμ1)((u¯jxλ)u1xλ1)×((u¯ixλ)u2xλ1)du1du2=(((f¯1xμ)u¯2xμ1)+((f¯2xμ)u¯1xμ1))du¯1du¯2=dωμ
したがって, d ω λ ( λ Λ ) d ω λ ( λ Λ ) domega_(lambda)(lambda in Lambda)d \omega_{\lambda}(\lambda \in \Lambda)dωλ(λΛ) らを貼り合わせて, S S SSS 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の 2 次微分形式がえられる。この S S SSS 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の 2 次微分形式を d ω d ω d omegad \omegadω と表し, ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω の外微分 (exterior derivative) とよぶ.
C C C^(oo)C^{\infty}C 曲面上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 1 次微分形式に対し, 次のストークスの定理が成り立 つ.
定理 2.7.1 (曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理) ω ω omega\omegaω C C C^(oo)C^{\infty}C曲面 ( S , D ) ( S , D ) (S,D)(S, \mathcal{D})(S,D) 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 1 次微分形式とし, S S S^(')S^{\prime}S を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をも つ S S SSS の有界閉領域とする. また, c : [ a , b ] S c : [ a , b ] S c:[a,b]rarr Sc:[a, b] \rightarrow Sc:[a,b]S S S S^(')S^{\prime}S の境界 S S delS^(')\partial S^{\prime}S を与える S S SSS上の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の単純閉曲線で, S λ c ( [ a , b ] ) S λ c ( [ a , b ] ) S_(lambda)nn c([a,b])!=O/S_{\lambda} \cap c([a, b]) \neq \emptysetSλc([a,b]) となるような各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, x λ 1 = ( u 1 , u 2 ) x λ 1 = u 1 , u 2 x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)xλ1=(u1,u2) として, ( d u 1 d u 2 ) c ( t ) ( N c ( t ) , c ( t ) ) > 0 d u 1 d u 2 c ( t ) N ¯ c ( t ) , c ( t ) > 0 (du_(1)^^du_(2))_(c(t))( bar(N)_(c(t)), vec(c)^(')(t)) > 0\left(d u_{1} \wedge d u_{2}\right)_{c(t)}\left(\overline{\boldsymbol{N}}_{c(t)}, \vec{c}^{\prime}(t)\right)>0(du1du2)c(t)(Nc(t),c(t))>0 となるよ うなものとする. ここで N N ¯ bar(N)\overline{\boldsymbol{N}}N は, c ( [ a , b ] ) c ( [ a , b ] ) c([a,b])c([a, b])c([a,b]) S S SSS における単位法ベクトル場で S S S^(')S^{\prime}S
からみて外側向きのものを表す. このとき, 次式が成り立つ:
(2.7.4) S d ω = c ω (2.7.4) S d ω = c ω {:(2.7.4)int_(S^('))d omega=int_(c)omega:}\begin{equation*} \int_{S^{\prime}} d \omega=\int_{c} \omega \tag{2.7.4} \end{equation*}(2.7.4)Sdω=cω
証明 簡単のため, S S S^(')S^{\prime}S がある S λ S λ S_(lambda)S_{\lambda}Sλ に含まれる場合を考える。 x λ 1 = ( u 1 , u 2 ) x λ 1 = u 1 , u 2 x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)xλ1=(u1,u2) とし, E := x λ 1 ( S ) E := x λ 1 S E:=x_(lambda)^(-1)(S^('))E:=\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S^{\prime}\right)E:=xλ1(S) とおく. S S S^(')S^{\prime}S を,いくつかの [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] [0,1]xx[0,1][0,1] \times[0,1][0,1]×[0,1] を定義域とす る区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面片 S α = x ^ α ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) ( α = S α = x ^ α ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) ( α = S_(alpha)^(')= hat(x)_(alpha)([0,1]xx[0,1])(alpha=S_{\alpha}^{\prime}=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}([0,1] \times[0,1])(\alpha=Sα=x^α([0,1]×[0,1])(α= 1 , , l ) 1 , , l ) 1,dots,l)1, \ldots, l)1,,l) たちに分割する. ただし, x ^ α x ^ α hat(x)_(alpha)\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}x^α J ( x λ 1 x ^ α ) > 0 J x λ 1 x ^ α > 0 J(x_(lambda)^(-1)@ hat(x)_(alpha)) > 0J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)>0J(xλ1x^α)>0 となるようにと る. C r C r C^(r)C^{r}Cr 曲線 c j α : [ 0 , 1 ] E 3 ( j = 1 , , 4 ) c j α : [ 0 , 1 ] E 3 ( j = 1 , , 4 ) c_(j)^(alpha):[0,1]rarrE^(3)(j=1,dots,4)c_{j}^{\alpha}:[0,1] \rightarrow \mathbb{E}^{3}(j=1, \ldots, 4)cjα:[0,1]E3(j=1,,4)
