2 超曲面論における変分公式と
CHAPTER
―
CHAPTER
¯
bar(" CHAPTER ") \overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER ― ガウス・ボンネの定理
この章において, まず, 一般次元のユークリッド空間内の超曲面論につい て述べる。次に, 正則超曲面からなる無限次元空間上の体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式を導く. さらに, 曲面論(つまり, 3 次元ユークリッド 空間内の超曲面論)におけるガウス・ボンネの定理の局所版と大域版を紹介 し,それらを証明する。ここで,ガウス・ボンネの定理の局所版とは,区分的 に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面片のガウス曲率に対する積分公式であり,ガ ウス・ボンネの定理の大域版とは,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉曲面のガウス曲率に対する積分公式 であり, これは, その閉曲面を三角形分割して, その分割における各三角形小領域上で同定理局所版を適用してえられるものである。この章では、簡単のた め,超曲面,および区分的に滑らかな超曲面は, すべて
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であるとする. また,特別断りのない限り,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性における
r
r
r r r は 1 以上とする.
2.1 超曲面上の接ベクトル場
この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面上の接べクトル場を定義することにする.
S
S
S S S を
E
n
+
1
(
n
≥
2
)
E
n
+
1
(
n
≥
2
)
E^(n+1)(n >= 2) \mathbb{E}^{n+1}(n \geq 2) E n + 1 ( n ≥ 2 ) 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とし,
D
:=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
:=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D:={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}:=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D := { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } を
S
S
S S S の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造とする.
S
S
S S S の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の元
X
p
X
p
X_(p) \boldsymbol{X}_{p} X p を対応させる対応
X
X
X \boldsymbol{X} X を
S
S
S \boldsymbol{S} S 上の 接ベクトル場(tangent vector field)という(図 2.1.1 を参照).
注意
T
S
:=
⨿
p
∈
S
(
{
p
}
×
T
p
S
)
T
S
:=
⨿
p
∈
S
{
p
}
×
T
p
S
TS:=⨿_(p in S)({p}xxT_(p)S) T S:=\underset{p \in S}{\amalg}\left(\{p\} \times T_{p} S\right) T S := ⨿ p ∈ S ( { p } × T p S ) とおき,
π
π
pi \pi π を
T
S
T
S
TS T S T S から
S
S
S S S への自然な射影,つまり、
π
(
{
p
}
×
T
p
S
)
=
{
p
}
(
p
∈
S
)
π
{
p
}
×
T
p
S
=
{
p
}
(
p
∈
S
)
pi({p}xxT_(p)S)={p}quad(p in S) \pi\left(\{p\} \times T_{p} S\right)=\{p\} \quad(p \in S) π ( { p } × T p S ) = { p } ( p ∈ S ) によって定義される写像とする。
π
:
T
S
→
S
π
:
T
S
→
S
pi:TS rarr S \pi: T S \rightarrow S π : T S → S は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトルバンドルとよばれる構造をもち,S の接ベクトルバンドル(tangent bundle)とよばれる(接ベクトルバンドルの
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトルバンドル構造について は, 3.7 節を参照のこと).
S
S
S S S 上の接ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X は,
π
∘
X
=
id
S
π
∘
X
=
id
S
pi@X=id_(S) \pi \circ \boldsymbol{X}=\operatorname{id}_{S} π ∘ X = id S を満たす
S
S
S S S か ら
T
S
T
S
TS T S T S への写像として定義することもできる. ここで,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S ではなく
{
p
}
×
T
p
S
{
p
}
×
T
p
S
{p}xxT_(p)S \{p\} \times T_{p} S { p } × T p S を
図 2.1.1超曲面上の接ベクトル場
束ねる理由を述べておく. 異なる 2 点
p
,
q
∈
S
p
,
q
∈
S
p,q in S p, q \in S p , q ∈ S に対し,
T
p
S
,
T
q
S
T
p
S
,
T
q
S
T_(p)S,T_(q)S T_{p} S, T_{q} S T p S , T q S は, 共に数べク トル空間
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の
n
n
n n n 次元部分ベクトル空間であり, これらは共通部分をもってしま う.
{
T
p
S
}
p
∈
S
T
p
S
p
∈
S
{T_(p)S}_(p in S) \left\{T_{p} S\right\}_{p \in S} { T p S } p ∈ S を互いに共通部分をもたない別々の空間として束ねたものとしてTS を定義するために,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S ではなく
{
p
}
×
T
p
S
{
p
}
×
T
p
S
{p}xxT_(p)S \{p\} \times T_{p} S { p } × T p S を束ねる必要があるのである.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
とする.
X
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∂
∂
u
i
)
p
(
p
∈
S
λ
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
とする.
X
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
∂
∂
u
i
p
p
∈
S
λ
{:[x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n))" とする. "],[X_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)((del)/(delu_(i)))_(p)quad(p inS_(lambda))]:} \begin{aligned}
\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) & \text { とする. } \\
\boldsymbol{X}_{p} & =\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)
\end{aligned} と す る x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする. X p = ∑ i = 1 n X i ( p ) ( ∂ ∂ u i ) p ( p ∈ S λ )
によって定義される
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の関数
X
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i)(i=1,dots,n) X_{i}(i=1, \ldots, n) X i ( i = 1 , … , n ) を
X
X
X \boldsymbol{X} X の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\lambda}}^{-1} x λ − 1 に 関する成分(the component of
X
X
X \boldsymbol{X} X with respect to
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\lambda}}^{-1} x λ − 1 ) という.
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S を固定する.
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∈
D
S
λ
,
x
λ
−
1
∈
D
(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD \left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D} ( S λ , x λ − 1 ) ∈ D をとり,
x
λ
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
p
x
λ
a
1
,
…
,
a
n
=
p
x_(lambda)(a_(1),dots,a_(n))=p \boldsymbol{x}_{\lambda}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=p x λ ( a 1 , … , a n ) = p と する。
X
X
X \boldsymbol{X} X の
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
X
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i)(i=1,dots,n) X_{i}(i=1, \ldots, n) X i ( i = 1 , … , n ) として,
X
i
∘
x
λ
(
i
=
X
i
∘
x
λ
(
i
=
X_(i)@x_(lambda)(i= X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}(i= X i ∘ x λ ( i =
1
,
…
,
n
)
1
,
…
,
n
)
1,dots,n) 1, \ldots, n) 1 , … , n ) が
(
a
1
,
…
,
a
n
)
a
1
,
…
,
a
n
(a_(1),dots,a_(n)) \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) ( a 1 , … , a n ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X は
p
p
p \boldsymbol{p} p で
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級である(
X
X
X \boldsymbol{X} X is of class
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r at
p
p
p \boldsymbol{p} p ) といい,
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S の各点で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場(
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r -tangent vector field)という.
Xの
p
p
p p p における
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性がwell-defined であること, つまり,
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ と なる
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∈
D
S
λ
,
x
λ
−
1
∈
D
(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD \left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D} ( S λ , x λ − 1 ) ∈ D のとり方によらないことを示そう. そのために,
p
∈
p
∈
p in p \in p ∈
S
μ
S
μ
S_(mu) S_{\mu} S μ となる
(
S
μ
,
x
μ
−
1
)
∈
D
S
μ
,
x
μ
−
1
∈
D
(S_(mu),x_(mu)^(-1))inD \left(S_{\mu}, \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \in \mathcal{D} ( S μ , x μ − 1 ) ∈ D をもう 1 つとろう.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
x
μ
−
1
=
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
,
x
μ
−
1
=
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),quadx_(mu)^(-1)= \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \quad \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}= x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) , x μ − 1 =
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) とする。このとき, 次の事実が成り立つ.
命題 2.1.1
X
X
X \boldsymbol{X} X の
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
X
1
,
…
,
X
n
X
1
,
…
,
X
n
X_(1),dots,X_(n) X_{1}, \ldots, X_{n} X 1 , … , X n とし,
X
X
X \boldsymbol{X} X の
x
μ
−
1
x
μ
−
1
x_(mu)^(-1) \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} x μ − 1 に関す る成分を
X
¯
1
,
…
,
X
¯
n
X
¯
1
,
…
,
X
¯
n
bar(X)_(1),dots, bar(X)_(n) \bar{X}_{1}, \ldots, \bar{X}_{n} X ¯ 1 , … , X ¯ n とする。また,
x
λ
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
x
μ
(
a
¯
1
,
…
,
a
¯
n
)
=
p
x
λ
a
1
,
…
,
a
n
=
x
μ
a
¯
1
,
…
,
a
¯
n
=
p
x_(lambda)(a_(1),dots,a_(n))=x_(mu)( bar(a)_(1),dots, bar(a)_(n))=p \boldsymbol{x}_{\lambda}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\boldsymbol{x}_{\mu}\left(\bar{a}_{1}, \ldots, \bar{a}_{n}\right)=p x λ ( a 1 , … , a n ) = x μ ( a ¯ 1 , … , a ¯ n ) = p と する. このとき,
X
i
∘
x
λ
:
x
λ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
∘
x
λ
:
x
λ
−
1
S
λ
∩
S
μ
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i)@x_(lambda):x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=1,dots,n) X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}: \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n) X i ∘ x λ : x λ − 1 ( S λ ∩ S μ ) → R ( i = 1 , … , n ) が
(
a
1
,
…
,
a
n
)
a
1
,
…
,
a
n
(a_(1),dots,a_(n)) \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) ( a 1 , … , a n )
で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることと,
X
¯
i
∘
x
μ
:
x
μ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
¯
i
∘
x
μ
:
x
μ
−
1
S
λ
∩
S
μ
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
bar(X)_(i)@x_(mu):x_(mu)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=1,dots,n) \bar{X}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}: \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n) X ¯ i ∘ x μ : x μ − 1 ( S λ ∩ S μ ) → R ( i = 1 , … , n ) が
(
a
¯
1
,
…
,
a
¯
n
)
a
¯
1
,
…
,
a
¯
n
( bar(a)_(1),dots, bar(a)_(n)) \left(\bar{a}_{1}, \ldots, \bar{a}_{n}\right) ( a ¯ 1 , … , a ¯ n ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることは同値である.
証明 1.9 節の式 (1.9.2)によれば, 次式が成り立つ:
(2.1.1)
∂
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
u
j
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
)
∂
∂
u
j
(2.1.1)
∂
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∂
u
j
∘
x
μ
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
∂
∂
u
j
{:(2.1.1)(del)/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1))(del)/(delu_(j)):} \begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \frac{\partial}{\partial u_{j}} \tag{2.1.1}
\end{equation*} (2.1.1) ∂ ∂ u ¯ i = ∑ j = 1 n ( ∂ ( u j ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ∘ x μ − 1 ) ∂ ∂ u j
この関係式を用いて,
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で
X
=
∑
i
=
1
n
X
¯
i
∂
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
(
∑
i
=
1
n
X
¯
i
(
∂
(
u
j
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
)
)
∂
∂
u
j
X
=
∑
i
=
1
n
X
¯
i
∂
∂
u
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
¯
i
∂
u
j
∘
x
μ
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
∂
∂
u
j
X=sum_(i=1)^(n) bar(X)_(i)(del)/(del bar(u)_(i))=sum_(j=1)^(n)(sum_(i=1)^(n) bar(X)_(i)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1)))(del)/(delu_(j)) \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} \bar{X}_{i} \frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} \bar{X}_{i}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right) \frac{\partial}{\partial u_{j}} X = ∑ i = 1 n X ¯ i ∂ ∂ u ¯ i = ∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 n X ¯ i ( ∂ ( u j ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ∘ x μ − 1 ) ) ∂ ∂ u j
が成り立つことがわかる。一方,
X
=
∑
j
=
1
n
X
j
∂
∂
u
j
X
=
∑
j
=
1
n
X
j
∂
∂
u
j
X=sum_(j=1)^(n)X_(j)(del)/(delu_(j)) \boldsymbol{X}=\sum_{j=1}^{n} X_{j} \frac{\partial}{\partial u_{j}} X = ∑ j = 1 n X j ∂ ∂ u j なので,
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で
X
j
=
∑
i
=
1
n
X
¯
i
(
∂
(
u
j
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
)
X
j
=
∑
i
=
1
n
X
¯
i
∂
u
j
∘
x
μ
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
X_(j)=sum_(i=1)^(n) bar(X)_(i)((del(u_(j)@x_(mu)))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1)) X_{j}=\sum_{i=1}^{n} \bar{X}_{i}\left(\frac{\partial\left(u_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) X j = ∑ i = 1 n X ¯ i ( ∂ ( u j ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ∘ x μ − 1 )
が成り立つことがわかり, それゆえ,
x
λ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
x
λ
−
1
S
λ
∩
S
μ
x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) x λ − 1 ( S λ ∩ S μ ) 上で
X
j
∘
x
λ
=
∑
i
=
1
2
(
(
X
¯
i
∘
x
μ
)
∘
(
x
μ
−
1
∘
x
λ
)
)
(
∂
u
j
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
∘
x
λ
)
X
j
∘
x
λ
=
∑
i
=
1
2
X
¯
i
∘
x
μ
∘
x
μ
−
1
∘
x
λ
∂
u
j
∂
u
¯
i
∘
x
μ
−
1
∘
x
λ
X_(j)@x_(lambda)=sum_(i=1)^(2)(( bar(X)_(i)@x_(mu))@(x_(mu)^(-1)@x_(lambda)))((delu_(j))/(del bar(u)_(i))@x_(mu)^(-1)@x_(lambda)) X_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\sum_{i=1}^{2}\left(\left(\bar{X}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right) \circ\left(\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\right)\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \bar{u}_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) X j ∘ x λ = ∑ i = 1 2 ( ( X ¯ i ∘ x μ ) ∘ ( x μ − 1 ∘ x λ ) ) ( ∂ u j ∂ u ¯ i ∘ x μ − 1 ∘ x λ )
をえる。この関係式から,
X
¯
i
∘
x
μ
:
x
μ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
¯
i
∘
x
μ
:
x
μ
−
1
S
λ
∩
S
μ
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
bar(X)_(i)@x_(mu):x_(mu)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i=1,dots,n) \bar{X}_{i} \circ \mathbf{x}_{\mu}: \mathbf{x}_{\mu}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n) X ¯ i ∘ x μ : x μ − 1 ( S λ ∩ S μ ) → R ( i = 1 , … , n ) が
(
a
¯
1
,
…
,
a
¯
n
)
a
¯
1
,
…
,
a
¯
n
( bar(a)_(1),dots, bar(a)_(n)) \left(\bar{a}_{1}, \ldots, \bar{a}_{n}\right) ( a ¯ 1 , … , a ¯ n ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるならば,
X
i
∘
x
λ
:
x
λ
−
1
(
S
λ
∩
S
μ
)
→
R
(
i
=
X
i
∘
x
λ
:
x
λ
−
1
S
λ
∩
S
μ
→
R
(
i
=
X_(i)@x_(lambda):x_(lambda)^(-1)(S_(lambda)nnS_(mu))rarrR(i= X_{i} \circ \mathbf{x}_{\lambda}: \mathbf{x}_{\lambda}^{-1}\left(S_{\lambda} \cap S_{\mu}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i= X i ∘ x λ : x λ − 1 ( S λ ∩ S μ ) → R ( i =
1
,
…
,
n
)
1
,
…
,
n
)
1,dots,n) 1, \ldots, n) 1 , … , n ) が
(
a
1
,
…
,
a
n
)
a
1
,
…
,
a
n
(a_(1),dots,a_(n)) \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) ( a 1 , … , a n ) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることが示される. 逆も同様に示され る。
S
S
S S S の各点
p
p
p p p に対し, ベクトル空間
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 (本当は,
T
p
A
n
+
1
T
p
A
n
+
1
T_(p)A^(n+1) T_{p} \mathbb{A}^{n+1} T p A n + 1 とすべき)の元
X
p
X
p
X_(p) X_{p} X p を対応させる対応
X
X
X \boldsymbol{X} X を
S
S
S S S に沿うベクトル場(vector field along
S
S
S S S )と いう(図 2.1.2 を参照).
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S を固定する。
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∈
D
S
λ
,
x
λ
−
1
∈
D
(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))inD \left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \in \mathcal{D} ( S λ , x λ − 1 ) ∈ D に 対し,
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 に値をとるベクトル値関数
X
∘
x
λ
X
∘
x
λ
X@x_(lambda) \boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} X ∘ x λ が
(
a
1
,
…
,
a
n
)
(
(
a
1
,
…
,
a
n
)
a
1
,
…
,
a
n
a
1
,
…
,
a
n
(a_(1),dots,a_(n))((a_(1),dots,a_(n)):} \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\left(\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right. ( a 1 , … , a n ) ( ( a 1 , … , a n ) は
x
λ
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
p
x
λ
a
1
,
…
,
a
n
=
p
x_(lambda)(a_(1),dots,a_(n))=p \boldsymbol{x}_{\lambda}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=p x λ ( a 1 , … , a n ) = p となる点) で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X は
p
p
p \boldsymbol{p} p で
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級であ るという.
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S の各点で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル 場
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -vector field along
S
)
S
{:S) \left.S\right) S ) という.
注意
T
p
S
⊂
R
n
+
1
T
p
S
⊂
R
n
+
1
T_(p)S subR^(n+1) T_{p} S \subset \mathbb{R}^{n+1} T p S ⊂ R n + 1 なので,
S
S
S S S 上の接ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X は
S
S
S S S に沿うベクトル場でも ある。
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S 上の接ベクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとは,
S
S
S S S に住む人からみて
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r
図 2.1.2 超曲面に沿うベクトル場
級(内在的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級)であることを意味し,
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S に沿うベクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 であるとは、
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 に住む人からみて
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級(外在的
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級)であることを意味す る.
命題 2.1.2
X
X
X \boldsymbol{X} X を
S
S
S S S 上の接ベクトル場とする. このとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S 上の接べ クトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることと,
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S に沿うベクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 であることは同値である.
証明
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べることにする.
x
λ
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
x
1
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
…
,
x
n
+
1
(
u
1
,
…
,
u
n
)
)
x
λ
u
1
,
…
,
u
n
=
x
1
u
1
,
…
,
u
n
,
…
,
x
n
+
1
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)(u_(1),dots,u_(n))=(x_(1)(u_(1),dots,u_(n)),dots,x_(n+1)(u_(1),dots,u_(n))) \boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(x_{1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \ldots, x_{n+1}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\right) x λ ( u 1 , … , u n ) = ( x 1 ( u 1 , … , u n ) , … , x n + 1 ( u 1 , … , u n ) )
とし、
X
=
(
X
^
1
,
…
,
X
^
n
+
1
)
X
=
X
^
1
,
…
,
X
^
n
+
1
quad X=( widehat(X)_(1),dots, widehat(X)_(n+1)) \quad \boldsymbol{X}=\left(\widehat{X}_{1}, \ldots, \widehat{X}_{n+1}\right) X = ( X ^ 1 , … , X ^ n + 1 ) とする. また,
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
u
i
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
u
i
quad X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delu_(i)) \quad \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial u_{i}} X = ∑ i = 1 n X i ∂ ∂ u i とする. このと き,
X
∘
x
λ
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
∘
x
λ
)
∂
x
λ
∂
u
i
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
∘
x
λ
)
(
∂
x
1
∂
u
i
,
…
,
∂
x
n
+
1
∂
u
i
)
=
(
∑
i
=
1
n
(
X
i
∘
x
λ
)
∂
x
1
∂
u
i
,
…
,
∑
i
=
1
n
(
X
i
∘
x
λ
)
∂
x
n
+
1
∂
u
i
)
X
∘
x
λ
=
∑
i
=
1
n
X
i
∘
x
λ
∂
x
λ
∂
u
i
=
∑
i
=
1
n
X
i
∘
x
λ
∂
x
1
∂
u
i
,
…
,
∂
x
n
+
1
∂
u
i
=
∑
i
=
1
n
X
i
∘
x
λ
∂
x
1
∂
u
i
,
…
,
∑
i
=
1
n
X
i
∘
x
λ
∂
x
n
+
1
∂
u
i
{:[X@x_(lambda)=sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(lambda))/(delu_(i))=sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))((delx_(1))/(delu_(i)),dots,(delx_(n+1))/(delu_(i)))],[=(sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(1))/(delu_(i)),dots,sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(n+1))/(delu_(i)))]:} \begin{aligned}
\boldsymbol{X} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} & =\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial \boldsymbol{x}_{\lambda}}{\partial u_{i}}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{i}}, \ldots, \frac{\partial x_{n+1}}{\partial u_{i}}\right) \\
& =\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{i}}, \ldots, \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial x_{n+1}}{\partial u_{i}}\right)
\end{aligned} X ∘ x λ = ∑ i = 1 n ( X i ∘ x λ ) ∂ x λ ∂ u i = ∑ i = 1 n ( X i ∘ x λ ) ( ∂ x 1 ∂ u i , … , ∂ x n + 1 ∂ u i ) = ( ∑ i = 1 n ( X i ∘ x λ ) ∂ x 1 ∂ u i , … , ∑ i = 1 n ( X i ∘ x λ ) ∂ x n + 1 ∂ u i )
が示され, それゆえ,
(2.1.2)
X
^
j
∘
x
λ
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
∘
x
λ
)
∂
x
j
∂
u
i
(
j
=
1
,
…
,
n
+
1
)
(2.1.2)
X
^
j
∘
x
λ
=
∑
i
=
1
n
X
i
∘
x
λ
∂
x
j
∂
u
i
(
j
=
1
,
…
,
n
+
1
)
{:(2.1.2) widehat(X)_(j)@x_(lambda)=sum_(i=1)^(n)(X_(i)@x_(lambda))(delx_(j))/(delu_(i))quad(j=1","dots","n+1):} \begin{equation*}
\widehat{X}_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial x_{j}}{\partial u_{i}} \quad(j=1, \ldots, n+1) \tag{2.1.2}
\end{equation*} (2.1.2) X ^ j ∘ x λ = ∑ i = 1 n ( X i ∘ x λ ) ∂ x j ∂ u i ( j = 1 , … , n + 1 )
をえる. この関係式から,
X
|
S
λ
X
S
λ
X|_(S_(lambda)) \left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}} X | S λ が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の接べクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ならば,
図 2.1.3
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S への直交射影
X
|
S
λ
X
S
λ
X|_(S_(lambda)) \left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}} X | S λ は
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に沿うベクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることが示される.
逆を示す.
X
|
S
λ
X
S
λ
X|_(S_(lambda)) \left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}} X | S λ が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に沿うべクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとする. ヤコ ビ行列
J
x
λ
J
x
λ
Jx_(lambda) J \boldsymbol{x}_{\lambda} J x λ の階数は
n
n
n n n なので,
rank
(
∂
x
a
1
∂
u
1
⋯
∂
x
a
n
∂
u
1
⋮
⋱
⋮
∂
x
a
1
∂
u
n
⋯
∂
x
a
n
∂
u
n
)
=
n
rank
∂
x
a
1
∂
u
1
⋯
∂
x
a
n
∂
u
1
⋮
⋱
⋮
∂
x
a
1
∂
u
n
⋯
∂
x
a
n
∂
u
n
=
n
rank([(delx_(a_(1)))/(delu_(1)),cdots,(delx_(a_(n)))/(delu_(1))],[vdots,ddots,vdots],[(delx_(a_(1)))/(delu_(n)),cdots,(delx_(a_(n)))/(delu_(n))])=n \operatorname{rank}\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{n}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{n}}
\end{array}\right)=n rank ( ∂ x a 1 ∂ u 1 ⋯ ∂ x a n ∂ u 1 ⋮ ⋱ ⋮ ∂ x a 1 ∂ u n ⋯ ∂ x a n ∂ u n ) = n
となる
a
1
,
…
,
a
n
∈
{
1
,
…
,
n
+
1
}
a
1
,
…
,
a
n
∈
{
1
,
…
,
n
+
1
}
a_(1),dots,a_(n)in{1,dots,n+1} a_{1}, \ldots, a_{n} \in\{1, \ldots, n+1\} a 1 , … , a n ∈ { 1 , … , n + 1 } が存在する. 式 (2.1.2) から,
(
X
1
∘
x
λ
⋮
X
n
∘
x
λ
)
=
(
∂
x
a
1
∂
u
1
⋯
∂
x
a
1
∂
u
n
⋮
⋱
⋮
∂
x
a
n
∂
u
1
⋯
∂
x
a
n
∂
u
n
)
−
1
(
X
^
a
1
∘
x
λ
⋮
X
^
a
n
∘
x
λ
)
X
1
∘
x
λ
⋮
X
n
∘
x
λ
=
∂
x
a
1
∂
u
1
⋯
∂
x
a
1
∂
u
n
⋮
⋱
⋮
∂
x
a
n
∂
u
1
⋯
∂
x
a
n
∂
u
n
−
1
X
^
a
1
∘
x
λ
⋮
X
^
a
n
∘
x
λ
([X_(1)@x_(lambda)],[vdots],[X_(n)@x_(lambda)])=([(delx_(a_(1)))/(delu_(1)),cdots,(delx_(a_(1)))/(delu_(n))],[vdots,ddots,vdots],[(delx_(a_(n)))/(delu_(1)),cdots,(delx_(a_(n)))/(delu_(n))])^(-1)([ widehat(X)_(a_(1))@x_(lambda)],[vdots],[ widehat(X)_(a_(n))@x_(lambda)]) \left(\begin{array}{c}
X_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} \\
\vdots \\
X_{n} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{1}}}{\partial u_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{a_{n}}}{\partial u_{n}}
\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
\widehat{X}_{a_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} \\
\vdots \\
\widehat{X}_{a_{n}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}
\end{array}\right) ( X 1 ∘ x λ ⋮ X n ∘ x λ ) = ( ∂ x a 1 ∂ u 1 ⋯ ∂ x a 1 ∂ u n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ x a n ∂ u 1 ⋯ ∂ x a n ∂ u n ) − 1 ( X ^ a 1 ∘ x λ ⋮ X ^ a n ∘ x λ )
が導かれる. したがって仮定から,
X
^
a
1
∘
x
λ
,
…
,
X
^
a
n
∘
x
λ
X
^
a
1
∘
x
λ
,
…
,
X
^
a
n
∘
x
λ
widehat(X)_(a_(1))@x_(lambda),dots, widehat(X)_(a_(n))@x_(lambda) \widehat{X}_{a_{1}} \circ \mathbf{x}_{\lambda}, \ldots, \widehat{X}_{a_{n}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} X ^ a 1 ∘ x λ , … , X ^ a n ∘ x λ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級なので,
X
1
∘
x
λ
,
…
,
X
n
∘
x
λ
X
1
∘
x
λ
,
…
,
X
n
∘
x
λ
X_(1)@x_(lambda),dots,X_(n)@x_(lambda) X_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}, \ldots, X_{n} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} X 1 ∘ x λ , … , X n ∘ x λ が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級, つまり,
X
|
S
λ
X
S
λ
X|_(S_(lambda)) \left.\boldsymbol{X}\right|_{S_{\lambda}} X | S λ が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の接ベクトル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることが示される.
pr
T
p
pr
T
p
pr_(T_(p)) \operatorname{pr}_{T_{p}} pr T p を
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 から
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S への直交射影, つまり, 各
v
∈
R
n
+
1
v
∈
R
n
+
1
v inR^(n+1) \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{n+1} v ∈ R n + 1 に対し,
v
v
v \boldsymbol{v} v を
v
=
v
T
+
v
⊥
(
v
T
∈
T
p
S
,
v
⊥
∈
T
p
⊥
S
)
v
=
v
T
+
v
⊥
v
T
∈
T
p
S
,
v
⊥
∈
T
p
⊥
S
v=v_(T)+v_(_|_)(v_(T)inT_(p)S,v_(_|_)inT_(p)^(_|_)S) \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{T}+\boldsymbol{v}_{\perp}\left(\boldsymbol{v}_{T} \in T_{p} S, \boldsymbol{v}_{\perp} \in T_{p}^{\perp} S\right) v = v T + v ⊥ ( v T ∈ T p S , v ⊥ ∈ T p ⊥ S ) と分解したときの接成分
v
T
v
T
v_(T) \boldsymbol{v}_{T} v T を対応さ せる対応とする(図 2.1.3を参照)。
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n 上のベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
S
S
S S S 上の接 ベクトル場
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T を
(
X
T
)
p
:=
pr
T
p
(
X
p
)
(
p
∈
S
)
X
T
p
:=
pr
T
p
X
p
(
p
∈
S
)
(X_(T))_(p):=pr_(T_(p))(X_(p))quad(p in S) \left(\boldsymbol{X}_{T}\right)_{p}:=\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right) \quad(p \in S) ( X T ) p := pr T p ( X p ) ( p ∈ S )
によって定義する。
v
T
,
X
T
v
T
,
X
T
v_(T),X_(T) \boldsymbol{v}_{T}, \boldsymbol{X}_{T} v T , X T を各々,
v
,
X
v
,
X
v,X \boldsymbol{v}, \boldsymbol{X} v , X の接成分 (tangential component)という.
命題 2.1.3
X
X
X \boldsymbol{X} X が
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場ならば,
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T は
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベク トル場である.
証明
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べることにする.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする. このとき,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ の自然に定まる単位法べクトル場
N
λ
N
λ
N_(lambda) N_{\lambda} N λ は,
N
λ
=
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
‖
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
‖
N
λ
=
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
∂
∂
u
1
×
⋯
×
∂
∂
u
n
N_(lambda)=((del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n)))/(||(del)/(delu_(1))xx cdots xx(del)/(delu_(n))||) \boldsymbol{N}_{\lambda}=\frac{\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}}{\left\|\frac{\partial}{\partial u_{1}} \times \cdots \times \frac{\partial}{\partial u_{n}}\right\|} N λ = ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ‖ ∂ ∂ u 1 × ⋯ × ∂ ∂ u n ‖
によって与えられるので,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ べクトル場である。容易に,
(2.1.3)
(
X
T
)
p
=
pr
T
p
(
X
p
)
=
X
p
−
(
X
p
⋅
(
N
λ
)
p
)
(
N
λ
)
p
(
p
∈
S
λ
)
(2.1.3)
X
T
p
=
pr
T
p
X
p
=
X
p
−
X
p
⋅
N
λ
p
N
λ
p
p
∈
S
λ
{:(2.1.3)(X_(T))_(p)=pr_(T_(p))(X_(p))=X_(p)-(X_(p)*(N_(lambda))_(p))(N_(lambda))_(p)quad(p inS_(lambda)):} \begin{equation*}
\left(\boldsymbol{X}_{T}\right)_{p}=\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right)=\boldsymbol{X}_{p}-\left(\boldsymbol{X}_{p} \cdot\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}\right)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) \tag{2.1.3}
\end{equation*} (2.1.3) ( X T ) p = pr T p ( X p ) = X p − ( X p ⋅ ( N λ ) p ) ( N λ ) p ( p ∈ S λ )
つまり,
X
T
=
X
−
(
X
⋅
N
λ
)
N
λ
X
T
=
X
−
X
⋅
N
λ
N
λ
X_(T)=X-(X*N_(lambda))N_(lambda) \boldsymbol{X}_{T}=\boldsymbol{X}-\left(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{N}_{\lambda}\right) \boldsymbol{N}_{\lambda} X T = X − ( X ⋅ N λ ) N λ が(
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で)成り立つことが示される. こ の式から,
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場であることがわかる. よって,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ の任意性から,
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T が
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場であることがわかる. さらに,命題 2.1.2 から,
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場であることが導かれる.
問 2.1.1 次の (i)-(iv) によって定義される単位球面
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) に沿うベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に 対し、
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T を求めよ. また,
X
X
X \boldsymbol{X} X と
X
T
X
T
X_(T) \boldsymbol{X}_{T} X T を図示せよ.
(i)
X
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
:=
(
p
1
,
p
2
,
0
)
X
p
1
,
p
2
,
p
3
:=
p
1
,
p
2
,
0
quadX_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(p_(1),p_(2),0) \quad \boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=\left(p_{1}, p_{2}, 0\right) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( p 1 , p 2 , 0 )
(ii)
X
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
:=
(
0
,
0
,
1
)
X
p
1
,
p
2
,
p
3
:=
(
0
,
0
,
1
)
X_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(0,0,1) \boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=(0,0,1) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( 0 , 0 , 1 )
(iii)
X
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
:=
(
−
p
2
,
p
1
,
0
)
X
p
1
,
p
2
,
p
3
:=
−
p
2
,
p
1
,
0
quadX_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(-p_(2),p_(1),0) \quad \boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=\left(-p_{2}, p_{1}, 0\right) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( − p 2 , p 1 , 0 )
(iv)
X
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
:=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
X
p
1
,
p
2
,
p
3
:=
p
1
,
p
2
,
p
3
X_((p_(1),p_(2),p_(3))):=(p_(1),p_(2),p_(3)) \boldsymbol{X}_{\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)}:=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) X ( p 1 , p 2 , p 3 ) := ( p 1 , p 2 , p 3 )
f
f
f f f を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
S
S
S S S 上のスカラー場とし,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
S
S
S S S に沿うべクトル場とす る. このとき, ベクトル場同士の和
X
+
Y
X
+
Y
X+Y \boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y} X + Y , ベクトル場のスカラー場倍
f
X
f
X
fX f \boldsymbol{X} f X , およびべクトル場同士の内積
X
⋅
Y
X
⋅
Y
X*Y \boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y} X ⋅ Y が各々,次式によって定義される:
(
X
+
Y
)
p
:=
X
p
+
Y
p
,
(
f
X
)
p
:=
f
p
X
p
,
(
X
⋅
Y
)
p
:=
X
p
⋅
Y
p
(
p
∈
S
)
(
X
+
Y
)
p
:=
X
p
+
Y
p
,
(
f
X
)
p
:=
f
p
X
p
,
(
X
⋅
Y
)
p
:=
X
p
⋅
Y
p
(
p
∈
S
)
(X+Y)_(p):=X_(p)+Y_(p),quad(fX)_(p):=f_(p)X_(p),quad(X*Y)_(p):=X_(p)*Y_(p)quad(p in S) (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})_{p}:=\boldsymbol{X}_{p}+\boldsymbol{Y}_{p}, \quad(f \boldsymbol{X})_{p}:=f_{p} \boldsymbol{X}_{p}, \quad(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y})_{p}:=\boldsymbol{X}_{p} \cdot \boldsymbol{Y}_{p} \quad(p \in S) ( X + Y ) p := X p + Y p , ( f X ) p := f p X p , ( X ⋅ Y ) p := X p ⋅ Y p ( p ∈ S )
容易に, 次の命題が示される.
命題 2.1.4
f
f
f f f を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場とし,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクト
ル場とする. このとき,
X
+
Y
,
f
X
X
+
Y
,
f
X
X+Y,fX \boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}, f \boldsymbol{X} X + Y , f X も
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場であり,
X
X
X \boldsymbol{X} X . Yは
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場である.
2.2 超曲面上の
k
k
k k k 次共変テンソル場・
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場
この節において,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面上の
k
k
k k k 次共変テンソル場, および
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場について述べることにする。
はじめに,(実)ベクトル空間上の
k
k
k k k 次共変テンソル,および
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テン ソルを定義しよう.
V
V
V V V を
n
n
n n n 次元(実)べクトル空間とする.
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
V
k
=
V
×
V
k
=
V
×
V^(k)=V xx V^{k}=V \times V k = V ×
⋯
×
V
⋯
×
V
cdots xx V \cdots \times V ⋯ × V (
k
k
k k k 個の
V
V
V V V の直積)から
R
R
R \mathbb{R} R への多重線形写像,つまり,
Φ
(
v
1
,
…
,
a
v
i
+
b
w
i
,
…
,
v
k
)
=
a
Φ
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
k
)
+
b
Φ
(
v
1
,
…
,
w
i
,
…
,
v
k
)
(
v
1
,
…
,
v
k
,
w
i
∈
V
,
a
,
b
∈
R
,
1
≤
i
≤
k
)
Φ
v
1
,
…
,
a
v
i
+
b
w
i
,
…
,
v
k
=
a
Φ
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
k
+
b
Φ
v
1
,
…
,
w
i
,
…
,
v
k
v
1
,
…
,
v
k
,
w
i
∈
V
,
a
,
b
∈
R
,
1
≤
i
≤
k
{:[Phi(v_(1),dots,av_(i)+bw_(i),dots,v_(k))],[=a Phi(v_(1),dots,v_(i),dots,v_(k))+b Phi(v_(1),dots,w_(i),dots,v_(k))],[(v_(1),dots,v_(k),w_(i)in V,a,b inR,1 <= i <= k)]:} \begin{aligned}
& \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, a \boldsymbol{v}_{i}+b \boldsymbol{w}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\
&= a \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)+b \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{i}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\
&\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}, \boldsymbol{w}_{i} \in V, a, b \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq k\right)
\end{aligned} Φ ( v 1 , … , a v i + b w i , … , v k ) = a Φ ( v 1 , … , v i , … , v k ) + b Φ ( v 1 , … , w i , … , v k ) ( v 1 , … , v k , w i ∈ V , a , b ∈ R , 1 ≤ i ≤ k )
を満たす写像とする。このとき,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
V
V
V V V 上の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次共変テンソル(covariant tensor of degree
k
)
k
)
k) k) k ) または
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (0, k) ( 0 , k ) 次テンソル(tensor of type
(
0
,
k
)
)
(
0
,
k
)
)
(0,k)) (0, k)) ( 0 , k ) ) という. 同様に,
V
k
V
k
V^(k) V^{k} V k から
V
V
V V V への多重線形写像が定義される. これを
V
V
V V V 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル(tensor of type
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) ) という.
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次共変テンソ ル全体のなす集合を
⊗
k
V
∗
⊗
k
V
∗
ox^(k)V^(**) \otimes^{k} V^{*} ⊗ k V ∗ , または
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) T^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) と表し,
V
V
V V V 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソ ル全体のなす集合を
(
⊗
k
V
∗
)
⊗
V
⊗
k
V
∗
⊗
V
(ox^(k)V^(**))ox V \left(\otimes^{k} V^{*}\right) \otimes V ( ⊗ k V ∗ ) ⊗ V または
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) T^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) と表す. これらの集合は,次の自然な和,実数倍の下,(実)ベクトル空間になる:
(
Φ
1
+
Φ
2
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
Φ
1
(
v
1
,
…
,
v
k
)
+
Φ
2
(
v
1
,
…
,
v
k
)
(
a
Φ
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
a
⋅
Φ
(
v
1
,
…
,
v
k
)
(
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
)
Φ
1
+
Φ
2
v
1
,
…
,
v
k
:=
Φ
1
v
1
,
…
,
v
k
+
Φ
2
v
1
,
…
,
v
k
(
a
Φ
)
v
1
,
…
,
v
k
:=
a
⋅
Φ
v
1
,
…
,
v
k
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
{:[(Phi_(1)+Phi_(2))(v_(1),dots,v_(k)):=Phi_(1)(v_(1),dots,v_(k))+Phi_(2)(v_(1),dots,v_(k))],[(a Phi)(v_(1),dots,v_(k)):=a*Phi(v_(1),dots,v_(k))quad(v_(1),dots,v_(k)in V)]:} \begin{aligned}
& \left(\Phi_{1}+\Phi_{2}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\Phi_{1}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)+\Phi_{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \\
& (a \Phi)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=a \cdot \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right)
\end{aligned} ( Φ 1 + Φ 2 ) ( v 1 , … , v k ) := Φ 1 ( v 1 , … , v k ) + Φ 2 ( v 1 , … , v k ) ( a Φ ) ( v 1 , … , v k ) := a ⋅ Φ ( v 1 , … , v k ) ( v 1 , … , v k ∈ V )
(
Φ
,
Φ
1
,
Φ
2
∈
T
(
0
,
k
)
(
V
)
Φ
,
Φ
1
,
Φ
2
∈
T
(
0
,
k
)
(
V
)
(Phi,Phi_(1),Phi_(2)inT^((0,k))(V):} \left(\Phi, \Phi_{1}, \Phi_{2} \in \mathcal{T}^{(0, k)}(V)\right. ( Φ , Φ 1 , Φ 2 ∈ T ( 0 , k ) ( V ) または,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
)
,
a
∈
R
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
,
a
∈
R
{:T^((1,k))(V)),a inR) \left.\left.\mathcal{T}^{(1, k)}(V)\right), a \in \mathbb{R}\right) T ( 1 , k ) ( V ) ) , a ∈ R ) . これらのベクトル空間
T
(
0
,
k
)
(
V
)
,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V),T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V), \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) , T ( 1 , k ) ( V ) の次元を求めよう.
E
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
E
=
e
1
,
…
,
e
n
E=(e_(1),dots,e_(n)) E=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) E = ( e 1 , … , e n ) を
V
V
V V V の基底とし,
(
e
1
∗
,
…
,
e
n
∗
)
e
1
∗
,
…
,
e
n
∗
(e_(1)^(**),dots,e_(n)^(**)) \left(\boldsymbol{e}_{1}^{*}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{*}\right) ( e 1 ∗ , … , e n ∗ ) を
E
E
E E E の双対基底とする。つまり,
e
i
∗
(
i
=
1
,
…
,
n
)
e
i
∗
(
i
=
1
,
…
,
n
)
e_(i)^(**)(i=1,dots,n) \boldsymbol{e}_{i}^{*}(i=1, \ldots, n) e i ∗ ( i = 1 , … , n ) は
e
i
∗
(
e
j
)
:=
δ
i
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
e
i
∗
e
j
:=
δ
i
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
e_(i)^(**)(e_(j)):=delta_(ij)quad(j=1,dots,n) \boldsymbol{e}_{i}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{j}\right):=\delta_{i j} \quad(j=1, \ldots, n) e i ∗ ( e j ) := δ i j ( j = 1 , … , n )
によって定義される
V
V
V V V 上の線形関数(つまり,
V
V
V V V の双対空間
V
∗
V
∗
V^(**) V^{*} V ∗ の元)を表 す.
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
:
Π
k
V
→
R
(
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
)
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
:
Π
k
V
→
R
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**):Pi^(k)V rarrR(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}: \Pi^{k} V \rightarrow \mathbb{R}\left(1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right) e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ : Π k V → R ( 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n ) を
(
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
e
i
1
∗
(
v
1
)
⋯
e
i
k
∗
(
v
k
)
(
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
)
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
v
1
,
…
,
v
k
:=
e
i
1
∗
v
1
⋯
e
i
k
∗
v
k
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
(e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**))(v_(1),dots,v_(k)):=e_(i_(1))^(**)(v_(1))cdotse_(i_(k))^(**)(v_(k))quad(v_(1),dots,v_(k)in V) \left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) ( e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ) ( v 1 , … , v k ) := e i 1 ∗ ( v 1 ) ⋯ e i k ∗ ( v k ) ( v 1 , … , v k ∈ V )
によって定義する。明らかに,
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ は多重線形,つまり,V上の
k
k
k k k 次共変テンソルになる。また,
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
:
Π
k
V
→
V
(
1
≤
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
:
Π
k
V
→
V
(
1
≤
e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j):Pi^(k)V rarr V(1 <= \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}: \Pi^{k} V \rightarrow V(1 \leq e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j : Π k V → V ( 1 ≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
)
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
{:i_(1),dots,i_(k),j <= n) \left.i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right) i 1 , … , i k , j ≤ n ) を
(
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
e
i
1
∗
(
v
1
)
⋯
e
i
k
∗
(
v
k
)
e
j
(
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
)
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
v
1
,
…
,
v
k
:=
e
i
1
∗
v
1
⋯
e
i
k
∗
v
k
e
j
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
(e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j))(v_(1),dots,v_(k)):=e_(i_(1))^(**)(v_(1))cdotse_(i_(k))^(**)(v_(k))e_(j)quad(v_(1),dots,v_(k)in V) \left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{1}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{v}_{k}\right) \boldsymbol{e}_{j} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) ( e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ) ( v 1 , … , v k ) := e i 1 ∗ ( v 1 ) ⋯ e i k ∗ ( v k ) e j ( v 1 , … , v k ∈ V )
によって定義する。明らかに,
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j は多重線形, つまり,
V
V
V V V 上 の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソルになる。
注意 一般に,
V
V
V V V 上の線形関数
ω
1
,
…
,
ω
k
ω
1
,
…
,
ω
k
omega_(1),dots,omega_(k) \omega_{1}, \ldots, \omega_{k} ω 1 , … , ω k と
V
V
V V V のベクトル
v
v
v \boldsymbol{v} v に対し,
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次共変テンソル
ω
1
⊗
⋯
⊗
ω
k
ω
1
⊗
⋯
⊗
ω
k
omega_(1)ox cdots oxomega_(k) \omega_{1} \otimes \cdots \otimes \omega_{k} ω 1 ⊗ ⋯ ⊗ ω k , および,
V
V
V V V 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル
ω
1
⊗
⋯
⊗
ω
k
⊗
v
ω
1
⊗
⋯
⊗
ω
k
⊗
v
omega_(1)ox cdots oxomega_(k)ox v \omega_{1} \otimes \cdots \otimes \omega_{k} \otimes \boldsymbol{v} ω 1 ⊗ ⋯ ⊗ ω k ⊗ v を定義することができる。
命題 2.2.1 (i)
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
}
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right\} { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n } は,
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) の基底 を与える. したがって,
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) は
n
k
n
k
n^(k) n^{k} n k 次元べクトル空間である.
(ii)
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
}
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
quad{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n} \quad\left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right\} { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k , j ≤ n } は,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) の基底を与 える. したがって,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) は
n
k
+
1
n
k
+
1
n^(k+1) n^{k+1} n k + 1 次元ベクトル空間である.
証明最初に (i) を示す.
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
=
0
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
=
0
sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)=0 \sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}=\mathbf{0} ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n a i 1 ⋯ i k e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ = 0 とする. こ こで,右辺の
0
0
0 \mathbf{0} 0 は
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) の零ベクトル,つまり,
0
(
v
1
,
…
,
v
k
)
=
0
(
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
)
0
v
1
,
…
,
v
k
=
0
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
0(v_(1),dots,v_(k))=0quad(AAv_(1),dots,AAv_(k)in V) \mathbf{0}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=0 \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) 0 ( v 1 , … , v k ) = 0 ( ∀ v 1 , … , ∀ v k ∈ V )
によって定義される
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次共変テンソルを表す. このとき,
0
=
0
(
e
j
1
,
…
,
e
j
k
)
=
(
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
)
(
e
j
1
,
…
,
e
j
k
)
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
(
e
j
1
)
⋯
e
i
k
∗
(
e
j
k
)
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
δ
i
1
j
1
⋯
δ
i
k
j
k
=
a
j
1
⋯
j
k
0
=
0
e
j
1
,
…
,
e
j
k
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
e
j
1
,
…
,
e
j
k
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
e
j
1
⋯
e
i
k
∗
e
j
k
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
δ
i
1
j
1
⋯
δ
i
k
j
k
=
a
j
1
⋯
j
k
{:[0=0(e_(j_(1)),dots,e_(j_(k)))=(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**))(e_(j_(1)),dots,e_(j_(k)))],[=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)(e_(j_(1)))cdotse_(i_(k))^(**)(e_(j_(k)))],[=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))delta_(i_(1)j_(1))cdotsdelta_(i_(k)j_(k))=a_(j_(1)cdotsj_(k))]:} \begin{aligned}
0 & =\mathbf{0}\left(\boldsymbol{e}_{j_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{j_{k}}\right)=\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{e}_{j_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{j_{k}}\right) \\
& =\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{j_{1}}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{j_{k}}\right) \\
& =\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}} \delta_{i_{1} j_{1}} \cdots \delta_{i_{k} j_{k}}=a_{j_{1} \cdots j_{k}}
\end{aligned} 0 = 0 ( e j 1 , … , e j k ) = ( ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n a i 1 ⋯ i k e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ) ( e j 1 , … , e j k ) = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n a i 1 ⋯ i k e i 1 ∗ ( e j 1 ) ⋯ e i k ∗ ( e j k ) = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n a i 1 ⋯ i k δ i 1 j 1 ⋯ δ i k j k = a j 1 ⋯ j k
をえる. したがって,
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
}
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right\} { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n } が 1 次独立系であ
ることがわかる. 任意に
Φ
∈
T
(
0
,
k
)
(
V
)
Φ
∈
T
(
0
,
k
)
(
V
)
Phi inT^((0,k))(V) \Phi \in \mathcal{T}^{(0, k)}(V) Φ ∈ T ( 0 , k ) ( V ) をとる. このとき,容易に
(2.2.1)
Φ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
Φ
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
(2.2.1)
Φ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
Φ
e
i
1
,
…
,
e
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
{:(2.2.1)Phi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)Phi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**):} \begin{equation*}
\Phi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \Phi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \tag{2.2.1}
\end{equation*} (2.2.1) Φ = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n Φ ( e i 1 , … , e i k ) e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗
が示される。それゆえ,
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) が
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
}
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right\} { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n } によ って生成されることがわかる。したがって,
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1),dots,i_(k) <= :} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq\right. { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k ≤
n
}
n
}
n} n\} n } は,
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) の基底を与える。この基底を構成するベクトルの個数は
n
k
n
k
n^(k) n^{k} n k 個なので,
dim
T
(
0
,
k
)
(
V
)
=
n
k
dim
T
(
0
,
k
)
(
V
)
=
n
k
dimT^((0,k))(V)=n^(k) \operatorname{dim} \mathcal{T}^{(0, k)}(V)=n^{k} dim T ( 0 , k ) ( V ) = n k をえる。
次に, (ii)を示す.
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
=
0
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
=
0
sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)=0 \sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}=\mathbf{0} ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ∑ j = 1 n a i 1 ⋯ i k j e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j = 0 とする. ここで,右辺の
0
0
0 \mathbf{0} 0 は
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) の零ベクトル,つまり,
0
(
v
1
,
…
,
v
k
)
=
0
(
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
)
0
v
1
,
…
,
v
k
=
0
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
0(v_(1),dots,v_(k))=0quad(AAv_(1),dots,AAv_(k)in V) \mathbf{0}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right)=\mathbf{0} \quad\left(\forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) 0 ( v 1 , … , v k ) = 0 ( ∀ v 1 , … , ∀ v k ∈ V )
によって定義される
V
V
V V V 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソルを表す. このとき,
0
=
0
(
e
l
1
,
…
,
e
l
k
)
=
(
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
)
(
e
l
1
,
…
,
e
l
k
)
=
∑
j
=
1
n
(
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
(
e
l
1
)
⋯
e
i
k
∗
(
e
l
k
)
)
e
j
=
∑
j
=
1
n
(
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
δ
i
1
l
1
⋯
δ
i
k
l
k
)
e
j
=
∑
j
=
1
n
a
l
1
⋯
l
k
j
e
j
0
=
0
e
l
1
,
…
,
e
l
k
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
e
l
1
,
…
,
e
l
k
=
∑
j
=
1
n
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
e
l
1
⋯
e
i
k
∗
e
l
k
e
j
=
∑
j
=
1
n
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
a
i
1
⋯
i
k
j
δ
i
1
l
1
⋯
δ
i
k
l
k
e
j
=
∑
j
=
1
n
a
l
1
⋯
l
k
j
e
j
{:[0=0(e_(l_(1)),dots,e_(l_(k)))=(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j))(e_(l_(1)),dots,e_(l_(k)))],[=sum_(j=1)^(n)(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)(e_(l_(1)))cdotse_(i_(k))^(**)(e_(l_(k))))e_(j)],[=sum_(j=1)^(n)(sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)a_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)delta_(i_(1)l_(1))cdotsdelta_(i_(k)l_(k)))e_(j)=sum_(j=1)^(n)a_(l_(1)cdotsl_(k))^(j)e_(j)]:} \begin{aligned}
\mathbf{0} & =\mathbf{0}\left(\boldsymbol{e}_{l_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{l_{k}}\right)=\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j}\right)\left(\boldsymbol{e}_{l_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{l_{k}}\right) \\
& =\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{l_{1}}\right) \cdots \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\left(\boldsymbol{e}_{l_{k}}\right)\right) \boldsymbol{e}_{j} \\
& =\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} a_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \delta_{i_{1} l_{1}} \cdots \delta_{i_{k} l_{k}}\right) \boldsymbol{e}_{j}=\sum_{j=1}^{n} a_{l_{1} \cdots l_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned} 0 = 0 ( e l 1 , … , e l k ) = ( ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ∑ j = 1 n a i 1 ⋯ i k j e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ) ( e l 1 , … , e l k ) = ∑ j = 1 n ( ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n a i 1 ⋯ i k j e i 1 ∗ ( e l 1 ) ⋯ e i k ∗ ( e l k ) ) e j = ∑ j = 1 n ( ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n a i 1 ⋯ i k j δ i 1 l 1 ⋯ δ i k l k ) e j = ∑ j = 1 n a l 1 ⋯ l k j e j
それゆえ,
a
l
1
⋯
l
k
j
=
0
(
1
≤
l
1
,
…
,
l
k
,
j
≤
n
)
a
l
1
⋯
l
k
j
=
0
1
≤
l
1
,
…
,
l
k
,
j
≤
n
a_(l_(1)cdotsl_(k))^(j)=0(1 <= l_(1),dots,l_(k),j <= n) a_{l_{1} \cdots l_{k}}{ }^{j}=0\left(1 \leq l_{1}, \ldots, l_{k}, j \leq n\right) a l 1 ⋯ l k j = 0 ( 1 ≤ l 1 , … , l k , j ≤ n ) をえる.したがって,
{
e
i
1
∗
⊗
e
i
1
∗
⊗
{e_(i_(1))^(**)ox:} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes\right. { e i 1 ∗ ⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
}
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
{: cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n} \left.\cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right\} ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k , j ≤ n } が 1 次独立系であることがわかる. 任意 に
Φ
∈
T
(
1
,
k
)
(
V
)
Φ
∈
T
(
1
,
k
)
(
V
)
Phi inT^((1,k))(V) \Phi \in \mathcal{T}^{(1, k)}(V) Φ ∈ T ( 1 , k ) ( V ) をとる.このとき, 容易に
(2.2.2)
Φ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
e
j
∗
(
Φ
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
)
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
(2.2.2)
Φ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
e
j
∗
Φ
e
i
1
,
…
,
e
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
{:(2.2.2)Phi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)e_(j)^(**)(Phi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k))))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j):} \begin{equation*}
\Phi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \boldsymbol{e}_{j}^{*}\left(\Phi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\right) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \tag{2.2.2}
\end{equation*} (2.2.2) Φ = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ∑ j = 1 n e j ∗ ( Φ ( e i 1 , … , e i k ) ) e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j
が示される。それえ,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) が
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= :} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq\right. { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ∣ 1 ≤ i 1 , … , i k , j ≤
n
}
n
}
n} n\} n } によって生成されることがわかる. したがって,
{
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
∣
1
≤
{e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)∣1 <= :} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \mid 1 \leq\right. { e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ∣ 1 ≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
}
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
{:i_(1),dots,i_(k),j <= n} \left.i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right\} i 1 , … , i k , j ≤ n } は,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) の基底を与える. この基底を構成するベクト ルの個数は,
n
k
+
1
n
k
+
1
n^(k+1) n^{k+1} n k + 1 個なので,
dim
T
(
1
,
k
)
(
V
)
=
n
k
+
1
dim
T
(
1
,
k
)
(
V
)
=
n
k
+
1
dimT^((1,k))(V)=n^(k+1) \operatorname{dim} \mathcal{T}^{(1, k)}(V)=n^{k+1} dim T ( 1 , k ) ( V ) = n k + 1 をえる.
これらのべクトル空間
T
(
0
,
k
)
(
V
)
,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
,
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V),T^((1,k))(V) T^{(0, k)}(V), T^{(1, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) , T ( 1 , k ) ( V ) を各々,
V
V
V V V の
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (\mathbf{0}, \boldsymbol{k}) ( 0 , k ) 次テンソ ル空間 (tensor space of
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (0, k) ( 0 , k ) -type),
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル空間 (tensor space of
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) -type) という. 各
Φ
∈
T
(
0
,
k
)
(
V
)
Φ
∈
T
(
0
,
k
)
(
V
)
Phi inT^((0,k))(V) \Phi \in \mathcal{T}^{(0, k)}(V) Φ ∈ T ( 0 , k ) ( V ) は,
(2.2.3)
Φ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
Φ
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
(
Φ
i
1
⋯
i
k
∈
R
)
(2.2.3)
Φ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
Φ
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
Φ
i
1
⋯
i
k
∈
R
{:(2.2.3)Phi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)Phi_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)quad(Phi_(i_(1)cdotsi_(k))inR):} \begin{equation*}
\Phi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \quad\left(\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \in \mathbb{R}\right) \tag{2.2.3}
\end{equation*} (2.2.3) Φ = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n Φ i 1 ⋯ i k e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ( Φ i 1 ⋯ i k ∈ R )
と表される。
Φ
i
1
⋯
i
k
Φ
i
1
⋯
i
k
Phi_(i_(1)cdotsi_(k)) \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} Φ i 1 ⋯ i k を
Φ
Φ
Phi \boldsymbol{\Phi} Φ 基底
E
E
E \boldsymbol{E} E に関する成分という。また,各
Ψ
∈
Ψ
∈
Psi in \Psi \in Ψ ∈
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T
(
1
,
k
)
(
V
)
T^((1,k))(V) \mathcal{T}^{(1, k)}(V) T ( 1 , k ) ( V ) は,
(2.2.4)
Ψ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
(
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
∈
R
)
(2.2.4)
Ψ
=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
∑
j
=
1
n
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
⊗
e
j
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
∈
R
{:(2.2.4)Psi=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)sum_(j=1)^(n)Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**)oxe_(j)quad(Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)inR):} \begin{equation*}
\Psi=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \otimes \boldsymbol{e}_{j} \quad\left(\Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j} \in \mathbb{R}\right) \tag{2.2.4}
\end{equation*} (2.2.4) Ψ = ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ∑ j = 1 n Ψ i 1 ⋯ i k j e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ⊗ e j ( Ψ i 1 ⋯ i k j ∈ R )
と表される.
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j) \Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} Ψ i 1 ⋯ i k j を
Ψ
Ψ
Psi \boldsymbol{\Psi} Ψ の基底
E
E
E \boldsymbol{E} E に関する成分という. 式 (2.2.1) から,
(2.2.5)
Φ
i
1
⋯
i
k
=
Φ
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
(2.2.5)
Φ
i
1
⋯
i
k
=
Φ
e
i
1
,
…
,
e
i
k
{:(2.2.5)Phi_(i_(1)cdotsi_(k))=Phi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k))):} \begin{equation*}
\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}}=\Phi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right) \tag{2.2.5}
\end{equation*} (2.2.5) Φ i 1 ⋯ i k = Φ ( e i 1 , … , e i k )
が成り立つことがわかる. 式 (2.2.2)から,
(2.2.6)
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
=
e
j
∗
(
Ψ
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
)
(2.2.6)
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
=
e
j
∗
Ψ
e
i
1
,
…
,
e
i
k
{:(2.2.6)Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)=e_(j)^(**)(Psi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))):} \begin{equation*}
\Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}^{j}=\boldsymbol{e}_{j}^{*}\left(\Psi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\right) \tag{2.2.6}
\end{equation*} (2.2.6) Ψ i 1 ⋯ i k j = e j ∗ ( Ψ ( e i 1 , … , e i k ) )
が成り立つことがわかる。また, 式 (2.2.4)から,
(2.2.7)
Ψ
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
=
∑
j
=
1
n
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
e
j
(2.2.7)
Ψ
e
i
1
,
…
,
e
i
k
=
∑
j
=
1
n
Ψ
i
1
⋯
i
k
j
e
j
{:(2.2.7)Psi(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))=sum_(j=1)^(n)Psi_(i_(1)cdotsi_(k))^(j)e_(j):} \begin{equation*}
\Psi\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)=\sum_{j=1}^{n} \Psi_{i_{1} \cdots i_{k}}{ }^{j} \boldsymbol{e}_{j} \tag{2.2.7}
\end{equation*} (2.2.7) Ψ ( e i 1 , … , e i k ) = ∑ j = 1 n Ψ i 1 ⋯ i k j e j
が成り立つことがわかる.
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次共変テンソルとする. 次式が成り立つとき,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
V
V
V V V 上の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次対称形式(symmetric
k
k
k \boldsymbol{k} k -form)という:
Φ
(
v
σ
(
1
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
)
=
Φ
(
v
1
,
…
,
v
k
)
(
∀
σ
∈
S
k
,
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
)
Φ
v
σ
(
1
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
=
Φ
v
1
,
…
,
v
k
∀
σ
∈
S
k
,
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
Phi(v_(sigma(1)),dots,v_(sigma(k)))=Phi(v_(1),dots,v_(k))quad(AA sigma inS_(k),AAv_(1),dots,AAv_(k)in V) \Phi\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right)=\Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\forall \sigma \in S_{k}, \forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) Φ ( v σ ( 1 ) , … , v σ ( k ) ) = Φ ( v 1 , … , v k ) ( ∀ σ ∈ S k , ∀ v 1 , … , ∀ v k ∈ V )
ここで
S
k
S
k
S_(k) S_{k} S k は,
k
k
k k k 文字の置換(つまり,
{
1
,
…
,
k
}
{
1
,
…
,
k
}
{1,dots,k} \{1, \ldots, k\} { 1 , … , k } からそれ自身への 1 対 1 対応)全体のなす集合を表す。また, 次式が成り立つとき,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
V
V
V V V 上の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次交代形式(alternative
k
k
k \boldsymbol{k} k -form)という:
Φ
(
v
σ
(
1
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
)
=
sgn
σ
Φ
(
v
1
,
…
,
v
k
)
(
∀
σ
∈
S
k
,
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
)
Φ
v
σ
(
1
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
=
sgn
σ
Φ
v
1
,
…
,
v
k
∀
σ
∈
S
k
,
∀
v
1
,
…
,
∀
v
k
∈
V
Phi(v_(sigma(1)),dots,v_(sigma(k)))=sgn sigma Phi(v_(1),dots,v_(k))quad(AA sigma inS_(k),AAv_(1),dots,AAv_(k)in V) \Phi\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right)=\operatorname{sgn} \sigma \Phi\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right) \quad\left(\forall \sigma \in S_{k}, \forall \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \forall \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) Φ ( v σ ( 1 ) , … , v σ ( k ) ) = sgn σ Φ ( v 1 , … , v k ) ( ∀ σ ∈ S k , ∀ v 1 , … , ∀ v k ∈ V )
ここで,
sgn
σ
sgn
σ
sgn sigma \operatorname{sgn} \sigma sgn σ は
σ
σ
sigma \sigma σ の符号を表す.
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次交代形式の全体のなす集合を
⋀
k
V
∗
⋀
k
V
∗
^^^kV^(**) \bigwedge^{k} V^{*} ⋀ k V ∗ と表す. これは,
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) の部分ベクトル空間になる. この部分ベク トル空間の次元を求めよう。
(
e
1
∗
,
…
,
e
n
∗
)
e
1
∗
,
…
,
e
n
∗
(e_(1)^(**),dots,e_(n)^(**)) \left(\boldsymbol{e}_{1}^{*}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}^{*}\right) ( e 1 ∗ , … , e n ∗ ) を
V
V
V V V の基底
E
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
E
=
e
1
,
…
,
e
n
E=(e_(1),dots,e_(n)) E=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) E = ( e 1 , … , e n ) の双対基底とする。 写像
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
:
Π
k
V
→
R
(
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
)
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
:
Π
k
V
→
R
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
)
e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**):Pi^(k)V rarrR(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n):} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}: \Pi^{k} V \rightarrow \mathbb{R}\left(1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n )\right. ) e i 1 ∗ ∧ ⋯ ∧ e i k ∗ : Π k V → R ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ) を
(
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
sgn
σ
(
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
)
(
v
σ
(
1
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
)
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
v
1
,
…
,
v
k
:=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
sgn
σ
e
i
1
∗
⊗
⋯
⊗
e
i
k
∗
v
σ
(
1
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
(e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**))(v_(1),dots,v_(k)):=(1)/(k!)sum_(sigma inS_(k))sgn sigma(e_(i_(1))^(**)ox cdots oxe_(i_(k))^(**))(v_(sigma(1)),dots,v_(sigma(k))) \left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_{k}} \operatorname{sgn} \sigma\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \otimes \cdots \otimes \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*}\right)\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right) ( e i 1 ∗ ∧ ⋯ ∧ e i k ∗ ) ( v 1 , … , v k ) := 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn σ ( e i 1 ∗ ⊗ ⋯ ⊗ e i k ∗ ) ( v σ ( 1 ) , … , v σ ( k ) )
(
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
)
v
1
,
…
,
v
k
∈
V
(v_(1),dots,v_(k)in V) \left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in V\right) ( v 1 , … , v k ∈ V )
によって定義する。 容易に,
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**) \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} e i 1 ∗ ∧ ⋯ ∧ e i k ∗ が
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次交代形式であること が示される.
注意一般に,
V
V
V V V 上の線形関数
ω
1
,
…
,
ω
k
ω
1
,
…
,
ω
k
omega_(1),dots,omega_(k) \omega_{1}, \ldots, \omega_{k} ω 1 , … , ω k に対し,
V
V
V V V 上の
k
k
k k k 次交代形式
ω
1
∧
⋯
ω
1
∧
⋯
omega_(1)^^cdots \omega_{1} \wedge \cdots ω 1 ∧ ⋯
∧
ω
k
∧
ω
k
^^omega_(k) \wedge \omega_{k} ∧ ω k を定義することができる.
命題 2.2.2
{
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
}
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
∣
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
{e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**)∣1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n} \left\{\boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \mid 1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n\right\} { e i 1 ∗ ∧ ⋯ ∧ e i k ∗ ∣ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n } は,
∧
k
V
∗
∧
k
V
∗
^^^(k)V^(**) \wedge^{k} V^{*} ∧ k V ∗ の基底を与 える. したがって,
⋀
k
V
∗
⋀
k
V
∗
^^^kV^(**) \bigwedge^{k} V^{*} ⋀ k V ∗ は
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T
(
0
,
k
)
(
V
)
T^((0,k))(V) \mathcal{T}^{(0, k)}(V) T ( 0 , k ) ( V ) の
n
C
k
n
C
k
_(n)C_(k) { }_{n} C_{k} n C k 次元部分ベクトル空間である.
各
Φ
∈
⋀
k
(
V
∗
)
Φ
∈
⋀
k
V
∗
Phi in^^^k(V^(**)) \Phi \in \bigwedge^{k}\left(V^{*}\right) Φ ∈ ⋀ k ( V ∗ ) は,
Φ
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
Φ
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
(
Φ
i
1
⋯
i
k
∈
R
)
Φ
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
Φ
i
1
⋯
i
k
e
i
1
∗
∧
⋯
∧
e
i
k
∗
Φ
i
1
⋯
i
k
∈
R
Phi=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)Phi_(i_(1)cdotsi_(k))e_(i_(1))^(**)^^cdots^^e_(i_(k))^(**)quad(Phi_(i_(1)cdotsi_(k))inR) \Phi=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \boldsymbol{e}_{i_{1}}^{*} \wedge \cdots \wedge \boldsymbol{e}_{i_{k}}^{*} \quad\left(\Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} \in \mathbb{R}\right) Φ = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n Φ i 1 ⋯ i k e i 1 ∗ ∧ ⋯ ∧ e i k ∗ ( Φ i 1 ⋯ i k ∈ R )
と表される.
Φ
i
1
⋯
i
k
Φ
i
1
⋯
i
k
Phi_(i_(1)cdotsi_(k)) \Phi_{i_{1} \cdots i_{k}} Φ i 1 ⋯ i k を
k
k
k \boldsymbol{k} k 次交代形式
Φ
Φ
Phi \boldsymbol{\Phi} Φ の基底
E
E
E \boldsymbol{E} E に関する成分という.
例 2.2.1
g
:
R
n
×
R
n
→
R
g
:
R
n
×
R
n
→
R
g:R^(n)xxR^(n)rarrR g: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} g : R n × R n → R を
g
(
v
1
,
v
2
)
:=
v
1
⋅
v
2
(
v
1
,
v
2
∈
R
n
)
g
v
1
,
v
2
:=
v
1
⋅
v
2
v
1
,
v
2
∈
R
n
g(v_(1),v_(2)):=v_(1)*v_(2)quad(v_(1),v_(2)inR^(n)) g\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right):=\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{2} \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in \mathbb{R}^{n}\right) g ( v 1 , v 2 ) := v 1 ⋅ v 2 ( v 1 , v 2 ∈ R n )
と定義する. ここで・は, ベクトル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の通常の内積を表す.
g
g
g g g は, ベク トル空間
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n 上の 2 次対称形式になる.
例 2.2.2
J
:
R
2
n
→
R
2
n
J
:
R
2
n
→
R
2
n
J:R^(2n)rarrR^(2n) J: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n} J : R 2 n → R 2 n を
J
(
v
)
:=
(
−
v
2
,
v
1
,
−
v
4
,
v
3
,
…
,
−
v
2
n
,
v
2
n
−
1
)
(
v
=
(
v
1
,
…
,
v
2
n
)
∈
R
2
n
)
J
(
v
)
:=
−
v
2
,
v
1
,
−
v
4
,
v
3
,
…
,
−
v
2
n
,
v
2
n
−
1
v
=
v
1
,
…
,
v
2
n
∈
R
2
n
J(v):=(-v_(2),v_(1),-v_(4),v_(3),dots,-v_(2n),v_(2n-1))quad(v=(v_(1),dots,v_(2n))inR^(2n)) J(\boldsymbol{v}):=\left(-v_{2}, v_{1},-v_{4}, v_{3}, \ldots,-v_{2 n}, v_{2 n-1}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{2 n}\right) \in \mathbb{R}^{2 n}\right) J ( v ) := ( − v 2 , v 1 , − v 4 , v 3 , … , − v 2 n , v 2 n − 1 ) ( v = ( v 1 , … , v 2 n ) ∈ R 2 n )
と定義する. これは, ベクトル空間
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソルになる.
例
2.2
.3
ω
:
R
2
n
×
R
2
n
→
R
2.2
.3
ω
:
R
2
n
×
R
2
n
→
R
2.2.3 omega:R^(2n)xxR^(2n)rarrR 2.2 .3 \omega: \mathbb{R}^{2 n} \times \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R} 2.2 .3 ω : R 2 n × R 2 n → R を
ω
(
v
1
,
v
2
)
:=
g
(
J
(
v
1
)
,
v
2
)
(
v
1
,
v
2
∈
R
2
n
)
ω
v
1
,
v
2
:=
g
J
v
1
,
v
2
v
1
,
v
2
∈
R
2
n
omega(v_(1),v_(2)):=g(J(v_(1)),v_(2))quad(v_(1),v_(2)inR^(2n)) \omega\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right):=g\left(J\left(\boldsymbol{v}_{1}\right), \boldsymbol{v}_{2}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in \mathbb{R}^{2 n}\right) ω ( v 1 , v 2 ) := g ( J ( v 1 ) , v 2 ) ( v 1 , v 2 ∈ R 2 n )
と定義する. ここで,
g
,
J
g
,
J
g,J g, J g , J は各々, 例
2.2
.1
,
2.2
.2
2.2
.1
,
2.2
.2
2.2.1,2.2.2 2.2 .1,2.2 .2 2.2 .1 , 2.2 .2 で述べたものを表す.
ω
ω
omega \omega ω は, ベクトル空間
R
2
n
R
2
n
R^(2n) \mathbb{R}^{2 n} R 2 n 上の 2 次交代形式になる.
(
S
,
D
)
(
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
(
S
,
D
)
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
(S,D)(D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}) (S, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( S , D ) ( D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とする.
S
S
S S S の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の
k
k
k k k 次共変テンソル
Φ
p
Φ
p
Phi_(p) \Phi_{p} Φ p を対応させる対応
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を,
S
S
S S S 上の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次共変テンソル場(covariant tensor field of degree
k
k
k \boldsymbol{k} k ), または
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (0, k) ( 0 , k ) 次テンソル場 (tensor field of type
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (0, k) ( 0 , k ) ) という. 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) として,
Φ
i
1
,
…
,
i
k
(
p
)
:=
Φ
p
(
(
∂
∂
u
i
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
i
k
)
p
)
(
p
∈
S
λ
)
Φ
i
1
,
…
,
i
k
(
p
)
:=
Φ
p
∂
∂
u
i
1
p
,
…
,
∂
∂
u
i
k
p
p
∈
S
λ
Phi_(i_(1),dots,i_(k))(p):=Phi_(p)(((del)/(delu_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(i_(k))))_(p))quad(p inS_(lambda)) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}(p):=\Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{k}}}\right)_{p}\right) \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) Φ i 1 , … , i k ( p ) := Φ p ( ( ∂ ∂ u i 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u i k ) p ) ( p ∈ S λ )
によって定義される
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の関数
Φ
i
1
,
…
,
i
k
(
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
)
Φ
i
1
,
…
,
i
k
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
≤
n
Phi_(i_(1),dots,i_(k))(1 <= i_(1),dots,i_(k) <= n) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}\left(1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k} \leq n\right) Φ i 1 , … , i k ( 1 ≤ i 1 , … , i k ≤ n ) を
Φ
Φ
Phi \boldsymbol{\Phi} Φ の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) x_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分 (the component of
Φ
Φ
Phi \Phi Φ with respect to the local coordinate
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\lambda}}^{-1} x λ − 1 ) という. 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
Φ
i
1
,
…
,
i
k
∘
x
λ
Φ
i
1
,
…
,
i
k
∘
x
λ
Phi_(i_(1),dots,i_(k))@x_(lambda) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} Φ i 1 , … , i k ∘ x λ が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級になると き,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次共変テンソル場
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(\boldsymbol{C}^{r}\right. ( C r -covariant tensor field of degree
k
)
k
)
k) k) k ) , または,
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (0, k) ( 0 , k ) 次テンソル場
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -tensor field of type
(
0
,
k
)
(
0
,
k
)
(0,k) (\mathbf{0}, \boldsymbol{k}) ( 0 , k ) ) という. また,
S
S
S S S の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の
k
(
≤
n
)
k
(
≤
n
)
k( <= n) k(\leq n) k ( ≤ n ) 次交代形式
ω
p
ω
p
omega_(p) \omega_{p} ω p を対応させる対応
ω
ω
omega \omega ω を,
S
S
S S S 上の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次微分形式(differential form of degree
k
)
k
)
k) \boldsymbol{k}) k ) といい, それが
S
S
S S S 上の
k
k
k k k 次共変テンソル場として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であると き,
ω
ω
omega \omega ω を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次微分形式
(
C
r
C
r
(C^(r):} \left(C^{r}\right. ( C r -differential form of degree
k
)
k
{:k) \left.\boldsymbol{k}\right) k ) と いう.
S
S
S S S の各点
p
p
p p p に対し,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル
Φ
p
Φ
p
Phi_(p) \Phi_{p} Φ p を対応させる対応
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を,
S
S
S S S 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場 (tensor field of degree
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) ) という. 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) として,
Φ
p
(
(
∂
∂
u
i
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
i
k
)
p
)
=
∑
j
=
1
n
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
(
p
)
(
∂
∂
u
j
)
p
(
p
∈
S
λ
)
Φ
p
∂
∂
u
i
1
p
,
…
,
∂
∂
u
i
k
p
=
∑
j
=
1
n
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
(
p
)
∂
∂
u
j
p
p
∈
S
λ
Phi_(p)(((del)/(delu_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(i_(k))))_(p))=sum_(j=1)^(n)Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)quad(p inS_(lambda)) \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{i_{k}}}\right)_{p}\right)=\sum_{j=1}^{n} \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) Φ p ( ( ∂ ∂ u i 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u i k ) p ) = ∑ j = 1 n Φ i 1 , … , i k j ( p ) ( ∂ ∂ u j ) p ( p ∈ S λ )
によって定義される
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の関数
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
(
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
)
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
1
≤
i
1
,
…
,
i
k
,
j
≤
n
Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)(1 <= i_(1),dots,i_(k),j <= n) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j}\left(1 \leq i_{1}, \ldots, i_{k}, j \leq n\right) Φ i 1 , … , i k j ( 1 ≤ i 1 , … , i k , j ≤ n ) を
Φ
Φ
Phi \boldsymbol{\Phi} Φ の局
所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) x_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分という。各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
∘
x
λ
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
∘
x
λ
Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j)@x_(lambda) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda} Φ i 1 , … , i k j ∘ x λ が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級に なるとき,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場
(
C
r
−
C
r
−
(C^(r)-:} \left(C^{r}-\right. ( C r − tensor field of type
(
1
,
k
)
)
(
1
,
k
)
)
(1,k)) (1, k)) ( 1 , k ) ) という.
命題 2.2.3
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S_(lambda)nnS_(mu)!=O/ S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptyset S λ ∩ S μ ≠ ∅ とする.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
x
μ
−
1
=
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
,
x
μ
−
1
=
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) , x μ − 1 = ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) とし,
S
S
S S S 上の
k
k
k k k 次共変テンソル場
Φ
Φ
Phi \Phi Φ の
x
λ
−
1
,
x
μ
−
1
x
λ
−
1
,
x
μ
−
1
x_(lambda)^(-1),x_(mu)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}, \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} x λ − 1 , x μ − 1 に関する成分を各々,
Φ
i
1
,
…
,
i
k
,
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
Φ
i
1
,
…
,
i
k
,
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
Phi_(i_(1),dots,i_(k)), bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k)) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}, \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}} Φ i 1 , … , i k , Φ ¯ i 1 , … , i k とする. このとき
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で, 次の関係式が成り立つ:
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
∘
x
μ
−
1
)
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
∘
x
μ
−
1
)
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
∘
x
μ
−
1
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
∘
x
μ
−
1
bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1)))@x_(mu)^(-1))cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k)))@x_(mu)^(-1)) \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) Φ ¯ i 1 , … , i k = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n Φ j 1 , … , j k ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ∘ x μ − 1 ) ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ∘ x μ − 1 )
証明 式 (2.1.1)を用いて,
Φ
¯
i
1
,
⋯
,
i
k
(
p
)
=
Φ
p
(
(
∂
∂
u
¯
i
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
¯
i
k
)
p
)
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
)
x
μ
−
1
(
p
)
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
)
x
μ
−
1
(
p
)
×
Φ
p
(
(
∂
∂
u
j
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
j
k
)
p
)
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
(
p
)
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
)
x
μ
−
1
(
p
)
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
)
x
μ
−
1
(
p
)
Φ
¯
i
1
,
⋯
,
i
k
(
p
)
=
Φ
p
∂
∂
u
¯
i
1
p
,
…
,
∂
∂
u
¯
i
k
p
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
x
μ
−
1
(
p
)
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
x
μ
−
1
(
p
)
×
Φ
p
∂
∂
u
j
1
p
,
…
,
∂
∂
u
j
k
p
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
(
p
)
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
x
μ
−
1
(
p
)
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
x
μ
−
1
(
p
)
{:[ bar(Phi)_(i_(1),cdots,i_(k))(p)=Phi_(p)(((del)/(del bar(u)_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(del bar(u)_(i_(k))))_(p))],[=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu^(-1)(p)))cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu^(-1)(p)))],[ xxPhi_(p)(((del)/(delu_(j_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(j_(k))))_(p))],[=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu^(-1)(p)))cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu^(-1)(p)))]:} \begin{aligned}
& \bar{\Phi}_{i_{1}, \cdots, i_{k}}(p)=\Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{p}\right) \\
& =\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu^{-1}(p)}} \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu^{-1}(p)}} \\
& \times \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{k}}}\right)_{p}\right) \\
& =\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\mu}^{-1}(p)}} \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\mu}^{-1}(p)}}
\end{aligned} Φ ¯ i 1 , ⋯ , i k ( p ) = Φ p ( ( ∂ ∂ u ¯ i 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u ¯ i k ) p ) = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ) x μ − 1 ( p ) ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ) x μ − 1 ( p ) × Φ p ( ( ∂ ∂ u j 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u j k ) p ) = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n Φ j 1 , … , j k ( p ) ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ) x μ − 1 ( p ) ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ) x μ − 1 ( p )
が示される.
命題 2.2.4
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S_(lambda)nnS_(mu)!=O/ S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptyset S λ ∩ S μ ≠ ∅ とする.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
,
x
μ
−
1
=
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
,
x
μ
−
1
=
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)),x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) , x μ − 1 = ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) とし,
S
S
S S S 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場
Φ
Φ
Phi \Phi Φ の
x
λ
−
1
,
x
μ
−
1
x
λ
−
1
,
x
μ
−
1
x_(lambda)^(-1),x_(mu)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}, \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1} x λ − 1 , x μ − 1 に関する成分を各々,
Φ
i
1
,
…
,
i
k
i
0
,
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
i
0
Φ
i
1
,
…
,
i
k
i
0
,
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
i
0
Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0)), bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0)) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{i_{0}}, \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}^{i_{0}} Φ i 1 , … , i k i 0 , Φ ¯ i 1 , … , i k i 0 とする. このとき
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で, 次の関係式が成り立 つ :
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
i
0
=
∑
j
0
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
∘
x
μ
−
1
)
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
∘
x
μ
−
1
)
(
∂
(
u
¯
i
0
∘
x
λ
)
∂
u
j
0
∘
x
λ
−
1
)
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
i
0
=
∑
j
0
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
∘
x
μ
−
1
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
∘
x
μ
−
1
∂
u
¯
i
0
∘
x
λ
∂
u
j
0
∘
x
λ
−
1
{:[ bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0))=sum_(j_(0)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1)))@x_(mu)^(-1))],[ cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k)))@x_(mu)^(-1))((del( bar(u)_(i_(0))@x_(lambda)))/(delu_(j_(0)))@x_(lambda)^(-1))]:} \begin{aligned}
& \bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}^{i_{0}}=\sum_{j_{0}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}^{j_{0}}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \\
& \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i_{0}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j_{0}}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)
\end{aligned} Φ ¯ i 1 , … , i k i 0 = ∑ j 0 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n Φ j 1 , … , j k j 0 ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ∘ x μ − 1 ) ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ∘ x μ − 1 ) ( ∂ ( u ¯ i 0 ∘ x λ ) ∂ u j 0 ∘ x λ − 1 )
証明 式 (2.1.1) を用いて,
Φ
p
(
(
∂
∂
u
¯
i
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
¯
i
k
)
p
)
j
1
=
1
n
…
∑
j
k
=
1
n
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
)
x
μ
−
1
(
p
)
…
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
)
x
μ
−
1
(
p
)
=
×
Φ
p
(
(
∂
∂
u
j
1
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
j
k
)
p
)
x
μ
(
∂
∂
u
j
0
)
p
=
∑
j
0
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
p
)
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
)
x
μ
−
1
(
p
)
…
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
)
x
μ
−
1
(
p
)
…
=
∑
i
0
=
1
n
{
∑
j
0
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
p
)
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
)
x
μ
−
1
(
p
)
…
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
)
x
μ
−
1
(
p
)
(
∂
(
u
¯
i
0
∘
x
λ
)
∂
u
j
0
)
x
λ
−
1
(
p
)
}
(
∂
∂
u
¯
i
0
)
p
Φ
p
∂
∂
u
¯
i
1
p
,
…
,
∂
∂
u
¯
i
k
p
j
1
=
1
n
…
∑
j
k
=
1
n
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
x
μ
−
1
(
p
)
…
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
x
μ
−
1
(
p
)
=
×
Φ
p
∂
∂
u
j
1
p
,
…
,
∂
∂
u
j
k
p
x
μ
∂
∂
u
j
0
p
=
∑
j
0
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
p
)
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
x
μ
−
1
(
p
)
…
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
x
μ
−
1
(
p
)
…
=
∑
i
0
=
1
n
∑
j
0
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
p
)
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
x
μ
−
1
(
p
)
…
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
x
μ
−
1
(
p
)
∂
u
¯
i
0
∘
x
λ
∂
u
j
0
x
λ
−
1
(
p
)
∂
∂
u
¯
i
0
p
{:[Phi_(p)(((del)/(del bar(u)_(i_(1))))_(p),dots,((del)/(del bar(u)_(i_(k))))_(p))_(j_(1)=1)^(n)dotssum_(j_(k)=1)^(n)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))],[=xxPhi_(p)(((del)/(delu_(j_(1))))_(p),dots,((del)/(delu_(j_(k))))_(p))_(x_(mu))((del)/(delu_(j_(0))))_(p)],[=sum_(j_(0)=1)^(n)sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots],[ cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots],[=sum_(i_(0)=1)^(n){sum_(j_(0)=1)^(n)sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots:}],[{: cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))((del( bar(u)_(i_(0))@x_(lambda)))/(delu_(j_(0))))_(x_(lambda)^(-1)(p))}((del)/(del bar(u)_(i_(0))))_(p)]:} \begin{aligned}
& \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{p}\right)_{j_{1}=1}^{n} \ldots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \\
&= \times \Phi_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{1}}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{k}}}\right)_{p}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{j_{0}}}\right)_{p} \\
&=\sum_{j_{0}=1}^{n} \sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}{ }^{j_{0}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots \\
& \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots \\
&= \sum_{i_{0}=1}^{n}\left\{\sum_{j_{0}=1}^{n} \sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}^{j_{0}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots\right. \\
&\left.\cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i_{0}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j_{0}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\right\}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i_{0}}}\right)_{p}
\end{aligned} Φ p ( ( ∂ ∂ u ¯ i 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u ¯ i k ) p ) j 1 = 1 n … ∑ j k = 1 n ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ) x μ − 1 ( p ) … ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ) x μ − 1 ( p ) = × Φ p ( ( ∂ ∂ u j 1 ) p , … , ( ∂ ∂ u j k ) p ) x μ ( ∂ ∂ u j 0 ) p = ∑ j 0 = 1 n ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n Φ j 1 , … , j k j 0 ( p ) ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ) x μ − 1 ( p ) … ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ) x μ − 1 ( p ) … = ∑ i 0 = 1 n { ∑ j 0 = 1 n ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n Φ j 1 , … , j k j 0 ( p ) ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ) x μ − 1 ( p ) … ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ) x μ − 1 ( p ) ( ∂ ( u ¯ i 0 ∘ x λ ) ∂ u j 0 ) x λ − 1 ( p ) } ( ∂ ∂ u ¯ i 0 ) p
が示される。それゆえ、
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
i
0
(
p
)
=
∑
j
0
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
p
)
(
∂
(
u
j
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
1
)
x
μ
−
1
(
p
)
…
⋯
(
∂
(
u
j
k
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
k
)
x
μ
−
1
(
p
)
(
∂
(
u
¯
i
0
∘
x
λ
)
∂
u
j
0
)
x
λ
−
1
(
p
)
Φ
¯
i
1
,
…
,
i
k
i
0
(
p
)
=
∑
j
0
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
Φ
j
1
,
…
,
j
k
j
0
(
p
)
∂
u
j
1
∘
x
μ
∂
u
¯
i
1
x
μ
−
1
(
p
)
…
⋯
∂
u
j
k
∘
x
μ
∂
u
¯
i
k
x
μ
−
1
(
p
)
∂
u
¯
i
0
∘
x
λ
∂
u
j
0
x
λ
−
1
(
p
)
{:[ bar(Phi)_(i_(1),dots,i_(k))^(i_(0))(p)=sum_(j_(0)=1)^(n)sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)Phi_(j_(1),dots,j_(k))^(j_(0))(p)((del(u_(j_(1))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(1))))_(x_(mu)^(-1)(p))dots],[ cdots((del(u_(j_(k))@x_(mu)))/(del bar(u)_(i_(k))))_(x_(mu)^(-1)(p))((del( bar(u)_(i_(0))@x_(lambda)))/(delu_(j_(0))))_(x_(lambda)^(-1)(p))]:} \begin{aligned}
\bar{\Phi}_{i_{1}, \ldots, i_{k}}^{i_{0}}(p)= & \sum_{j_{0}=1}^{n} \sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}}^{j_{0}}(p)\left(\frac{\partial\left(u_{j_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{1}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \ldots \\
& \cdots\left(\frac{\partial\left(u_{j_{k}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i_{k}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i_{0}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j_{0}}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}
\end{aligned} Φ ¯ i 1 , … , i k i 0 ( p ) = ∑ j 0 = 1 n ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n Φ j 1 , … , j k j 0 ( p ) ( ∂ ( u j 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ i 1 ) x μ − 1 ( p ) … ⋯ ( ∂ ( u j k ∘ x μ ) ∂ u ¯ i k ) x μ − 1 ( p ) ( ∂ ( u ¯ i 0 ∘ x λ ) ∂ u j 0 ) x λ − 1 ( p )
が示される.