c 1 α ( u 1 ) := x ^ α ( u 1 , 0 ) , c 3 α ( u 1 ) := x ^ α ( 1 u 1 , 1 ) ( 0 u 1 1 ) c 2 α ( u 2 ) := x ^ α ( 1 , u 2 ) , c 4 α ( u 2 ) := x ^ α ( 0 , 1 u 2 ) ( 0 u 2 1 ) c 1 α u 1 := x ^ α u 1 , 0 ,      c 3 α u 1 := x ^ α 1 u 1 , 1      0 u 1 1 c 2 α u 2 := x ^ α 1 , u 2 ,      c 4 α u 2 := x ^ α 0 , 1 u 2      0 u 2 1 {:[c_(1)^(alpha)(u_(1)):= hat(x)_(alpha)(u_(1),0)",",c_(3)^(alpha)(u_(1)):= hat(x)_(alpha)(1-u_(1),1),(0 <= u_(1) <= 1)],[c_(2)^(alpha)(u_(2)):= hat(x)_(alpha)(1,u_(2))",",c_(4)^(alpha)(u_(2)):= hat(x)_(alpha)(0,1-u_(2)),(0 <= u_(2) <= 1)]:}\begin{array}{lll} c_{1}^{\alpha}\left(u_{1}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(u_{1}, 0\right), & c_{3}^{\alpha}\left(u_{1}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(1-u_{1}, 1\right) & \left(0 \leq u_{1} \leq 1\right) \\ c_{2}^{\alpha}\left(u_{2}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(1, u_{2}\right), & c_{4}^{\alpha}\left(u_{2}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(0,1-u_{2}\right) & \left(0 \leq u_{2} \leq 1\right) \end{array}c1α(u1):=x^α(u1,0),c3α(u1):=x^α(1u1,1)(0u11)c2α(u2):=x^α(1,u2),c4α(u2):=x^α(0,1u2)(0u21)
によって定義する. c 1 α c 4 α c 1 α c 4 α c_(1)^(alpha)∼c_(4)^(alpha)c_{1}^{\alpha} \sim c_{4}^{\alpha}c1αc4α を順に結んでできる区分的に滑らかな閉曲線を c α c α c_(alpha)c_{\alpha}cα と表す. このとき、明らかに c α c α c_(alpha)c_{\alpha}cα S α S α delS_(alpha)^(')\partial S_{\alpha}^{\prime}Sα を与える単純閉曲線で, x λ 1 c α x λ 1 c α x_(lambda)^(-1)@c_(alpha)\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ c_{\alpha}xλ1cα が反時計回りに進むようなものである。最初に, 各 α { 1 , , l } α { 1 , , l } alpha in{1,dots,l}\alpha \in\{1, \ldots, l\}α{1,,l} に対し,
(2.7.5) S α d ω = c α ω (2.7.5) S α d ω = c α ω {:(2.7.5)int_(S_(alpha)^('))d omega=int_(c_(alpha))omega:}\begin{equation*} \int_{S_{\alpha}^{\prime}} d \omega=\int_{c_{\alpha}} \omega \tag{2.7.5} \end{equation*}(2.7.5)Sαdω=cαω
が成り立つことを示す. x ^ α 1 = ( u 1 α , u 2 α ) x ^ α 1 = u 1 α , u 2 α hat(x)_(alpha)^(-1)=(u_(1)^(alpha),u_(2)^(alpha))\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}^{-1}=\left(u_{1}^{\alpha}, u_{2}^{\alpha}\right)x^α1=(u1α,u2α) とし, ω = i = 1 2 f i α d u i α ω = i = 1 2 f i α d u i α omega=sum_(i=1)^(2)f_(i)^(alpha)du_(i)^(alpha)\omega=\sum_{i=1}^{2} f_{i}^{\alpha} d u_{i}^{\alpha}ω=i=12fiαduiα とする. この とき,
d ω = ( ( ( f 1 α x ^ α ) u 2 α x ^ α 1 ) + ( ( f 2 α x ^ α ) u 1 α x ^ α 1 ) ) d u 1 α d u 2 α d ω = f 1 α x ^ α u 2 α x ^ α 1 + f 2 α x ^ α u 1 α x ^ α 1 d u 1 α d u 2 α d omega=(-((del(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(2)^(alpha))@ hat(x)_(alpha)^(-1))+((del(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(1)^(alpha))@ hat(x)_(alpha)^(-1)))du_(1)^(alpha)^^du_(2)^(alpha)d \omega=\left(-\left(\frac{\partial\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{2}^{\alpha}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{1}^{\alpha}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}^{-1}\right)\right) d u_{1}^{\alpha} \wedge d u_{2}^{\alpha}dω=(((f1αx^α)u2αx^α1)+((f2αx^α)u1αx^α1))du1αdu2α
となる. それゆえ,
S α d ω = 0 1 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) u 2 α + ( f 2 α x ^ α ) u 1 α ) d u 1 α d u 2 α = 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( u 1 α , 1 ) ( f 1 α x ^ α ) ( u 1 α , 0 ) ) d u 1 α + 0 1 ( ( f 2 α x ^ α ) ( 1 , u 2 α ) ( f 2 α x ^ α ) ( 0 , u 2 α ) ) d u 2 α (2.7.6) = 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( t , 1 ) + ( f 1 α x ^ α ) ( t , 0 ) + ( f 2 α x ^ α ) ( 1 , t ) ( f 2 α x ^ α ) ( 0 , t ) ) d t S α d ω = 0 1 0 1 f 1 α x ^ α u 2 α + f 2 α x ^ α u 1 α d u 1 α d u 2 α = 0 1 f 1 α x ^ α u 1 α , 1 f 1 α x ^ α u 1 α , 0 d u 1 α + 0 1 f 2 α x ^ α 1 , u 2 α f 2 α x ^ α 0 , u 2 α d u 2 α (2.7.6) = 0 1 f 1 α x ^ α ( t , 1 ) + f 1 α x ^ α ( t , 0 ) + f 2 α x ^ α ( 1 , t ) f 2 α x ^ α ( 0 , t ) d t {:[int_(S_(alpha)^('))d omega=int_(0)^(1)int_(0)^(1)(-(del(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(2)^(alpha))+(del(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(1)^(alpha)))du_(1)^(alpha)du_(2)^(alpha)],[=-int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(u_(1)^(alpha),1)-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(u_(1)^(alpha),0))du_(1)^(alpha)],[quad+int_(0)^(1)((f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,u_(2)^(alpha))-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,u_(2)^(alpha)))du_(2)^(alpha)],[(2.7.6)=int_(0)^(1)(-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,1)+(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,t))dt]:}\begin{align*} & \int_{S_{\alpha}^{\prime}} d \omega=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(-\frac{\partial\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{2}^{\alpha}}+\frac{\partial\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{1}^{\alpha}}\right) d u_{1}^{\alpha} d u_{2}^{\alpha} \\ & =-\int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(u_{1}^{\alpha}, 1\right)-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(u_{1}^{\alpha}, 0\right)\right) d u_{1}^{\alpha} \\ & \quad+\int_{0}^{1}\left(\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(1, u_{2}^{\alpha}\right)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(0, u_{2}^{\alpha}\right)\right) d u_{2}^{\alpha} \\ & =\int_{0}^{1}\left(-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 1)+\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0)+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0, t)\right) d t \tag{2.7.6} \end{align*}Sαdω=0101((f1αx^α)u2α+(f2αx^α)u1α)du1αdu2α=01((f1αx^α)(u1α,1)(f1αx^α)(u1α,0))du1α+01((f2αx^α)(1,u2α)(f2αx^α)(0,u2α))du2α(2.7.6)=01((f1αx^α)(t,1)+(f1αx^α)(t,0)+(f2αx^α)(1,t)(f2αx^α)(0,t))dt
が示される。一方,