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
S
S
S S S 上の
k
k
k k k 次共変テンソル場(または,
S
S
S S S 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場)と し,
X
1
,
…
,
X
k
X
1
,
…
,
X
k
X_(1),dots,X_(k) \boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k} X 1 , … , X k を
S
S
S S S 上の接ベクトル場とする。このとき,
S
S
S S S 上のスカラー場 (または,接べクトル場)
Φ
(
X
1
,
…
,
X
k
)
Φ
X
1
,
…
,
X
k
Phi(X_(1),dots,X_(k)) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}\right) Φ ( X 1 , … , X k ) を
Φ
(
X
1
,
…
,
X
k
)
(
p
)
:=
Φ
p
(
(
X
1
)
p
,
…
,
(
X
k
)
p
)
(
p
∈
S
)
Φ
X
1
,
…
,
X
k
(
p
)
:=
Φ
p
X
1
p
,
…
,
X
k
p
(
p
∈
S
)
Phi(X_(1),dots,X_(k))(p):=Phi_(p)((X_(1))_(p),dots,(X_(k))_(p))quad(p in S) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}\right)(p):=\Phi_{p}\left(\left(\boldsymbol{X}_{1}\right)_{p}, \ldots,\left(\boldsymbol{X}_{k}\right)_{p}\right) \quad(p \in S) Φ ( X 1 , … , X k ) ( p ) := Φ p ( ( X 1 ) p , … , ( X k ) p ) ( p ∈ S )
によって定義する。
命題 2.2.5
Φ
Φ
Phi \Phi Φ を
S
S
S S S 上の
k
k
k k k 次共変テンソル場, または
S
S
S S S 上の
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソ
ル場とする。
Φ
Φ
Phi \Phi Φ , および
X
1
,
…
,
X
k
X
1
,
…
,
X
k
X_(1),dots,X_(k) \boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k} X 1 , … , X k が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ならば,
Φ
(
X
1
,
…
,
X
k
)
Φ
X
1
,
…
,
X
k
Phi(X_(1),dots,X_(k)) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{1}, \ldots, \boldsymbol{X}_{k}\right) Φ ( X 1 , … , X k ) も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である.
証明
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べる。
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする.
X
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
X
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
X_(i)(i=1,dots,k) \boldsymbol{X}_{i}(i=1, \ldots, k) X i ( i = 1 , … , k ) の
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
(
X
i
)
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
X
i
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
(X_(i))_(j)(j=1,dots,n) \left(X_{i}\right)_{j}(j=1, \ldots, n) ( X i ) j ( j = 1 , … , n ) とする. まず,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ が
k
k
k k k 次共変テン ソル場の場合を考える。
Φ
Φ
Phi \Phi Φ の
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
Φ
i
1
,
…
,
i
k
Φ
i
1
,
…
,
i
k
Phi_(i_(1),dots,i_(k)) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}} Φ i 1 , … , i k とする. このとき,
Φ
(
X
i
1
,
…
,
X
i
k
)
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
(
X
i
1
)
j
1
⋯
(
X
i
k
)
j
k
Φ
j
1
,
…
,
j
k
Φ
X
i
1
,
…
,
X
i
k
=
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
X
i
1
j
1
⋯
X
i
k
j
k
Φ
j
1
,
…
,
j
k
Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k)))=sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)(X_(i_(1)))_(j_(1))cdots(X_(i_(k)))_(j_(k))Phi_(j_(1),dots,j_(k)) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right)=\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(X_{i_{1}}\right)_{j_{1}} \cdots\left(X_{i_{k}}\right)_{j_{k}} \Phi_{j_{1}, \ldots, j_{k}} Φ ( X i 1 , … , X i k ) = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n ( X i 1 ) j 1 ⋯ ( X i k ) j k Φ j 1 , … , j k
となる. この式から, スカラー場
Φ
(
X
i
1
,
…
,
X
i
k
)
Φ
X
i
1
,
…
,
X
i
k
Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k))) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right) Φ ( X i 1 , … , X i k ) が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるこ とがわかる.
次に,
Φ
Φ
Phi \Phi Φ が
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場の場合を考える。
Φ
Φ
Phi \Phi Φ の
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
Φ
i
1
,
…
,
i
k
j
Phi_(i_(1),dots,i_(k))^(j) \Phi_{i_{1}, \ldots, i_{k}}{ }^{j} Φ i 1 , … , i k j とする. このとき,
Φ
(
X
i
1
,
…
,
X
i
k
)
=
∑
l
=
1
n
(
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
(
X
i
1
)
j
1
⋯
(
X
i
k
)
j
k
Φ
j
1
⋯
j
k
l
)
∂
∂
u
l
Φ
X
i
1
,
…
,
X
i
k
=
∑
l
=
1
n
∑
j
1
=
1
n
⋯
∑
j
k
=
1
n
X
i
1
j
1
⋯
X
i
k
j
k
Φ
j
1
⋯
j
k
l
∂
∂
u
l
Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k)))=sum_(l=1)^(n)(sum_(j_(1)=1)^(n)cdotssum_(j_(k)=1)^(n)(X_(i_(1)))_(j_(1))cdots(X_(i_(k)))_(j_(k))Phi_(j_(1)cdotsj_(k))^(l))(del)/(delu_(l)) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right)=\sum_{l=1}^{n}\left(\sum_{j_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{j_{k}=1}^{n}\left(X_{i_{1}}\right)_{j_{1}} \cdots\left(X_{i_{k}}\right)_{j_{k}} \Phi_{j_{1} \cdots j_{k}}{ }^{l}\right) \frac{\partial}{\partial u_{l}} Φ ( X i 1 , … , X i k ) = ∑ l = 1 n ( ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j k = 1 n ( X i 1 ) j 1 ⋯ ( X i k ) j k Φ j 1 ⋯ j k l ) ∂ ∂ u l
となる。この式から,接ベクトル場
Φ
(
X
i
1
,
…
,
X
i
k
)
Φ
X
i
1
,
…
,
X
i
k
Phi(X_(i_(1)),dots,X_(i_(k))) \Phi\left(\boldsymbol{X}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{X}_{i_{k}}\right) Φ ( X i 1 , … , X i k ) が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である ことがわかる.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面上の 2 次共変テンソル場の基本的な例を紹介しよう。
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とし,
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ }
とする. 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
g
p
:
T
p
S
×
T
p
S
→
R
g
p
:
T
p
S
×
T
p
S
→
R
g_(p):T_(p)S xxT_(p)S rarrR g_{p}: T_{p} S \times T_{p} S \rightarrow \mathbb{R} g p : T p S × T p S → R を
g
p
(
v
,
w
)
:=
v
⋅
w
(
p
∈
S
)
g
p
(
v
,
w
)
:=
v
⋅
w
(
p
∈
S
)
g_(p)(v,w):=v*w quad(p in S) g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} \quad(p \in S) g p ( v , w ) := v ⋅ w ( p ∈ S )
によって定義し, 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p を対応させる対応
g
g
g g g を考える。内積・ の性質より,
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p は
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の 2 次共変テンソルになるので,
g
g
g g g は
S
S
S S S 上の 2 次共変テンソル場を与える。しかも内積の性質より,
g
g
g g g は次の対称性条件(symmetry condition)と正定値性条件(positive definiteness condition) を満たす:
(i)
g
p
(
v
,
w
)
=
g
p
(
w
,
v
)
(
p
∈
S
,
v
,
w
∈
T
p
S
)
g
p
(
v
,
w
)
=
g
p
(
w
,
v
)
p
∈
S
,
v
,
w
∈
T
p
S
g_(p)(v,w)=g_(p)(w,v)quad(p in S,v,w inT_(p)S)quad g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=g_{p}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v}) \quad\left(p \in S, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} S\right) \quad g p ( v , w ) = g p ( w , v ) ( p ∈ S , v , w ∈ T p S ) (対称性)
(ii)
g
p
(
v
,
v
)
≥
0
(
p
∈
S
,
v
∈
T
p
S
)
g
p
(
v
,
v
)
≥
0
p
∈
S
,
v
∈
T
p
S
g_(p)(v,v) >= 0(p in S,v inT_(p)S) g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}) \geq 0\left(p \in S, \boldsymbol{v} \in T_{p} S\right) g p ( v , v ) ≥ 0 ( p ∈ S , v ∈ T p S ) が成り立ち, 等号成立は
v
=
0
v
=
0
v=0 \boldsymbol{v}=\mathbf{0} v = 0 のと きに限る。(正定値性)
この正定値かつ対称な 2 次共変テンソル場
g
g
g g g を
S
S
S S S の第 1 基本形式(the first fundamental form), または誘導リーマン計量 (induced Riemannian metric) という. また, 組
(
(
S
,
D
)
,
g
)
(
(
S
,
D
)
,
g
)
((S,D),g) ((S, \mathcal{D}), g) ( ( S , D ) , g ) は
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内のリーマン超曲面 (Riemannian hypersurface in
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 ) とよばれる。
命題 2.2.6
S
S
S S S の第 1 基本形式
g
g
g g g は,
S
S
S S S 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の 2 次共変テンソル場に なる.
証明
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べる.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とし,
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j を
g
g
g g g の
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する 成分とする. このとき,
g
i
j
∘
x
λ
=
g
(
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
)
∘
x
λ
=
(
∂
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
)
∘
x
λ
=
∂
x
λ
→
∂
u
i
⋅
∂
x
λ
→
∂
u
j
(
p
∈
S
λ
)
g
i
j
∘
x
λ
=
g
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
∘
x
λ
=
∂
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
∘
x
λ
=
∂
x
λ
→
∂
u
i
⋅
∂
x
λ
→
∂
u
j
p
∈
S
λ
g_(ij)@x_(lambda)=g((del)/(delu_(i)),(del)/(delu_(j)))@x_(lambda)=((del)/(delu_(i))*(del)/(delu_(j)))@x_(lambda)=(del vec(x_(lambda)))/(delu_(i))*(del vec(x_(lambda)))/(delu_(j))quad(p inS_(lambda)) g_{i j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}=\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j}} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) g i j ∘ x λ = g ( ∂ ∂ u i , ∂ ∂ u j ) ∘ x λ = ( ∂ ∂ u i ⋅ ∂ ∂ u j ) ∘ x λ = ∂ x λ → ∂ u i ⋅ ∂ x λ → ∂ u j ( p ∈ S λ )
となる.
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面なので,
∂
x
λ
→
∂
u
i
⋅
∂
x
λ
→
∂
u
j
∂
x
λ
→
∂
u
i
⋅
∂
x
λ
→
∂
u
j
(del vec(x_(lambda)))/(delu_(i))*(del vec(x_(lambda)))/(delu_(j)) \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j}} ∂ x λ → ∂ u i ⋅ ∂ x λ → ∂ u j は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数であり,
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j 。
x
λ
x
λ
x_(lambda) \boldsymbol{x}_{\lambda} x λ が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数であることがわかる。それゆえ, 2 次共変テンソル場
g
g
g g g は,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることが示される.
次に, 3 次元ユークリッド空間
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 内の向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) 上 の基本的な
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) テンソル場の例を紹介しよう.
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ }
とする.
S
S
S S S の各点
p
p
p p p に対し,
J
p
:
T
p
S
→
T
p
S
J
p
:
T
p
S
→
T
p
S
J_(p):T_(p)S rarrT_(p)S J_{p}: T_{p} S \rightarrow T_{p} S J p : T p S → T p S を次のように定義する.
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
u
2
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x λ − 1 = ( u 1 , u 2 ) とし,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の座標基底
(
(
∂
∂
u
1
)
p
∂
∂
u
1
p
(((del)/(delu_(1)))_(p):} \left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}\right. ( ( ∂ ∂ u 1 ) p ,
(
∂
∂
u
2
)
p
)
∂
∂
u
2
p
{:((del)/(delu_(2)))_(p)) \left.\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right) ( ∂ ∂ u 2 ) p ) からシュミットの直交化法によりえられる
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p に関する正規直交基底を
(
e
1
p
,
e
2
p
)
e
1
p
,
e
2
p
(e_(1)^(p),e_(2)^(p)) \left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right) ( e 1 p , e 2 p ) とし,
J
p
J
p
J_(p) J_{p} J p を
J
p
(
e
1
p
)
=
e
2
p
,
J
p
(
e
2
p
)
=
−
e
1
p
J
p
e
1
p
=
e
2
p
,
J
p
e
2
p
=
−
e
1
p
J_(p)(e_(1)^(p))=e_(2)^(p),J_(p)(e_(2)^(p))=-e_(1)^(p) J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}\right)=\boldsymbol{e}_{2}^{p}, J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{2}^{p}\right)=-\boldsymbol{e}_{1}^{p} J p ( e 1 p ) = e 2 p , J p ( e 2 p ) = − e 1 p を満たす
T
p
(
S
)
T
p
(
S
)
T_(p)(S) T_{p}(S) T p ( S ) の 線形変換として定義する(シュミットの直交化法については,線形代数の本を 参照のこと).
J
p
J
p
J_(p) J_{p} J p がwell-defined であること,つまり,
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ の選び方に依存しないことを示そう.
p
∈
S
μ
p
∈
S
μ
p inS_(mu) p \in S_{\mu} p ∈ S μ となる
μ
∈
Λ
μ
∈
Λ
mu in Lambda \mu \in \Lambda μ ∈ Λ をもう1つと
り,
x
μ
−
1
=
(
u
¯
1
,
u
¯
2
)
x
μ
−
1
=
u
¯
1
,
u
¯
2
x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1), bar(u)_(2)) \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \bar{u}_{2}\right) x μ − 1 = ( u ¯ 1 , u ¯ 2 ) とする。
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の座標基底
(
(
∂
∂
u
¯
1
)
p
,
(
∂
∂
u
¯
2
)
p
)
∂
∂
u
¯
1
p
,
∂
∂
u
¯
2
p
(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p),((del)/(del bar(u)_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u ¯ 1 ) p , ( ∂ ∂ u ¯ 2 ) p ) からシ ユミットの直交化法によりえられる
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p に関する正規直交基底を
(
e
―
1
p
,
e
―
2
p
)
e
¯
1
p
,
e
¯
2
p
( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p)) \left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) ( e ― 1 p , e ― 2 p ) と し,
J
¯
p
J
¯
p
bar(J)_(p) \bar{J}_{p} J ¯ p を
J
¯
p
(
e
―
1
p
)
=
e
―
2
p
,
J
¯
p
(
e
―
2
p
)
=
−
e
―
1
p
J
¯
p
e
¯
1
p
=
e
¯
2
p
,
J
¯
p
e
¯
2
p
=
−
e
¯
1
p
bar(J)_(p)( bar(e)_(1)^(p))= bar(e)_(2)^(p), bar(J)_(p)( bar(e)_(2)^(p))=- bar(e)_(1)^(p) \bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}\right)=\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}, \bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)=-\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p} J ¯ p ( e ― 1 p ) = e ― 2 p , J ¯ p ( e ― 2 p ) = − e ― 1 p を満たす
T
p
(
S
)
T
p
(
S
)
T_(p)(S) T_{p}(S) T p ( S ) の線形変換として 定義する.
J
p
=
J
¯
p
J
p
=
J
¯
p
J_(p)= bar(J)_(p) J_{p}=\bar{J}_{p} J p = J ¯ p を示さなければならない. シュミットの直交化法による と,
(
(
∂
∂
u
1
)
p
,
(
∂
∂
u
2
)
p
)
∂
∂
u
1
p
,
∂
∂
u
2
p
(((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u 1 ) p , ( ∂ ∂ u 2 ) p ) と
(
e
1
p
,
e
2
p
)
e
1
p
,
e
2
p
(e_(1)^(p),e_(2)^(p)) \left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right) ( e 1 p , e 2 p ) は同じ向きを定めることがわかる. 同 じく,
(
(
∂
∂
u
¯
1
)
p
,
(
∂
∂
u
¯
2
)
p
)
∂
∂
u
¯
1
p
,
∂
∂
u
¯
2
p
(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p),((del)/(del bar(u)_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u ¯ 1 ) p , ( ∂ ∂ u ¯ 2 ) p ) と
(
e
―
1
p
,
e
―
2
p
)
e
¯
1
p
,
e
¯
2
p
( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p)) \left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) ( e ― 1 p , e ― 2 p ) が同じ向きを定めることがわかる.一方,
(
(
∂
∂
u
1
)
p
,
(
∂
∂
u
2
)
p
)
∂
∂
u
1
p
,
∂
∂
u
2
p
(((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u 1 ) p , ( ∂ ∂ u 2 ) p ) と
(
(
∂
∂
u
¯
1
)
p
,
(
∂
∂
u
¯
2
)
p
)
∂
∂
u
¯
1
p
,
∂
∂
u
¯
2
p
(((del)/(del bar(u)_(1)))_(p),((del)/(del bar(u)_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u ¯ 1 ) p , ( ∂ ∂ u ¯ 2 ) p ) も同じ向きを定める ので, 結局,
(
e
1
p
,
e
2
p
)
e
1
p
,
e
2
p
(e_(1)^(p),e_(2)^(p)) \left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right) ( e 1 p , e 2 p ) と
(
e
―
1
p
,
e
―
2
p
)
e
¯
1
p
,
e
¯
2
p
( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p)) \left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) ( e ― 1 p , e ― 2 p ) が同じ向きを定めることがわかる. 基底
(
e
1
p
e
1
p
(e_(1)^(p):} \left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}\right. ( e 1 p ,
e
2
p
)
e
2
p
{:e_(2)^(p)) \left.\boldsymbol{e}_{2}^{p}\right) e 2 p ) から基底
(
e
―
1
p
,
e
―
2
p
)
e
¯
1
p
,
e
¯
2
p
( bar(e)_(1)^(p), bar(e)_(2)^(p)) \left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) ( e ― 1 p , e ― 2 p ) への変換行列
(
a
i
j
)
a
i
j
(a_(ij)) \left(a_{i j}\right) ( a i j ) (つまり
e
―
i
p
=
∑
j
=
1
2
a
i
j
e
j
p
(
i
=
1
,
2
)
)
e
¯
i
p
=
∑
j
=
1
2
a
i
j
e
j
p
(
i
=
1
,
2
)
{: bar(e)_(i)^(p)=sum_(j=1)^(2)a_(ij)e_(j)^(p)quad(i=1,2)) \left.\overline{\boldsymbol{e}}_{i}^{p}=\sum_{j=1}^{2} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}^{p} \quad(i=1,2)\right) e ― i p = ∑ j = 1 2 a i j e j p ( i = 1 , 2 ) ) は,
det
(
a
i
j
)
>
0
det
a
i
j
>
0
det(a_(ij)) > 0 \operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0 det ( a i j ) > 0 となる直交行列になるので, 行列
(
a
i
j
)
a
i
j
(a_(ij)) \left(a_{i j}\right) ( a i j ) はある定数
θ
θ
theta \theta θ を用い て,
(
a
i
j
)
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
a
i
j
=
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
(a_(ij))=([cos theta,-sin theta],[sin theta,cos theta]) \left(a_{i j}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) ( a i j ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ )
と表される。それゆえ,
J
p
(
e
―
1
p
)
=
J
p
(
∑
j
=
1
2
a
1
j
e
j
p
)
=
∑
j
=
1
2
a
1
j
J
p
(
e
j
p
)
=
a
11
e
2
p
−
a
12
e
1
p
=
cos
θ
e
2
p
+
sin
θ
e
1
p
=
e
―
2
p
=
J
¯
p
(
e
―
1
p
)
J
p
e
¯
1
p
=
J
p
∑
j
=
1
2
a
1
j
e
j
p
=
∑
j
=
1
2
a
1
j
J
p
e
j
p
=
a
11
e
2
p
−
a
12
e
1
p
=
cos
θ
e
2
p
+
sin
θ
e
1
p
=
e
¯
2
p
=
J
¯
p
e
¯
1
p
{:[J_(p)( bar(e)_(1)^(p))=J_(p)(sum_(j=1)^(2)a_(1j)e_(j)^(p))=sum_(j=1)^(2)a_(1j)J_(p)(e_(j)^(p))],[=a_(11)e_(2)^(p)-a_(12)e_(1)^(p)=cos thetae_(2)^(p)+sin thetae_(1)^(p)= bar(e)_(2)^(p)= bar(J)_(p)( bar(e)_(1)^(p))]:} \begin{aligned}
J_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}\right) & =J_{p}\left(\sum_{j=1}^{2} a_{1 j} \boldsymbol{e}_{j}^{p}\right)=\sum_{j=1}^{2} a_{1 j} J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{j}^{p}\right) \\
& =a_{11} \boldsymbol{e}_{2}^{p}-a_{12} \boldsymbol{e}_{1}^{p}=\cos \theta \boldsymbol{e}_{2}^{p}+\sin \theta \boldsymbol{e}_{1}^{p}=\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}=\bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}\right)
\end{aligned} J p ( e ― 1 p ) = J p ( ∑ j = 1 2 a 1 j e j p ) = ∑ j = 1 2 a 1 j J p ( e j p ) = a 11 e 2 p − a 12 e 1 p = cos θ e 2 p + sin θ e 1 p = e ― 2 p = J ¯ p ( e ― 1 p )
および
J
p
(
e
―
2
p
)
=
J
p
(
∑
j
=
1
2
a
2
j
e
j
p
)
=
∑
j
=
1
2
a
2
j
J
p
(
e
j
p
)
=
a
21
e
2
p
−
a
22
e
1
p
=
sin
θ
e
2
p
−
cos
θ
e
1
p
=
−
e
―
1
p
=
J
¯
p
(
e
―
2
p
)
J
p
e
¯
2
p
=
J
p
∑
j
=
1
2
a
2
j
e
j
p
=
∑
j
=
1
2
a
2
j
J
p
e
j
p
=
a
21
e
2
p
−
a
22
e
1
p
=
sin
θ
e
2
p
−
cos
θ
e
1
p
=
−
e
¯
1
p
=
J
¯
p
e
¯
2
p
{:[J_(p)( bar(e)_(2)^(p))=J_(p)(sum_(j=1)^(2)a_(2j)e_(j)^(p))=sum_(j=1)^(2)a_(2j)J_(p)(e_(j)^(p))],[=a_(21)e_(2)^(p)-a_(22)e_(1)^(p)=sin thetae_(2)^(p)-cos thetae_(1)^(p)=- bar(e)_(1)^(p)= bar(J)_(p)( bar(e)_(2)^(p))]:} \begin{aligned}
J_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right) & =J_{p}\left(\sum_{j=1}^{2} a_{2 j} \boldsymbol{e}_{j}^{p}\right)=\sum_{j=1}^{2} a_{2 j} J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{j}^{p}\right) \\
& =a_{21} \boldsymbol{e}_{2}^{p}-a_{22} \boldsymbol{e}_{1}^{p}=\sin \theta \boldsymbol{e}_{2}^{p}-\cos \theta \boldsymbol{e}_{1}^{p}=-\overline{\boldsymbol{e}}_{1}^{p}=\bar{J}_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{2}^{p}\right)
\end{aligned} J p ( e ― 2 p ) = J p ( ∑ j = 1 2 a 2 j e j p ) = ∑ j = 1 2 a 2 j J p ( e j p ) = a 21 e 2 p − a 22 e 1 p = sin θ e 2 p − cos θ e 1 p = − e ― 1 p = J ¯ p ( e ― 2 p )
をえる. したがって,
J
p
=
J
¯
p
J
p
=
J
¯
p
J_(p)= bar(J)_(p) J_{p}=\bar{J}_{p} J p = J ¯ p が導かれる。このように,
J
p
J
p
J_(p) J_{p} J p が well-defined であることが示される.
J
p
J
p
J_(p) J_{p} J p は
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソルなので, 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
J
p
J
p
J_(p) J_{p} J p を対応させ
る対応
J
J
J J J は
S
S
S S S 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル場を与える.
命題 2.2.7
J
J
J J J は,
S
S
S S S 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル場になる.
証明
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べる.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
u
2
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x λ − 1 = ( u 1 , u 2 ) とし, 上述のように各点
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ に 対し,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の座標基底
(
(
∂
∂
u
1
)
p
,
(
∂
∂
u
2
)
p
)
∂
∂
u
1
p
,
∂
∂
u
2
p
(((del)/(delu_(1)))_(p),((del)/(delu_(2)))_(p)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}\right) ( ( ∂ ∂ u 1 ) p , ( ∂ ∂ u 2 ) p ) からシュミットの直交化法に よりえられる
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p に関する正規直交基底を
(
e
1
p
,
e
2
p
)
e
1
p
,
e
2
p
(e_(1)^(p),e_(2)^(p)) \left(\boldsymbol{e}_{1}^{p}, \boldsymbol{e}_{2}^{p}\right) ( e 1 p , e 2 p ) とし,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の関数
b
i
j
(
1
b
i
j
(
1
b_(ij)(1 b_{i j} ( 1 ( b i j ( 1
≤
i
,
j
≤
2
)
≤
i
,
j
≤
2
)
<= i,j <= 2) \leq i, j \leq 2) ≤ i , j ≤ 2 ) を
e
i
p
=
∑
j
=
1
2
b
i
j
(
p
)
(
∂
∂
u
j
)
p
(
p
∈
S
λ
)
e
i
p
=
∑
j
=
1
2
b
i
j
(
p
)
∂
∂
u
j
p
p
∈
S
λ
e_(i)^(p)=sum_(j=1)^(2)b_(ij)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)quad(p inS_(lambda)) \boldsymbol{e}_{i}^{p}=\sum_{j=1}^{2} b_{i j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) e i p = ∑ j = 1 2 b i j ( p ) ( ∂ ∂ u j ) p ( p ∈ S λ )
で定義する.
b
i
j
b
i
j
b_(ij) b_{i j} b i j を求めよう.
e
1
p
=
1
‖
(
∂
∂
u
1
)
p
‖
(
∂
∂
u
1
)
p
=
1
g
11
(
p
)
(
∂
∂
u
1
)
p
e
2
p
=
(
∂
∂
u
2
)
p
−
(
(
∂
∂
u
2
)
p
⋅
e
1
p
)
e
1
p
‖
(
∂
∂
u
2
)
p
−
(
(
∂
∂
u
2
)
p
⋅
e
1
p
)
e
1
p
‖
=
(
∂
∂
u
2
)
p
−
g
12
(
p
)
g
11
(
p
)
(
∂
∂
u
1
)
p
‖
(
∂
∂
u
2
)
p
−
g
12
(
p
)
g
11
(
p
)
(
∂
∂
u
1
)
p
‖
=
(
∂
∂
u
2
)
p
−
g
12
(
p
)
g
11
(
p
)
(
∂
∂
u
1
)
p
g
22
(
p
)
−
g
12
(
p
)
2
g
11
(
p
)
e
1
p
=
1
∂
∂
u
1
p
∂
∂
u
1
p
=
1
g
11
(
p
)
∂
∂
u
1
p
e
2
p
=
∂
∂
u
2
p
−
∂
∂
u
2
p
⋅
e
1
p
e
1
p
∂
∂
u
2
p
−
∂
∂
u
2
p
⋅
e
1
p
e
1
p
=
∂
∂
u
2
p
−
g
12
(
p
)
g
11
(
p
)
∂
∂
u
1
p
∂
∂
u
2
p
−
g
12
(
p
)
g
11
(
p
)
∂
∂
u
1
p
=
∂
∂
u
2
p
−
g
12
(
p
)
g
11
(
p
)
∂
∂
u
1
p
g
22
(
p
)
−
g
12
(
p
)
2
g
11
(
p
)
{:[e_(1)^(p)=(1)/(||((del)/(delu_(1)))_(p)||)((del)/(delu_(1)))_(p)=(1)/(sqrt(g_(11)(p)))((del)/(delu_(1)))_(p)],[e_(2)^(p)=(((del)/(delu_(2)))_(p)-(((del)/(delu_(2)))_(p)*e_(1)^(p))e_(1)^(p))/(||((del)/(delu_(2)))_(p)-(((del)/(delu_(2)))_(p)*e_(1)^(p))e_(1)^(p)||)=(((del)/(delu_(2)))_(p)-(g_(12)(p))/(g_(11)(p))((del)/(delu_(1)))_(p))/(||((del)/(delu_(2)))_(p)-(g_(12)(p))/(g_(11)(p))((del)/(delu_(1)))_(p)||)],[=(((del)/(delu_(2)))_(p)-(g_(12)(p))/(g_(11)(p))((del)/(delu_(1)))_(p))/(sqrt(g_(22)(p)-(g_(12)(p)^(2))/(g_(11)(p))))]:} \begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{1}^{p} & =\frac{1}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}\right\|}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}=\frac{1}{\sqrt{g_{11}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p} \\
\boldsymbol{e}_{2}^{p} & =\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p} \cdot \boldsymbol{e}_{1}^{p}\right) \boldsymbol{e}_{1}^{p}}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p} \cdot \boldsymbol{e}_{1}^{p}\right) \boldsymbol{e}_{1}^{p}\right\|}=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\frac{g_{12}(p)}{g_{11}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}}{\left\|\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\frac{g_{12}(p)}{g_{11}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}\right\|} \\
& =\frac{\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)_{p}-\frac{g_{12}(p)}{g_{11}(p)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\right)_{p}}{\sqrt{g_{22}(p)-\frac{g_{12}(p)^{2}}{g_{11}(p)}}}
\end{aligned} e 1 p = 1 ‖ ( ∂ ∂ u 1 ) p ‖ ( ∂ ∂ u 1 ) p = 1 g 11 ( p ) ( ∂ ∂ u 1 ) p e 2 p = ( ∂ ∂ u 2 ) p − ( ( ∂ ∂ u 2 ) p ⋅ e 1 p ) e 1 p ‖ ( ∂ ∂ u 2 ) p − ( ( ∂ ∂ u 2 ) p ⋅ e 1 p ) e 1 p ‖ = ( ∂ ∂ u 2 ) p − g 12 ( p ) g 11 ( p ) ( ∂ ∂ u 1 ) p ‖ ( ∂ ∂ u 2 ) p − g 12 ( p ) g 11 ( p ) ( ∂ ∂ u 1 ) p ‖ = ( ∂ ∂ u 2 ) p − g 12 ( p ) g 11 ( p ) ( ∂ ∂ u 1 ) p g 22 ( p ) − g 12 ( p ) 2 g 11 ( p )
よって,
b
11
=
1
g
11
,
b
12
=
0
,
b
21
=
−
g
12
g
11
2
g
22
−
g
11
g
12
2
,
b
22
=
1
g
22
−
g
12
2
g
11
b
11
=
1
g
11
,
b
12
=
0
,
b
21
=
−
g
12
g
11
2
g
22
−
g
11
g
12
2
,
b
22
=
1
g
22
−
g
12
2
g
11
b_(11)=(1)/(sqrt(g_(11))),quadb_(12)=0,quadb_(21)=-(g_(12))/(sqrt(g_(11)^(2)g_(22)-g_(11)g_(12)^(2))),quadb_(22)=(1)/(sqrt(g_(22)-(g_(12)^(2))/(g_(11)))) b_{11}=\frac{1}{\sqrt{g_{11}}}, \quad b_{12}=0, \quad b_{21}=-\frac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}^{2} g_{22}-g_{11} g_{12}^{2}}}, \quad b_{22}=\frac{1}{\sqrt{g_{22}-\frac{g_{12}^{2}}{g_{11}}}} b 11 = 1 g 11 , b 12 = 0 , b 21 = − g 12 g 11 2 g 22 − g 11 g 12 2 , b 22 = 1 g 22 − g 12 2 g 11
をえる。それゆえ,
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることから,
b
i
j
b
i
j
b_(ij) b_{i j} b i j が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることが 示される.
(
b
i
j
)
b
i
j
(b_(ij)) \left(b_{i j}\right) ( b i j ) の逆行列を
(
c
i
j
)
c
i
j
(c_(ij)) \left(c_{i j}\right) ( c i j ) と表す. 逆行列を求める公式から,
c
i
j
c
i
j
c_(ij) c_{i j} c i j も
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることが容易にわかる。また, 明らかに,
(
∂
∂
u
i
)
p
=
∑
j
=
1
2
c
i
j
(
p
)
e
j
p
(
p
∈
S
λ
)
∂
∂
u
i
p
=
∑
j
=
1
2
c
i
j
(
p
)
e
j
p
p
∈
S
λ
((del)/(delu_(i)))_(p)=sum_(j=1)^(2)c_(ij)(p)e_(j)^(p)quad(p inS_(lambda)) \left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{2} c_{i j}(p) \boldsymbol{e}_{j}^{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) ( ∂ ∂ u i ) p = ∑ j = 1 2 c i j ( p ) e j p ( p ∈ S λ )
が成り立つ.
J
J
J J J の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分
J
i
j
J
i
j
J_(i)^(j) J_{i}^{j} J i j を求めよう.
J
p
(
(
∂
∂
u
i
)
p
)
=
∑
j
=
1
2
c
i
j
(
p
)
J
p
(
e
j
p
)
=
c
i
1
(
p
)
e
2
p
−
c
i
2
(
p
)
e
1
p
=
c
i
1
(
p
)
∑
j
=
1
2
b
2
j
(
p
)
(
∂
∂
u
j
)
p
−
c
i
2
(
p
)
∑
j
=
1
2
b
1
j
(
p
)
(
∂
∂
u
j
)
p
=
∑
j
=
1
2
(
c
i
1
(
p
)
b
2
j
(
p
)
−
c
i
2
(
p
)
b
1
j
(
p
)
)
(
∂
∂
u
j
)
p
(
p
∈
S
λ
)
J
p
∂
∂
u
i
p
=
∑
j
=
1
2
c
i
j
(
p
)
J
p
e
j
p
=
c
i
1
(
p
)
e
2
p
−
c
i
2
(
p
)
e
1
p
=
c
i
1
(
p
)
∑
j
=
1
2
b
2
j
(
p
)
∂
∂
u
j
p
−
c
i
2
(
p
)
∑
j
=
1
2
b
1
j
(
p
)
∂
∂
u
j
p
=
∑
j
=
1
2
c
i
1
(
p
)
b
2
j
(
p
)
−
c
i
2
(
p
)
b
1
j
(
p
)
∂
∂
u
j
p
p
∈
S
λ
{:[J_(p)(((del)/(delu_(i)))_(p))=sum_(j=1)^(2)c_(ij)(p)J_(p)(e_(j)^(p))=c_(i1)(p)e_(2)^(p)-c_(i2)(p)e_(1)^(p)],[=c_(i1)(p)sum_(j=1)^(2)b_(2j)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)-c_(i2)(p)sum_(j=1)^(2)b_(1j)(p)((del)/(delu_(j)))_(p)],[=sum_(j=1)^(2)(c_(i1)(p)b_(2j)(p)-c_(i2)(p)b_(1j)(p))((del)/(delu_(j)))_(p)quad(p inS_(lambda))]:} \begin{aligned}
J_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}\right) & =\sum_{j=1}^{2} c_{i j}(p) J_{p}\left(\boldsymbol{e}_{j}^{p}\right)=c_{i 1}(p) \boldsymbol{e}_{2}^{p}-c_{i 2}(p) \boldsymbol{e}_{1}^{p} \\
& =c_{i 1}(p) \sum_{j=1}^{2} b_{2 j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p}-c_{i 2}(p) \sum_{j=1}^{2} b_{1 j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \\
& =\sum_{j=1}^{2}\left(c_{i 1}(p) b_{2 j}(p)-c_{i 2}(p) b_{1 j}(p)\right)\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)
\end{aligned} J p ( ( ∂ ∂ u i ) p ) = ∑ j = 1 2 c i j ( p ) J p ( e j p ) = c i 1 ( p ) e 2 p − c i 2 ( p ) e 1 p = c i 1 ( p ) ∑ j = 1 2 b 2 j ( p ) ( ∂ ∂ u j ) p − c i 2 ( p ) ∑ j = 1 2 b 1 j ( p ) ( ∂ ∂ u j ) p = ∑ j = 1 2 ( c i 1 ( p ) b 2 j ( p ) − c i 2 ( p ) b 1 j ( p ) ) ( ∂ ∂ u j ) p ( p ∈ S λ )
となるので,
J
i
j
=
c
i
1
b
2
j
−
c
i
2
b
1
j
(
1
≤
i
≤
2
,
1
≤
j
≤
2
)
J
i
j
=
c
i
1
b
2
j
−
c
i
2
b
1
j
(
1
≤
i
≤
2
,
1
≤
j
≤
2
)
J_(i)^(j)=c_(i1)b_(2j)-c_(i2)b_(1j)quad(1 <= i <= 2,quad1 <= j <= 2) J_{i}^{j}=c_{i 1} b_{2 j}-c_{i 2} b_{1 j} \quad(1 \leq i \leq 2, \quad 1 \leq j \leq 2) J i j = c i 1 b 2 j − c i 2 b 1 j ( 1 ≤ i ≤ 2 , 1 ≤ j ≤ 2 )
となり,
J
i
j
∘
x
λ
(
1
≤
i
,
j
≤
2
)
J
i
j
∘
x
λ
(
1
≤
i
,
j
≤
2
)
J_(i)^(j)@x_(lambda)(1 <= i,j <= 2) J_{i}^{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}(1 \leq i, j \leq 2) J i j ∘ x λ ( 1 ≤ i , j ≤ 2 ) が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることが示される。したがって、
λ
λ
lambda \lambda λ の任意性より,
J
J
J J J は
S
S
S S S 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル場である.
明らかに, 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
J
p
2
=
−
id
T
p
S
J
p
2
=
−
id
T
p
S
J_(p)^(2)=-id_(T_(p)S) J_{p}^{2}=-\mathrm{id}_{T_{p} S} J p 2 = − id T p S が成り立つ.一般に, 偶数次元の超曲面上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) テンソル場
J
^
J
^
hat(J) \hat{J} J ^ で
J
^
p
2
=
−
id
T
p
S
(
p
∈
S
)
J
^
p
2
=
−
id
T
p
S
(
p
∈
S
)
hat(J)_(p)^(2)=-id_(T_(p)S)(p in S) \hat{J}_{p}^{2}=-\mathrm{id}_{T_{p} S}(p \in S) J ^ p 2 = − id T p S ( p ∈ S ) を満たすよう なものを,その超曲面上の概複素構造(almost complex structure)とい う.
J
J
J J J は,
S
S
S S S 上の自然に定まる概複素構造とよばれる.
2.3 第 2 基本形式・形作用素
この節において,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面の第 2 基本形式, および形作用素に ついて述べることにする。この節では,
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする.
はじめに,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場, および,
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクト ル場の方向微分を定義しよう。
(
S
,
D
)
(
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
(
S
,
D
)
D
=
S
λ
,
x
λ
∣
λ
∈
Λ
(S,D)(D={(S_(lambda),x_(lambda))∣lambda in Lambda}) (S, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( S , D ) ( D = { ( S λ , x λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とする。
f
,
Y
f
,
Y
f,Y f, \boldsymbol{Y} f , Y を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場,
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場 とし,
v
∈
T
p
S
v
∈
T
p
S
v inT_(p)S \boldsymbol{v} \in T_{p} S v ∈ T p S とする.
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
S
λ
∈
D
S
λ
∈
D
S_(lambda)inD S_{\lambda} \in \mathcal{D} S λ ∈ D をり,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする.
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
u
i
)
p
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
u
i
p
v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delu_(i)))_(p) \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ u i ) p として,
v
(
f
)
,
D
v
Y
v
(
f
)
,
D
v
Y
v(f),D_(v)Y \boldsymbol{v}(f), D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y} v ( f ) , D v Y を
v
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
,
D
v
Y
:=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
Y
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
v
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
,
D
v
Y
:=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
Y
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
v(f):=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p)),quadD_(v)Y:=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p)) \boldsymbol{v}(f):=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}, \quad D_{v} \boldsymbol{Y}:=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} v ( f ) := ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) , D v Y := ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( Y ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p )
によって定義する。 これらがwell-defined であること,つまり,
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ とな る
S
λ
∈
D
S
λ
∈
D
S_(lambda)inD S_{\lambda} \in \mathcal{D} S λ ∈ D のと方によらないことを示そう。そのために,
p
∈
S
μ
p
∈
S
μ
p inS_(mu) p \in S_{\mu} p ∈ S μ となる
S
μ
∈
D
S
μ
∈
D
S_(mu)inD S_{\mu} \in \mathcal{D} S μ ∈ D をもう 1 つとり,
x
μ
−
1
=
(
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
)
x
μ
−
1
=
u
¯
1
,
…
,
u
¯
n
x_(mu)^(-1)=( bar(u)_(1),dots, bar(u)_(n)) \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n}\right) x μ − 1 = ( u ¯ 1 , … , u ¯ n ) とし,
v
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
(
∂
∂
u
¯
i
)
p
v
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
∂
∂
u
¯
i
p
v=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del)/(del bar(u)_(i)))_(p) \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{p} v = ∑ i = 1 n v ¯ i ( ∂ ∂ u ¯ i ) p とす る. このとき, 上述の定義に従って,
v
(
f
)
,
D
v
Y
v
(
f
)
,
D
v
Y
v(f),D_(v)Y \boldsymbol{v}(f), D_{v} \boldsymbol{Y} v ( f ) , D v Y を定義すると,
v
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
(
∂
(
f
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
,
D
v
Y
:=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
(
∂
(
Y
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
v
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
∂
f
∘
x
μ
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
,
D
v
Y
:=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
∂
Y
∘
x
μ
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
v(f):=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(f@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p)),quadD_(v)Y:=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(Y@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p)) \boldsymbol{v}(f):=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}, \quad D_{v} \boldsymbol{Y}:=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} v ( f ) := ∑ i = 1 n v ¯ i ( ∂ ( f ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p ) , D v Y := ∑ i = 1 n v ¯ i ( ∂ ( Y ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p )
となる。それゆえ,
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
(
∂
(
f
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
∑
i
=
1
n
v
i
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
∂
f
∘
x
μ
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(f@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p)) \sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) = ∑ i = 1 n v ¯ i ( ∂ ( f ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p )
および
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
Y
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
(
∂
(
Y
∘
x
μ
)
∂
u
¯
i
)
x
μ
−
1
(
p
)
∑
i
=
1
n
v
i
∂
Y
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
v
¯
i
∂
Y
∘
x
μ
∂
u
¯
i
x
μ
−
1
(
p
)
sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(i=1)^(n) bar(v)_(i)((del(Y@x_(mu)))/(del bar(u)_(i)))_(x_(mu)^(-1)(p)) \sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}=\sum_{i=1}^{n} \bar{v}_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( Y ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) = ∑ i = 1 n v ¯ i ( ∂ ( Y ∘ x μ ) ∂ u ¯ i ) x μ − 1 ( p )
を示さなければならない。式(2.1.1) を用いて,
v
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
∂
∂
u
¯
j
)
p
=
∑
i
=
1
n
(
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
∂
u
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
)
x
μ
−
1
(
p
)
)
(
∂
∂
u
i
)
p
v
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
∂
∂
u
¯
j
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
v
¯
j
∂
u
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
x
μ
−
1
(
p
)
∂
∂
u
i
p
v=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((del)/(del bar(u)_(j)))_(p)=sum_(i=1)^(n)(sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((delu_(i)@x_(mu))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)))((del)/(delu_(i)))_(p) \boldsymbol{v}=\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial u_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} v = ∑ j = 1 n v ¯ j ( ∂ ∂ u ¯ j ) p = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n v ¯ j ( ∂ u i ∘ x μ ∂ u ¯ j ) x μ − 1 ( p ) ) ( ∂ ∂ u i ) p
が示される. それゆえ,
(2.3.1)
v
i
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
∂
u
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
)
x
μ
−
1
(
p
)
(2.3.1)
v
i
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
∂
u
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
x
μ
−
1
(
p
)
{:(2.3.1)v_(i)=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((delu_(i)@x_(mu))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)):} \begin{equation*}
v_{i}=\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial u_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} \tag{2.3.1}
\end{equation*} (2.3.1) v i = ∑ j = 1 n v ¯ j ( ∂ u i ∘ x μ ∂ u ¯ j ) x μ − 1 ( p )
をえる. したがって,
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
∑
i
=
1
n
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
(
∂
u
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
)
x
μ
−
1
(
p
)
)
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
∂
(
f
∘
x
μ
)
∂
u
¯
j
)
x
μ
−
1
(
p
)
∑
i
=
1
n
v
i
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
∑
i
=
1
n
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
∂
u
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
x
μ
−
1
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
∂
f
∘
x
μ
∂
u
¯
j
x
μ
−
1
(
p
)
{:[sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)(sum_(i=1)^(n)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))((delu_(i)@x_(mu))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)))],[=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((del(f@x_(mu)))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p))]:} \begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} & =\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}\left(\frac{\partial u_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}\right) \\
& =\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)}
\end{aligned} ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) = ∑ j = 1 n v ¯ j ( ∑ i = 1 n ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) ( ∂ u i ∘ x μ ∂ u ¯ j ) x μ − 1 ( p ) ) = ∑ j = 1 n v ¯ j ( ∂ ( f ∘ x μ ) ∂ u ¯ j ) x μ − 1 ( p )
が示される. 同様に,
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
(
Y
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
(
∂
(
Y
∘
x
μ
)
∂
u
¯
j
)
x
μ
−
1
(
p
)
∑
i
=
1
n
v
i
∂
Y
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
=
∑
j
=
1
n
v
¯
j
∂
Y
∘
x
μ
∂
u
¯
j
x
μ
−
1
(
p
)
sum_(i=1)^(n)v_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))=sum_(j=1)^(n) bar(v)_(j)((del(Y@x_(mu)))/(del bar(u)_(j)))_(x_(mu)^(-1)(p)) \sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)}=\sum_{j=1}^{n} \bar{v}_{j}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}(p)} ∑ i = 1 n v i ( ∂ ( Y ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) = ∑ j = 1 n v ¯ j ( ∂ ( Y ∘ x μ ) ∂ u ¯ j ) x μ − 1 ( p )
が示される. このように,
v
(
f
)
,
D
v
Y
v
(
f
)
,
D
v
Y
v(f),D_(v)Y \boldsymbol{v}(f), D_{v} \boldsymbol{Y} v ( f ) , D v Y は well-defined である.
v
(
f
)
,
D
v
Y
v
(
f
)
,
D
v
Y
v(f),D_(v)Y \boldsymbol{v}(f), D_{v} \boldsymbol{Y} v ( f ) , D v Y を各々,
f
,
Y
f
,
Y
f,Y f, Y f , Y の
v
v
v v v に関する方向微分 (directional derivative) という.
命題 2.3.1
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
c:(-epsi,epsi)rarr S c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S c : ( − ε , ε ) → S を
c
′
(
0
)
=
v
c
′
(
0
)
=
v
c^(')(0)=v c^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} c ′ ( 0 ) = v を満たす
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線とする. このとき,
d
(
f
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
=
v
(
f
)
,
d
(
Y
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
=
D
v
Y
d
(
f
∘
c
)
d
t
t
=
0
=
v
(
f
)
,
d
(
Y
∘
c
)
d
t
t
=
0
=
D
v
Y
(d(f@c))/(dt)|_(t=0)=v(f), quad(d(Y@c))/(dt)|_(t=0)=D_(v)Y \left.\frac{d(f \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{v}(f),\left.\quad \frac{d(\boldsymbol{Y} \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=D_{v} \boldsymbol{Y} d ( f ∘ c ) d t | t = 0 = v ( f ) , d ( Y ∘ c ) d t | t = 0 = D v Y
が成り立つ.
証明
p
∈
S
λ
p
∈
S
λ
p inS_(lambda) p \in S_{\lambda} p ∈ S λ となる
S
λ
∈
D
S
λ
∈
D
S_(lambda)inD S_{\lambda} \in \mathcal{D} S λ ∈ D をとる. 合成関数の偏微分法(連鎖律)を用 いて,
d
(
f
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
(
(
f
∘
x
λ
)
(
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
)
=
∑
i
=
1
n
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
0
d
(
f
∘
c
)
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
f
∘
x
λ
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
0
{:[(d(f@c))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)((f@x_(lambda))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))):}],[=sum_(i=1)^(n)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d(f \circ c)}{d t}\right|_{t=0} & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)\right. \\
& =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}
\end{aligned} d ( f ∘ c ) d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ( f ∘ x λ ) ( u 1 ( c ( t ) ) , … , u n ( c ( t ) ) ) = ∑ i = 1 n ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0
をえる. 一方,
v
=
c
′
(
0
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
x
λ
→
(
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
)
=
∑
i
=
1
n
(
∂
x
→
λ
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
∂
u
i
)
p
v
=
c
′
(
0
)
=
d
d
t
t
=
0
x
λ
→
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
∂
x
→
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
0
=
∑
i
=
1
n
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
0
∂
∂
u
i
p
{:[v=c^(')(0)=(d)/(dt)|_(t=0)( vec(x_(lambda))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))):}],[=sum_(i=1)^(n)((del vec(x)_(lambda))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p))(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)=sum_(i=1)^(n)(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)((del)/(delu_(i)))_(p)]:} \begin{aligned}
\boldsymbol{v} & =c^{\prime}(0)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)\right. \\
& =\left.\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p}
\end{aligned} v = c ′ ( 0 ) = d d t | t = 0 ( x λ → ( u 1 ( c ( t ) ) , … , u n ( c ( t ) ) ) = ∑ i = 1 n ( ∂ x → λ ∂ u i ) x λ − 1 ( p ) d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 = ∑ i = 1 n d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 ( ∂ ∂ u i ) p
となるので,
v
(
f
)
=
∑
i
=
1
n
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
0
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
p
)
v
(
f
)
=
∑
i
=
1
n
d
u
i
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
0
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
x
λ
−
1
(
p
)
v(f)=sum_(i=1)^(n)(du_(i)(c(t)))/(dt)|_(t=0)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(p)) \boldsymbol{v}(f)=\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d u_{i}(c(t))}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)} v ( f ) = ∑ i = 1 n d u i ( c ( t ) ) d t | t = 0 ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ) x λ − 1 ( p )
をえる。したがって,
d
(
f
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
=
v
(
f
)
d
(
f
∘
c
)
d
t
t
=
0
=
v
(
f
)
(d(f@c))/(dt)|_(t=0)=v(f) \left.\frac{d(f \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{v}(f) d ( f ∘ c ) d t | t = 0 = v ( f ) をえる.
d
(
Y
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
=
D
v
Y
d
(
Y
∘
c
)
d
t
t
=
0
=
D
v
Y
(d(Y@c))/(dt)|_(t=0)=D_(v)Y \left.\frac{d(\boldsymbol{Y} \circ c)}{d t}\right|_{t=0}=D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y} d ( Y ∘ c ) d t | t = 0 = D v Y も 同様に示される.
S
S
S S S 上の接ベクトル場
X
,
S
X
,
S
X,S \boldsymbol{X}, S X , S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場
f
,
S
f
,
S
f,S f, S f , S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y に対し,
S
S
S S S 上のスカラー場
X
(
f
)
X
(
f
)
X(f) \boldsymbol{X}(f) X ( f ) と
S
S
S S S に沿うベクトル場
D
X
Y
D
X
Y
D_(X)Y D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} D X Y を各々,
X
(
f
)
p
:=
X
p
(
f
)
,
(
D
X
Y
)
p
:=
D
X
p
Y
(
p
∈
S
)
X
(
f
)
p
:=
X
p
(
f
)
,
D
X
Y
p
:=
D
X
p
Y
(
p
∈
S
)
X(f)_(p):=X_(p)(f),quad(D_(X)Y)_(p):=D_(X_(p))Y quad(p in S) \boldsymbol{X}(f)_{p}:=\boldsymbol{X}_{p}(f), \quad\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}:=D_{\boldsymbol{X}_{p}} \boldsymbol{Y} \quad(p \in S) X ( f ) p := X p ( f ) , ( D X Y ) p := D X p Y ( p ∈ S )
によって定義する.
命題 2.3.2
X
,
f
,
Y
X
,
f
,
Y
X,f,Y \boldsymbol{X}, f, \boldsymbol{Y} X , f , Y が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ならば,
X
(
f
)
,
D
X
Y
X
(
f
)
,
D
X
Y
X(f),D_(X)Y \boldsymbol{X}(f), D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} X ( f ) , D X Y は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級である.
証明
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べる.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とし,
X
X
X \boldsymbol{X} X の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関 する成分を,
X
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i)(i=1,dots,n) X_{i}(i=1, \ldots, n) X i ( i = 1 , … , n ) とする。このとき、
X
(
f
)
=
∑
i
=
1
X
i
(
∂
(
f
∘
x
λ
)
∂
u
i
∘
x
λ
−
1
)
,
D
X
Y
=
∑
i
=
1
X
i
(
∂
(
Y
∘
x
λ
)
∂
u
i
∘
x
λ
−
1
)
X
(
f
)
=
∑
i
=
1
X
i
∂
f
∘
x
λ
∂
u
i
∘
x
λ
−
1
,
D
X
Y
=
∑
i
=
1
X
i
∂
Y
∘
x
λ
∂
u
i
∘
x
λ
−
1
X(f)=sum_(i=1)X_(i)((del(f@x_(lambda)))/(delu_(i))@x_(lambda)^(-1)),quadD_(X)Y=sum_(i=1)X_(i)((del(Y@x_(lambda)))/(delu_(i))@x_(lambda)^(-1)) \boldsymbol{X}(f)=\sum_{i=1} X_{i}\left(\frac{\partial\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right), \quad D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1} X_{i}\left(\frac{\partial\left(\boldsymbol{Y} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{i}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) X ( f ) = ∑ i = 1 X i ( ∂ ( f ∘ x λ ) ∂ u i ∘ x λ − 1 ) , D X Y = ∑ i = 1 X i ( ∂ ( Y ∘ x λ ) ∂ u i ∘ x λ − 1 )
となるので,
X
(
f
)
,
D
X
Y
X
(
f
)
,
D
X
Y
X(f),D_(X)Y \boldsymbol{X}(f), D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} X ( f ) , D X Y が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であることがわかる.
命題 2.3.3
X
,
X
1
,
X
2
X
,
X
1
,
X
2
X,X_(1),X_(2) \boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2} X , X 1 , X 2 を
S
S
S S S 上の接べクトル場,
f
,
f
1
,
f
2
f
,
f
1
,
f
2
f,f_(1),f_(2) f, f_{1}, f_{2} f , f 1 , f 2 を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカ ラー場とし,
Y
,
Y
1
,
Y
2
Y
,
Y
1
,
Y
2
Y,Y_(1),Y_(2) \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{Y}_{2} Y , Y 1 , Y 2 を
S
S
S S S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル場とする. このとき、
X
(
α
f
1
+
β
f
2
)
=
α
X
(
f
1
)
+
β
X
(
f
2
)
(2.3.2)
X
(
f
1
f
2
)
=
f
1
X
(
f
2
)
+
f
1
X
(
f
2
)
X
α
f
1
+
β
f
2
=
α
X
f
1
+
β
X
f
2
(2.3.2)
X
f
1
f
2
=
f
1
X
f
2
+
f
1
X
f
2
{:[X(alphaf_(1)+betaf_(2))=alpha X(f_(1))+beta X(f_(2))],[(2.3.2)X(f_(1)f_(2))=f_(1)X(f_(2))+f_(1)X(f_(2))]:} \begin{gather*}
\boldsymbol{X}\left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)=\alpha \boldsymbol{X}\left(f_{1}\right)+\beta \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \\
\boldsymbol{X}\left(f_{1} f_{2}\right)=f_{1} \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right)+f_{1} \boldsymbol{X}\left(f_{2}\right) \tag{2.3.2}
\end{gather*} X ( α f 1 + β f 2 ) = α X ( f 1 ) + β X ( f 2 ) (2.3.2) X ( f 1 f 2 ) = f 1 X ( f 2 ) + f 1 X ( f 2 )
および,
D
X
(
α
Y
1
+
β
Y
2
)
=
α
D
X
Y
1
+
β
D
X
Y
2
(2.3.3)
D
X
(
f
Y
)
=
X
(
f
)
Y
+
f
D
X
Y
D
f
X
Y
=
f
D
X
Y
,
D
α
X
1
+
β
X
2
Y
=
α
D
X
1
Y
+
β
D
X
2
Y
D
X
α
Y
1
+
β
Y
2
=
α
D
X
Y
1
+
β
D
X
Y
2
(2.3.3)
D
X
(
f
Y
)
=
X
(
f
)
Y
+
f
D
X
Y
D
f
X
Y
=
f
D
X
Y
,
D
α
X
1
+
β
X
2
Y
=
α
D
X
1
Y
+
β
D
X
2
Y
{:[D_(X)(alphaY_(1)+betaY_(2))=alphaD_(X)Y_(1)+betaD_(X)Y_(2)],[(2.3.3)D_(X)(fY)=X(f)Y+fD_(X)Y],[D_(fX)Y=fD_(X)Y","quadD_(alphaX_(1)+betaX_(2))Y=alphaD_(X_(1))Y+betaD_(X_(2))Y]:} \begin{gather*}
D_{\boldsymbol{X}}\left(\alpha \boldsymbol{Y}_{1}+\beta \boldsymbol{Y}_{2}\right)=\alpha D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}_{1}+\beta D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}_{2} \\
D_{\boldsymbol{X}}(f \boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X}(f) \boldsymbol{Y}+f D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \tag{2.3.3}\\
D_{f \boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=f D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}, \quad D_{\alpha \boldsymbol{X}_{1}+\beta \boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}=\alpha D_{\mathbf{X}_{1}} \boldsymbol{Y}+\beta D_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}
\end{gather*} D X ( α Y 1 + β Y 2 ) = α D X Y 1 + β D X Y 2 (2.3.3) D X ( f Y ) = X ( f ) Y + f D X Y D f X Y = f D X Y , D α X 1 + β X 2 Y = α D X 1 Y + β D X 2 Y
が成り立つ. ここで,
α
,
β
α
,
β
alpha,beta \alpha, \beta α , β は実数を表す.
証明 方向微分の定義より, 直接, これらの関係式は示される.
以上の準備の下に,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場の共変微分 を定義しよう.
v
∈
T
p
S
v
∈
T
p
S
v inT_(p)S \boldsymbol{v} \in T_{p} S v ∈ T p S とし,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場とする. このと き,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の元
∇
v
Y
∇
v
Y
grad_(v)Y \nabla_{v} Y ∇ v Y を
∇
v
Y
=
pr
T
p
(
D
v
Y
)
∇
v
Y
=
pr
T
p
D
v
Y
grad_(v)Y=pr_(T_(p))(D_(v)Y) \nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}=\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(D_{v} \boldsymbol{Y}\right) ∇ v Y = pr T p ( D v Y )
により定義する.
∇
v
Y
∇
v
Y
grad_(v)Y \nabla_{v} Y ∇ v Y を,
Y
Y
Y Y Y の
v
v
v v v に関する共変微分(the covariant
derivative of
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y with respect to
v
v
v \boldsymbol{v} v ) という. また,
S
S
S S S 上の接ベクトル 場
X
X
X \boldsymbol{X} X と
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y に対し,
S
S
S S S 上の接ベクトル場
∇
X
Y
∇
X
Y
grad_(X)Y \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} ∇ X Y を
(
∇
X
Y
)
p
:=
∇
X
p
Y
(
p
∈
S
)
∇
X
Y
p
:=
∇
X
p
Y
(
p
∈
S
)
(grad_(X)Y)_(p):=grad_(X_(p))Y quad(p in S) \left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}:=\nabla_{\boldsymbol{X}_{p}} \boldsymbol{Y} \quad(p \in S) ( ∇ X Y ) p := ∇ X p Y ( p ∈ S )
により定義する.
∇
X
Y
∇
X
Y
grad_(X)Y \nabla_{X} \boldsymbol{Y} ∇ X Y を,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y の
X
X
X \boldsymbol{X} X に関する共変微分という.
問 2.3.1 単位球面
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
2
(
1
)
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
2
(
1
)
c:(-epsi,epsi)rarrS^(2)(1) c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S^{2}(1) c : ( − ε , ε ) → S 2 ( 1 ) を
c
(
t
)
:=
(
cos
(
t
+
π
4
)
,
0
,
sin
(
t
+
π
4
)
)
(
−
ε
<
t
<
ε
)
c
(
t
)
:=
cos
t
+
π
4
,
0
,
sin
t
+
π
4
(
−
ε
<
t
<
ε
)
c(t):=(cos(t+(pi)/(4)),0,sin(t+(pi)/(4)))quad(-epsi < t < epsi) c(t):=\left(\cos \left(t+\frac{\pi}{4}\right), 0, \sin \left(t+\frac{\pi}{4}\right)\right) \quad(-\varepsilon<t<\varepsilon) c ( t ) := ( cos ( t + π 4 ) , 0 , sin ( t + π 4 ) ) ( − ε < t < ε )
と定義し,
v
:=
c
′
(
0
)
(
∈
T
c
(
0
)
S
2
(
1
)
)
v
:=
c
′
(
0
)
∈
T
c
(
0
)
S
2
(
1
)
v:=c^(')(0)(inT_(c(0))S^(2)(1)) \boldsymbol{v}:=c^{\prime}(0)\left(\in T_{c(0)} S^{2}(1)\right) v := c ′ ( 0 ) ( ∈ T c ( 0 ) S 2 ( 1 ) ) とおく.
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) に沿うベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y ,
Z
Z
Z \boldsymbol{Z} Z を各々,次のように定義する:
Y
p
:=
(
−
p
3
,
0
,
p
1
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
S
2
(
1
)
)
Z
p
:=
(
−
p
1
p
3
,
0
,
p
1
2
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
S
2
(
1
)
)
Y
p
:=
−
p
3
,
0
,
p
1
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
S
2
(
1
)
Z
p
:=
−
p
1
p
3
,
0
,
p
1
2
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
S
2
(
1
)
{:[Y_(p):=(-p_(3),0,p_(1)),(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1))],[Z_(p):=(-p_(1)p_(3),0,p_(1)^(2)),(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1))]:} \begin{array}{ll}
\boldsymbol{Y}_{p}:=\left(-p_{3}, 0, p_{1}\right) & \left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right) \\
\boldsymbol{Z}_{p}:=\left(-p_{1} p_{3}, 0, p_{1}^{2}\right) & \left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right)
\end{array} Y p := ( − p 3 , 0 , p 1 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ S 2 ( 1 ) ) Z p := ( − p 1 p 3 , 0 , p 1 2 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ S 2 ( 1 ) )
次の各問いに答えよ.
(i)
Y
,
Z
Y
,
Z
Y,Z \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} Y , Z が
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級接ベクトル場であることを示せ(ヒント:
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) の単位法ベクトル場
N
N
N \boldsymbol{N} N が
N
p
:=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
(
p
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
∈
S
2
(
1
)
)
N
p
:=
p
1
,
p
2
,
p
3
p
=
p
1
,
p
2
,
p
3
∈
S
2
(
1
)
N_(p):=(p_(1),p_(2),p_(3))(p=(p_(1),p_(2),p_(3))inS^(2)(1)) \boldsymbol{N}_{p}:=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)\left(p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \in S^{2}(1)\right) N p := ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ S 2 ( 1 ) ) によ って与えられることに注意する).
(ii)
∇
v
Y
,
∇
v
Z
∇
v
Y
,
∇
v
Z
grad_(v)Y,grad_(v)Z \nabla_{v} \boldsymbol{Y}, \nabla_{v} \boldsymbol{Z} ∇ v Y , ∇ v Z を計算せよ.
(iii) (ii)の計算結果を気にせず,
Y
,
Z
Y
,
Z
Y,Z \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} Y , Z の
c
c
c c c に沿う変化の様子を図示することに より,
∇
v
Y
,
∇
v
Z
∇
v
Y
,
∇
v
Z
grad_(v)Y,grad_(v)Z \nabla_{v} \boldsymbol{Y}, \nabla_{v} \boldsymbol{Z} ∇ v Y , ∇ v Z がおおよそどのようなべクトルになるか分析し, その図形的分析結果と (ii)の計算結果とが整合していることを確認せよ.
命題 2.3.4
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接べクトル場とする。このとき,
∇
X
Y
∇
X
Y
grad_(X)Y \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} ∇ X Y は,
S
S
S S S 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 接ベクトル場である.
証明
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べる。
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ の自然に定まる単位法べクトル場を
N
λ
N
λ
N_(lambda) \boldsymbol{N}_{\lambda} N λ とする とき,
(
∇
X
Y
)
p
=
pr
T
p
(
(
D
X
Y
)
p
)
=
(
D
X
Y
)
p
−
(
(
(
D
X
Y
)
p
)
⋅
(
N
λ
)
p
)
(
N
λ
)
p
(
p
∈
S
λ
)
∇
X
Y
p
=
pr
T
p
D
X
Y
p
=
D
X
Y
p
−
D
X
Y
p
⋅
N
λ
p
N
λ
p
p
∈
S
λ
{:[(grad_(X)Y)_(p)=pr_(T_(p))((D_(X)Y)_(p))],[=(D_(X)Y)_(p)-(((D_(X)Y)_(p))*(N_(lambda))_(p))(N_(lambda))_(p)quad(p inS_(lambda))]:} \begin{aligned}
\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p} & =\operatorname{pr}_{T_{p}}\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right) \\
& =\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}-\left(\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right) \cdot\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p}\right)\left(\boldsymbol{N}_{\lambda}\right)_{p} \quad\left(p \in S_{\lambda}\right)
\end{aligned} ( ∇ X Y ) p = pr T p ( ( D X Y ) p ) = ( D X Y ) p − ( ( ( D X Y ) p ) ⋅ ( N λ ) p ) ( N λ ) p ( p ∈ S λ )
が成り立ち, それゆえ
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
∇
X
Y
=
D
X
Y
−
(
(
D
X
Y
)
⋅
N
λ
)
N
λ
∇
X
Y
=
D
X
Y
−
D
X
Y
⋅
N
λ
N
λ
grad_(X)Y=D_(X)Y-((D_(X)Y)*N_(lambda))N_(lambda) \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{\lambda}\right) \boldsymbol{N}_{\lambda} ∇ X Y = D X Y − ( ( D X Y ) ⋅ N λ ) N λ
が成り立つ.ゆえに,
N
λ
N
λ
N_(lambda) \boldsymbol{N}_{\lambda} N λ は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であり,
D
X
Y
D
X
Y
D_(X)Y D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} D X Y は
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であるので,
∇
X
Y
∇
X
Y
grad_(X)Y \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} ∇ X Y が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に沿うべクトル場として
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であることがわかる. さらに,命題 2.1.2により,
∇
X
Y
∇
X
Y
grad_(X)Y \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} ∇ X Y が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の接ベクトル場として
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であること がわかる.
命題 2.3.5
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
2
)
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
2
)
X_(i),Y_(i)(i=1,2) \boldsymbol{X}_{i}, \boldsymbol{Y}_{i}(i=1,2) X i , Y i ( i = 1 , 2 ) を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場とし,
f
f
f f f を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r スカラー場とする。このとき, 次式が成り立つ:
∇
X
(
α
Y
1
+
β
Y
2
)
=
α
∇
X
Y
1
+
β
∇
X
Y
2
,
∇
X
(
f
Y
)
=
X
(
f
)
Y
+
f
∇
X
Y
∇
α
X
1
+
β
X
2
Y
=
α
∇
X
1
Y
+
β
∇
X
2
Y
,
∇
f
X
Y
=
f
∇
X
Y
∇
X
α
Y
1
+
β
Y
2
=
α
∇
X
Y
1
+
β
∇
X
Y
2
,
∇
X
(
f
Y
)
=
X
(
f
)
Y
+
f
∇
X
Y
∇
α
X
1
+
β
X
2
Y
=
α
∇
X
1
Y
+
β
∇
X
2
Y
,
∇
f
X
Y
=
f
∇
X
Y
{:[grad_(X)(alphaY_(1)+betaY_(2))=alphagrad_(X)Y_(1)+betagrad_(X)Y_(2)",",grad_(X)(fY)=X(f)Y+fgrad_(X)Y],[grad_(alphaX_(1)+betaX_(2))Y=alphagrad_(X_(1))Y+betagrad_(X_(2))Y",",grad_(fX)Y=fgrad_(X)Y]:} \begin{array}{ll}
\nabla_{\boldsymbol{X}}\left(\alpha \boldsymbol{Y}_{1}+\beta \boldsymbol{Y}_{2}\right)=\alpha \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}_{1}+\beta \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}_{2}, & \nabla_{\boldsymbol{X}}(f \boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X}(f) \boldsymbol{Y}+f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \\
\nabla_{\alpha \boldsymbol{X}_{1}+\beta \boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}=\alpha \nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{Y}+\beta \nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{Y}, & \nabla_{f \boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}
\end{array} ∇ X ( α Y 1 + β Y 2 ) = α ∇ X Y 1 + β ∇ X Y 2 , ∇ X ( f Y ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y ∇ α X 1 + β X 2 Y = α ∇ X 1 Y + β ∇ X 2 Y , ∇ f X Y = f ∇ X Y
証明 式 (2.3.3)と
pr
T
p
pr
T
p
pr_(T_(p)) \mathrm{pr}_{T_{p}} pr T p の線形性を用いて, 直接, これらの関係式は示され る.
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接べクトル場とする. 各
v
∈
T
p
S
v
∈
T
p
S
v inT_(p)S \boldsymbol{v} \in T_{p} S v ∈ T p S に対し,
∇
v
Y
∇
v
Y
grad_(v)Y \nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y} ∇ v Y を対応 させる対応を
(
∇
Y
)
p
(
∇
Y
)
p
(grad Y)_(p) (\nabla \boldsymbol{Y})_{p} ( ∇ Y ) p と表す. 明らかに, この対応
(
∇
Y
)
p
(
∇
Y
)
p
(grad Y)_(p) (\nabla \boldsymbol{Y})_{p} ( ∇ Y ) p は
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S からそれ自身への線形写像, つまり,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) テンソルである. 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対 し,
(
∇
Y
)
p
(
∇
Y
)
p
(grad Y)_(p) (\nabla \boldsymbol{Y})_{p} ( ∇ Y ) p のトレース
Tr
(
∇
Y
)
p
Tr
(
∇
Y
)
p
Tr(grad Y)_(p) \operatorname{Tr}(\nabla \boldsymbol{Y})_{p} Tr ( ∇ Y ) p を対応させる対応は,
S
S
S S S 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 スカラ 一場を与える。このスカラー場を
Y
Y
Y Y Y の
g
g
g g g に関する発散(the divergence of
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y with respect to
g
g
g \boldsymbol{g} g ) といい,
div
g
Y
div
g
Y
div_(g)Y \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{Y} div g Y と表す. ここで,
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) を
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) の正規直交基底としたとき,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
(2.3.4)
(
div
g
Y
)
p
=
∑
i
=
1
n
g
p
(
∇
e
i
Y
,
e
i
)
(2.3.4)
div
g
Y
p
=
∑
i
=
1
n
g
p
∇
e
i
Y
,
e
i
{:(2.3.4)(div_(g)Y)_(p)=sum_(i=1)^(n)g_(p)(grad_(e_(i))Y,e_(i)):} \begin{equation*}
\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\sum_{i=1}^{n} g_{p}\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \tag{2.3.4}
\end{equation*} (2.3.4) ( div g Y ) p = ∑ i = 1 n g p ( ∇ e i Y , e i )
が成り立ち,
S
S
S S S の局所座標
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) に関する
g
g
g g g の成分を
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j とし,行列
(
g
i
j
)
g
i
j
(g_(ij)) \left(g_{i j}\right) ( g i j ) の逆行列を
(
g
i
j
)
g
i
j
(g^(ij)) \left(g^{i j}\right) ( g i j ) とするとき,
(2.3.5)
div
g
Y
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
(
∇
∂
∂
u
i
Y
,
∂
∂
u
j
)
g
i
j
(2.3.5)
div
g
Y
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
∇
∂
∂
u
i
Y
,
∂
∂
u
j
g
i
j
{:(2.3.5)div_(g)Y=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)g(grad_((del)/(delu_(i)))Y,(del)/(delu_(j)))g^(ij):} \begin{equation*}
\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \boldsymbol{Y}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) g^{i j} \tag{2.3.5}
\end{equation*} (2.3.5) div g Y = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g ( ∇ ∂ ∂ u i Y , ∂ ∂ u j ) g i j
が成り立つことに注意する.
次に, 向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
S
S
S S S の形作用素, および, 第 2 基本形式を 定義することにする。
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とする.
g
g
g g g を
S
S
S S S の第 1 基本形式とし,
N
N
N N N を
S
S
S S S の自然に定まる単位法ベクトル場とす
る. 点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S からそれ自身への写像
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p を
A
p
(
v
)
:=
−
D
v
N
(
v
∈
T
p
S
)
A
p
(
v
)
:=
−
D
v
N
v
∈
T
p
S
A_(p)(v):=-D_(v)N quad(v inT_(p)S) A_{p}(\boldsymbol{v}):=-D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{N} \quad\left(\boldsymbol{v} \in T_{p} S\right) A p ( v ) := − D v N ( v ∈ T p S )
によって定める. ここで,
A
p
(
v
)
⋅
N
p
=
−
(
D
v
N
)
⋅
N
p
=
1
2
v
(
N
⋅
N
)
=
0
A
p
(
v
)
⋅
N
p
=
−
D
v
N
⋅
N
p
=
1
2
v
(
N
⋅
N
)
=
0
A_(p)(v)*N_(p)=-(D_(v)N)*N_(p)=(1)/(2)v(N*N)=0 A_{p}(\boldsymbol{v}) \cdot \boldsymbol{N}_{p}=-\left(D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{N}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}=\frac{1}{2} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{N})=0 A p ( v ) ⋅ N p = − ( D v N ) ⋅ N p = 1 2 v ( N ⋅ N ) = 0
となるので,
A
p
(
v
)
∈
T
p
S
A
p
(
v
)
∈
T
p
S
A_(p)(v)inT_(p)S A_{p}(\boldsymbol{v}) \in T_{p} S A p ( v ) ∈ T p S が成り立つことを注意しておく.
v
,
w
∈
T
p
S
v
,
w
∈
T
p
S
v,w inT_(p)S \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} S v , w ∈ T p S と し,
α
,
β
∈
R
α
,
β
∈
R
alpha,beta inR \alpha, \beta \in \mathbb{R} α , β ∈ R とするとき,
A
p
(
α
v
+
β
w
)
=
−
D
α
v
+
β
w
N
=
−
α
D
v
N
−
β
D
w
N
=
α
A
p
(
v
)
+
β
A
p
(
w
)
A
p
(
α
v
+
β
w
)
=
−
D
α
v
+
β
w
N
=
−
α
D
v
N
−
β
D
w
N
=
α
A
p
(
v
)
+
β
A
p
(
w
)
A_(p)(alpha v+beta w)=-D_(alpha v+beta w)N=-alphaD_(v)N-betaD_(w)N=alphaA_(p)(v)+betaA_(p)(w) A_{p}(\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w})=-D_{\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w}} \boldsymbol{N}=-\alpha D_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{N}-\beta D_{\boldsymbol{w}} \boldsymbol{N}=\alpha A_{p}(\boldsymbol{v})+\beta A_{p}(\boldsymbol{w}) A p ( α v + β w ) = − D α v + β w N = − α D v N − β D w N = α A p ( v ) + β A p ( w )
となり,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p が線形変換になることがわかる. 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p を対応 させる対応
A
A
A A A は
S
S
S S S 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル場を与える. この
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル 場
A
A
A A A を
S
S
S S S の形作用素(shape operator)という.
命題 2.3.6 形作用素
A
A
A A A は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル場である.
証明
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で調べることにする.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とし,
A
A
A A A の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
A
i
j
A
i
j
A_(i)^(j) A_{i}{ }^{j} A i j とするとき, 接ベクトル場
A
(
∂
∂
u
i
)
A
∂
∂
u
i
A((del)/(delu_(i))) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right) A ( ∂ ∂ u i ) は
A
(
∂
∂
u
i
)
=
∑
j
=
1
n
A
i
j
∂
∂
u
j
A
∂
∂
u
i
=
∑
j
=
1
n
A
i
j
∂
∂
u
j
A((del)/(delu_(i)))=sum_(j=1)^(n)A_(i)^(j)(del)/(delu_(j)) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)=\sum_{j=1}^{n} A_{i}{ }^{j} \frac{\partial}{\partial u_{j}} A ( ∂ ∂ u i ) = ∑ j = 1 n A i j ∂ ∂ u j
と表されるので, 接ベクトル場
A
(
∂
∂
u
i
)
A
∂
∂
u
i
A((del)/(delu_(i))) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right) A ( ∂ ∂ u i ) の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分は
A
i
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
A
i
j
(
j
=
1
,
…
,
n
)
A_(i)^(j)(j=1,dots,n) A_{i}{ }^{j}(j=1, \ldots, n) A i j ( j = 1 , … , n ) となる。一方,
A
(
∂
∂
u
i
)
=
−
D
∂
∂
u
i
N
A
∂
∂
u
i
=
−
D
∂
∂
u
i
N
A((del)/(delu_(i)))=-D_((del)/(delu_(i)))N A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)=-D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} N A ( ∂ ∂ u i ) = − D ∂ ∂ u i N であり, 命題 2.1.3 の証明中で述べたように
N
N
N \boldsymbol{N} N は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であり,ゆえに命題 2.3 .2 により,
D
∂
∂
u
i
N
D
∂
∂
u
i
N
D_((del)/(delu_(i)))N D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} N D ∂ ∂ u i N が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることがわかる。したがって, 接べクトル場
A
(
∂
∂
u
i
)
A
∂
∂
u
i
A((del)/(delu_(i))) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right) A ( ∂ ∂ u i ) が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であり, それゆえ, その成分
A
i
j
A
i
j
A_(i)^(j) A_{i}{ }^{j} A i j が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であること,つまり
A
A
A A A が
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることが示される.
A の定義より, 直接, 次の関係式が導かれる.
命題 2.3.7
S
S
S S S 上の接ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
D
X
N
=
−
A
(
X
)
D
X
N
=
−
A
(
X
)
D_(X)N=-A(X) D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{N}=-A(\boldsymbol{X}) D X N = − A ( X ) が成り立つ.
この関係式は, ワインガルテンの公式(Weingarten formula)とよばれ る. 次に, 第 2 基本形式を定義することにする.
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
h
p
:
T
p
S
×
h
p
:
T
p
S
×
h_(p):T_(p)S xx h_{p}: T_{p} S \times h p : T p S ×
T
p
S
→
R
T
p
S
→
R
T_(p)S rarrR T_{p} S \rightarrow \mathbb{R} T p S → R を
h
p
(
v
,
w
)
:=
g
p
(
A
p
(
v
)
,
w
)
(
v
,
w
∈
T
p
(
S
)
)
h
p
(
v
,
w
)
:=
g
p
A
p
(
v
)
,
w
v
,
w
∈
T
p
(
S
)
h_(p)(v,w):=g_(p)(A_(p)(v),w)quad(v,w inT_(p)(S)) h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=g_{p}\left(A_{p}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p}(S)\right) h p ( v , w ) := g p ( A p ( v ) , w ) ( v , w ∈ T p ( S ) )
によって定める.このとき,
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p が 2 次共変テンソルであることと,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p が
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソルであることから,
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p が
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S 上の 2 次共変テンソルであるこ とが導かれる。それゆえ, 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p を対応させる対応
h
h
h h h は,
S
S
S S S 上の 2 次共変テンソル場を与える。さらに,
g
,
A
g
,
A
g,A g, A g , A が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることから,
h
h
h h h が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の 2 次共変テンソル場であることが導かれる。この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の 2 次共変テンソル場
h
h
h h h を
S
S
S S S の第 2 基本形式(second fundamental form)とい う.
命題 2.3.8 第 2 基本形式
h
h
h h h は対称である.