c 1 α ω + c 3 α ω = 0 1 ω c 1 α ( t ) ( ( c 1 α ) ( t ) ) d t + 0 1 ω c 3 α ( t ) ( ( c 3 α ) ( t ) ) d t = 0 1 ( f 1 α ( c 1 α ( t ) ) d u 1 α ( c 1 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 1 α ( t ) ) d u 2 ( c 1 α ( t ) ) d t ) d t + 0 1 ( f 1 α ( c 3 α ( t ) ) d u 1 ( c 3 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 3 α ( t ) ) d u 2 ( c 3 α ( t ) ) d t ) d t = 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( t , 0 ) d t d t + ( f 2 α x ^ α ) ( t , 0 ) d 0 d t ) d t + 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( 1 t , 1 ) d ( 1 t ) d t + ( f 2 α x ^ α ) ( 1 t , 1 ) d 1 d t ) d t = 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( t , 0 ) ( f 1 α x ^ α ) ( 1 t , 1 ) ) d t (2.7.7) = 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( t , 0 ) ( f 1 α x ^ α ) ( t , 1 ) ) d t c 1 α ω + c 3 α ω = 0 1 ω c 1 α ( t ) c 1 α ( t ) d t + 0 1 ω c 3 α ( t ) c 3 α ( t ) d t = 0 1 f 1 α c 1 α ( t ) d u 1 α c 1 α ( t ) d t + f 2 α c 1 α ( t ) d u 2 c 1 α ( t ) d t d t + 0 1 f 1 α c 3 α ( t ) d u 1 c 3 α ( t ) d t + f 2 α c 3 α ( t ) d u 2 c 3 α ( t ) d t d t = 0 1 f 1 α x ^ α ( t , 0 ) d t d t + f 2 α x ^ α ( t , 0 ) d 0 d t d t + 0 1 f 1 α x ^ α ( 1 t , 1 ) d ( 1 t ) d t + f 2 α x ^ α ( 1 t , 1 ) d 1 d t d t = 0 1 f 1 α x ^ α ( t , 0 ) f 1 α x ^ α ( 1 t , 1 ) d t (2.7.7) = 0 1 f 1 α x ^ α ( t , 0 ) f 1 α x ^ α ( t , 1 ) d t {:[int_(c_(1)^(alpha))omega+int_(c_(3)^(alpha))omega=int_(0)^(1)omega_(c_(1)^(alpha)(t))((c_(1)^(alpha))^(')(t))dt+int_(0)^(1)omega_(c_(3)^(alpha)(t))(( vec(c_(3)^(alpha)))^(')(t))dt],[=int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(1)^(alpha)(t))(du_(1)^(alpha)(c_(1)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(1)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(1)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[quad+int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(3)^(alpha)(t))(du_(1)(c_(3)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(3)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(3)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)(dt)/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)(d0)/(dt))dt],[quad+int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1-t,1)(d(1-t))/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1-t,1)(d1)/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1-t,1))dt],[(2.7.7)=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,1))dt]:}\begin{align*} & \int_{c_{1}^{\alpha}} \omega+\int_{c_{3}^{\alpha}} \omega=\int_{0}^{1} \omega_{c_{1}^{\alpha}(t)}\left(\left(c_{1}^{\alpha}\right)^{\prime}(t)\right) d t+\int_{0}^{1} \omega_{c_{3}^{\alpha}(t)}\left(\left(\overrightarrow{c_{3}^{\alpha}}\right)^{\prime}(t)\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}^{\alpha}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\ & \quad+\int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0) \frac{d t}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0) \frac{d 0}{d t}\right) d t \\ & \quad+\int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1-t, 1) \frac{d(1-t)}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1-t, 1) \frac{d 1}{d t}\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0)-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1-t, 1)\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0)-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 1)\right) d t \tag{2.7.7} \end{align*}c1αω+c3αω=01ωc1α(t)((c1α)(t))dt+01ωc3α(t)((c3α)(t))dt=01(f1α(c1α(t))du1α(c1α(t))dt+f2α(c1α(t))du2(c1α(t))dt)dt+01(f1α(c3α(t))du1(c3α(t))dt+f2α(c3α(t))du2(c3α(t))dt)dt=01((f1αx^α)(t,0)dtdt+(f2αx^α)(t,0)d0dt)dt+01((f1αx^α)(1t,1)d(1t)dt+(f2αx^α)(1t,1)d1dt)dt=01((f1αx^α)(t,0)(f1αx^α)(1t,1))dt(2.7.7)=01((f1αx^α)(t,0)(f1αx^α)(t,1))dt