証明
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場とする. このとき,
h
(
X
,
Y
)
=
g
(
A
(
X
)
,
Y
)
=
−
g
(
D
X
N
,
Y
)
(2.3.6)
=
−
X
(
N
⋅
Y
)
+
N
⋅
(
D
X
Y
)
=
N
⋅
(
D
X
Y
)
h
(
X
,
Y
)
=
g
(
A
(
X
)
,
Y
)
=
−
g
D
X
N
,
Y
(2.3.6)
=
−
X
(
N
⋅
Y
)
+
N
⋅
D
X
Y
=
N
⋅
D
X
Y
{:[h(X","Y)=g(A(X)","Y)=-g(D_(X)N,Y)],[(2.3.6)=-X(N*Y)+N*(D_(X)Y)=N*(D_(X)Y)]:} \begin{align*}
h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) & =g(A(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{Y})=-g\left(D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{N}, \boldsymbol{Y}\right) \\
& =-\boldsymbol{X}(\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{Y})+\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)=\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}\right) \tag{2.3.6}
\end{align*} h ( X , Y ) = g ( A ( X ) , Y ) = − g ( D X N , Y ) (2.3.6) = − X ( N ⋅ Y ) + N ⋅ ( D X Y ) = N ⋅ ( D X Y )
が示される.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とし,
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i),Y_(i)(i=1,dots,n) X_{i}, Y_{i}(i=1, \ldots, n) X i , Y i ( i = 1 , … , n ) を各々,
X
X
X \boldsymbol{X} X ,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分とする。このとき, 命題 2.3.3を用いて,
D
X
Y
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
∂
Y
j
∂
u
i
∂
∂
u
j
+
Y
j
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
)
D
X
Y
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
∂
Y
j
∂
u
i
∂
∂
u
j
+
Y
j
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
D_(X)Y=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)((delY_(j))/(delu_(i))(del)/(delu_(j))+Y_(j)D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))) D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}\left(\frac{\partial Y_{j}}{\partial u_{i}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}+Y_{j} D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) D X Y = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( ∂ Y j ∂ u i ∂ ∂ u j + Y j D ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j )
が示され, それゆえ,
N
⋅
(
D
X
Y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
Y
j
(
N
⋅
(
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
)
)
N
⋅
D
X
Y
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
Y
j
N
⋅
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
N*(D_(X)Y)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)Y_(j)(N*(D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j)))) \boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i} Y_{j}\left(\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)\right) N ⋅ ( D X Y ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i Y j ( N ⋅ ( D ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j ) )
をえる. 同様に,
N
⋅
(
D
Y
X
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
Y
j
X
i
(
N
⋅
(
D
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
)
)
N
⋅
D
Y
X
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
Y
j
X
i
N
⋅
D
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
N*(D_(Y)X)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)Y_(j)X_(i)(N*(D_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i)))) \boldsymbol{N} \cdot\left(D_{Y} \boldsymbol{X}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} Y_{j} X_{i}\left(\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)\right) N ⋅ ( D Y X ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Y j X i ( N ⋅ ( D ∂ ∂ u j ∂ ∂ u i ) )
が示される. それゆえ,
(2.3.7)
N
⋅
(
D
X
Y
−
D
Y
X
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
Y
j
(
N
⋅
(
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
−
D
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
)
)
(2.3.7)
N
⋅
D
X
Y
−
D
Y
X
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
Y
j
N
⋅
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
−
D
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
{:(2.3.7)N*(D_(X)Y-D_(Y)X)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)Y_(j)(N*(D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))-D_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i)))):} \begin{equation*}
\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-D_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i} Y_{j}\left(\boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}-D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)\right) \tag{2.3.7}
\end{equation*} (2.3.7) N ⋅ ( D X Y − D Y X ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i Y j ( N ⋅ ( D ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j − D ∂ ∂ u j ∂ ∂ u i ) )
をえる。一方,
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
−
D
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
=
∂
2
x
λ
→
∂
u
i
∂
u
j
−
∂
2
x
λ
→
∂
u
j
∂
u
i
=
0
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
−
D
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
=
∂
2
x
λ
→
∂
u
i
∂
u
j
−
∂
2
x
λ
→
∂
u
j
∂
u
i
=
0
D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))-D_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i))=(del^(2) vec(x_(lambda)))/(delu_(i)delu_(j))-(del^(2) vec(x_(lambda)))/(delu_(j)delu_(i))=0 D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}-D_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}=\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}-\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}=\mathbf{0} D ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j − D ∂ ∂ u j ∂ ∂ u i = ∂ 2 x λ → ∂ u i ∂ u j − ∂ 2 x λ → ∂ u j ∂ u i = 0
が示される. したがって式 (2.3.7) より,
N
⋅
(
D
X
Y
−
D
Y
X
)
=
0
N
⋅
D
X
Y
−
D
Y
X
=
0
N*(D_(X)Y-D_(Y)X)=0 \boldsymbol{N} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-D_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}\right)=\mathbf{0} N ⋅ ( D X Y − D Y X ) = 0 が示され, さらに式
(
2.3
.6
)
(
2.3
.6
)
(2.3.6) (2.3 .6) ( 2.3 .6 ) より,
h
(
X
,
Y
)
=
h
(
Y
,
X
)
h
(
X
,
Y
)
=
h
(
Y
,
X
)
h(X,Y)=h(Y,X) h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})=h(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X}) h ( X , Y ) = h ( Y , X ) が導かれる.
pr
⊥
p
pr
⊥
p
pr_(_|__(p)) \mathrm{pr}_{\perp_{p}} pr ⊥ p を
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 から
T
p
⊥
S
T
p
⊥
S
T_(p)^(_|_)S T_{p}^{\perp} S T p ⊥ S への直交射影, つまり, 各
v
∈
R
n
+
1
v
∈
R
n
+
1
v inR^(n+1) \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{n+1} v ∈ R n + 1 に対し,
v
v
v \boldsymbol{v} v を
v
=
v
T
+
v
⊥
(
v
T
∈
T
p
S
,
v
⊥
∈
T
p
⊥
S
)
v
=
v
T
+
v
⊥
v
T
∈
T
p
S
,
v
⊥
∈
T
p
⊥
S
v=v_(T)+v_(_|_)(v_(T)inT_(p)S,v_(_|_)inT_(p)^(_|_)S) \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{T}+\boldsymbol{v}_{\perp}\left(\boldsymbol{v}_{T} \in T_{p} S, \boldsymbol{v}_{\perp} \in T_{p}^{\perp} S\right) v = v T + v ⊥ ( v T ∈ T p S , v ⊥ ∈ T p ⊥ S ) と分解したときの接成分
v
⊥
v
⊥
v_(_|_) \boldsymbol{v}_{\perp} v ⊥ を対応さ せる対応とする。
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n 上のベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
S
S
S S S に沿うベクトル場
X
⊥
X
⊥
X_(_|_) \boldsymbol{X}_{\perp} X ⊥ を
(
X
⊥
)
p
:=
pr
⊥
p
(
X
p
)
(
p
∈
S
)
X
⊥
p
:=
pr
⊥
p
X
p
(
p
∈
S
)
(X_(_|_))_(p):=pr_(_|__(p))(X_(p))quad(p in S) \left(\boldsymbol{X}_{\perp}\right)_{p}:=\operatorname{pr}_{\perp_{p}}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right) \quad(p \in S) ( X ⊥ ) p := pr ⊥ p ( X p ) ( p ∈ S )
で定める.
v
⊥
,
X
⊥
v
⊥
,
X
⊥
v_(_|_),X_(_|_) v_{\perp}, X_{\perp} v ⊥ , X ⊥ を各々,
v
,
X
v
,
X
v,X v, X v , X の法成分(normal component)とい う.
D
,
∇
D
,
∇
D,grad D, \nabla D , ∇ , および
h
h
h h h の間に, 次の関係式が成り立つ.
命題 2.3.9
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y に対し,
(2.3.8)
D
X
Y
=
∇
X
Y
+
h
(
X
,
Y
)
N
(2.3.8)
D
X
Y
=
∇
X
Y
+
h
(
X
,
Y
)
N
{:(2.3.8)D_(X)Y=grad_(X)Y+h(X","Y)N:} \begin{equation*}
D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=\nabla_{\boldsymbol{X}} \mathbf{Y}+h(\boldsymbol{X}, \mathbf{Y}) \boldsymbol{N} \tag{2.3.8}
\end{equation*} (2.3.8) D X Y = ∇ X Y + h ( X , Y ) N
が成り立つ.
証明
(
(
D
X
Y
)
p
)
⊥
p
∈
Span
{
N
p
}
D
X
Y
p
⊥
p
∈
Span
N
p
quad((D_(X)Y)_(p))_(_|__(p))in Span{N_(p)} \quad\left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right)_{\perp_{p}} \in \operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{N}_{p}\right\} ( ( D X Y ) p ) ⊥ p ∈ Span { N p } なので,
(
(
D
X
Y
)
p
)
⊥
p
=
a
N
p
(
a
∈
R
)
D
X
Y
p
⊥
p
=
a
N
p
(
a
∈
R
)
((D_(X)Y)_(p))_(_|__(p))=aN_(p)(a inR) \left(\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right)_{\perp_{p}}=a \boldsymbol{N}_{p}(a \in \mathbb{R}) ( ( D X Y ) p ) ⊥ p = a N p ( a ∈ R ) と表される.
a
a
a a a を求めよう.
∇
∇
grad \nabla ∇ の定義より,
(2.3.9)
(
D
X
Y
)
p
=
(
(
D
X
Y
)
p
)
T
p
+
(
(
D
X
Y
)
p
)
⊥
p
=
(
∇
X
Y
)
p
+
a
N
p
(2.3.9)
D
X
Y
p
=
D
X
Y
p
T
p
+
D
X
Y
p
⊥
p
=
∇
X
Y
p
+
a
N
p
{:(2.3.9)(D_(X)Y)_(p)=((D_(X)Y)_(p))_(T_(p))+((D_(X)Y)_(p))_(_|__(p))=(grad_(X)Y)_(p)+aN_(p):} \begin{equation*}
\left(D_{\mathbf{X}} \mathbf{Y}\right)_{p}=\left(\left(D_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right)_{T_{p}}+\left(\left(D_{\mathbf{X}} \mathbf{Y}\right)_{p}\right)_{\perp_{p}}=\left(\nabla_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}+a \boldsymbol{N}_{p} \tag{2.3.9}
\end{equation*} (2.3.9) ( D X Y ) p = ( ( D X Y ) p ) T p + ( ( D X Y ) p ) ⊥ p = ( ∇ X Y ) p + a N p
が成り立つ. この式の両辺と
N
p
N
p
N_(p) N_{p} N p との内積をとることにより,
a
=
N
p
⋅
(
D
X
Y
)
p
=
X
p
(
N
⋅
Y
)
−
(
D
X
N
)
p
⋅
Y
p
=
g
p
(
A
p
(
X
p
)
,
Y
p
)
=
h
p
(
X
p
,
Y
p
)
a
=
N
p
⋅
D
X
Y
p
=
X
p
(
N
⋅
Y
)
−
D
X
N
p
⋅
Y
p
=
g
p
A
p
X
p
,
Y
p
=
h
p
X
p
,
Y
p
a=N_(p)*(D_(X)Y)_(p)=X_(p)(N*Y)-(D_(X)N)_(p)*Y_(p)=g_(p)(A_(p)(X_(p)),Y_(p))=h_(p)(X_(p),Y_(p)) a=\boldsymbol{N}_{p} \cdot\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\boldsymbol{X}_{p}(\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{Y})-\left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{N}\right)_{p} \cdot \boldsymbol{Y}_{p}=g_{p}\left(A_{p}\left(\boldsymbol{X}_{p}\right), \boldsymbol{Y}_{p}\right)=h_{p}\left(\boldsymbol{X}_{p}, \boldsymbol{Y}_{p}\right) a = N p ⋅ ( D X Y ) p = X p ( N ⋅ Y ) − ( D X N ) p ⋅ Y p = g p ( A p ( X p ) , Y p ) = h p ( X p , Y p )
をえる. これを式 (2.3.9) に代入して,
(
D
X
Y
)
p
=
(
∇
X
Y
)
p
+
h
p
(
X
p
,
Y
p
)
N
p
D
X
Y
p
=
∇
X
Y
p
+
h
p
X
p
,
Y
p
N
p
(D_(X)Y)_(p)=(grad_(X)Y)_(p)+h_(p)(X_(p),Y_(p))N_(p) \left(D_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}+h_{p}\left(\boldsymbol{X}_{p}, \boldsymbol{Y}_{p}\right) \boldsymbol{N}_{p} ( D X Y ) p = ( ∇ X Y ) p + h p ( X p , Y p ) N p
をえる。したがって,
p
p
p p p の任意性により, 求めるべき関係式が示される.
上述の式 (2.3.8) をガウスの公式(Gauss formula)という. 命題 2.3 .8 か ら直接, 形作用素
A
A
A A A について, 次の事実が導かれる.
命題 2.3.10 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
A
p
:
(
T
p
S
,
g
p
)
→
(
T
p
S
,
g
p
)
A
p
:
T
p
S
,
g
p
→
T
p
S
,
g
p
A_(p):(T_(p)S,g_(p))rarr(T_(p)S,g_(p)) A_{p}:\left(T_{p} S, g_{p}\right) \rightarrow\left(T_{p} S, g_{p}\right) A p : ( T p S , g p ) → ( T p S , g p ) は対称変換で ある.
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p は対称変換なので,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) のある正規直交基底に関する表現行列は対角行列になる。具体的に,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) の正規直交基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) に関する表現行列が
(
λ
1
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
λ
n
)
λ
1
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
λ
n
([lambda_(1),0,cdots,0],[vdots,vdots,vdots,vdots],[0,0,cdots,lambda_(n)]) \left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right) ( λ 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n )
になるとする. このとき,
A
p
(
e
i
)
=
λ
i
e
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
A
p
e
i
=
λ
i
e
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
A_(p)(e_(i))=lambda_(i)e_(i)(i=1,dots,n) A_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\lambda_{i} \boldsymbol{e}_{i}(i=1, \ldots, n) A p ( e i ) = λ i e i ( i = 1 , … , n ) となるので,
λ
1
,
…
λ
1
,
…
lambda_(1),dots \lambda_{1}, \ldots λ 1 , … ,
λ
n
λ
n
lambda_(n) \lambda_{n} λ n は,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の固有値である.
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の各固有値は,
S
S
S S S の点
p
p
p p p における主曲率 (principal curvature) とよばれ,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の各固有べクトルは,
S
S
S S S の点
p
p
p p p にお ける主曲率ベクトル(principal curvature vector)とよばれ, 特に
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の 各単位固有ベクトルは,
S
S
S S S の点
p
p
p p p における主方向(principal direction)と よばれる。また,
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の各固有空間は,
S
S
S S S の点
p
p
p p p にける主曲率空間 (principal curvature space) とよばれる。命題 2.3 .1 によれば,
v
=
c
′
(
0
)
v
=
c
′
(
0
)
v=c^(')(0) \boldsymbol{v}=c^{\prime}(0) v = c ′ ( 0 )
(
=
d
c
d
t
|
t
=
0
)
=
d
c
d
t
t
=
0
(=(dc)/(dt)|_(t=0)) \left(=\left.\frac{d c}{d t}\right|_{t=0}\right) ( = d c d t | t = 0 ) とするとき,
A
p
(
v
)
=
−
d
(
N
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
A
p
(
v
)
=
−
d
(
N
∘
c
)
d
t
t
=
0
A_(p)(v)=-(d(N@c))/(dt)|_(t=0) A_{p}(\boldsymbol{v})=-\left.\frac{d(\boldsymbol{N} \circ c)}{d t}\right|_{t=0} A p ( v ) = − d ( N ∘ c ) d t | t = 0
が成り立つので,
N
N
N N N の振る舞いから図形的考察により, 主曲率, および主方向を分析することができる(図 2.3.1, 2.3.2 を参照).
図 2.3.1 主曲率を図形的に分析する方法(その 1)
図 2.3.2主曲率を図形的に分析する方法(その 2 )
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の固有値の全体を
Spec
A
p
Spec
A
p
SpecA_(p) \operatorname{Spec} A_{p} Spec A p と表す.
Spec
A
p
=
{
λ
^
i
∣
i
=
1
,
…
,
l
}
(
λ
^
1
>
⋯
>
λ
^
l
)
Spec
A
p
=
λ
^
i
∣
i
=
1
,
…
,
l
λ
^
1
>
⋯
>
λ
^
l
SpecA_(p)={ widehat(lambda)_(i)∣i=1,dots,l}quad( widehat(lambda)_(1) > cdots > widehat(lambda)_(l)) \operatorname{Spec} A_{p}=\left\{\widehat{\lambda}_{i} \mid i=1, \ldots, l\right\} \quad\left(\widehat{\lambda}_{1}>\cdots>\widehat{\lambda}_{l}\right) Spec A p = { λ ^ i ∣ i = 1 , … , l } ( λ ^ 1 > ⋯ > λ ^ l )
であり,
λ
^
i
λ
^
i
widehat(lambda)_(i) \widehat{\lambda}_{i} λ ^ i の重複度が
m
i
m
i
m_(i) m_{i} m i , つまり,
dim
Ker
(
A
p
−
λ
^
i
id
)
=
m
i
dim
Ker
A
p
−
λ
^
i
id
=
m
i
dim Ker(A_(p)- widehat(lambda)_(i)id)=m_(i) \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A_{p}-\widehat{\lambda}_{i} \mathrm{id}\right)=m_{i} dim Ker ( A p − λ ^ i id ) = m i であるとす る. このとき,
λ
1
,
…
,
λ
n
λ
1
,
…
,
λ
n
lambda_(1),dots,lambda_(n) \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} λ 1 , … , λ n を
λ
i
:=
{
λ
^
1
(
1
≤
i
≤
m
1
)
λ
^
2
(
m
1
+
1
≤
i
≤
m
1
+
m
2
)
⋮
⋮
λ
^
l
(
m
1
+
⋯
+
m
l
−
1
+
1
≤
i
≤
n
)
λ
i
:=
λ
^
1
1
≤
i
≤
m
1
λ
^
2
m
1
+
1
≤
i
≤
m
1
+
m
2
⋮
⋮
λ
^
l
m
1
+
⋯
+
m
l
−
1
+
1
≤
i
≤
n
lambda_(i):={[ widehat(lambda)_(1),(1 <= i <= m_(1))],[ widehat(lambda)_(2),(m_(1)+1 <= i <= m_(1)+m_(2))],[vdots,vdots],[ widehat(lambda)_(l),(m_(1)+cdots+m_(l-1)+1 <= i <= n)]:} \lambda_{i}:= \begin{cases}\widehat{\lambda}_{1} & \left(1 \leq i \leq m_{1}\right) \\ \widehat{\lambda}_{2} & \left(m_{1}+1 \leq i \leq m_{1}+m_{2}\right) \\ \vdots & \vdots \\ \widehat{\lambda}_{l} & \left(m_{1}+\cdots+m_{l-1}+1 \leq i \leq n\right)\end{cases} λ i := { λ ^ 1 ( 1 ≤ i ≤ m 1 ) λ ^ 2 ( m 1 + 1 ≤ i ≤ m 1 + m 2 ) ⋮ ⋮ λ ^ l ( m 1 + ⋯ + m l − 1 + 1 ≤ i ≤ n )
によって定義する. このとき, 少し乱暴ではあるが,
Spec
A
p
=
{
λ
1
≥
λ
2
≥
Spec
A
p
=
λ
1
≥
λ
2
≥
SpecA_(p)={lambda_(1) >= lambda_(2) >= :} \operatorname{Spec} A_{p}=\left\{\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq\right. Spec A p = { λ 1 ≥ λ 2 ≥
⋯
≥
λ
n
}
⋯
≥
λ
n
{: cdots >= lambda_(n)} \left.\cdots \geq \lambda_{n}\right\} ⋯ ≥ λ n } と表すことにする。
H
i
p
(
i
=
1
,
…
,
n
)
H
i
p
(
i
=
1
,
…
,
n
)
H_(i)^(p)(i=1,dots,n) \mathcal{H}_{i}^{p}(i=1, \ldots, n) H i p ( i = 1 , … , n ) を
∏
i
=
1
n
(
t
−
λ
i
)
=
t
n
+
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
H
i
p
t
n
−
i
∏
i
=
1
n
t
−
λ
i
=
t
n
+
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
H
i
p
t
n
−
i
prod_(i=1)^(n)(t-lambda_(i))=t^(n)+sum_(i=1)^(n)(-1)^(i)H_(i)^(p)t^(n-i) \prod_{i=1}^{n}\left(t-\lambda_{i}\right)=t^{n}+\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i} \mathcal{H}_{i}^{p} t^{n-i} ∏ i = 1 n ( t − λ i ) = t n + ∑ i = 1 n ( − 1 ) i H i p t n − i
によって定義する. 各点
p
∈
S
p
∈
S
p in S p \in S p ∈ S に対し,
H
i
p
H
i
p
H_(i)^(p) \mathcal{H}_{i}^{p} H i p を対応させることにより定義され る
S
S
S S S 上のスカラー場
H
i
H
i
H_(i) \mathcal{H}_{i} H i を
S
S
S S S の第
i
i
i \boldsymbol{i} i 次平均曲率(i-th mean curvature)と いう。例えば,
H
1
p
=
∑
i
=
1
n
λ
i
=
Tr
A
p
,
H
2
p
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
λ
i
λ
j
H
3
p
=
∑
1
≤
i
<
j
<
k
≤
n
λ
i
λ
j
λ
k
,
…
,
H
n
p
=
λ
1
⋯
λ
n
=
det
A
p
H
1
p
=
∑
i
=
1
n
λ
i
=
Tr
A
p
,
H
2
p
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
λ
i
λ
j
H
3
p
=
∑
1
≤
i
<
j
<
k
≤
n
λ
i
λ
j
λ
k
,
…
,
H
n
p
=
λ
1
⋯
λ
n
=
det
A
p
{:[H_(1)^(p)=sum_(i=1)^(n)lambda_(i)=TrA_(p)","quadH_(2)^(p)=sum_(1 <= i < j <= n)lambda_(i)lambda_(j)],[H_(3)^(p)=sum_(1 <= i < j < k <= n)lambda_(i)lambda_(j)lambda_(k)","dots","H_(n)^(p)=lambda_(1)cdotslambda_(n)=detA_(p)]:} \begin{aligned}
& \mathcal{H}_{1}^{p}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\operatorname{Tr} A_{p}, \quad \mathcal{H}_{2}^{p}=\sum_{1 \leq i<j \leq n} \lambda_{i} \lambda_{j} \\
& \mathcal{H}_{3}^{p}=\sum_{1 \leq i<j<k \leq n} \lambda_{i} \lambda_{j} \lambda_{k}, \ldots, \mathcal{H}_{n}^{p}=\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}=\operatorname{det} A_{p}
\end{aligned} H 1 p = ∑ i = 1 n λ i = Tr A p , H 2 p = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n λ i λ j H 3 p = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n λ i λ j λ k , … , H n p = λ 1 ⋯ λ n = det A p
となる. 特に,
H
:=
H
1
n
H
:=
H
1
n
H:=(H_(1))/(n) \mathcal{H}:=\frac{\mathcal{H}_{1}}{n} H := H 1 n は
S
S
S S S の平均曲率 (mean curvature),
G
:=
H
n
=
G
:=
H
n
=
G:=H_(n)= G:=\mathcal{H}_{n}= G := H n =
det
A
det
A
det A \operatorname{det} A det A は
S
S
S S S のガウス・クロネッカー曲率(Gauss-Kronecker's curvature) とよばれる。また,
H
:=
H
N
H
:=
H
N
H:=HN \boldsymbol{H}:=H \boldsymbol{N} H := H N は
S
S
S S S の平均曲率ベクトル場(mean curvature vector field)とよばれる. 特に,
n
=
2
n
=
2
n=2 n=2 n = 2 の場合,
G
G
G G G は
S
S
S S S のガウス曲率 (Gaussian curvature) とよばれ,
K
K
K K K で表される。また,
K
p
>
0
K
p
>
0
K_(p) > 0 K_{p}>0 K p > 0 となる点 は
S
S
S S S の楕円点(elliptic point),
K
p
<
0
K
p
<
0
K_(p) < 0 K_{p}<0 K p < 0 となる点は
S
S
S S S の双曲点(hyperbolic point),
K
p
=
0
K
p
=
0
K_(p)=0 K_{p}=0 K p = 0 となる点は
S
S
S S S の放物点(parabolic point)とよば れる.
この節の最後に, 主曲率の計算問題を 5 つ与えておく.
問 2.3.2
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面
x
:
R
n
→
E
n
+
1
x
:
R
n
→
E
n
+
1
x:R^(n)rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : R n → E n + 1 を
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
u
1
,
…
,
u
n
,
∑
i
=
1
n
a
i
u
i
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
R
n
)
x
u
1
,
…
,
u
n
=
u
1
,
…
,
u
n
,
∑
i
=
1
n
a
i
u
i
u
1
,
…
,
u
n
∈
R
n
x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),sum_(i=1)^(n)a_(i)u_(i))quad((u_(1),dots,u_(n))inR^(n)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right) x ( u 1 , … , u n ) = ( u 1 , … , u n , ∑ i = 1 n a i u i ) ( ( u 1 , … , u n ) ∈ R n )
(
a
1
,
…
,
a
n
a
1
,
…
,
a
n
(a_(1),dots,a_(n):} \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right. ( a 1 , … , a n :定数)と定義する.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
:=
x
(
R
n
)
S
:=
x
R
n
S:=x(R^(n)) S:=\boldsymbol{x}\left(\mathbb{R}^{n}\right) S := x ( R n ) の各点における主曲率, 主曲率空間, および第
i
i
i i i 次平均曲率
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(i=1,dots,n) (i=1, \ldots, n) ( i = 1 , … , n ) を求めよ.
問 2.3.3
B
n
(
r
)
(
r
>
0
)
B
n
(
r
)
(
r
>
0
)
B^(n)(r)(r > 0) B^{n}(r)(r>0) B n ( r ) ( r > 0 ) を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の原点を中心とする半径
r
r
r r r の開球体, つまり,
B
n
(
r
)
:=
{
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
R
n
∣
u
1
2
+
⋯
+
u
n
2
<
r
2
}
B
n
(
r
)
:=
u
1
,
…
,
u
n
∈
R
n
∣
u
1
2
+
⋯
+
u
n
2
<
r
2
B^(n)(r):={(u_(1),dots,u_(n))inR^(n)∣u_(1)^(2)+cdots+u_(n)^(2) < r^(2)} B^{n}(r):=\left\{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid u_{1}^{2}+\cdots+u_{n}^{2}<r^{2}\right\} B n ( r ) := { ( u 1 , … , u n ) ∈ R n ∣ u 1 2 + ⋯ + u n 2 < r 2 }
とする.
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面
x
:
B
n
(
r
)
→
E
n
+
1
x
:
B
n
(
r
)
→
E
n
+
1
x:B^(n)(r)rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: B^{n}(r) \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : B n ( r ) → E n + 1 を
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
u
1
,
…
,
u
n
,
r
2
−
∑
i
=
1
n
u
i
2
)
x
u
1
,
…
,
u
n
=
u
1
,
…
,
u
n
,
r
2
−
∑
i
=
1
n
u
i
2
x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),sqrt(r^(2)-sum_(i=1)^(n)u_(i)^(2))) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, \sqrt{r^{2}-\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}}\right) x ( u 1 , … , u n ) = ( u 1 , … , u n , r 2 − ∑ i = 1 n u i 2 )
と定義する.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
:=
x
(
B
n
(
r
)
)
S
:=
x
B
n
(
r
)
S:=x(B^(n)(r)) S:=\boldsymbol{x}\left(B^{n}(r)\right) S := x ( B n ( r ) ) の各点における主曲率, 主曲率空間, お
よび第
i
i
i i i 次平均曲率
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(i=1,dots,n) (i=1, \ldots, n) ( i = 1 , … , n ) を求めよ.
問 2.3.4
1
≤
k
≤
n
−
1
1
≤
k
≤
n
−
1
1 <= k <= n-1 1 \leq k \leq n-1 1 ≤ k ≤ n − 1 とし,
B
k
(
r
)
(
r
>
0
)
B
k
(
r
)
(
r
>
0
)
B^(k)(r)(r > 0) B^{k}(r)(r>0) B k ( r ) ( r > 0 ) を
R
k
R
k
R^(k) \mathbb{R}^{k} R k の原点を中心とする半径
r
r
r r r の 開球体とする。
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面
x
:
B
k
(
r
)
×
R
n
−
k
→
E
n
+
1
x
:
B
k
(
r
)
×
R
n
−
k
→
E
n
+
1
x:B^(k)(r)xxR^(n-k)rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: B^{k}(r) \times \mathbb{R}^{n-k} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : B k ( r ) × R n − k → E n + 1 を
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
(
u
1
,
…
,
u
n
,
r
2
−
∑
i
=
1
k
u
i
2
)
x
u
1
,
…
,
u
n
=
u
1
,
…
,
u
n
,
r
2
−
∑
i
=
1
k
u
i
2
x(u_(1),dots,u_(n))=(u_(1),dots,u_(n),sqrt(r^(2)-sum_(i=1)^(k)u_(i)^(2))) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, \sqrt{r^{2}-\sum_{i=1}^{k} u_{i}^{2}}\right) x ( u 1 , … , u n ) = ( u 1 , … , u n , r 2 − ∑ i = 1 k u i 2 )
と定義する.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
:=
x
(
B
k
(
r
)
×
R
n
−
k
)
S
:=
x
B
k
(
r
)
×
R
n
−
k
S:=x(B^(k)(r)xxR^(n-k)) S:=\boldsymbol{x}\left(B^{k}(r) \times \mathbb{R}^{n-k}\right) S := x ( B k ( r ) × R n − k ) の各点における主曲率, 主曲率空間, および第
i
i
i i i 次平均曲率
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(i=1,dots,n) (i=1, \ldots, n) ( i = 1 , … , n ) を求めよ.
問 2.3.5
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所曲面
x
:
R
2
→
E
3
x
:
R
2
→
E
3
x:R^(2)rarrE^(3) \boldsymbol{x}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : R 2 → E 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
u
1
,
u
2
,
u
1
u
2
)
x
u
1
,
u
2
=
u
1
,
u
2
,
u
1
u
2
x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),u_(1)u_(2)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, u_{1} u_{2}\right) x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , u 1 u 2 )
と定義する.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
:=
x
(
R
2
)
S
:=
x
R
2
S:=x(R^(2)) S:=\boldsymbol{x}\left(\mathbb{R}^{2}\right) S := x ( R 2 ) の点
p
=
x
(
1
,
1
)
p
=
x
(
1
,
1
)
p=x(1,1) p=\boldsymbol{x}(1,1) p = x ( 1 , 1 ) における主曲率, 主曲率空間, ガウス曲率, および平均曲率を求めよ.
問 2.3.6
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所曲面
x
:
[
0
,
2
π
)
2
→
E
3
x
:
[
0
,
2
π
)
2
→
E
3
x:[0,2pi)^(2)rarrE^(3) \boldsymbol{x}:[0,2 \pi)^{2} \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : [ 0 , 2 π ) 2 → E 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
(
b
+
a
cos
u
1
)
cos
u
2
,
(
b
+
a
cos
u
1
)
sin
u
2
,
a
sin
u
1
)
x
u
1
,
u
2
=
b
+
a
cos
u
1
cos
u
2
,
b
+
a
cos
u
1
sin
u
2
,
a
sin
u
1
x(u_(1),u_(2))=((b+a cos u_(1))cos u_(2),(b+a cos u_(1))sin u_(2),a sin u_(1)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(\left(b+a \cos u_{1}\right) \cos u_{2},\left(b+a \cos u_{1}\right) \sin u_{2}, a \sin u_{1}\right) x ( u 1 , u 2 ) = ( ( b + a cos u 1 ) cos u 2 , ( b + a cos u 1 ) sin u 2 , a sin u 1 )
と定義する. ただし,
a
,
b
a
,
b
a,b a, b a , b は
a
<
b
a
<
b
a < b a<b a < b となる正の定数を表す.
(i)
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面片
S
:=
x
(
[
0
,
2
π
)
2
)
S
:=
x
[
0
,
2
π
)
2
S:=x([0,2pi)^(2)) S:=\boldsymbol{x}\left([0,2 \pi)^{2}\right) S := x ( [ 0 , 2 π ) 2 ) の各点における主曲率, および主曲率空間を求 めよ.
(ii)
S
S
S S S のガウス曲率を求め,
S
S
S S S を楕円点の集合, 双曲点の集合, および放物点の 集合に類別せよ.
2.4 平行移動・測地線
この節において,
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元ユークリッド空間
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線に沿う平行移動,および,測地線について述べる. この節では
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 と する。
(
S
,
D
)
(
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
(
S
,
D
)
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
(S,D)(D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda}) (S, \mathcal{D})\left(\mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( S , D ) ( D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とする.
S
S
S S S 上の曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S を考える。
c
−
1
(
S
λ
)
≠
∅
c
−
1
S
λ
≠
∅
c^(-1)(S_(lambda))!=O/ c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptyset c − 1 ( S λ ) ≠ ∅ となる各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 。
c
c
c c c が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である,つまり,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) として,
u
i
∘
c
(
i
=
1
,
…
,
n
)
u
i
∘
c
(
i
=
1
,
…
,
n
)
u_(i)@c(i=1,dots,n) u_{i} \circ c(i=1, \ldots, n) u i ∘ c ( i = 1 , … , n ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
c
c
c c c を
S
S
S \boldsymbol{S} S 上の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 曲線という. このとき,
c
(
t
)
=
c
(
t
)
=
c(t)= c(t)= c ( t ) =
x
λ
(
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
)
x
λ
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
x_(lambda)(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))) \boldsymbol{x}_{\lambda}\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right) x λ ( u 1 ( c ( t ) ) , … , u n ( c ( t ) ) ) となるので,
c
c
c c c は
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の曲線としても
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級で あることがわかる. 以下,
c
c
c c c は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であるとする. 各
t
∈
[
a
,
b
]
t
∈
[
a
,
b
]
t in[a,b] t \in[a, b] t ∈ [ a , b ] に対し,
T
c
(
t
)
S
T
c
(
t
)
S
T_(c(t))S T_{c(t)} S T c ( t ) S の元
X
t
X
t
X_(t) \boldsymbol{X}_{t} X t を対応させる対応
X
X
X \boldsymbol{X} X を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う接ベクトル場(tangent vector field along
c
c
c \boldsymbol{c} c ) という.
c
−
1
(
S
λ
)
≠
∅
c
−
1
S
λ
≠
∅
c^(-1)(S_(lambda))!=O/ c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptyset c − 1 ( S λ ) ≠ ∅ となる各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
=
x
λ
−
1
=
x_(lambda)^(-1)= \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}= x λ − 1 =
(
u
1
,
…
,
u
n
)
u
1
,
…
,
u
n
(u_(1),dots,u_(n)) \left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) ( u 1 , … , u n ) として,
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
X_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t)) \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} X t = ∑ i = 1 n X i ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t )
によって定義される関数
X
i
:
c
−
1
(
S
λ
)
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
:
c
−
1
S
λ
→
R
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i):c^(-1)(S_(lambda))rarrR(i=1,dots,n) X_{i}: c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, n) X i : c − 1 ( S λ ) → R ( i = 1 , … , n ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である とき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 接ベクトル場という.
c
′
(
t
)
∈
T
c
(
t
)
S
c
′
(
t
)
∈
T
c
(
t
)
S
c^(')(t)inT_(c(t))S c^{\prime}(t) \in T_{c(t)} S c ′ ( t ) ∈ T c ( t ) S なので, 各
t
∈
t
∈
t in t \in t ∈
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] に対し,
c
′
(
t
)
c
′
(
t
)
c^(')(t) c^{\prime}(t) c ′ ( t ) を対応させる対応
c
′
c
′
c^(') c^{\prime} c ′ は
c
c
c c c に沿う接ベクトル場を与える.
c
′
c
′
c^(') c^{\prime} c ′ をcの速度ベクトル場(velocity vector field), または, 接ベクトル場とい う.
c
′
c
′
c^(') c^{\prime} c ′ は
c
c
c c c に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 接べクトル場になる。実際,
c
→
(
t
)
=
x
λ
→
(
x
λ
−
1
(
c
(
t
)
)
)
=
x
λ
→
(
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
)
c
→
(
t
)
=
x
λ
→
x
λ
−
1
(
c
(
t
)
)
=
x
λ
→
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
vec(c)(t)= vec(x_(lambda))(x_(lambda)^(-1)(c(t)))= vec(x_(lambda))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))) \vec{c}(t)=\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(c(t))\right)=\overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right) c → ( t ) = x λ → ( x λ − 1 ( c ( t ) ) ) = x λ → ( u 1 ( c ( t ) ) , … , u n ( c ( t ) ) )
なので,
(2.4.1)
c
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
∂
x
λ
→
∂
u
i
d
(
u
i
∘
c
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
d
(
u
i
∘
c
)
d
t
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
(2.4.1)
c
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
∂
x
λ
→
∂
u
i
d
u
i
∘
c
d
t
=
∑
i
=
1
n
d
u
i
∘
c
d
t
∂
∂
u
i
c
(
t
)
{:(2.4.1)c^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(del vec(x_(lambda)))/(delu_(i))(d(u_(i)@c))/(dt)=sum_(i=1)^(n)(d(u_(i)@c))/(dt)((del)/(delu_(i)))_(c(t)):} \begin{equation*}
c^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}} \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} \tag{2.4.1}
\end{equation*} (2.4.1) c ′ ( t ) = ∑ i = 1 n ∂ x λ → ∂ u i d ( u i ∘ c ) d t = ∑ i = 1 n d ( u i ∘ c ) d t ( ∂ ∂ u i ) c ( t )
となり,
u
i
∘
c
u
i
∘
c
u_(i)@c u_{i} \circ c u i ∘ c が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることから,
d
(
u
i
∘
c
)
d
t
d
u
i
∘
c
d
t
(d(u_(i)@c))/(dt) \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t} d ( u i ∘ c ) d t は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級になる。それゆ え,
c
′
(
t
)
c
′
(
t
)
c^(')(t) c^{\prime}(t) c ′ ( t ) が
c
c
c c c に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 接べクトル場であることがわかる.
X
X
X \boldsymbol{X} X を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接ベクトル場とする.
t
0
∈
[
a
,
b
]
t
0
∈
[
a
,
b
]
t_(0)in[a,b] t_{0} \in[a, b] t 0 ∈ [ a , b ] を 固定する.
∇
c
′
(
t
0
)
X
(
∈
T
c
(
t
0
)
S
)
∇
c
′
t
0
X
∈
T
c
t
0
S
grad_(c^(')(t_(0)))X(inT_(c(t_(0)))S) \nabla_{c^{\prime}\left(t_{0}\right)} \boldsymbol{X}\left(\in T_{c\left(t_{0}\right)} S\right) ∇ c ′ ( t 0 ) X ( ∈ T c ( t 0 ) S ) を
∇
c
′
(
t
0
)
X
:=
pr
T
c
(
t
0
)
(
d
(
X
∘
c
)
d
t
|
t
=
t
0
)
∇
c
′
t
0
X
:=
pr
T
c
t
0
d
(
X
∘
c
)
d
t
t
=
t
0
grad_(c^(')(t_(0)))X:=pr_(T_(c(t_(0))))((d(X@c))/(dt)|_(t=t_(0))) \nabla_{c^{\prime}\left(t_{0}\right)} \boldsymbol{X}:=\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d(\boldsymbol{X} \circ c)}{d t}\right|_{t=t_{0}}\right) ∇ c ′ ( t 0 ) X := pr T c ( t 0 ) ( d ( X ∘ c ) d t | t = t 0 )
によって定義する。ただし,
pr
T
c
(
t
0
)
pr
T
c
t
0
pr_(T_(c(t_(0)))) \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}} pr T c ( t 0 ) は,
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 から
T
c
(
t
0
)
S
T
c
t
0
S
T_(c(t_(0)))S T_{c\left(t_{0}\right)} S T c ( t 0 ) S への直交射影を表 す. 各
t
∈
[
a
,
b
]
t
∈
[
a
,
b
]
t in[a,b] t \in[a, b] t ∈ [ a , b ] に
∇
c
′
(
t
)
X
∇
c
′
(
t
)
X
grad_(c^(')(t))X \nabla_{c^{\prime}(t)} \boldsymbol{X} ∇ c ′ ( t ) X を対応させる対応を
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X と表す. 明らかに,
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X は
c
c
c c c に沿う接ベクトル場である.
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X を
X
X
X \boldsymbol{X} X の共変微分(covariant derivative)という。容易に,次の事実が示される。
命題 2.4.1
X
X
X \boldsymbol{X} X が
c
c
c c c に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接べクトル場ならば,
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X が
c
c
c c c に沿う
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 接べクトル場である.
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S に沿う接ベクトル場とし,
f
f
f f f を
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] 上の関
数とする. このとき,
c
c
c c c に沿う接ベクトル場
X
+
Y
X
+
Y
X+Y \boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y} X + Y と
f
X
f
X
fX f \boldsymbol{X} f X が各々,
(
X
+
Y
)
t
:=
X
t
+
Y
t
,
(
f
X
)
t
:=
f
t
X
t
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
(
X
+
Y
)
t
:=
X
t
+
Y
t
,
(
f
X
)
t
:=
f
t
X
t
(
t
∈
[
a
,
b
]
)
(X+Y)_(t):=X_(t)+Y_(t),quad(fX)_(t):=f_(t)X_(t)quad(t in[a,b]) (\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})_{t}:=\boldsymbol{X}_{t}+\boldsymbol{Y}_{t}, \quad(f \boldsymbol{X})_{t}:=f_{t} \boldsymbol{X}_{t} \quad(t \in[a, b]) ( X + Y ) t := X t + Y t , ( f X ) t := f t X t ( t ∈ [ a , b ] )
によって定義される。明らかに, 次の事実が成り立つ.
命題
2
.
4
.
2
2
.
4
.
2
2.4.2 \mathbf{2 . 4 . 2} 2 . 4 . 2 (i)
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ならば,
X
+
Y
X
+
Y
X+Y \boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y} X + Y も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である.
(ii)
f
,
X
f
,
X
f,X f, \boldsymbol{X} f , X が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ならば,
f
X
f
X
fX f \boldsymbol{X} f X も
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級である.
共変微分
∇
c
′
∇
c
′
grad_(c^(')) \nabla_{c^{\prime}} ∇ c ′ について, 次の事実が成り立つ.
命題 2.4.3
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
c
c
c c c に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接べクトル場とし,
f
f
f f f を
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数とする。このとき, 次式が成り立つ.
(i)
∇
c
′
(
X
+
Y
)
=
∇
c
′
X
+
∇
c
′
Y
∇
c
′
(
X
+
Y
)
=
∇
c
′
X
+
∇
c
′
Y
grad_(c^('))(X+Y)=grad_(c^('))X+grad_(c^('))Y \nabla_{c^{\prime}}(\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})=\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}+\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y} ∇ c ′ ( X + Y ) = ∇ c ′ X + ∇ c ′ Y ;
(ii)
∇
c
′
(
f
X
)
=
f
′
X
+
f
∇
c
′
X
∇
c
′
(
f
X
)
=
f
′
X
+
f
∇
c
′
X
grad_(c^('))(fX)=f^(')X+fgrad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}}(f \boldsymbol{X})=f^{\prime} \boldsymbol{X}+f \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ ( f X ) = f ′ X + f ∇ c ′ X .
証明
pr
T
p
pr
T
p
pr_(T_(p)) \mathrm{pr}_{T_{p}} pr T p の線形性に注意して, 直接, これらの関係式を示すことができ る。
問 2.4.1
D
(
1
)
D
(
1
)
D(1) D(1) D ( 1 ) を原点を中心とする半径 1 の開円板(つまり
D
(
1
)
:=
{
(
u
1
,
u
2
)
∈
D
(
1
)
:=
u
1
,
u
2
∈
D(1):={(u_(1),u_(2))in:} D(1):=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right) \in\right. D ( 1 ) := { ( u 1 , u 2 ) ∈
R
2
∣
u
1
2
+
u
2
2
<
1
}
)
R
2
∣
u
1
2
+
u
2
2
<
1
{:R^(2)∣u_(1)^(2)+u_(2)^(2) < 1}) \left.\left.\mathbb{R}^{2} \mid u_{1}^{2}+u_{2}^{2}<1\right\}\right) R 2 ∣ u 1 2 + u 2 2 < 1 } ) とし,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所曲面
x
:
D
(
1
)
→
E
3
x
:
D
(
1
)
→
E
3
x:D(1)rarrE^(3) \boldsymbol{x}: D(1) \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : D ( 1 ) → E 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
u
1
,
u
2
,
1
−
u
1
2
−
u
2
2
)
x
u
1
,
u
2
=
u
1
,
u
2
,
1
−
u
1
2
−
u
2
2
x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),sqrt(1-u_(1)^(2)-u_(2)^(2))) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, \sqrt{1-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}\right) x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , 1 − u 1 2 − u 2 2 )
と定義する.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面片
S
:=
x
(
D
(
1
)
)
S
:=
x
(
D
(
1
)
)
S:=x(D(1)) S:=\boldsymbol{x}(D(1)) S := x ( D ( 1 ) ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
(
0
,
π
)
→
S
c
:
(
0
,
π
)
→
S
c:(0,pi)rarr S c:(0, \pi) \rightarrow S c : ( 0 , π ) → S を
c
(
t
)
:=
(
cos
t
,
0
,
sin
t
)
(
t
∈
(
0
,
π
)
)
c
(
t
)
:=
(
cos
t
,
0
,
sin
t
)
(
t
∈
(
0
,
π
)
)
c(t):=(cos t,0,sin t)quad(t in(0,pi)) c(t):=(\cos t, 0, \sin t) \quad(t \in(0, \pi)) c ( t ) := ( cos t , 0 , sin t ) ( t ∈ ( 0 , π ) )
と定義し,
c
c
c c c に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 接ベクトル場
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を
X
t
:=
(
−
sin
t
,
0
,
cos
t
)
,
Y
t
=
(
−
2
t
π
sin
t
,
0
,
2
t
π
cos
t
)
X
t
:=
(
−
sin
t
,
0
,
cos
t
)
,
Y
t
=
−
2
t
π
sin
t
,
0
,
2
t
π
cos
t
X_(t):=(-sin t,0,cos t),quadY_(t)=(-(2t)/(pi)sin t,0,(2t)/(pi)cos t) \boldsymbol{X}_{t}:=(-\sin t, 0, \cos t), \quad \boldsymbol{Y}_{t}=\left(-\frac{2 t}{\pi} \sin t, 0, \frac{2 t}{\pi} \cos t\right) X t := ( − sin t , 0 , cos t ) , Y t = ( − 2 t π sin t , 0 , 2 t π cos t )
と定義する.
(i)
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を図示し, 定義に従って,
(
∇
c
′
X
)
π
2
,
(
∇
c
′
Y
)
π
2
∇
c
′
X
π
2
,
∇
c
′
Y
π
2
(grad_(c^('))X)_((pi)/(2)),(grad_(c^('))Y)_((pi)/(2)) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{\frac{\pi}{2}},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}\right)_{\frac{\pi}{2}} ( ∇ c ′ X ) π 2 , ( ∇ c ′ Y ) π 2 がどのようなべクト ルになるか図示せよ.
(ii)
∇
c
′
X
,
∇
c
′
Y
∇
c
′
X
,
∇
c
′
Y
grad_(c^('))X,grad_(c^('))Y \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}, \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y} ∇ c ′ X , ∇ c ′ Y を計算し, (i) で求めた図と整合しているかどうか確認せよ.
以上の準備の下に,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン超曲面
(
(
S
,
D
)
,
g
)
(
(
S
,
D
)
,
g
)
((S,D),g) ((S, \mathcal{D}), g) ( ( S , D ) , g ) 上の測地線, および,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン超曲面
(
(
S
,
D
)
,
g
)
(
(
S
,
D
)
,
g
)
((S,D),g) ((S, \mathcal{D}), g) ( ( S , D ) , g ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線に沿う平行移動を定義
しよう.
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とする. 各
t
∈
I
t
∈
I
t in I t \in I t ∈ I に
T
c
(
t
)
S
T
c
(
t
)
S
T_(c(t))S T_{c(t)} S T c ( t ) S の零ベクトル
0
c
(
t
)
0
c
(
t
)
0_(c(t)) \mathbf{0}_{c(t)} 0 c ( t ) を対応させることにより定義される
c
c
c c c に沿う接ベクトル場を 0 で表し, これを
c
c
c c c に沿う零ベクトル場(zero vector field along
c
c
c c c )という。
c
c
c c c に沿 う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 接べクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X が
∇
c
′
X
=
0
∇
c
′
X
=
0
grad_(c^('))X=0 \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}=\mathbf{0} ∇ c ′ X = 0 を満たすとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う平行ベク トル場(parallel vector field along
c
c
c \boldsymbol{c} c ) という。また,
∇
c
′
c
′
=
0
∇
c
′
c
′
=
0
grad_(c^('))c^(')=0 \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\mathbf{0} ∇ c ′ c ′ = 0 が成り 立つとき,
c
c
c c c を
S
S
S S S 上の測地線という。
∇
c
′
c
′
∇
c
′
c
′
grad_(c^('))c^(') \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime} ∇ c ′ c ′ は,
c
c
c c c を
S
S
S S S 上の物体の運動の軌道 とみなしたときの加速度と解釈され, それゆえ
∇
c
′
c
′
=
0
∇
c
′
c
′
=
0
grad_(c^('))c^(')=0 \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=0 ∇ c ′ c ′ = 0 であることは,
c
c
c c c が
S
S
S S S 上を等速度運動する物体の軌道であることを意味する。
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする.
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の関数
Γ
i
j
k
(
1
≤
i
,
j
,
k
≤
n
)
Γ
i
j
k
(
1
≤
i
,
j
,
k
≤
n
)
Gamma_(ij)^(k)(1 <= i,j,k <= n) \Gamma_{i j}^{k}(1 \leq i, j, k \leq n) Γ i j k ( 1 ≤ i , j , k ≤ n ) を
∇
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
=
∑
k
=
1
n
Γ
i
j
k
∂
∂
u
k
∇
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
=
∑
k
=
1
n
Γ
i
j
k
∂
∂
u
k
grad_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))=sum_(k=1)^(n)Gamma_(ij)^(k)(del)/(delu_(k)) \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}=\sum_{k=1}^{n} \Gamma_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}} ∇ ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j = ∑ k = 1 n Γ i j k ∂ ∂ u k
によって定義する。この関数
Γ
i
j
k
Γ
i
j
k
Gamma_(ij)^(k) \Gamma_{i j}^{k} Γ i j k をの局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する接続係数 (connection coefficient) という.
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j を
S
S
S S S の第 1 基本形式
g
g
g g g の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分とし,
(
g
i
j
)
g
i
j
(g^(ij)) \left(g^{i j}\right) ( g i j ) を
(
g
i
j
)
g
i
j
(g_(ij)) \left(g_{i j}\right) ( g i j ) の逆行列とする。このとき,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数
{
k
i
j
}
(
1
≤
i
,
j
,
k
≤
n
)
k
i
j
(
1
≤
i
,
j
,
k
≤
n
)
{[k],[ij]}(1 <= i,j,k <= n) \left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\}(1 \leq i, j, k \leq n) { k i j } ( 1 ≤ i , j , k ≤ n ) を
{
k
i
j
}
=
1
2
∑
l
=
1
2
g
k
l
(
∂
g
l
j
∂
u
i
+
∂
g
i
l
∂
u
j
−
∂
g
i
j
∂
u
l
)
k
i
j
=
1
2
∑
l
=
1
2
g
k
l
∂
g
l
j
∂
u
i
+
∂
g
i
l
∂
u
j
−
∂
g
i
j
∂
u
l
{[k],[ij]}=(1)/(2)sum_(l=1)^(2)g^(kl)((delg_(lj))/(delu_(i))+(delg_(il))/(delu_(j))-(delg_(ij))/(delu_(l))) \left\{\begin{array}{c}
k \\
i j
\end{array}\right\}=\frac{1}{2} \sum_{l=1}^{2} g^{k l}\left(\frac{\partial g_{l j}}{\partial u_{i}}+\frac{\partial g_{i l}}{\partial u_{j}}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{l}}\right) { k i j } = 1 2 ∑ l = 1 2 g k l ( ∂ g l j ∂ u i + ∂ g i l ∂ u j − ∂ g i j ∂ u l )
によって定義する。この関数
{
k
i
j
}
k
i
j
{[k],[ij]} \left\{\begin{array}{l}k \\ i j\end{array}\right\} { k i j } を
g
g
g g g の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関するクリスト ツフェルの記号(Christoffel symbol)という. このとき, 次の事実が成り 立つ。
命題 2.4.4
Γ
i
j
k
=
{
k
i
j
}
Γ
i
j
k
=
k
i
j
Gamma_(ij)^(k)={[k],[ij]} \Gamma_{i j}^{k}=\left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\} Γ i j k = { k i j } が成り立つ.
証明 単純計算により,
∑
k
=
1
n
Γ
i
j
k
∂
∂
u
k
=
∇
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
=
(
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
)
T
=
(
D
∂
∂
u
i
∂
x
→
λ
∂
u
j
)
T
∑
k
=
1
n
Γ
i
j
k
∂
∂
u
k
=
∇
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
=
D
∂
∂
u
i
∂
∂
u
j
T
=
D
∂
∂
u
i
∂
x
→
λ
∂
u
j
T
{:[sum_(k=1)^(n)Gamma_(ij)^(k)(del)/(delu_(k))=grad_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j))],[=(D_((del)/(delu_(i)))(del)/(delu_(j)))_(T)=(D_((del)/(delu_(i)))(del vec(x)_(lambda))/(delu_(j)))_(T)]:} \begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} \Gamma_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}} & =\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}} \\
& =\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)_{T}=\left(D_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}\right)_{T}
\end{aligned} ∑ k = 1 n Γ i j k ∂ ∂ u k = ∇ ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j = ( D ∂ ∂ u i ∂ ∂ u j ) T = ( D ∂ ∂ u i ∂ x → λ ∂ u j ) T
(2.4.2)
=
(
∂
(
∂
x
→
λ
∂
u
j
)
∂
u
i
)
T
=
(
∂
2
x
→
λ
∂
u
i
∂
u
j
)
T
=
(
∂
2
x
→
λ
∂
u
j
∂
u
i
)
T
=
∇
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
=
∑
k
=
1
n
Γ
j
i
k
∂
∂
u
k
(2.4.2)
=
∂
∂
x
→
λ
∂
u
j
∂
u
i
T
=
∂
2
x
→
λ
∂
u
i
∂
u
j
T
=
∂
2
x
→
λ
∂
u
j
∂
u
i
T
=
∇
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
=
∑
k
=
1
n
Γ
j
i
k
∂
∂
u
k
{:[(2.4.2)=((del((del vec(x)_(lambda))/(delu_(j))))/(delu_(i)))_(T)=((del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(i)delu_(j)))_(T)],[=((del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(j)delu_(i)))_(T)=grad_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i))=sum_(k=1)^(n)Gamma_(ji)^(k)(del)/(delu_(k))]:} \begin{align*}
& =\left(\frac{\partial\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}\right)}{\partial u_{i}}\right)_{T}=\left(\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}\right)_{T} \tag{2.4.2}\\
& =\left(\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}\right)_{T}=\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}=\sum_{k=1}^{n} \Gamma_{j i}^{k} \frac{\partial}{\partial u_{k}}
\end{align*} (2.4.2) = ( ∂ ( ∂ x → λ ∂ u j ) ∂ u i ) T = ( ∂ 2 x → λ ∂ u i ∂ u j ) T = ( ∂ 2 x → λ ∂ u j ∂ u i ) T = ∇ ∂ ∂ u j ∂ ∂ u i = ∑ k = 1 n Γ j i k ∂ ∂ u k
および,
∂
g
i
j
∂
u
k
=
∂
∂
u
k
(
∂
x
→
λ
∂
u
i
⋅
∂
x
→
λ
∂
u
j
)
=
∂
2
x
→
λ
∂
u
k
∂
u
i
⋅
∂
x
→
λ
∂
u
j
+
∂
x
→
λ
∂
u
i
⋅
∂
2
x
→
λ
∂
u
k
∂
u
j
(2.4.3)
=
(
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
i
)
⋅
∂
∂
u
j
+
∂
∂
u
i
⋅
(
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
j
)
=
g
(
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
)
+
g
(
∂
∂
u
i
,
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
j
)
=
∑
l
=
1
n
Γ
k
i
l
g
l
j
+
∑
l
=
1
n
Γ
k
j
l
g
i
l
∂
g
i
j
∂
u
k
=
∂
∂
u
k
∂
x
→
λ
∂
u
i
⋅
∂
x
→
λ
∂
u
j
=
∂
2
x
→
λ
∂
u
k
∂
u
i
⋅
∂
x
→
λ
∂
u
j
+
∂
x
→
λ
∂
u
i
⋅
∂
2
x
→
λ
∂
u
k
∂
u
j
(2.4.3)
=
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
+
∂
∂
u
i
⋅
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
j
=
g
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
+
g
∂
∂
u
i
,
∇
∂
∂
u
k
∂
∂
u
j
=
∑
l
=
1
n
Γ
k
i
l
g
l
j
+
∑
l
=
1
n
Γ
k
j
l
g
i
l
{:[(delg_(ij))/(delu_(k))=(del)/(delu_(k))((del vec(x)_(lambda))/(delu_(i))*(del vec(x)_(lambda))/(delu_(j)))],[=(del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(k)delu_(i))*(del vec(x)_(lambda))/(delu_(j))+(del vec(x)_(lambda))/(delu_(i))*(del^(2) vec(x)_(lambda))/(delu_(k)delu_(j))],[(2.4.3)=(grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(i)))*(del)/(delu_(j))+(del)/(delu_(i))*(grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(j)))],[=g(grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(i)),(del)/(delu_(j)))+g((del)/(delu_(i)),grad_((del)/(delu_(k)))(del)/(delu_(j)))],[=sum_(l=1)^(n)Gamma_(ki)^(l)g_(lj)+sum_(l=1)^(n)Gamma_(kj)^(l)g_(il)]:} \begin{align*}
\frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}} & =\frac{\partial}{\partial u_{k}}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}\right) \\
& =\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{k} \partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}}_{\lambda}}{\partial u_{k} \partial u_{j}} \\
& =\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}+\frac{\partial}{\partial u_{i}} \cdot\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \tag{2.4.3}\\
& =g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)+g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{k}}} \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right) \\
& =\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k i}^{l} g_{l j}+\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k j}^{l} g_{i l}
\end{align*} ∂ g i j ∂ u k = ∂ ∂ u k ( ∂ x → λ ∂ u i ⋅ ∂ x → λ ∂ u j ) = ∂ 2 x → λ ∂ u k ∂ u i ⋅ ∂ x → λ ∂ u j + ∂ x → λ ∂ u i ⋅ ∂ 2 x → λ ∂ u k ∂ u j (2.4.3) = ( ∇ ∂ ∂ u k ∂ ∂ u i ) ⋅ ∂ ∂ u j + ∂ ∂ u i ⋅ ( ∇ ∂ ∂ u k ∂ ∂ u j ) = g ( ∇ ∂ ∂ u k ∂ ∂ u i , ∂ ∂ u j ) + g ( ∂ ∂ u i , ∇ ∂ ∂ u k ∂ ∂ u j ) = ∑ l = 1 n Γ k i l g l j + ∑ l = 1 n Γ k j l g i l
をえる. このように,
(2.4.4)
Γ
i
j
k
=
Γ
j
i
k
,
∂
g
i
j
∂
u
k
=
∑
l
=
1
n
Γ
k
i
l
g
l
j
+
∑
l
=
1
n
Γ
k
j
l
g
i
l
(2.4.4)
Γ
i
j
k
=
Γ
j
i
k
,
∂
g
i
j
∂
u
k
=
∑
l
=
1
n
Γ
k
i
l
g
l
j
+
∑
l
=
1
n
Γ
k
j
l
g
i
l
{:(2.4.4)Gamma_(ij)^(k)=Gamma_(ji)^(k)","quad(delg_(ij))/(delu_(k))=sum_(l=1)^(n)Gamma_(ki)^(l)g_(lj)+sum_(l=1)^(n)Gamma_(kj)^(l)g_(il):} \begin{equation*}
\Gamma_{i j}^{k}=\Gamma_{j i}^{k}, \quad \frac{\partial g_{i j}}{\partial u_{k}}=\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k i}^{l} g_{l j}+\sum_{l=1}^{n} \Gamma_{k j}^{l} g_{i l} \tag{2.4.4}
\end{equation*} (2.4.4) Γ i j k = Γ j i k , ∂ g i j ∂ u k = ∑ l = 1 n Γ k i l g l j + ∑ l = 1 n Γ k j l g i l
が示される. これらの関係式とクリストッフェルの記号の定義式を用いて, 求 めるべき関係式を導出することができる。
次に,
∇
c
′
X
,
∇
c
′
c
′
∇
c
′
X
,
∇
c
′
c
′
grad_(c^('))X,grad_(c^('))c^(') \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}, \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime} ∇ c ′ X , ∇ c ′ c ′ の局所表示を与える.
命題 2.4.5
c
−
1
(
S
λ
)
≠
∅
c
−
1
S
λ
≠
∅
c^(-1)(S_(lambda))!=O/ c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptyset c − 1 ( S λ ) ≠ ∅ とし,
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
(
t
∈
c
−
1
(
S
λ
)
)
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
t
∈
c
−
1
S
λ
quadX_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))quad(t inc^(-1)(S_(lambda))) \quad \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} \quad\left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right) X t = ∑ i = 1 n X i ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) ( t ∈ c − 1 ( S λ ) )
とする. このとき,
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X は次のように局所表示される:
(2.4.5)
(
∇
c
′
X
)
t
=
∑
i
=
1
n
(
d
X
i
d
t
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
u
j
∘
c
)
d
t
X
k
(
t
)
{
i
j
k
}
c
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
(
t
∈
c
−
1
(
S
λ
)
)
(2.4.5)
∇
c
′
X
t
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
∘
c
d
t
X
k
(
t
)
i
j
k
c
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
t
∈
c
−
1
S
λ
{:(2.4.5){:[(grad_(c^('))X)_(t)=sum_(i=1)^(n)((dX_(i))/(dt)+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)X_(k)(t){[i],[jk]}_(c(t))((del)/(delu_(i)))_(c(t)):}],[(t inc^(-1)(S_(lambda)))]:}:} \begin{array}{r}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d X_{i}}{d t}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} X_{k}(t)\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(t)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right. \\
\left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right) \tag{2.4.5}
\end{array} (2.4.5) ( ∇ c ′ X ) t = ∑ i = 1 n ( d X i d t + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( u j ∘ c ) d t X k ( t ) { i j k } c ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) ( t ∈ c − 1 ( S λ ) )
特に,
∇
c
′
c
′
∇
c
′
c
′
grad_(c^('))c^(') \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime} ∇ c ′ c ′ は次のように局所表示される:
(2.4.6)
∇
c
′
c
′
=
∑
i
=
1
n
(
d
2
(
u
i
∘
c
)
d
t
2
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
u
j
∘
c
)
d
t
d
(
u
k
∘
c
)
d
t
{
i
j
k
}
c
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
(
t
∈
c
−
1
(
S
λ
)
)
(2.4.6)
∇
c
′
c
′
=
∑
i
=
1
n
d
2
u
i
∘
c
d
t
2
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
∘
c
d
t
d
u
k
∘
c
d
t
i
j
k
c
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
t
∈
c
−
1
S
λ
{:(2.4.6){:[grad_(c^('))c^(')=sum_(i=1)^(n)((d^(2)(u_(i)@c))/(dt^(2))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)(d(u_(k)@c))/(dt){[i],[jk]}_(c(t))((del)/(delu_(i)))_(c(t)):}],[(t inc^(-1)(S_(lambda)))]:}:} \begin{array}{r}
\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d^{2}\left(u_{i} \circ c\right)}{d t^{2}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} \frac{d\left(u_{k} \circ c\right)}{d t}\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(t)}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right. \\
\left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right) \tag{2.4.6}
\end{array} (2.4.6) ∇ c ′ c ′ = ∑ i = 1 n ( d 2 ( u i ∘ c ) d t 2 + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( u j ∘ c ) d t d ( u k ∘ c ) d t { i j k } c ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) ( t ∈ c − 1 ( S λ ) )
証明
t
0
∈
c
−
1
(
S
λ
)
t
0
∈
c
−
1
S
λ
t_(0)inc^(-1)(S_(lambda)) t_{0} \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) t 0 ∈ c − 1 ( S λ ) を任意にとる。
(
∇
c
′
X
)
t
0
∇
c
′
X
t
0
(grad_(c^('))X)_(t_(0)) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t_{0}} ( ∇ c ′ X ) t 0 を計算すると,
(
∇
c
′
X
)
t
0
=
pr
T
c
(
t
0
)
(
d
X
d
t
|
t
=
t
0
)
=
pr
T
c
(
t
0
)
(
d
d
t
|
t
=
t
0
(
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
)
)
=
∑
i
=
1
n
pr
T
c
(
t
0
)
(
d
X
i
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
0
)
+
X
i
(
t
0
)
d
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
0
)
+
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
0
)
pr
T
c
(
t
0
)
(
d
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
x
λ
→
∂
u
i
)
(
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
)
)
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
0
)
+
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
0
)
pr
T
c
(
t
0
)
(
∑
j
=
1
n
d
u
j
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
2
x
λ
→
∂
u
j
∂
u
i
)
x
λ
−
1
(
c
(
t
0
)
)
)
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
|
t
=
t
0
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
0
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
t
0
)
d
u
j
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
(
∇
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
)
c
(
t
0
)
=
∑
i
=
1
n
(
d
X
i
d
t
|
t
=
t
0
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
(
c
(
t
)
)
d
t
|
t
=
t
0
X
k
(
t
0
)
{
i
j
k
}
c
(
t
0
)
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
0
)
∇
c
′
X
t
0
=
pr
T
c
t
0
d
X
d
t
t
=
t
0
=
pr
T
c
t
0
d
d
t
t
=
t
0
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
pr
T
c
t
0
d
X
i
d
t
t
=
t
0
∂
∂
u
i
c
t
0
+
X
i
t
0
d
d
t
t
=
t
0
∂
∂
u
i
c
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
t
=
t
0
∂
∂
u
i
c
t
0
+
∑
i
=
1
n
X
i
t
0
pr
T
c
t
0
d
d
t
t
=
t
0
∂
x
λ
→
∂
u
i
u
1
(
c
(
t
)
)
,
…
,
u
n
(
c
(
t
)
)
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
t
=
t
0
∂
∂
u
i
c
t
0
+
∑
i
=
1
n
X
i
t
0
pr
T
c
t
0
∑
j
=
1
n
d
u
j
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
∂
2
x
λ
→
∂
u
j
∂
u
i
x
λ
−
1
c
t
0
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
t
=
t
0
∂
∂
u
i
c
t
0
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
t
0
d
u
j
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
∇
∂
∂
u
j
∂
∂
u
i
c
t
0
=
∑
i
=
1
n
d
X
i
d
t
t
=
t
0
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
(
c
(
t
)
)
d
t
t
=
t
0
X
k
t
0
i
j
k
c
t
0
∂
∂
u
i
c
t
0
{:[(grad_(c^('))X)_(t_(0))=pr_(T_(c(t_(0))))((dX)/(dt)|_(t=t_(0)))],[=pr_(T_(c(t_(0))))((d)/(dt)|_(t=t_(0))(sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))))],[=sum_(i=1)^(n)pr_(T_(c(t_(0))))((dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))+X_(i)(t_(0))(d)/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t)))],[=sum_(i=1)^(n)(dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))],[+sum_(i=1)^(n)X_(i)(t_(0))pr_(T_(c(t_(0))))((d)/(dt)|_(t=t_(0))((del vec(x_(lambda)))/(delu_(i)))(u_(1)(c(t)),dots,u_(n)(c(t))))],[=sum_(i=1)^(n)(dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))],[+sum_(i=1)^(n)X_(i)(t_(0))pr_(T_(c(t_(0))))(sum_(j=1)^(n)(du_(j)(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))((del^(2) vec(x_(lambda)))/(delu_(j)delu_(i)))_(x_(lambda)^(-1)(c(t_(0)))))],[=sum_(i=1)^(n)(dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(t_(0))(du_(j)(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))(grad_((del)/(delu_(j)))(del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))],[=sum_(i=1)^(n)((dX_(i))/(dt)|_(t=t_(0))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(du_(j)(c(t)))/(dt)|_(t=t_(0))X_(k)(t_(0)){[i],[jk]}_(c(t_(0))))((del)/(delu_(i)))_(c(t_(0)))]:} \begin{aligned}
& \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t_{0}}=\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d \boldsymbol{X}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\right) \\
& =\operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right)\right) \\
& =\sum_{i=1}^{n} \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)}+\left.X_{i}\left(t_{0}\right) \frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\right) \\
& =\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \\
& +\sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(t_{0}\right) \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{i}}\right)\left(u_{1}(c(t)), \ldots, u_{n}(c(t))\right)\right) \\
& =\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \\
& +\sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(t_{0}\right) \operatorname{pr}_{T_{c\left(t_{0}\right)}}\left(\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{d u_{j}(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial^{2} \overrightarrow{\boldsymbol{x}_{\lambda}}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}\right)_{\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(c\left(t_{0}\right)\right)}\right) \\
& =\left.\sum_{i=1}^{n} \frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)}+\left.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}\left(t_{0}\right) \frac{d u_{j}(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)} \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\left.\frac{d X_{i}}{d t}\right|_{t=t_{0}}+\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d u_{j}(c(t))}{d t}\right|_{t=t_{0}} X_{k}\left(t_{0}\right)\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c\left(t_{0}\right)}\right)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c\left(t_{0}\right)}
\end{aligned} ( ∇ c ′ X ) t 0 = pr T c ( t 0 ) ( d X d t | t = t 0 ) = pr T c ( t 0 ) ( d d t | t = t 0 ( ∑ i = 1 n X i ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) ) ) = ∑ i = 1 n pr T c ( t 0 ) ( d X i d t | t = t 0 ( ∂ ∂ u i ) c ( t 0 ) + X i ( t 0 ) d d t | t = t 0 ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) ) = ∑ i = 1 n d X i d t | t = t 0 ( ∂ ∂ u i ) c ( t 0 ) + ∑ i = 1 n X i ( t 0 ) pr T c ( t 0 ) ( d d t | t = t 0 ( ∂ x λ → ∂ u i ) ( u 1 ( c ( t ) ) , … , u n ( c ( t ) ) ) ) = ∑ i = 1 n d X i d t | t = t 0 ( ∂ ∂ u i ) c ( t 0 ) + ∑ i = 1 n X i ( t 0 ) pr T c ( t 0 ) ( ∑ j = 1 n d u j ( c ( t ) ) d t | t = t 0 ( ∂ 2 x λ → ∂ u j ∂ u i ) x λ − 1 ( c ( t 0 ) ) ) = ∑ i = 1 n d X i d t | t = t 0 ( ∂ ∂ u i ) c ( t 0 ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( t 0 ) d u j ( c ( t ) ) d t | t = t 0 ( ∇ ∂ ∂ u j ∂ ∂ u i ) c ( t 0 ) = ∑ i = 1 n ( d X i d t | t = t 0 + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d u j ( c ( t ) ) d t | t = t 0 X k ( t 0 ) { i j k } c ( t 0 ) ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t 0 )
をえる。このように, 求めるべき
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X の局所表示式 (2.4.5) をえることが できる. 特に,
c
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
d
(
u
i
∘
c
)
d
t
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
c
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
d
u
i
∘
c
d
t
∂
∂
u
i
c
(
t
)
c^(')(t)=sum_(i=1)^(n)(d(u_(i)@c))/(dt)((del)/(delu_(i)))_(c(t)) c^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} c ′ ( t ) = ∑ i = 1 n d ( u i ∘ c ) d t ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) なので, 式 (2.4.5) から直接,
∇
c
′
c
′
∇
c
′
c
′
grad_(c^('))c^(') \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime} ∇ c ′ c ′ の局所表示式 (2.4.6) をえる.
命題 2.4.5 から直接, 次の事実が導かれる.
系 2.4.6
c
−
1
(
S
λ
)
≠
∅
c
−
1
S
λ
≠
∅
c^(-1)(S_(lambda))!=O/ c^{-1}\left(S_{\lambda}\right) \neq \emptyset c − 1 ( S λ ) ≠ ∅ とし,
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
(
t
∈
c
−
1
(
S
λ
)
)
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
t
∈
c
−
1
S
λ
quadX_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t))(t inc^(-1)(S_(lambda))) \quad \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)}\left(t \in c^{-1}\left(S_{\lambda}\right)\right) X t = ∑ i = 1 n X i ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) ( t ∈ c − 1 ( S λ ) ) とす る. このとき, 次の事実が成り立つ.
(i)
X
X
X \boldsymbol{X} X が平行ベクトル場であることと
d
X
i
d
t
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
u
j
∘
c
)
d
t
X
k
{
i
j
k
}
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
d
X
i
d
t
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
∘
c
d
t
X
k
i
j
k
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(dX_(i))/(dt)+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)X_(k){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n) \frac{d X_{i}}{d t}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} X_{k}\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n) d X i d t + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( u j ∘ c ) d t X k { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , … , n )
が成り立つことは同値である;
d
2
(
u
i
∘
c
)
d
t
2
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
u
j
∘
c
)
d
t
d
(
u
k
∘
c
)
d
t
{
i
j
k
}
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
d
2
u
i
∘
c
d
t
2
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
∘
c
d
t
d
u
k
∘
c
d
t
i
j
k
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(d^(2)(u_(i)@c))/(dt^(2))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)(d(u_(k)@c))/(dt){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n) \frac{d^{2}\left(u_{i} \circ c\right)}{d t^{2}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} \frac{d\left(u_{k} \circ c\right)}{d t}\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n) d 2 ( u i ∘ c ) d t 2 + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( u j ∘ c ) d t d ( u k ∘ c ) d t { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , … , n )
が成り立つことは同値である.
この系と正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理(常微分方程式 の本を参照)を用いて, 次の事実が導かれる。
定理 2.4.7 (i)
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とする. 各
v
∈
T
c
(
a
)
(
S
)
v
∈
T
c
(
a
)
(
S
)
v inT_(c(a))(S) \boldsymbol{v} \in T_{c(a)}(S) v ∈ T c ( a ) ( S ) に対し,
X
a
=
v
X
a
=
v
X_(a)=v \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} X a = v となる
c
c
c c c に沿う平行ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X がただ 1 つ存在する.
(ii) 各
v
∈
T
p
(
S
)
v
∈
T
p
(
S
)
v inT_(p)(S) \boldsymbol{v} \in T_{p}(S) v ∈ T p ( S ) と十分小さな正の数
ε
ε
epsi \varepsilon ε に対し,
c
′
(
0
)
=
v
c
′
(
0
)
=
v
c^(')(0)=v c^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} c ′ ( 0 ) = v となる
S
S
S S S 上の 測地線
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
c:(-epsi,epsi)rarr S c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S c : ( − ε , ε ) → S がただ 1 つ存在する.
証明 最初に, (i) を示そう。まず,
c
(
[
a
,
b
]
)
c
(
[
a
,
b
]
)
c([a,b]) c([a, b]) c ( [ a , b ] ) がある
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に含まれている場合 を考えよう.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とする。
X
X
X \boldsymbol{X} X を
c
∣
[
a
,
b
]
c
∣
[
a
,
b
]
c∣[a,b] c \mid[a, b] c ∣ [ a , b ] に沿うべクトル場とし、
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
(
∂
∂
u
i
)
c
(
t
)
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
∂
∂
u
i
c
(
t
)
X_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delu_(i)))_(c(t)) \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(t)} X t = ∑ i = 1 n X i ( t ) ( ∂ ∂ u i ) c ( t ) とする. また,
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
u
i
)
c
(
a
)
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
u
i
c
(
a
)
v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delu_(i)))_(c(a)) \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{c(a)} v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ u i ) c ( a ) とする. このと き, 系 2.4 .6 によれば,
X
X
X \boldsymbol{X} X が平行ベクトル場であることと
d
X
i
d
t
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
u
j
∘
c
)
d
t
X
k
(
t
)
{
i
j
k
}
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
d
X
i
d
t
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
∘
c
d
t
X
k
(
t
)
i
j
k
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(dX_(i))/(dt)+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)X_(k)(t){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n) \frac{d X_{i}}{d t}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} X_{k}(t)\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n) d X i d t + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( u j ∘ c ) d t X k ( t ) { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , … , n )
(これは,
X
1
,
…
,
X
n
X
1
,
…
,
X
n
X_(1),dots,X_(n) X_{1}, \ldots, X_{n} X 1 , … , X n を未知関数とする 1 階の正規型連立常微分方程式であ
る)が成り立つことは同値である。また,
X
a
=
v
X
a
=
v
X_(a)=v \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} X a = v であることと
X
i
(
a
)
=
X
i
(
a
)
=
X_(i)(a)= X_{i}(a)= X i ( a ) =
v
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
v
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
v_(i)(i=1,dots,n) v_{i}(i=1, \ldots, n) v i ( i = 1 , … , n ) が成り立つことは同値である. それゆえ, 1 階の正規型連立常微分方程式の解の存在性・一意性定理から,
X
a
=
v
X
a
=
v
X_(a)=v \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} X a = v となる
c
|
[
a
,
b
]
c
[
a
,
b
]
c|_([a,b]) \left.c\right|_{[a, b]} c | [ a , b ] に沿う 平行べクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X が一意的に存在することが導かれる。
一般の場合を考えよう.
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
b
a
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
b
a=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=b a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=b a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k − 1 < t k = b で, 各
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
i in{1,dots,k} i \in\{1, \ldots, k\} i ∈ { 1 , … , k } に対し,
c
(
[
t
i
−
1
,
t
i
]
)
⊂
S
λ
i
c
t
i
−
1
,
t
i
⊂
S
λ
i
c([t_(i-1),t_(i)])subS_(lambda_(i)) c\left(\left[t_{i-1}, t_{i}\right]\right) \subset S_{\lambda_{i}} c ( [ t i − 1 , t i ] ) ⊂ S λ i となる
(
S
λ
i
,
x
λ
i
−
1
)
∈
D
S
λ
i
,
x
λ
i
−
1
∈
D
(S_(lambda_(i)),x_(lambda_(i))^(-1))inD \left(S_{\lambda_{i}}, \boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}^{-1}\right) \in \mathcal{D} ( S λ i , x λ i − 1 ) ∈ D が存在するようなものをとる。すでに示した事実によれば,
X
a
1
=
v
X
a
1
=
v
X_(a)^(1)=v \boldsymbol{X}_{a}^{1}=\boldsymbol{v} X a 1 = v となる
c
|
[
a
,
t
1
]
c
a
,
t
1
c|_([a,t_(1)]) \left.c\right|_{\left[a, t_{1}\right]} c | [ a , t 1 ] に沿う平行ベクトル場
X
1
X
1
X^(1) \boldsymbol{X}^{1} X 1 が一意的に存在する. 同様に,
X
t
1
2
=
X
t
1
1
X
t
1
2
=
X
t
1
1
X_(t_(1))^(2)=X_(t_(1))^(1) \boldsymbol{X}_{t_{1}}^{2}=\boldsymbol{X}_{t_{1}}^{1} X t 1 2 = X t 1 1 となる
c
|
[
t
1
,
t
2
]
c
t
1
,
t
2
c|_([t_(1),t_(2)]) \left.c\right|_{\left[t_{1}, t_{2}\right]} c | [ t 1 , t 2 ] に沿う平行ベクトル場
X
2
X
2
X^(2) \boldsymbol{X}^{2} X 2 が一意的に存在する. 以下, 順次,
X
t
i
−
1
i
=
X
t
i
−
1
i
=
X_(t_(i-1))^(i)= \boldsymbol{X}_{t_{i-1}}^{i}= X t i − 1 i =
X
t
i
−
1
i
−
1
X
t
i
−
1
i
−
1
X_(t_(i-1))^(i-1) \boldsymbol{X}_{t_{i-1}}^{i-1} X t i − 1 i − 1 となる
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
c
t
i
−
1
,
t
i
c|_([t_(i-1),t_(i)]) \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]} c | [ t i − 1 , t i ] に沿う平行ベクトル場
X
i
X
i
X^(i) \boldsymbol{X}^{i} X i が一意的に存在することがわ かる
(
i
=
3
,
4
,
…
,
k
)
(
i
=
3
,
4
,
…
,
k
)
(i=3,4,dots,k) (i=3,4, \ldots, k) ( i = 3 , 4 , … , k ) . 明らかに,
X
1
,
…
,
X
k
X
1
,
…
,
X
k
X^(1),dots,X^(k) \boldsymbol{X}^{1}, \ldots, \boldsymbol{X}^{k} X 1 , … , X k を貼り合わせて
c
c
c c c に沿う平行 ベクトル場がえられ,同時に,その一意性も示される。
次に, (ii) を示そう.
p
∈
S
λ
,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
…
,
u
n
)
p
∈
S
λ
,
x
λ
−
1
=
u
1
,
…
,
u
n
p inS_(lambda),x_(lambda)^(-1)=(u_(1),dots,u_(n)) p \in S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) p ∈ S λ , x λ − 1 = ( u 1 , … , u n ) とし,
x
λ
−
1
(
p
)
=
(
a
1
,
…
x
λ
−
1
(
p
)
=
a
1
,
…
x_(lambda)^(-1)(p)=(a_(1),dots:} \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}(p)=\left(a_{1}, \ldots\right. x λ − 1 ( p ) = ( a 1 , … ,
a
n
)
,
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
∂
∂
u
i
)
p
a
n
,
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
∂
∂
u
i
p
{:a_(n)),v=sum_(i=1)^(n)v_(i)((del)/(delu_(i)))_(p) \left.a_{n}\right), \boldsymbol{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)_{p} a n ) , v = ∑ i = 1 n v i ( ∂ ∂ u i ) p とする.
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
λ
c
:
(
−
ε
,
ε
)
→
S
λ
c:(-epsi,epsi)rarrS_(lambda) c:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow S_{\lambda} c : ( − ε , ε ) → S λ を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とする. このと き, 系 2.4.6の (ii)によれば,
c
c
c c c が測地線であること
d
2
(
u
i
∘
c
)
d
t
2
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
u
j
∘
c
)
d
t
d
(
u
k
∘
c
)
d
t
{
i
j
k
}
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
d
2
u
i
∘
c
d
t
2
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
u
j
∘
c
d
t
d
u
k
∘
c
d
t
i
j
k
c
(
t
)
=
0
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(d^(2)(u_(i)@c))/(dt^(2))+sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(u_(j)@c))/(dt)(d(u_(k)@c))/(dt){[i],[jk]}_(c(t))=0quad(i=1,dots,n) \frac{d^{2}\left(u_{i} \circ c\right)}{d t^{2}}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(u_{j} \circ c\right)}{d t} \frac{d\left(u_{k} \circ c\right)}{d t}\left\{\begin{array}{c}
i \\
j k
\end{array}\right\}_{c(t)}=0 \quad(i=1, \ldots, n) d 2 ( u i ∘ c ) d t 2 + ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( u j ∘ c ) d t d ( u k ∘ c ) d t { i j k } c ( t ) = 0 ( i = 1 , … , n )
(これは,
u
1
∘
c
,
…
,
u
n
∘
c
u
1
∘
c
,
…
,
u
n
∘
c
u_(1)@c,dots,u_(n)@c u_{1} \circ c, \ldots, u_{n} \circ c u 1 ∘ c , … , u n ∘ c を未知関数とする 2 階の正規型連立常微分方程式で ある)が成り立つことは同値である。また,
c
′
(
0
)
=
v
c
′
(
0
)
=
v
c^(')(0)=v c^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} c ′ ( 0 ) = v であることと
(
u
i
∘
c
)
(
0
)
=
a
i
,
d
(
u
i
∘
c
)
d
t
|
t
=
0
=
v
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
u
i
∘
c
(
0
)
=
a
i
,
d
u
i
∘
c
d
t
t
=
0
=
v
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(u_(i)@c)(0)=a_(i), quad(d(u_(i)@c))/(dt)|_(t=0)=v_(i)quad(i=1,dots,n) \left(u_{i} \circ c\right)(0)=a_{i},\left.\quad \frac{d\left(u_{i} \circ c\right)}{d t}\right|_{t=0}=v_{i} \quad(i=1, \ldots, n) ( u i ∘ c ) ( 0 ) = a i , d ( u i ∘ c ) d t | t = 0 = v i ( i = 1 , … , n )
が成り立つことは同値である。それゆえ, 2 階の正規型連立常微分方程式の解 の存在性・一意性定理から (ii) が導かれる。
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S に対し,
T
c
(
a
)
S
T
c
(
a
)
S
T_(c(a))S T_{c(a)} S T c ( a ) S から
T
c
(
b
)
S
T
c
(
b
)
S
T_(c(b))S T_{c(b)} S T c ( b ) S への写像
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c を
P
c
(
v
)
:=
X
b
(
v
∈
T
c
(
a
)
S
)
(
X
:
X
a
=
v
となる
c
に沿う平行ベクトル場
)
.