および
c 2 α ω + c 4 α ω = 0 1 ω c 2 α ( t ) ( ( c 2 α ) ( t ) ) d t + 0 1 ω c 4 α ( t ) ( ( c 4 α ) ( t ) ) d t = 0 1 ( f 1 α ( c 2 α ( t ) ) d u 1 ( c 2 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 2 α ( t ) ) d u 2 ( c 2 α ( t ) ) d t ) d t + 0 1 ( f 1 α ( c 4 α ( t ) ) d u 1 ( c 4 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 4 α ( t ) ) d u 2 ( c 4 α ( t ) ) d t ) d t = 0 1 ( ( f 1 α x ^ α ) ( 1 , t ) d 1 d t + ( f 2 α x ^ α ) ( 1 , t ) d t d t ) d t = 0 1 ( ( f 2 α x ^ α ) ( 1 , t ) ( f 2 α x ^ α ) ( 0 , 1 t ) ) d t = 0 1 ( ( f 2 α x ^ α ) ( 1 , t ) ( f 2 α x ^ α ) ( 0 , t ) ) d t (2.7.8) = x ^ α ) ( 0 , 1 t ) d 0 d t + ( f 2 α x ^ α ) ( 0 , 1 t ) d ( 1 t ) d t ) d t = c 2 α ω + c 4 α ω = 0 1 ω c 2 α ( t ) c 2 α ( t ) d t + 0 1 ω c 4 α ( t ) c 4 α ( t ) d t = 0 1 f 1 α c 2 α ( t ) d u 1 c 2 α ( t ) d t + f 2 α c 2 α ( t ) d u 2 c 2 α ( t ) d t d t + 0 1 f 1 α c 4 α ( t ) d u 1 c 4 α ( t ) d t + f 2 α c 4 α ( t ) d u 2 c 4 α ( t ) d t d t = 0 1 f 1 α x ^ α ( 1 , t ) d 1 d t + f 2 α x ^ α ( 1 , t ) d t d t d t = 0 1 f 2 α x ^ α ( 1 , t ) f 2 α x ^ α ( 0 , 1 t ) d t = 0 1 f 2 α x ^ α ( 1 , t ) f 2 α x ^ α ( 0 , t ) d t (2.7.8) = x ^ α ( 0 , 1 t ) d 0 d t + f 2 α x ^ α ( 0 , 1 t ) d ( 1 t ) d t d t = {:[int_(c_(2)^(alpha))omega+int_(c_(4)^(alpha))omega=int_(0)^(1)omega_(c_(2)^(alpha)(t))((c_(2)^(alpha))^(')(t))dt+int_(0)^(1)omega_(c_(4)^(alpha)(t))(( vec(c_(4)^(alpha)))^(')(t))dt],[=int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(2)^(alpha)(t))(du_(1)(c_(2)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(2)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(2)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[quad+int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(4)^(alpha)(t))(du_(1)(c_(4)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(4)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(4)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)(d1)/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)(dt)/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,1-t))dt],[=int_(0)^(1)((f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,t))dt],[(2.7.8)={: hat(x)_(alpha))(0,1-t)(d0)/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,1-t)(d(1-t))/(dt))dt],[=]:}\begin{align*} & \int_{c_{2}^{\alpha}} \omega+\int_{c_{4}^{\alpha}} \omega=\int_{0}^{1} \omega_{c_{2}^{\alpha}(t)}\left(\left(c_{2}^{\alpha}\right)^{\prime}(t)\right) d t+\int_{0}^{1} \omega_{c_{4}^{\alpha}(t)}\left(\left(\overrightarrow{c_{4}^{\alpha}}\right)^{\prime}(t)\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\ \quad & +\int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t) \frac{d 1}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t) \frac{d t}{d t}\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0,1-t)\right) d t \\ = & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0, t)\right) d t \\ = & \left.\left.\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0,1-t) \frac{d 0}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0,1-t) \frac{d(1-t)}{d t}\right) d t \tag{2.7.8}\\ = & \end{align*}c2αω+c4αω=01ωc2α(t)((c2α)(t))dt+01ωc4α(t)((c4α)(t))dt=01(f1α(c2α(t))du1(c2α(t))dt+f2α(c2α(t))du2(c2α(t))dt)dt+01(f1α(c4α(t))du1(c4α(t))dt+f2α(c4α(t))du2(c4α(t))dt)dt=01((f1αx^α)(1,t)d1dt+(f2αx^α)(1,t)dtdt)dt=01((f2αx^α)(1,t)(f2αx^α)(0,1t))dt=01((f2αx^α)(1,t)(f2αx^α)(0,t))dt(2.7.8)=x^α)(0,1t)d0dt+(f2αx^α)(0,1t)d(1t)dt)dt=