P
c
(
v
)
:=
X
b
v
∈
T
c
(
a
)
S
X
:
X
a
=
v
となる
c
に沿う平行ベクトル場
.
{:[P_(c)(v):=X_(b)quad(v inT_(c(a))S)],[(X:X_(a)=v" となる "c" に沿う平行ベクトル場 ").]:} \begin{gathered}
P_{c}(\boldsymbol{v}):=\boldsymbol{X}_{b} \quad\left(\boldsymbol{v} \in T_{c(a)} S\right) \\
\left(\boldsymbol{X}: \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} \text { となる } c \text { に沿う平行ベクトル場 }\right) .
\end{gathered} と な る に 沿 う 平 行 ベ ク ト ル 場 P c ( v ) := X b ( v ∈ T c ( a ) S ) ( X : X a = v となる c に沿う平行ベクトル場 ) .
この写像
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c を
c
c
c c c に沿う平行移動(parallel translation along
c
c
c c c )という.
c
1
(
a
)
=
c
2
(
a
)
,
c
1
(
b
)
=
c
2
(
b
)
c
1
(
a
)
=
c
2
(
a
)
,
c
1
(
b
)
=
c
2
(
b
)
c_(1)(a)=c_(2)(a),c_(1)(b)=c_(2)(b) c_{1}(a)=c_{2}(a), c_{1}(b)=c_{2}(b) c 1 ( a ) = c 2 ( a ) , c 1 ( b ) = c 2 ( b ) となる 2 つの異なる
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
1
,
c
2
c
1
,
c
2
c_(1),c_(2) c_{1}, c_{2} c 1 , c 2 に対し,
P
c
1
P
c
1
P_(c_(1)) P_{c_{1}} P c 1
と
P
c
2
P
c
2
P_(c_(2)) P_{c_{2}} P c 2 は, 一般には異なることに注意する(図 2.4.1 を参照).
c
1
(
a
)
=
c
2
(
a
)
=
p
,
c
1
(
b
)
=
c
2
(
b
)
=
q
X
i
:
X
i
(
a
)
=
v
となる
c
i
に沿う平行ベクトル場
(
i
=
1
,
2
)
c
1
(
a
)
=
c
2
(
a
)
=
p
,
c
1
(
b
)
=
c
2
(
b
)
=
q
X
i
:
X
i
(
a
)
=
v
となる
c
i
に沿う平行ベクトル場
(
i
=
1
,
2
)
{:[c_(1)(a)=c_(2)(a)=p","quadc_(1)(b)=c_(2)(b)=q],[X_(i):X_(i)(a)=v" となる "c_(i)" に沿う平行ベクトル場 "(i=1","2)]:} \begin{gathered}
c_{1}(a)=c_{2}(a)=p, \quad c_{1}(b)=c_{2}(b)=q \\
\boldsymbol{X}_{i}: \boldsymbol{X}_{i}(a)=\boldsymbol{v} \text { となる } c_{i} \text { に沿う平行ベクトル場 }(i=1,2)
\end{gathered} と な る に 沿 う 平 行 ベ ク ト ル 場 c 1 ( a ) = c 2 ( a ) = p , c 1 ( b ) = c 2 ( b ) = q X i : X i ( a ) = v となる c i に沿う平行ベクトル場 ( i = 1 , 2 )
図 2.4.1 平行移動
定理 2.4.8
P
c
P
c
quadP_(c) \quad P_{c} P c は線形同型写像である.
証明 まず,
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c が線形写像であることを示そう.
v
,
w
∈
T
p
S
,
α
,
β
∈
R
v
,
w
∈
T
p
S
,
α
,
β
∈
R
v,w inT_(p)S,alpha,beta inR \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} S, \alpha, \beta \in \mathbb{R} v , w ∈ T p S , α , β ∈ R と し,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y を各々,
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X_(p)=v,Y_(p)=w \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w} X p = v , Y p = w となる
c
c
c c c に沿う平行べクトル場とする.
Z
:=
α
X
+
β
Y
Z
:=
α
X
+
β
Y
Z:=alpha X+beta Y \boldsymbol{Z}:=\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y} Z := α X + β Y とおく.
∇
c
′
∇
c
′
grad_(c^(')) \nabla_{c^{\prime}} ∇ c ′ の性質(命題 2.4 .3 を参照)を用いて,
∇
c
′
Z
=
α
∇
c
′
X
+
β
∇
c
′
Y
=
0
∇
c
′
Z
=
α
∇
c
′
X
+
β
∇
c
′
Y
=
0
grad_(c^('))Z=alphagrad_(c^('))X+betagrad_(c^('))Y=0 \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Z}=\alpha \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}+\beta \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}=\mathbf{0} ∇ c ′ Z = α ∇ c ′ X + β ∇ c ′ Y = 0
が示され, さらに,
Z
a
=
α
X
a
+
β
Y
a
=
α
v
+
β
w
Z
a
=
α
X
a
+
β
Y
a
=
α
v
+
β
w
Z_(a)=alphaX_(a)+betaY_(a)=alpha v+beta w \boldsymbol{Z}_{a}=\alpha \boldsymbol{X}_{a}+\beta \boldsymbol{Y}_{a}=\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w} Z a = α X a + β Y a = α v + β w が示される. このように,
Z
Z
Z \boldsymbol{Z} Z は
Z
a
=
α
v
+
β
w
Z
a
=
α
v
+
β
w
Z_(a)=alpha v+beta w \boldsymbol{Z}_{a}=\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w} Z a = α v + β w となる
c
c
c c c に沿う平行べクトル場である. したがって,
P
c
(
α
v
+
β
w
)
=
Z
b
=
α
X
b
+
β
Y
b
=
α
P
c
(
v
)
+
β
P
c
(
w
)
P
c
(
α
v
+
β
w
)
=
Z
b
=
α
X
b
+
β
Y
b
=
α
P
c
(
v
)
+
β
P
c
(
w
)
P_(c)(alpha v+beta w)=Z_(b)=alphaX_(b)+betaY_(b)=alphaP_(c)(v)+betaP_(c)(w) P_{c}(\alpha \boldsymbol{v}+\beta \boldsymbol{w})=\boldsymbol{Z}_{b}=\alpha \boldsymbol{X}_{b}+\beta \boldsymbol{Y}_{b}=\alpha P_{c}(\boldsymbol{v})+\beta P_{c}(\boldsymbol{w}) P c ( α v + β w ) = Z b = α X b + β Y b = α P c ( v ) + β P c ( w )
をえる. したがって,
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c が線形写像であることが示される.
次に,
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c が全単射であることを示そう.
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の零ベクトルを
0
p
0
p
0_(p) \mathbf{0}_{p} 0 p で表し,
c
c
c c c に沿う零べクトル場を0で表すことにする.
v
∈
Ker
P
c
v
∈
Ker
P
c
v in KerP_(c) \boldsymbol{v} \in \operatorname{Ker} P_{c} v ∈ Ker P c (つまり
P
c
(
v
)
=
P
c
(
v
)
=
P_(c)(v)= P_{c}(\boldsymbol{v})= P c ( v ) =
0
c
(
b
)
0
c
(
b
)
0_(c(b)) \mathbf{0}_{c(b)} 0 c ( b ) ) とし,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
X
a
=
v
X
a
=
v
X_(a)=v \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} X a = v となる
c
c
c c c に沿う平行べクトル場とする. このと き,
X
b
=
P
c
(
v
)
=
0
c
(
b
)
X
b
=
P
c
(
v
)
=
0
c
(
b
)
X_(b)=P_(c)(v)=0_(c(b)) \boldsymbol{X}_{b}=P_{c}(\boldsymbol{v})=\mathbf{0}_{c(b)} X b = P c ( v ) = 0 c ( b ) となる. 一方,
c
c
c c c に沿う零ベクトル場
0
0
0 \mathbf{0} 0 も
0
b
=
0
b
=
0_(b)= \mathbf{0}_{b}= 0 b =
0
c
(
b
)
0
c
(
b
)
0_(c(b)) \mathbf{0}_{c(b)} 0 c ( b ) となる平行ベクトル場である。それゆえ, 平行ベクトル場の一意性(定理 2.4.7の (i)) より,
X
=
0
X
=
0
X=0 \boldsymbol{X}=\mathbf{0} X = 0 , 特に
v
=
X
a
=
0
a
=
0
c
(
a
)
v
=
X
a
=
0
a
=
0
c
(
a
)
v=X_(a)=0_(a)=0_(c(a)) \boldsymbol{v}=\boldsymbol{X}_{a}=\mathbf{0}_{a}=\mathbf{0}_{c(a)} v = X a = 0 a = 0 c ( a ) をえる. このよう に Ker
P
c
=
{
0
c
(
a
)
}
,
つ
ま
り
,
P
c
P
c
=
0
c
(
a
)
,
つ
ま
り
,
P
c
P_(c)={0_(c(a))},つまり,P_(c) P_{c}=\left\{\mathbf{0}_{c(a)}\right\}, つ ま り, P_{c} つ ま り P c = { 0 c ( a ) } , つ ま り , P c が単射であることが示される. さらに, 線
形代数学における次元定理を用いて,
dim
T
c
(
a
)
S
=
dim
(
Ker
P
c
)
+
dim
(
Im
P
c
)
=
dim
(
Im
P
c
)
dim
T
c
(
a
)
S
=
dim
Ker
P
c
+
dim
Im
P
c
=
dim
Im
P
c
dimT_(c(a))S=dim(KerP_(c))+dim(ImP_(c))=dim(ImP_(c)) \operatorname{dim} T_{c(a)} S=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} P_{c}\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} P_{c}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} P_{c}\right) dim T c ( a ) S = dim ( Ker P c ) + dim ( Im P c ) = dim ( Im P c )
それゆえ
dim
(
Im
P
c
)
=
dim
T
c
(
b
)
S
dim
Im
P
c
=
dim
T
c
(
b
)
S
dim(ImP_(c))=dimT_(c(b))S \operatorname{dim}\left(\operatorname{Im} P_{c}\right)=\operatorname{dim} T_{c(b)} S dim ( Im P c ) = dim T c ( b ) S が示され,
Im
P
c
=
T
c
(
b
)
S
Im
P
c
=
T
c
(
b
)
S
ImP_(c)=T_(c(b))S \operatorname{Im} P_{c}=T_{c(b)} S Im P c = T c ( b ) S , つまり,
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c が 全射であることが導かれる。したがって,
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c は線形同型写像である.
問 2.4 .2
D
=
{
(
u
1
,
u
2
)
∈
R
2
∣
0
<
u
1
<
1
,
−
π
<
u
2
<
π
}
(
=
(
0
,
1
)
×
(
−
π
,
π
)
)
D
=
u
1
,
u
2
∈
R
2
∣
0
<
u
1
<
1
,
−
π
<
u
2
<
π
(
=
(
0
,
1
)
×
(
−
π
,
π
)
)
D={(u_(1),u_(2))inR^(2)∣0 < u_(1) < 1,-pi < u_(2) < pi}(=(0,1)xx(-pi,pi)) D=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0<u_{1}<1,-\pi<u_{2}<\pi\right\}(=(0,1) \times(-\pi, \pi)) D = { ( u 1 , u 2 ) ∈ R 2 ∣ 0 < u 1 < 1 , − π < u 2 < π } ( = ( 0 , 1 ) × ( − π , π ) )
とし,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面
x
:
D
→
E
3
x
:
D
→
E
3
x:D rarrE^(3) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : D → E 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
1
−
u
1
2
cos
u
2
,
1
−
u
1
2
sin
u
2
,
u
1
)
x
u
1
,
u
2
=
1
−
u
1
2
cos
u
2
,
1
−
u
1
2
sin
u
2
,
u
1
x(u_(1),u_(2))=(sqrt(1-u_(1)^(2))cos u_(2),sqrt(1-u_(1)^(2))sin u_(2),u_(1)) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(\sqrt{1-u_{1}^{2}} \cos u_{2}, \sqrt{1-u_{1}^{2}} \sin u_{2}, u_{1}\right) x ( u 1 , u 2 ) = ( 1 − u 1 2 cos u 2 , 1 − u 1 2 sin u 2 , u 1 )
と定義する. 次の各問いに答えよ.
(i)
S
S
quad S \quad S S 上の曲線
c
1
(
t
)
:=
(
cos
t
,
0
,
sin
t
)
(
0
<
t
<
π
2
)
c
1
(
t
)
:=
(
cos
t
,
0
,
sin
t
)
0
<
t
<
π
2
c_(1)(t):=(cos t,0,sin t)quad(0 < t < (pi)/(2)) c_{1}(t):=(\cos t, 0, \sin t) \quad\left(0<t<\frac{\pi}{2}\right) c 1 ( t ) := ( cos t , 0 , sin t ) ( 0 < t < π 2 ) は,
S
S
S S S 上の測地線である かどうか調べよ.
(ii)
S
S
S S S 上の曲線
c
2
(
t
)
:=
(
1
2
cos
t
,
1
2
sin
t
,
1
2
)
(
−
π
<
t
<
π
)
c
2
(
t
)
:=
1
2
cos
t
,
1
2
sin
t
,
1
2
(
−
π
<
t
<
π
)
c_(2)(t):=((1)/(sqrt2)cos t,(1)/(sqrt2)sin t,(1)/(sqrt2))(-pi < t < pi) c_{2}(t):=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos t, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin t, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(-\pi<t<\pi) c 2 ( t ) := ( 1 2 cos t , 1 2 sin t , 1 2 ) ( − π < t < π ) は,
S
S
S S S 上の 測地線であるかどうか調べよ.
(ヒント:クリストッフェルの記号を求めるのは大変なので,
d
2
c
1
d
t
2
,
d
2
c
2
d
t
2
d
2
c
1
d
t
2
,
d
2
c
2
d
t
2
(d^(2)c_(1))/(dt^(2)),(d^(2)c_(2))/(dt^(2)) \frac{d^{2} c_{1}}{d t^{2}}, \frac{d^{2} c_{2}}{d t^{2}} d 2 c 1 d t 2 , d 2 c 2 d t 2 を計算 し,それらの接成分が0になるかどうか調べる.)
問 2.4.3 図 2.4.2 におけるような単位球面
S
2
(
1
)
S
2
(
1
)
S^(2)(1) S^{2}(1) S 2 ( 1 ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
S
2
(
1
)
c
:
[
a
,
b
]
→
S
2
(
1
)
c:[a,b]rarrS^(2)(1) c:[a, b] \rightarrow S^{2}(1) c : [ a , b ] → S 2 ( 1 ) と
v
v
v \boldsymbol{v} v に対し,
X
a
=
v
X
a
=
v
X_(a)=v \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} X a = v となる平行ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X を作図せよ.
(i)
(ii)
図 2.4.2
2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠
この節において,
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元ユークリッド空間
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の向き付けられ
た
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線の曲率・フルネ枠を定義する. この節では,
r
≥
n
+
1
r
≥
n
+
1
r >= n+1 r \geq n+1 r ≥ n + 1 とする.
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とし,
D
=
D
=
D= \mathcal{D}= D =
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
{(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } とし,
g
g
g g g を
S
S
S S S の第 1 基本形式とする。
c
:
[
0
,
l
]
→
S
c
:
[
0
,
l
]
→
S
c:[0,l]rarr S c:[0, l] \rightarrow S c : [ 0 , l ] → S を弧長でパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線とし,
c
c
c c c の速度ベクトル場
c
′
c
′
c^(') c^{\prime} c ′ を
t
t
t \boldsymbol{t} t と 表し,
t
t
t \boldsymbol{t} t の共変微分
(
∇
c
′
t
)
s
(
=
(
∇
c
′
c
′
)
s
)
∇
c
′
t
s
=
∇
c
′
c
′
s
(grad_(c^('))t)_(s)(=(grad_(c^('))c^('))_(s)) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\left(=\left(\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}\right)_{s}\right) ( ∇ c ′ t ) s ( = ( ∇ c ′ c ′ ) s ) のノルム
‖
(
∇
c
′
t
)
s
‖
∇
c
′
t
s
||(grad_(c^('))t)_(s)|| \left\|\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\right\| ‖ ( ∇ c ′ t ) s ‖ を
κ
1
(
s
)
κ
1
(
s
)
kappa_(1)(s) \kappa_{1}(s) κ 1 ( s ) と表す.
κ
1
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
1
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(1):[0,l]rarrR \kappa_{1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ 1 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c の第 1 曲率(the first curvature)という.
κ
1
(
s
)
≠
κ
1
(
s
)
≠
kappa_(1)(s)!= \kappa_{1}(s) \neq κ 1 ( s ) ≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
0(s in[0,l]) 0(s \in[0, l]) 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) と仮定する.
(
n
1
)
s
:=
1
κ
1
(
s
)
(
∇
c
′
t
)
s
n
1
s
:=
1
κ
1
(
s
)
∇
c
′
t
s
(n_(1))_(s):=(1)/(kappa_(1)(s))(grad_(c^('))t)_(s) \left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}:=\frac{1}{\kappa_{1}(s)}\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s} ( n 1 ) s := 1 κ 1 ( s ) ( ∇ c ′ t ) s とおく.
c
c
c c c に沿う接ベクトル 場
n
1
:
[
0
,
l
]
→
T
S
n
1
:
[
0
,
l
]
→
T
S
n_(1):[0,l]rarr TS \boldsymbol{n}_{1}:[0, l] \rightarrow T S n 1 : [ 0 , l ] → T S を
c
c
c c c の第
1
1
1 \mathbf{1} 1 法線ベクトル場という。明らかに,
(2.5.1)
(
∇
c
′
t
)
s
=
κ
1
(
s
)
(
n
1
)
s
(2.5.1)
∇
c
′
t
s
=
κ
1
(
s
)
n
1
s
{:(2.5.1)(grad_(c^('))t)_(s)=kappa_(1)(s)(n_(1))_(s):} \begin{equation*}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}=\kappa_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s} \tag{2.5.1}
\end{equation*} (2.5.1) ( ∇ c ′ t ) s = κ 1 ( s ) ( n 1 ) s
が成り立つ. 容易に,
g
c
(
s
)
(
t
s
,
(
n
1
)
s
)
=
0
g
c
(
s
)
t
s
,
n
1
s
=
0
g_(c(s))(t_(s),(n_(1))_(s))=0 g_{c(s)}\left(\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=0 g c ( s ) ( t s , ( n 1 ) s ) = 0 が示される.
T
c
(
s
)
S
T
c
(
s
)
S
T_(c(s))S T_{c(s)} S T c ( s ) S の 2 次元部分 ベクトル空間
O
1
(
s
)
:=
Span
{
(
t
)
s
,
(
n
1
)
s
}
O
1
(
s
)
:=
Span
(
t
)
s
,
n
1
s
O_(1)(s):=Span{(t)_(s),(n_(1))_(s)} \mathcal{O}_{1}(s):=\operatorname{Span}\left\{(\boldsymbol{t})_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right\} O 1 ( s ) := Span { ( t ) s , ( n 1 ) s }
を
c
c
c c c の
s
s
s s s における第
1
1
1 \mathbf{1} 1 接触空間という.
c
c
c c c の沿う接ベクトル場
s
↦
(
n
1
)
s
s
↦
n
1
s
s|->(n_(1))_(s) s \mapsto\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s} s ↦ ( n 1 ) s の 共変微分
(
∇
c
′
n
1
)
s
∇
c
′
n
1
s
(grad_(c^('))n_(1))_(s) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s} ( ∇ c ′ n 1 ) s を
(
∇
c
′
n
1
)
s
=
α
(
s
)
t
s
+
β
(
s
)
(
n
1
)
s
+
(
w
2
)
s
(
α
(
s
)
,
β
(
s
)
∈
R
,
(
w
2
)
s
∈
O
1
(
s
)
⊥
)
∇
c
′
n
1
s
=
α
(
s
)
t
s
+
β
(
s
)
n
1
s
+
w
2
s
α
(
s
)
,
β
(
s
)
∈
R
,
w
2
s
∈
O
1
(
s
)
⊥
(grad_(c^('))n_(1))_(s)=alpha(s)t_(s)+beta(s)(n_(1))_(s)+(w_(2))_(s)quad(alpha(s),beta(s)inR,quad(w_(2))_(s)inO_(1)(s)^(_|_)) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}=\alpha(s) \boldsymbol{t}_{s}+\beta(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s} \quad\left(\alpha(s), \beta(s) \in \mathbb{R}, \quad\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s} \in \mathcal{O}_{1}(s)^{\perp}\right) ( ∇ c ′ n 1 ) s = α ( s ) t s + β ( s ) ( n 1 ) s + ( w 2 ) s ( α ( s ) , β ( s ) ∈ R , ( w 2 ) s ∈ O 1 ( s ) ⊥ )
という形に分解する. ここで,
O
1
(
s
)
⊥
O
1
(
s
)
⊥
O_(1)(s)^(_|_) \mathcal{O}_{1}(s)^{\perp} O 1 ( s ) ⊥ は
(
T
c
(
s
)
S
,
g
c
(
s
)
)
T
c
(
s
)
S
,
g
c
(
s
)
(T_(c(s))S,g_(c(s))) \left(T_{c(s)} S, g_{c(s)}\right) ( T c ( s ) S , g c ( s ) ) における
O
1
(
s
)
O
1
(
s
)
O_(1)(s) \mathcal{O}_{1}(s) O 1 ( s ) の直交補空間を表す.
α
(
s
)
,
β
(
s
)
α
(
s
)
,
β
(
s
)
alpha(s),beta(s) \alpha(s), \beta(s) α ( s ) , β ( s ) を求めると,
α
(
s
)
=
g
c
(
s
)
(
(
∇
c
′
n
1
)
s
,
t
s
)
=
−
g
c
(
s
)
(
(
n
1
)
s
,
(
∇
c
′
t
)
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
β
(
s
)
=
g
c
(
s
)
(
(
∇
c
′
n
1
)
s
,
(
n
1
)
s
)
=
0
α
(
s
)
=
g
c
(
s
)
∇
c
′
n
1
s
,
t
s
=
−
g
c
(
s
)
n
1
s
,
∇
c
′
t
s
=
−
κ
1
(
s
)
β
(
s
)
=
g
c
(
s
)
∇
c
′
n
1
s
,
n
1
s
=
0
{:[alpha(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(1))_(s),t_(s))=-g_(c(s))((n_(1))_(s),(grad_(c^('))t)_(s))=-kappa_(1)(s)],[beta(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(1))_(s),(n_(1))_(s))=0]:} \begin{aligned}
& \alpha(s)=g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \boldsymbol{t}_{s}\right)=-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\right)=-\kappa_{1}(s) \\
& \beta(s)=g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=0
\end{aligned} α ( s ) = g c ( s ) ( ( ∇ c ′ n 1 ) s , t s ) = − g c ( s ) ( ( n 1 ) s , ( ∇ c ′ t ) s ) = − κ 1 ( s ) β ( s ) = g c ( s ) ( ( ∇ c ′ n 1 ) s , ( n 1 ) s ) = 0
となる.
κ
2
(
s
)
:=
‖
(
w
2
)
s
‖
κ
2
(
s
)
:=
w
2
s
kappa_(2)(s):=||(w_(2))_(s)|| \kappa_{2}(s):=\left\|\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s}\right\| κ 2 ( s ) := ‖ ( w 2 ) s ‖ とおく.
κ
2
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
2
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(2):[0,l]rarrR \kappa_{2}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ 2 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c 第
2
2
2 \mathbf{2} 2 曲率という.
κ
2
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
κ
2
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
kappa_(2)(s)!=0quad(s in[0,l]) \kappa_{2}(s) \neq 0 \quad(s \in[0, l]) κ 2 ( s ) ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) と仮定する.
(
n
2
)
s
:=
1
κ
2
(
s
)
(
w
2
)
s
n
2
s
:=
1
κ
2
(
s
)
w
2
s
(n_(2))_(s):=(1)/(kappa_(2)(s))(w_(2))_(s) \left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}:=\frac{1}{\kappa_{2}(s)}\left(\boldsymbol{w}_{2}\right)_{s} ( n 2 ) s := 1 κ 2 ( s ) ( w 2 ) s とおく.
n
2
:
[
0
,
l
]
→
n
2
:
[
0
,
l
]
→
n_(2):[0,l]rarr \boldsymbol{n}_{2}:[0, l] \rightarrow n 2 : [ 0 , l ] →
T
S
T
S
TS T S T S を,
c
c
c c c の第
2
2
2 \mathbf{2} 2 法線ベクトル場という. このとき, 上述の事実より,
∇
c
′
n
1
∇
c
′
n
1
grad_(c^('))n_(1) \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1} ∇ c ′ n 1 は次のように表される:
(2.5.2)
(
∇
c
′
n
1
)
s
=
−
κ
1
(
s
)
t
s
+
κ
2
(
s
)
(
n
2
)
s
(2.5.2)
∇
c
′
n
1
s
=
−
κ
1
(
s
)
t
s
+
κ
2
(
s
)
n
2
s
{:(2.5.2)(grad_(c^('))n_(1))_(s)=-kappa_(1)(s)t_(s)+kappa_(2)(s)(n_(2))_(s):} \begin{equation*}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s} \tag{2.5.2}
\end{equation*} (2.5.2) ( ∇ c ′ n 1 ) s = − κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) ( n 2 ) s
T
c
(
s
)
S
T
c
(
s
)
S
T_(c(s))S T_{c(s)} S T c ( s ) S の 3 次元部分ベクトル空間
O
2
(
s
)
:=
Span
{
t
s
,
(
n
1
)
s
,
(
n
2
)
s
}
O
2
(
s
)
:=
Span
t
s
,
n
1
s
,
n
2
s
O_(2)(s):=Span{t_(s),(n_(1))_(s),(n_(2))_(s)} \mathcal{O}_{2}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}\right\} O 2 ( s ) := Span { t s , ( n 1 ) s , ( n 2 ) s }
を
c
c
c c c の
s
s
s s s における第
2
2
2 \mathbf{2} 2 接触空間という.
c
c
c c c に沿う接べクトル場
s
↦
(
n
2
)
s
s
↦
n
2
s
s|->(n_(2))_(s) s \mapsto\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s} s ↦ ( n 2 ) s の 共変微分
∇
c
′
n
2
∇
c
′
n
2
grad_(c^('))n_(2) \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2} ∇ c ′ n 2 を
(
∇
c
′
n
2
)
s
=
α
^
(
s
)
t
s
+
β
^
1
(
s
)
(
n
1
)
s
+
β
^
2
(
s
)
(
n
2
)
s
+
(
w
3
)
s
(
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
∈
R
,
(
w
3
)
s
∈
O
2
(
s
)
⊥
)
∇
c
′
n
2
s
=
α
^
(
s
)
t
s
+
β
^
1
(
s
)
n
1
s
+
β
^
2
(
s
)
n
2
s
+
w
3
s
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
∈
R
,
w
3
s
∈
O
2
(
s
)
⊥
{:[(grad_(c^('))n_(2))_(s)= hat(alpha)(s)t_(s)+ hat(beta)_(1)(s)(n_(1))_(s)+ hat(beta)_(2)(s)(n_(2))_(s)+(w_(3))_(s)],[(( hat(alpha))(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s)inR,(w_(3))_(s)inO_(2)(s)^(_|_))]:} \begin{array}{r}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}=\hat{\alpha}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\hat{\beta}_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\hat{\beta}_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}+\left(\boldsymbol{w}_{3}\right)_{s} \\
\left(\hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s) \in \mathbb{R},\left(\boldsymbol{w}_{3}\right)_{s} \in \mathcal{O}_{2}(s)^{\perp}\right)
\end{array} ( ∇ c ′ n 2 ) s = α ^ ( s ) t s + β ^ 1 ( s ) ( n 1 ) s + β ^ 2 ( s ) ( n 2 ) s + ( w 3 ) s ( α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) ∈ R , ( w 3 ) s ∈ O 2 ( s ) ⊥ )
という形に分解する.
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
α
^
(
s
)
,
β
^
1
(
s
)
,
β
^
2
(
s
)
hat(alpha)(s), hat(beta)_(1)(s), hat(beta)_(2)(s) \hat{\alpha}(s), \hat{\beta}_{1}(s), \hat{\beta}_{2}(s) α ^ ( s ) , β ^ 1 ( s ) , β ^ 2 ( s ) を求めると,
α
^
(
s
)
=
g
c
(
s
)
(
(
∇
c
′
n
2
)
s
,
t
s
)
=
−
g
c
(
s
)
(
(
n
2
)
s
,
(
∇
c
′
t
)
s
)
=
−
κ
1
(
s
)
g
c
(
s
)
(
(
n
2
)
s
,
(
n
1
)
s
)
=
0
β
^
1
(
s
)
=
g
c
(
s
)
(
(
∇
c
′
n
2
)
s
,
(
n
1
)
s
)
=
−
g
c
(
s
)
(
(
n
2
)
s
,
(
∇
c
′
n
1
)
s
)
=
−
g
c
(
s
)
(
(
n
2
)
s
,
−
κ
1
(
s
)
t
s
+
κ
2
(
s
)
(
n
2
)
s
)
=
−
κ
2
(
s
)
β
^
2
(
s
)
=
g
c
(
s
)
(
(
∇
c
′
n
2
)
s
,
(
n
2
)
s
)
=
0
α
^
(
s
)
=
g
c
(
s
)
∇
c
′
n
2
s
,
t
s
=
−
g
c
(
s
)
n
2
s
,
∇
c
′
t
s
=
−
κ
1
(
s
)
g
c
(
s
)
n
2
s
,
n
1
s
=
0
β
^
1
(
s
)
=
g
c
(
s
)
∇
c
′
n
2
s
,
n
1
s
=
−
g
c
(
s
)
n
2
s
,
∇
c
′
n
1
s
=
−
g
c
(
s
)
n
2
s
,
−
κ
1
(
s
)
t
s
+
κ
2
(
s
)
n
2
s
=
−
κ
2
(
s
)
β
^
2
(
s
)
=
g
c
(
s
)
∇
c
′
n
2
s
,
n
2
s
=
0
{:[ hat(alpha)(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(2))_(s),t_(s))=-g_(c(s))((n_(2))_(s),(grad_(c^('))t)_(s))],[=-kappa_(1)(s)g_(c(s))((n_(2))_(s),(n_(1))_(s))=0],[ hat(beta)_(1)(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(2))_(s),(n_(1))_(s))=-g_(c(s))((n_(2))_(s),(grad_(c^('))n_(1))_(s))],[=-g_(c(s))((n_(2))_(s),-kappa_(1)(s)t_(s)+kappa_(2)(s)(n_(2))_(s))=-kappa_(2)(s)],[ hat(beta)_(2)(s)=g_(c(s))((grad_(c^('))n_(2))_(s),(n_(2))_(s))=0]:} \begin{aligned}
\hat{\alpha}(s) & =g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}, \boldsymbol{t}_{s}\right)=-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}\right) \\
& =-\kappa_{1}(s) g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=0 \\
\hat{\beta}_{1}(s) & =g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right)=-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}\right) \\
& =-g_{c(s)}\left(\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}\right)=-\kappa_{2}(s) \\
\hat{\beta}_{2}(s) & =g_{c(s)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}\right)=0
\end{aligned} α ^ ( s ) = g c ( s ) ( ( ∇ c ′ n 2 ) s , t s ) = − g c ( s ) ( ( n 2 ) s , ( ∇ c ′ t ) s ) = − κ 1 ( s ) g c ( s ) ( ( n 2 ) s , ( n 1 ) s ) = 0 β ^ 1 ( s ) = g c ( s ) ( ( ∇ c ′ n 2 ) s , ( n 1 ) s ) = − g c ( s ) ( ( n 2 ) s , ( ∇ c ′ n 1 ) s ) = − g c ( s ) ( ( n 2 ) s , − κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) ( n 2 ) s ) = − κ 2 ( s ) β ^ 2 ( s ) = g c ( s ) ( ( ∇ c ′ n 2 ) s , ( n 2 ) s ) = 0
となる.
κ
3
(
s
)
:=
‖
w
3
(
s
)
‖
κ
3
(
s
)
:=
w
3
(
s
)
kappa_(3)(s):=||w_(3)(s)|| \kappa_{3}(s):=\left\|\boldsymbol{w}_{3}(s)\right\| κ 3 ( s ) := ‖ w 3 ( s ) ‖ とおく.
κ
3
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
3
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(3):[0,l]rarrR \kappa_{3}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ 3 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c の第
3
3
3 \mathbf{3} 3 曲率という.
κ
3
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
κ
3
(
s
)
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
kappa_(3)(s)!=0quad(s in[0,l]) \kappa_{3}(s) \neq 0 \quad(s \in[0, l]) κ 3 ( s ) ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) と仮定する.
(
n
3
)
s
:=
1
κ
3
(
s
)
(
w
3
)
s
n
3
s
:=
1
κ
3
(
s
)
w
3
s
(n_(3))_(s):=(1)/(kappa_(3)(s))(w_(3))_(s) \left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s}:=\frac{1}{\kappa_{3}(s)}\left(\boldsymbol{w}_{3}\right)_{s} ( n 3 ) s := 1 κ 3 ( s ) ( w 3 ) s とおく.
n
3
:
[
0
,
l
]
→
n
3
:
[
0
,
l
]
→
n_(3):[0,l]rarr \boldsymbol{n}_{3}:[0, l] \rightarrow n 3 : [ 0 , l ] →
T
S
T
S
TS T S T S を,
c
c
c c c の第 3 法線ベクトル場という.このとき, 上述の事実より,
(
∇
c
′
n
2
)
s
∇
c
′
n
2
s
(grad_(c^('))n_(2))_(s) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s} ( ∇ c ′ n 2 ) s は次のように表される:
(2.5.3)
(
∇
c
′
n
2
)
s
=
−
κ
2
(
s
)
(
n
1
)
s
+
κ
3
(
s
)
(
n
3
)
s
(2.5.3)
∇
c
′
n
2
s
=
−
κ
2
(
s
)
n
1
s
+
κ
3
(
s
)
n
3
s
{:(2.5.3)(grad_(c^('))n_(2))_(s)=-kappa_(2)(s)(n_(1))_(s)+kappa_(3)(s)(n_(3))_(s):} \begin{equation*}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}=-\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\kappa_{3}(s)\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s} \tag{2.5.3}
\end{equation*} (2.5.3) ( ∇ c ′ n 2 ) s = − κ 2 ( s ) ( n 1 ) s + κ 3 ( s ) ( n 3 ) s
T
c
(
s
)
S
T
c
(
s
)
S
T_(c(s))S T_{c(s)} S T c ( s ) S の 4 次元部分べクトル空間
O
3
(
s
)
:=
Span
{
t
s
,
(
n
1
)
s
,
(
n
2
)
s
,
(
n
3
)
s
}
O
3
(
s
)
:=
Span
t
s
,
n
1
s
,
n
2
s
,
n
3
s
O_(3)(s):=Span{t_(s),(n_(1))_(s),(n_(2))_(s),(n_(3))_(s)} \mathcal{O}_{3}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s}\right\} O 3 ( s ) := Span { t s , ( n 1 ) s , ( n 2 ) s , ( n 3 ) s }
を
c
c
c c c の
c
(
s
)
c
(
s
)
c(s) c(s) c ( s ) における第
3
3
3 \mathbf{3} 3 接触空間という. 以下, 同様のプロセスを繰り返す ことにより, 順次,
κ
4
,
κ
5
,
…
,
n
4
,
n
5
,
…
κ
4
,
κ
5
,
…
,
n
4
,
n
5
,
…
kappa_(4),kappa_(5),dots,n_(4),n_(5),dots \kappa_{4}, \kappa_{5}, \ldots, \boldsymbol{n}_{4}, \boldsymbol{n}_{5}, \ldots κ 4 , κ 5 , … , n 4 , n 5 , … および
O
4
(
s
)
,
O
5
(
s
)
,
…
O
4
(
s
)
,
O
5
(
s
)
,
…
O_(4)(s),O_(5)(s),dots \mathcal{O}_{4}(s), \mathcal{O}_{5}(s), \ldots O 4 ( s ) , O 5 ( s ) , … が定義 され,
(2.5.4)
(
∇
c
′
n
i
)
s
=
−
κ
i
(
s
)
(
n
i
−
1
)
s
+
κ
i
+
1
(
s
)
(
n
i
+
1
)
s
(
i
=
3
,
4
,
…
)
(2.5.4)
∇
c
′
n
i
s
=
−
κ
i
(
s
)
n
i
−
1
s
+
κ
i
+
1
(
s
)
n
i
+
1
s
(
i
=
3
,
4
,
…
)
{:(2.5.4)(grad_(c^('))n_(i))_(s)=-kappa_(i)(s)(n_(i-1))_(s)+kappa_(i+1)(s)(n_(i+1))_(s)quad(i=3","4","dots):} \begin{equation*}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{i}\right)_{s}=-\kappa_{i}(s)\left(\boldsymbol{n}_{i-1}\right)_{s}+\kappa_{i+1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{i+1}\right)_{s} \quad(i=3,4, \ldots) \tag{2.5.4}
\end{equation*} (2.5.4) ( ∇ c ′ n i ) s = − κ i ( s ) ( n i − 1 ) s + κ i + 1 ( s ) ( n i + 1 ) s ( i = 3 , 4 , … )
が示される.
κ
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
κ
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
kappa_(i)(i=4,5,dots) \kappa_{i}(i=4,5, \ldots) κ i ( i = 4 , 5 , … ) を
c
c
c c c の第
i
i
i \boldsymbol{i} i 曲率といい,
n
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
n
i
(
i
=
4
,
5
,
…
)
n_(i)(i=4,5,dots) \boldsymbol{n}_{i}(i=4,5, \ldots) n i ( i = 4 , 5 , … ) を第
i
i
i \boldsymbol{i} i 法線ベクトル場という。また,
O
i
(
s
)
:=
Span
{
t
s
,
(
n
1
)
s
,
…
,
(
n
i
)
s
}
(
i
=
4
,
5
,
…
)
O
i
(
s
)
:=
Span
t
s
,
n
1
s
,
…
,
n
i
s
(
i
=
4
,
5
,
…
)
O_(i)(s):=Span{t_(s),(n_(1))_(s),dots,(n_(i))_(s)}quad(i=4,5,dots) \mathcal{O}_{i}(s):=\operatorname{Span}\left\{\boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \ldots,\left(\boldsymbol{n}_{i}\right)_{s}\right\} \quad(i=4,5, \ldots) O i ( s ) := Span { t s , ( n 1 ) s , … , ( n i ) s } ( i = 4 , 5 , … )
を
c
c
c c c の
c
(
s
)
c
(
s
)
c(s) c(s) c ( s ) における第
i
i
i \boldsymbol{i} i 接触空間という.
κ
i
,
n
i
(
i
=
1
,
…
,
n
−
2
)
κ
i
,
n
i
(
i
=
1
,
…
,
n
−
2
)
kappa_(i),n_(i)(i=1,dots,n-2) \kappa_{i}, \boldsymbol{n}_{i}(i=1, \ldots, n-2) κ i , n i ( i = 1 , … , n − 2 ) が定義される場合を考える. このとき,
c
c
c c c に沿う 接べクトル場
s
↦
(
n
n
−
2
)
s
s
↦
n
n
−
2
s
s|->(n_(n-2))_(s) s \mapsto\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s} s ↦ ( n n − 2 ) s の共変微分
(
∇
c
′
n
n
−
2
)
s
∇
c
′
n
n
−
2
s
(grad_(c^('))n_(n-2))_(s) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s} ( ∇ c ′ n n − 2 ) s は
(
∇
c
′
n
n
−
2
)
s
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
(
n
n
−
3
)
s
+
(
w
n
−
1
)
s
(
(
w
n
−
1
)
s
∈
O
n
−
2
(
s
)
⊥
)
∇
c
′
n
n
−
2
s
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
n
n
−
3
s
+
w
n
−
1
s
w
n
−
1
s
∈
O
n
−
2
(
s
)
⊥
(grad_(c^('))n_(n-2))_(s)=-kappa_(n-2)(s)(n_(n-3))_(s)+(w_(n-1))_(s)quad((w_(n-1))_(s)inO_(n-2)(s)^(_|_)) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}=-\kappa_{n-2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-3}\right)_{s}+\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s} \quad\left(\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s} \in \mathcal{O}_{n-2}(s)^{\perp}\right) ( ∇ c ′ n n − 2 ) s = − κ n − 2 ( s ) ( n n − 3 ) s + ( w n − 1 ) s ( ( w n − 1 ) s ∈ O n − 2 ( s ) ⊥ )
という形に分解される. さらに,
(
w
n
−
1
)
s
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
w
n
−
1
s
≠
0
(
s
∈
[
0
,
l
]
)
(w_(n-1))_(s)!=0(s in[0,l]) \left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s} \neq \mathbf{0}(s \in[0, l]) ( w n − 1 ) s ≠ 0 ( s ∈ [ 0 , l ] ) の場合を考える.