が示される。式 (2.7.6), (2.7.7), および式 (2.7.8)から, 式 (2.7.5)が導かれ る. それゆえ。
S d ω = α = 1 l S α d ω = α = 1 l c α ω = c ω S d ω = α = 1 l S α d ω = α = 1 l c α ω = c ω int_(S^('))d omega=sum_(alpha=1)^(l)int_(S_(alpha)^('))d omega=sum_(alpha=1)^(l)int_(c_(alpha))omega=int_(c)omega\int_{S^{\prime}} d \omega=\sum_{\alpha=1}^{l} \int_{S_{\alpha}^{\prime}} d \omega=\sum_{\alpha=1}^{l} \int_{c_{\alpha}} \omega=\int_{c} \omegaSdω=α=1lSαdω=α=1lcαω=cω
が示される。最初の等号は, det J ( x λ 1 x ^ α ) > 0 det J x λ 1 x ^ α > 0 det J(x_(lambda)^(-1)@ hat(x)_(alpha)) > 0\operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)>0detJ(xλ1x^α)>0 であることより, 2 重積分 の変数変換の公式を用いて示され,最後の等号は, S α S α S_(alpha)^(')S_{\alpha}^{\prime}Sα S β S β S_(beta)^(')S_{\beta}^{\prime}Sβ が隣接するとき, その隣接する部分で c α c α c_(alpha)c_{\alpha}cα c β c β c_(beta)c_{\beta}cβ が逆向きになることより導かれる.
1.11 節で述べた定理 1.11.1が, 定理 2.7 .1 の特別な場合であることを説明 しよう. 定理 1.11.1の主張における区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつ C r C r C^(r)C^{r}Cr 超曲面片 S = x ( E ) S = x ( E ) S=x(E)S=\boldsymbol{x}(E)S=x(E) 上での積分公式とは, 次のようなものであった:
S rot X d A = c X d r S rot X d A = c X d r int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}SrotXdA=cXdr
x 1 = ( u 1 , u 2 ) x 1 = u 1 , u 2 x^(-1)=(u_(1),u_(2))\boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right)x1=(u1,u2) として, S S SSS 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の 1 次微分形式 ω ω omega\omegaω
ω := i = 1 2 ( X | S ) ( x u i x 1 ) d u i ω := i = 1 2 X S x u i x 1 d u i omega:=sum_(i=1)^(2)(X|_(S))*((del x)/(delu_(i))@x^(-1))du_(i)\omega:=\sum_{i=1}^{2}\left(\left.\boldsymbol{X}\right|_{S}\right) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \circ \boldsymbol{x}^{-1}\right) d u_{i}ω:=i=12(X|S)(xuix1)dui
によって定める. このとき,
d ω = rot X ( ( x u 1 × x u 2 ) x 1 ) d u 1 d u 2 d ω = rot X x u 1 × x u 2 x 1 d u 1 d u 2 d omega=rot X*(((del x)/(delu_(1))xx(del x)/(delu_(2)))@x^(-1))du_(1)^^du_(2)d \omega=\operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot\left(\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{2}}\right) \circ \boldsymbol{x}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2}dω=rotX((xu1×xu2)x1)du1du2
となり,
S rot X d A = S d ω S rot X d A = S d ω int_(S)rot X*dA=int_(S)d omega\int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{S} d \omegaSrotXdA=Sdω
となることがわかる. 一方,
ω c ( t ) ( c ( t ) ) d t = ( X | S ) c ( t ) c ( t ) d t ω c ( t ) c ( t ) d t = X S c ( t ) c ( t ) d t omega_(c(t))( vec(c)^(')(t))dt=(X|_(S))_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt\omega_{c(t)}\left(\vec{c}^{\prime}(t)\right) d t=\left(\left.\boldsymbol{X}\right|_{S}\right)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d tωc(t)(c(t))dt=(X|S)c(t)c(t)dt
となり,
c X d r = c ω c X d r = c ω int_(c)X*dr=int_(c)omega\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \omegacXdr=cω
となることがわかる。ゆに,定理 1.11.1が, 定理 2.7 .1 の特別な場合である ことがわかる.