ε
ε
epsi \varepsilon ε を
(2.5.5)
ε
:=
{
1
(
|
N
c
(
s
)
,
t
s
,
(
n
1
)
s
,
…
,
(
n
n
−
2
)
s
,
(
w
n
−
1
)
s
|
>
0
のとき)
−
1
(
|
N
c
(
s
)
,
t
s
,
(
n
1
)
s
,
…
,
(
n
n
−
2
)
s
,
(
w
n
−
1
)
s
|
<
0
のとき)
(2.5.5)
ε
:=
1
N
c
(
s
)
,
t
s
,
n
1
s
,
…
,
n
n
−
2
s
,
w
n
−
1
s
>
0
のとき)
−
1
N
c
(
s
)
,
t
s
,
n
1
s
,
…
,
n
n
−
2
s
,
w
n
−
1
s
<
0
のとき)
{:(2.5.5)epsi:={[1,(|N_(c(s)),t_(s),(n_(1))_(s),dots,(n_(n-2))_(s),(w_(n-1))_(s)| > 0:}" のとき) "],[-1,(|N_(c(s)),t_(s),(n_(1))_(s),dots,(n_(n-2))_(s),(w_(n-1))_(s)| < 0:}" のとき) "]:}:} \varepsilon:= \begin{cases}1 & \left(\left|\boldsymbol{N}_{c(s)}, \boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \ldots,\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right|>0\right. \text { のとき) } \tag{2.5.5}\\ -1 & \left(\left|\boldsymbol{N}_{c(s)}, \boldsymbol{t}_{s},\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}, \ldots,\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s},\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right|<0\right. \text { のとき) }\end{cases} の と き の と き (2.5.5) ε := { 1 ( | N c ( s ) , t s , ( n 1 ) s , … , ( n n − 2 ) s , ( w n − 1 ) s | > 0 のとき) − 1 ( | N c ( s ) , t s , ( n 1 ) s , … , ( n n − 2 ) s , ( w n − 1 ) s | < 0 のとき)
κ
n
−
1
(
s
)
,
(
n
n
−
1
)
s
κ
n
−
1
(
s
)
,
n
n
−
1
s
kappa_(n-1)(s),(n_(n-1))_(s) \kappa_{n-1}(s),\left(\boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s} κ n − 1 ( s ) , ( n n − 1 ) s を各々,
κ
n
−
1
(
s
)
:=
ε
‖
(
w
n
−
1
)
s
‖
(2.5.6)
(
n
n
−
1
)
s
:=
ε
1
‖
(
w
n
−
1
)
s
‖
w
n
−
1
(
s
)
κ
n
−
1
(
s
)
:=
ε
w
n
−
1
s
(2.5.6)
n
n
−
1
s
:=
ε
1
w
n
−
1
s
w
n
−
1
(
s
)
{:[kappa_(n-1)(s):=epsi||(w_(n-1))_(s)||],[(2.5.6)(n_(n-1))_(s):=epsi(1)/(||(w_(n-1))_(s)||)w_(n-1)(s)]:} \begin{align*}
\kappa_{n-1}(s) & :=\varepsilon\left\|\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right\| \\
\left(\boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s} & :=\varepsilon \frac{1}{\left\|\left(\boldsymbol{w}_{n-1}\right)_{s}\right\|} \boldsymbol{w}_{n-1}(s) \tag{2.5.6}
\end{align*} κ n − 1 ( s ) := ε ‖ ( w n − 1 ) s ‖ (2.5.6) ( n n − 1 ) s := ε 1 ‖ ( w n − 1 ) s ‖ w n − 1 ( s )
によって定義する。
κ
n
−
1
:
[
0
,
l
]
→
R
κ
n
−
1
:
[
0
,
l
]
→
R
kappa_(n-1):[0,l]rarrR \kappa_{n-1}:[0, l] \rightarrow \mathbb{R} κ n − 1 : [ 0 , l ] → R を
c
c
c c c 第
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (\boldsymbol{n} \boldsymbol{-} \mathbf{1}) ( n − 1 ) 曲率といい,
n
n
−
1
n
n
−
1
n_(n-1) \boldsymbol{n}_{n-1} n n − 1 :
[
0
,
l
]
→
T
S
[
0
,
l
]
→
T
S
[0,l]rarr TS [0, l] \rightarrow T S [ 0 , l ] → T S を
c
c
c c c の第
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (\boldsymbol{n}-\mathbf{1}) ( n − 1 ) 法線ベクトル場という.
κ
1
,
…
,
κ
n
−
2
κ
1
,
…
,
κ
n
−
2
kappa_(1),dots,kappa_(n-2) \kappa_{1}, \ldots, \kappa_{n-2} κ 1 , … , κ n − 2 は正値で あるが,
κ
n
−
1
κ
n
−
1
kappa_(n-1) \kappa_{n-1} κ n − 1 は正値であるとは限らないことに注意する. このような曲線
c
c
c c c を至る所位数
n
n
n \boldsymbol{n} n の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線
(
C
r
−
C
r
−
(C^(r)-:} \left(C^{r}-\right. ( C r − regular curve of order
n
n
n \boldsymbol{n} n everywhere)という.上述の定義より,次の関係式が成り立つ:
(2.5.7)
{
(
∇
c
′
t
)
s
=
κ
1
(
s
)
(
n
1
)
s
(
∇
c
′
n
1
)
s
=
−
κ
1
(
s
)
t
s
+
κ
2
(
s
)
(
n
2
)
s
(
∇
c
′
n
2
)
s
=
−
κ
2
(
s
)
(
n
1
)
s
+
κ
3
(
s
)
(
n
3
)
s
⋮
(
∇
c
′
n
n
−
2
)
s
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
(
n
n
−
3
)
s
+
κ
n
−
1
(
s
)
(
n
n
−
1
)
s
(
∇
c
′
n
n
−
1
)
s
=
−
κ
n
−
1
(
s
)
(
n
n
−
2
)
s
(2.5.7)
∇
c
′
t
s
=
κ
1
(
s
)
n
1
s
∇
c
′
n
1
s
=
−
κ
1
(
s
)
t
s
+
κ
2
(
s
)
n
2
s
∇
c
′
n
2
s
=
−
κ
2
(
s
)
n
1
s
+
κ
3
(
s
)
n
3
s
⋮
∇
c
′
n
n
−
2
s
=
−
κ
n
−
2
(
s
)
n
n
−
3
s
+
κ
n
−
1
(
s
)
n
n
−
1
s
∇
c
′
n
n
−
1
s
=
−
κ
n
−
1
(
s
)
n
n
−
2
s
{:(2.5.7){[(grad_(c^('))t)_(s)=kappa_(1)(s)(n_(1))_(s)],[(grad_(c^('))n_(1))_(s)=-kappa_(1)(s)t_(s)+kappa_(2)(s)(n_(2))_(s)],[(grad_(c^('))n_(2))_(s)=-kappa_(2)(s)(n_(1))_(s)+kappa_(3)(s)(n_(3))_(s)],[vdots],[(grad_(c^('))n_(n-2))_(s)=-kappa_(n-2)(s)(n_(n-3))_(s)+kappa_(n-1)(s)(n_(n-1))_(s)],[(grad_(c^('))n_(n-1))_(s)=-kappa_(n-1)(s)(n_(n-2))_(s)]:}:} \left\{\begin{array}{l}
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{t}\right)_{s}=\kappa_{1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s} \tag{2.5.7}\\
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}=-\kappa_{1}(s) \boldsymbol{t}_{s}+\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{2}\right)_{s} \\
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{2}\right)_{s}=-\kappa_{2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{1}\right)_{s}+\kappa_{3}(s)\left(\boldsymbol{n}_{3}\right)_{s} \\
\vdots \\
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}=-\kappa_{n-2}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-3}\right)_{s}+\kappa_{n-1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s} \\
\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{n}_{n-1}\right)_{s}=-\kappa_{n-1}(s)\left(\boldsymbol{n}_{n-2}\right)_{s}
\end{array}\right. (2.5.7) { ( ∇ c ′ t ) s = κ 1 ( s ) ( n 1 ) s ( ∇ c ′ n 1 ) s = − κ 1 ( s ) t s + κ 2 ( s ) ( n 2 ) s ( ∇ c ′ n 2 ) s = − κ 2 ( s ) ( n 1 ) s + κ 3 ( s ) ( n 3 ) s ⋮ ( ∇ c ′ n n − 2 ) s = − κ n − 2 ( s ) ( n n − 3 ) s + κ n − 1 ( s ) ( n n − 1 ) s ( ∇ c ′ n n − 1 ) s = − κ n − 1 ( s ) ( n n − 2 ) s
この関係式を
c
c
c c c のフルネ・セレの公式(Frenet-Serret formula)といい,
(
t
,
n
1
,
…
,
n
n
−
1
)
t
,
n
1
,
…
,
n
n
−
1
(t,n_(1),dots,n_(n-1)) \left(\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}_{1}, \ldots, \boldsymbol{n}_{n-1}\right) ( t , n 1 , … , n n − 1 ) をcのフルネ枠(Frenet frame)という.特に,
κ
1
,
…
κ
1
,
…
kappa_(1),dots \kappa_{1}, \ldots κ 1 , … ,
κ
n
−
1
κ
n
−
1
kappa_(n-1) \kappa_{n-1} κ n − 1 が定数であるとき,
c
c
c c c を
S
S
S S S 上の位数
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) の常螺旋(helix of order
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) in
S
)
S
)
S) S) S ) という.
最後に,
S
S
S S S 上の一般のパラメーターでパラメーター付けられた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線 の第
i
i
i i i 曲率, 第
i
i
i i i 法線ベクトル場を定義しておく.
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S を
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 正則曲線とし,
c
^
:
[
0
,
l
]
→
S
c
^
:
[
0
,
l
]
→
S
hat(c):[0,l]rarr S \hat{c}:[0, l] \rightarrow S c ^ : [ 0 , l ] → S を
c
c
c c c を弧長でパラメーター付けし直した曲線, つまり,
c
^
:=
c
∘
φ
−
1
(
φ
(
t
)
:=
∫
a
t
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
)
c
^
:=
c
∘
φ
−
1
φ
(
t
)
:=
∫
a
t
c
→
′
(
t
)
d
t
hat(c):=c@varphi^(-1)(varphi(t):=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt) \hat{c}:=c \circ \varphi^{-1}\left(\varphi(t):=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t\right) c ^ := c ∘ φ − 1 ( φ ( t ) := ∫ a t ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t ) とする.
c
^
c
^
hat(c) \hat{c} c ^ の第
i
i
i i i 曲率, 第
i
i
i i i 法線ベクトル 場を
κ
^
i
,
n
^
i
κ
^
i
,
n
^
i
hat(kappa)_(i), hat(n)_(i) \hat{\kappa}_{i}, \hat{\boldsymbol{n}}_{i} κ ^ i , n ^ i とするとき,
κ
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
R
)
,
n
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
T
S
)
κ
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
R
)
,
n
^
i
∘
φ
(
:
[
a
,
b
]
→
T
S
)
hat(kappa)_(i)@varphi(:[a,b]rarrR), hat(n)_(i)@varphi(:[a,b]rarr TS) \hat{\kappa}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}), \hat{\boldsymbol{n}}_{i} \circ \varphi(:[a, b] \rightarrow T S) κ ^ i ∘ φ ( : [ a , b ] → R ) , n ^ i ∘ φ ( : [ a , b ] → T S ) を
c
c
c c c の第
i
i
i i i 曲率, 第
i
i
i i i 法線ベクトル場という.
2.6 超曲面論における体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式
この節の前半部では,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面の体積要素, お よび、スカラー場の体積要素に関する積分を定義する。後半部では,区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片からなる無限次元空間上の体積汎関数を定義 し,その第 1 変分公式, および第 2 変分公式を導くことにする.
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) を
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元ユークリッド空間
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面とし,
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ }
とする. 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
=
(
u
1
λ
,
…
,
u
n
λ
)
x
λ
−
1
=
u
1
λ
,
…
,
u
n
λ
x_(lambda)^(-1)=(u_(1)^(lambda),dots,u_(n)^(lambda)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}^{\lambda}, \ldots, u_{n}^{\lambda}\right) x λ − 1 = ( u 1 λ , … , u n λ ) とする.
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の基底
(
(
∂
∂
u
1
λ
)
p
,
…
,
(
∂
∂
u
n
λ
)
p
)
(
p
∈
S
λ
)
∂
∂
u
1
λ
p
,
…
,
∂
∂
u
n
λ
p
p
∈
S
λ
(((del)/(delu_(1)^(lambda)))_(p),dots,((del)/(delu_(n)^(lambda)))_(p))quad(p inS_(lambda)) \left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}^{\lambda}}\right)_{p}, \ldots,\left(\frac{\partial}{\partial u_{n}^{\lambda}}\right)_{p}\right) \quad\left(p \in S_{\lambda}\right) ( ( ∂ ∂ u 1 λ ) p , … , ( ∂ ∂ u n λ ) p ) ( p ∈ S λ )
の双対基底を
(
(
d
u
1
λ
)
p
,
…
,
(
d
u
n
λ
)
p
)
d
u
1
λ
p
,
…
,
d
u
n
λ
p
((du_(1)^(lambda))_(p),dots,(du_(n)^(lambda))_(p)) \left(\left(d u_{1}^{\lambda}\right)_{p}, \ldots,\left(d u_{n}^{\lambda}\right)_{p}\right) ( ( d u 1 λ ) p , … , ( d u n λ ) p ) と表す. つまり,
(
d
u
i
λ
)
p
d
u
i
λ
p
(du_(i)^(lambda))_(p) \left(d u_{i}^{\lambda}\right)_{p} ( d u i λ ) p は,
(
d
u
i
λ
)
p
(
(
∂
∂
u
j
λ
)
p
)
=
δ
i
j
(
1
≤
i
,
j
≤
n
)
d
u
i
λ
p
∂
∂
u
j
λ
p
=
δ
i
j
(
1
≤
i
,
j
≤
n
)
(du_(i)^(lambda))_(p)(((del)/(delu_(j)^(lambda)))_(p))=delta_(ij)quad(1 <= i,j <= n) \left(d u_{i}^{\lambda}\right)_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}^{\lambda}}\right)_{p}\right)=\delta_{i j} \quad(1 \leq i, j \leq n) ( d u i λ ) p ( ( ∂ ∂ u j λ ) p ) = δ i j ( 1 ≤ i , j ≤ n )
によって定義される
T
p
S
T
p
S
T_(p)S T_{p} S T p S の双対空間
T
p
∗
S
T
p
∗
S
T_(p)^(**)S T_{p}^{*} S T p ∗ S の元である. ここで,
(
d
u
i
λ
)
p
d
u
i
λ
p
(du_(i)^(lambda))_(p) \left(d u_{i}^{\lambda}\right)_{p} ( d u i λ ) p は,関数
u
i
λ
:
S
λ
→
R
u
i
λ
:
S
λ
→
R
u_(i)^(lambda):S_(lambda)rarrR u_{i}^{\lambda}: S_{\lambda} \rightarrow \mathbb{R} u i λ : S λ → R の
p
p
p p p における微分とよばれる
T
p
∗
S
λ
(
=
T
p
∗
S
)
T
p
∗
S
λ
=
T
p
∗
S
T_(p)^(**)S_(lambda)(=T_(p)^(**)S) T_{p}^{*} S_{\lambda}\left(=T_{p}^{*} S\right) T p ∗ S λ ( = T p ∗ S ) の元(3.4 節 を参照)と一致することに注意する。
S
S
S S S 上の 1 次微分形式
ω
1
,
…
,
ω
k
ω
1
,
…
,
ω
k
omega_(1),dots,omega_(k) \omega_{1}, \ldots, \omega_{k} ω 1 , … , ω k に対し,
S
S
S S S 上の
k
k
k k k 次微分形式
ω
1
∧
⋯
∧
ω
k
ω
1
∧
⋯
∧
ω
k
omega_(1)^^cdots^^omega_(k) \omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{k} ω 1 ∧ ⋯ ∧ ω k を次式によって定義する:
(
ω
1
∧
⋯
∧
ω
k
)
p
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
sgn
σ
⋅
(
ω
1
)
p
(
v
σ
(
1
)
)
⋯
(
ω
k
)
p
(
v
σ
(
k
)
)
(
p
∈
S
λ
,
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
S
λ
)
ω
1
∧
⋯
∧
ω
k
p
v
1
,
…
,
v
k
:=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
sgn
σ
⋅
ω
1
p
v
σ
(
1
)
⋯
ω
k
p
v
σ
(
k
)
p
∈
S
λ
,
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
p
S
λ
{:[(omega_(1)^^cdots^^omega_(k))_(p)(v_(1),dots,v_(k)):=(1)/(k!)sum_(sigma inS_(k))sgn sigma*(omega_(1))_(p)(v_(sigma(1)))cdots(omega_(k))_(p)(v_(sigma(k)))],[(p inS_(lambda),v_(1),dots,v_(k)inT_(p)S_(lambda))]:} \begin{array}{r}
\left(\omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k}\right):=\frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_{k}} \operatorname{sgn} \sigma \cdot\left(\omega_{1}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}\right) \cdots\left(\omega_{k}\right)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{\sigma(k)}\right) \\
\left(p \in S_{\lambda}, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{k} \in T_{p} S_{\lambda}\right)
\end{array} ( ω 1 ∧ ⋯ ∧ ω k ) p ( v 1 , … , v k ) := 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn σ ⋅ ( ω 1 ) p ( v σ ( 1 ) ) ⋯ ( ω k ) p ( v σ ( k ) ) ( p ∈ S λ , v 1 , … , v k ∈ T p S λ )
この定義から,任意の
σ
∈
S
k
σ
∈
S
k
sigma inS_(k) \sigma \in \mathcal{S}_{k} σ ∈ S k に対し,
(2.6.1)
ω
σ
(
1
)
∧
⋯
∧
ω
σ
(
k
)
=
sgn
σ
⋅
(
ω
1
∧
⋯
∧
ω
k
)
(2.6.1)
ω
σ
(
1
)
∧
⋯
∧
ω
σ
(
k
)
=
sgn
σ
⋅
ω
1
∧
⋯
∧
ω
k
{:(2.6.1)omega_(sigma(1))^^cdots^^omega_(sigma(k))=sgn sigma*(omega_(1)^^cdots^^omega_(k)):} \begin{equation*}
\omega_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge \omega_{\sigma(k)}=\operatorname{sgn} \sigma \cdot\left(\omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}\right) \tag{2.6.1}
\end{equation*} (2.6.1) ω σ ( 1 ) ∧ ⋯ ∧ ω σ ( k ) = sgn σ ⋅ ( ω 1 ∧ ⋯ ∧ ω k )
が成り立つことがわかる。また, 容易に,
(2.6.2)
ω
1
∧
⋯
∧
(
a
ω
i
+
b
ω
¯
i
)
∧
⋯
∧
ω
k
=
a
ω
1
∧
⋯
∧
ω
i
∧
⋯
∧
ω
k
+
b
ω
1
∧
⋯
∧
ω
¯
i
∧
⋯
∧
ω
k
(2.6.2)
ω
1
∧
⋯
∧
a
ω
i
+
b
ω
¯
i
∧
⋯
∧
ω
k
=
a
ω
1
∧
⋯
∧
ω
i
∧
⋯
∧
ω
k
+
b
ω
1
∧
⋯
∧
ω
¯
i
∧
⋯
∧
ω
k
{:[(2.6.2)omega_(1)^^cdots^^(aomega_(i)+b bar(omega)_(i))^^cdots^^omega_(k)],[quad=aomega_(1)^^cdots^^omega_(i)^^cdots^^omega_(k)+bomega_(1)^^cdots^^ bar(omega)_(i)^^cdots^^omega_(k)]:} \begin{align*}
& \omega_{1} \wedge \cdots \wedge\left(a \omega_{i}+b \bar{\omega}_{i}\right) \wedge \cdots \wedge \omega_{k} \tag{2.6.2}\\
& \quad=a \omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{i} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}+b \omega_{1} \wedge \cdots \wedge \bar{\omega}_{i} \wedge \cdots \wedge \omega_{k}
\end{align*} (2.6.2) ω 1 ∧ ⋯ ∧ ( a ω i + b ω ¯ i ) ∧ ⋯ ∧ ω k = a ω 1 ∧ ⋯ ∧ ω i ∧ ⋯ ∧ ω k + b ω 1 ∧ ⋯ ∧ ω ¯ i ∧ ⋯ ∧ ω k
(
a
,
b
∈
R
,
ω
¯
i
:
1
a
,
b
∈
R
,
ω
¯
i
:
1
(a,b inR, bar(omega)_(i):1:} \left(a, b \in \mathbb{R}, \bar{\omega}_{i}: 1\right. ( a , b ∈ R , ω ¯ i : 1 次微分形式)が示される. 命題 2.2 .2 によれば,
{
(
d
u
i
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
i
1
λ
∧
⋯
∧
{(du_(i_(1))^(lambda)^^cdots^^:} \left\{\left(d u_{i_{1}}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge\right.\right. { ( d u i 1 λ ∧ ⋯ ∧
d
u
i
k
λ
)
p
∣
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
}
d
u
i
k
λ
p
∣
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
{:du_(i_(k))^(lambda))_(p)∣1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n} \left.\left.d u_{i_{k}}^{\lambda}\right)_{p} \mid 1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n\right\} d u i k λ ) p ∣ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n } は
∧
k
(
T
p
∗
S
)
∧
k
T
p
∗
S
^^^(k)(T_(p)^(**)S) \wedge^{k}\left(T_{p}^{*} S\right) ∧ k ( T p ∗ S ) の基底を与えるので,
S
S
S S S 上の任意の
k
(
≤
n
)
k
(
≤
n
)
k( <= n) k(\leq n) k ( ≤ n ) 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω は,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で,
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
⋯
i
k
d
u
i
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
i
k
λ
ω
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
⋯
i
k
d
u
i
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
i
k
λ
omega=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1)cdotsi_(k))du_(i_(1))^(lambda)^^cdots^^du_(i_(k))^(lambda) \omega=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}} d u_{i_{1}}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{i_{k}}^{\lambda} ω = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ω i 1 ⋯ i k d u i 1 λ ∧ ⋯ ∧ d u i k λ
(
ω
i
1
⋯
i
k
:
S
λ
ω
i
1
⋯
i
k
:
S
λ
(omega_(i_(1)cdotsi_(k)):S_(lambda):} \left(\omega_{i_{1} \cdots i_{k}} : S_{\lambda}\right. : ( ω i 1 ⋯ i k : S λ 上の関数)という形で局所表示される. 特に,
S
S
S S S 上の任意の
n
n
n n n 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω は
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上で,
ω
=
f
d
u
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
n
λ
ω
=
f
d
u
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
n
λ
omega=fdu_(1)^(lambda)^^cdots^^du_(n)^(lambda) \omega=f d u_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\lambda} ω = f d u 1 λ ∧ ⋯ ∧ d u n λ
(
f
:
S
λ
(
f
:
S
λ
(f:S_(lambda) ( f: S_{\lambda} ( ( f : S λ 上の関数)という形で局所表示される.
S
S
S S S の第 1 基本形式を
g
g
g g g とし,
g
g
g g g の局所座標
x
λ
−
1
x
λ
−
1
x_(lambda)^(-1) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} x λ − 1 に関する成分を
g
i
j
λ
g
i
j
λ
g_(ij)^(lambda) g_{i j}^{\lambda} g i j λ とする.
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式
d
V
λ
d
V
λ
dV_(lambda) d V_{\lambda} d V λ を
d
V
λ
:=
det
(
g
i
j
λ
)
d
u
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
n
λ
d
V
λ
:=
det
g
i
j
λ
d
u
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
n
λ
dV_(lambda):=sqrt(det(g_(ij)^(lambda)))du_(1)^(lambda)^^cdots^^du_(n)^(lambda) d V_{\lambda}:=\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda}\right)} d u_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\lambda} d V λ := det ( g i j λ ) d u 1 λ ∧ ⋯ ∧ d u n λ
により定める.
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S_(lambda)nnS_(mu)!=O/ S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptyset S λ ∩ S μ ≠ ∅ のとき,
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で
d
V
λ
=
d
V
μ
d
V
λ
=
d
V
μ
dV_(lambda)=dV_(mu) d V_{\lambda}=d V_{\mu} d V λ = d V μ が成り立つこと が次のように示される。まず, 式 (2.1.1)によれば,
(2.6.3)
g
i
j
μ
=
∑
a
=
1
n
∑
b
=
1
n
g
a
b
λ
(
∂
(
u
a
λ
∘
x
μ
)
∂
u
i
μ
∘
x
μ
−
1
)
(
∂
(
u
b
λ
∘
x
μ
)
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
)
(2.6.3)
g
i
j
μ
=
∑
a
=
1
n
∑
b
=
1
n
g
a
b
λ
∂
u
a
λ
∘
x
μ
∂
u
i
μ
∘
x
μ
−
1
∂
u
b
λ
∘
x
μ
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
{:(2.6.3)g_(ij)^(mu)=sum_(a=1)^(n)sum_(b=1)^(n)g_(ab)^(lambda)((del(u_(a)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(i)^(mu))@x_(mu)^(-1))((del(u_(b)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1)):} \begin{equation*}
g_{i j}^{\mu}=\sum_{a=1}^{n} \sum_{b=1}^{n} g_{a b}^{\lambda}\left(\frac{\partial\left(u_{a}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{i}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(u_{b}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \tag{2.6.3}
\end{equation*} (2.6.3) g i j μ = ∑ a = 1 n ∑ b = 1 n g a b λ ( ∂ ( u a λ ∘ x μ ) ∂ u i μ ∘ x μ − 1 ) ( ∂ ( u b λ ∘ x μ ) ∂ u j μ ∘ x μ − 1 )
が成り立つ. これを行列表示すると,
(
g
i
j
μ
)
=
t
(
∂
(
u
i
λ
∘
x
μ
)
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
)
(
g
i
j
λ
)
(
∂
(
u
i
λ
∘
x
μ
)
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
)
g
i
j
μ
=
t
∂
u
i
λ
∘
x
μ
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
g
i
j
λ
∂
u
i
λ
∘
x
μ
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
(g_(ij)^(mu))=^(t)((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))(g_(ij)^(lambda))((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1)) \left(g_{i j}^{\mu}\right)={ }^{t}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(g_{i j}^{\lambda}\right)\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) ( g i j μ ) = t ( ∂ ( u i λ ∘ x μ ) ∂ u j μ ∘ x μ − 1 ) ( g i j λ ) ( ∂ ( u i λ ∘ x μ ) ∂ u j μ ∘ x μ − 1 )
となり, それゆえ,
(2.6.4)
det
(
g
i
j
μ
)
=
det
(
∂
(
u
i
λ
∘
x
μ
)
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
)
2
det
(
g
i
j
λ
)
(2.6.4)
det
g
i
j
μ
=
det
∂
u
i
λ
∘
x
μ
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
2
det
g
i
j
λ
{:(2.6.4)det(g_(ij)^(mu))=det((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))^(2)det(g_(ij)^(lambda)):} \begin{equation*}
\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\mu}\right)=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)^{2} \operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda}\right) \tag{2.6.4}
\end{equation*} (2.6.4) det ( g i j μ ) = det ( ∂ ( u i λ ∘ x μ ) ∂ u j μ ∘ x μ − 1 ) 2 det ( g i j λ )
が示される. 一方,
S
S
S S S は向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面なので,
det
(
∂
(
u
i
λ
∘
x
μ
)
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
)
=
det
(
J
(
x
λ
∘
x
μ
−
1
)
)
>
0
det
∂
u
i
λ
∘
x
μ
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
=
det
J
x
λ
∘
x
μ
−
1
>
0
det((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))=det(J(x_(lambda)@x_(mu)^(-1))) > 0 \operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)=\operatorname{det}\left(J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right)>0 det ( ∂ ( u i λ ∘ x μ ) ∂ u j μ ∘ x μ − 1 ) = det ( J ( x λ ∘ x μ − 1 ) ) > 0
となる. これらの事実から,
(2.6.5)
det
(
g
i
j
μ
)
=
det
(
∂
(
u
i
λ
∘
x
μ
)
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
)
det
(
g
i
j
λ
)
(2.6.5)
det
g
i
j
μ
=
det
∂
u
i
λ
∘
x
μ
∂
u
j
μ
∘
x
μ
−
1
det
g
i
j
λ
{:(2.6.5)sqrt(det(g_(ij)^(mu)))=det((del(u_(i)^(lambda)@x_(mu)))/(delu_(j)^(mu))@x_(mu)^(-1))sqrt(det(g_(ij)^(lambda))):} \begin{equation*}
\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\mu}\right)}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\lambda} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial u_{j}^{\mu}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right) \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda}\right)} \tag{2.6.5}
\end{equation*} (2.6.5) det ( g i j μ ) = det ( ∂ ( u i λ ∘ x μ ) ∂ u j μ ∘ x μ − 1 ) det ( g i j λ )
が導かれる. 一方, 式 (2.1.1) から,
(2.6.6)
d
u
i
μ
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
u
i
μ
∘
x
λ
)
∂
u
j
λ
∘
x
λ
−
1
)
d
u
j
λ
(2.6.6)
d
u
i
μ
=
∑
j
=
1
n
∂
u
i
μ
∘
x
λ
∂
u
j
λ
∘
x
λ
−
1
d
u
j
λ
{:(2.6.6)du_(i)^(mu)=sum_(j=1)^(n)((del(u_(i)^(mu)@x_(lambda)))/(delu_(j)^(lambda))@x_(lambda)^(-1))du_(j)^(lambda):} \begin{equation*}
d u_{i}^{\mu}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}^{\lambda}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{j}^{\lambda} \tag{2.6.6}
\end{equation*} (2.6.6) d u i μ = ∑ j = 1 n ( ∂ ( u i μ ∘ x λ ) ∂ u j λ ∘ x λ − 1 ) d u j λ
が導かれ, さらに
ω
∙
=
d
u
∙
λ
ω
∙
=
d
u
∙
λ
omega_(∙)=du_(∙)^(lambda) \omega_{\bullet}=d u_{\bullet}^{\lambda} ω ∙ = d u ∙ λ として, 式 (2.6.1) と式 (2.6.2) を用いることによ り,
(2.6.7)
d
u
1
μ
∧
⋯
∧
d
u
n
μ
=
det
(
∂
(
u
i
μ
∘
x
λ
)
∂
u
j
λ
∘
x
λ
−
1
)
d
u
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
n
λ
(2.6.7)
d
u
1
μ
∧
⋯
∧
d
u
n
μ
=
det
∂
u
i
μ
∘
x
λ
∂
u
j
λ
∘
x
λ
−
1
d
u
1
λ
∧
⋯
∧
d
u
n
λ
{:(2.6.7)du_(1)^(mu)^^cdots^^du_(n)^(mu)=det((del(u_(i)^(mu)@x_(lambda)))/(delu_(j)^(lambda))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^(lambda)^^cdots^^du_(n)^(lambda):} \begin{equation*}
d u_{1}^{\mu} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\mu}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(u_{i}^{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}^{\lambda}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1}^{\lambda} \wedge \cdots \wedge d u_{n}^{\lambda} \tag{2.6.7}
\end{equation*} (2.6.7) d u 1 μ ∧ ⋯ ∧ d u n μ = det ( ∂ ( u i μ ∘ x λ ) ∂ u j λ ∘ x λ − 1 ) d u 1 λ ∧ ⋯ ∧ d u n λ
が示される。式 (2.6.5) と式 (2.6.7) から,
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で
d
V
λ
=
d
V
μ
d
V
λ
=
d
V
μ
dV_(lambda)=dV_(mu) d V_{\lambda}=d V_{\mu} d V λ = d V μ が成り立 つことが示される。それゆえ,
d
V
λ
(
λ
∈
Λ
)
d
V
λ
(
λ
∈
Λ
)
dV_(lambda)(lambda in Lambda) d V_{\lambda}(\lambda \in \Lambda) d V λ ( λ ∈ Λ ) を貼り合わせて
S
S
S S S 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式をえる。この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式を
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g と表し,
S
S
S S S の体積要素(volume element)という. 特に,
n
=
2
n
=
2
n=2 n=2 n = 2 のとき,
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g は
d
A
g
d
A
g
dA_(g) d A_{g} d A g と表され,
S
S
S S S の面積要素(area element)とよばれる。
S
S
S S S 上のコンパクトな台をもつ連続関数
f
f
f f f の体積要素
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g に関する積分
∫
S
f
d
V
g
∫
S
f
d
V
g
int_(S)fdV_(g) \int_{S} f d V_{g} ∫ S f d V g を定義しよう. ここで,
f
f
f f f がコンパクトな台をもつとは,
f
f
f f f の台
supp
f
:=
{
p
∈
S
∣
f
(
p
)
≠
0
}
―
supp
f
:=
{
p
∈
S
∣
f
(
p
)
≠
0
}
¯
supp f:= bar({p in S∣f(p)!=0}) \operatorname{supp} f:=\overline{\{p \in S \mid f(p) \neq 0\}} supp f := { p ∈ S ∣ f ( p ) ≠ 0 } ―
を
S
S
S S S の開被覆
{
S
∘
λ
∣
λ
∈
Λ
}
S
∘
λ
∣
λ
∈
Λ
{S^(@)_(lambda)∣lambda in Lambda} \left\{\stackrel{\circ}{S}_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda\right\} { S ∘ λ ∣ λ ∈ Λ } に従属する1の分割とする(1 の分割の定義につ いては 3.1 節を参照). ここで,
S
∘
λ
S
∘
λ
S^(@)_(lambda) \stackrel{\circ}{S}_{\lambda} S ∘ λ は
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ の内部を表す. 1 の分割の定義から,各
μ
∈
M
μ
∈
M
mu inM \mu \in \mathcal{M} μ ∈ M に対し,
supp
ρ
μ
⊂
S
˙
λ
(
μ
)
supp
ρ
μ
⊂
S
˙
λ
(
μ
)
supprho_(mu)subS^(˙)_(lambda(mu)) \operatorname{supp} \rho_{\mu} \subset \dot{S}_{\lambda(\mu)} supp ρ μ ⊂ S ˙ λ ( μ ) となる
λ
(
μ
)
∈
Λ
λ
(
μ
)
∈
Λ
lambda(mu)in Lambda \lambda(\mu) \in \Lambda λ ( μ ) ∈ Λ が存在する. このよ うな族
{
λ
(
μ
)
}
μ
∈
M
{
λ
(
μ
)
}
μ
∈
M
{lambda(mu)}_(mu inM) \{\lambda(\mu)\}_{\mu \in \mathcal{M}} { λ ( μ ) } μ ∈ M を 1 つ固定しておく.
x
λ
x
λ
x_(lambda) \boldsymbol{x}_{\lambda} x λ の定義域を
D
λ
D
λ
D_(lambda) D_{\lambda} D λ とする.
f
f
f f f の体積要素
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g に関する積分
∫
S
f
d
V
g
∫
S
f
d
V
g
int_(S)fdV_(g) \int_{S} f d V_{g} ∫ S f d V g を
∫
S
f
d
V
g
:=
∑
μ
∈
M
∫
⋯
∫
D
λ
(
μ
)
(
ρ
μ
∘
x
λ
(
μ
)
)
⋅
(
f
∘
x
λ
(
μ
)
)
×
det
(
g
i
j
λ
(
μ
)
∘
x
λ
(
μ
)
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
f
d
V
g
:=
∑
μ
∈
M
∫
⋯
∫
D
λ
(
μ
)
ρ
μ
∘
x
λ
(
μ
)
⋅
f
∘
x
λ
(
μ
)
×
det
g
i
j
λ
(
μ
)
∘
x
λ
(
μ
)
d
u
1
⋯
d
u
n
{:[int_(S)fdV_(g):=sum_(mu inM)int cdotsint_(D_(lambda(mu)))(rho_(mu)@x_(lambda(mu)))*(f@x_(lambda(mu)))],[ xxsqrt(det(g_(ij)^(lambda(mu))@x_(lambda(mu))))du_(1)cdots du_(n)]:} \begin{aligned}
\int_{S} f d V_{g}:=\sum_{\mu \in \mathcal{M}} \int \cdots \int_{D_{\lambda(\mu)}} & \left(\rho_{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \cdot\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \\
& \times \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda(\mu)} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right)} d u_{1} \cdots d u_{n}
\end{aligned} ∫ S f d V g := ∑ μ ∈ M ∫ ⋯ ∫ D λ ( μ ) ( ρ μ ∘ x λ ( μ ) ) ⋅ ( f ∘ x λ ( μ ) ) × det ( g i j λ ( μ ) ∘ x λ ( μ ) ) d u 1 ⋯ d u n
によって定義する.
∫
S
f
d
V
g
∫
S
f
d
V
g
int_(S)fdV_(g) \int_{S} f d V_{g} ∫ S f d V g はwell-defined, つまり, 1 の分割
{
ρ
μ
∣
μ
∈
M
}
ρ
μ
∣
μ
∈
M
{rho_(mu)∣mu inM} \left\{\rho_{\mu} \mid \mu \in \mathcal{M}\right\} { ρ μ ∣ μ ∈ M } のとり方によらずに定まる. 特に,
S
S
S S S が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉超曲面の場合, 恒等的に 1 の 値をとる定値関数を
f
f
f f f としてとることができ,
∫
S
1
d
V
g
∫
S
1
d
V
g
int_(S)1dV_(g) \int_{S} 1 d V_{g} ∫ S 1 d V g を定義することがで きる。この積分値を
S
S
S S S の超曲面積(hypersurface area),または体積(volume)といい,
Vol
(
S
)
Vol
(
S
)
Vol(S) \operatorname{Vol}(S) Vol ( S ) と表す.
S
S
S S S が一般の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面の場合に戻ろう.
supp
f
supp
f
supp f \operatorname{supp} f supp f がコンパクトとは限らない一般の場合を考える。
S
S
S S S の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界を もつ有界閉領域
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ に対し,
f
f
f f f の
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ 上での体積要素
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g に関する積分
∫
S
′
f
d
V
g
∫
S
′
f
d
V
g
int_(S^('))fdV_(g) \int_{S^{\prime}} f d V_{g} ∫ S ′ f d V g を
∫
S
′
f
d
V
g
:=
∑
μ
∈
M
∫
⋯
∫
x
λ
(
μ
)
−
1
(
S
′
)
(
ρ
μ
∘
x
λ
(
μ
)
)
⋅
(
f
∘
x
λ
(
μ
)
)
×
det
(
g
i
j
λ
(
μ
)
∘
x
λ
(
μ
)
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
S
′
f
d
V
g
:=
∑
μ
∈
M
∫
⋯
∫
x
λ
(
μ
)
−
1
S
′
ρ
μ
∘
x
λ
(
μ
)
⋅
f
∘
x
λ
(
μ
)
×
det
g
i
j
λ
(
μ
)
∘
x
λ
(
μ
)
d
u
1
⋯
d
u
n
{:[int_(S^('))fdV_(g):=sum_(mu inM)int cdotsint_(x_(lambda(mu))^(-1)(S^(')))(rho_(mu)@x_(lambda(mu)))*(f@x_(lambda(mu)))],[ xxsqrt(det(g_(ij)^(lambda(mu))@x_(lambda(mu))))du_(1)cdots du_(n)]:} \begin{aligned}
\int_{S^{\prime}} f d V_{g}:=\sum_{\mu \in \mathcal{M}} \int \cdots \int_{\boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}^{-1}\left(S^{\prime}\right)} & \left(\rho_{\mu} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \cdot\left(f \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right) \\
& \times \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}^{\lambda(\mu)} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda(\mu)}\right)} d u_{1} \cdots d u_{n}
\end{aligned} ∫ S ′ f d V g := ∑ μ ∈ M ∫ ⋯ ∫ x λ ( μ ) − 1 ( S ′ ) ( ρ μ ∘ x λ ( μ ) ) ⋅ ( f ∘ x λ ( μ ) ) × det ( g i j λ ( μ ) ∘ x λ ( μ ) ) d u 1 ⋯ d u n
によって定義することができる(有限確定する)。特に,
∫
S
′
1
d
A
∫
S
′
1
d
A
int_(S^('))1dA \int_{S^{\prime}} 1 d A ∫ S ′ 1 d A を
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の超曲面積, または体積といい,
Vol
(
S
′
)
Vol
S
′
Vol(S^(')) \operatorname{Vol}\left(S^{\prime}\right) Vol ( S ′ ) と表す.
D
D
D D D を
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ有界閉領域とし,
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) を,
D
D
D D D を定義域とする
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面(つまり,
D
D
D D D を含むある領域から
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込みの
D
D
D D D への制限)全体のなす空間とする。この空間には,無限次元フレシェ多様体とよばれ る微分構造が入ることを注意しておく.
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 を
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) の 元とし、
x
~
:
D
~
→
E
n
+
1
x
~
:
D
~
→
E
n
+
1
widetilde(x): widetilde(D)rarrE^(n+1) \widetilde{\boldsymbol{x}}: \widetilde{D} \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x ~ : D ~ → E n + 1 を
D
D
D D D を含むある領域
D
~
D
~
widetilde(D) \widetilde{D} D ~ から
E
n
+
1
へ
E
n
+
1
へ
E^(n+1)へ \mathbb{E}^{n+1} へ へ E n + 1 へ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込み で,
x
~
|
D
=
x
x
~
D
=
x
( widetilde(x))|_(D)=x \left.\widetilde{\boldsymbol{x}}\right|_{D}=\boldsymbol{x} x ~ | D = x となるようなものとする.このとき,
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) 上の汎
関数
Vol
Vol
Vol \operatorname{Vol} Vol を, 各
x
∈
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
x
∈
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
x inImm^(oo)(D,E^(n+1)) \boldsymbol{x} \in \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) x ∈ Imm ∞ ( D , E n + 1 ) に対し,
Vol
(
x
(
D
)
)
Vol
(
x
(
D
)
)
Vol(x(D)) \operatorname{Vol}(\boldsymbol{x}(D)) Vol ( x ( D ) ) を対応させる対応 として定義する.この汎関数を体積汎関数(volume functional)という。特に
n
=
2
n
=
2
n=2 n=2 n = 2 の場合は, この汎関数は面積汎関数(area functional)とよば れ,通常は
A
A
A \mathcal{A} A と表される。
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) における
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形を定義しよう.
x
∈
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
x
∈
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
x inImm^(oo)(D,E^(n+1)) \boldsymbol{x} \in \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) x ∈ Imm ∞ ( D , E n + 1 ) を 固定する.
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) とおく.
ε
ε
epsi \varepsilon ε を正の数とし,
δ
δ
delta \delta δ を
D
×
(
−
ε
,
ε
)
D
×
(
−
ε
,
ε
)
D xx(-epsi,epsi) D \times(-\varepsilon, \varepsilon) D × ( − ε , ε ) から
E
n
+
1
へ
E
n
+
1
へ
E^(n+1)へ \mathbb{E}^{n+1} へ へ E n + 1 へ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像, つまり,
δ
→
(
u
1
,
…
,
u
n
,
t
)
=
o
δ
(
u
1
,
…
,
u
n
,
t
)
→
(
(
u
1
,
…
,
u
n
,
t
)
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
)
δ
→
u
1
,
…
,
u
n
,
t
=
o
δ
u
1
,
…
,
u
n
,
t
→
u
1
,
…
,
u
n
,
t
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
vec(delta)(u_(1),dots,u_(n),t)= vec(o delta(u_(1),dots,u_(n),t))quad((u_(1),dots,u_(n),t)in D xx(-epsi,epsi)) \vec{\delta}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right)=\overrightarrow{o \delta\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right)} \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon)\right) δ → ( u 1 , … , u n , t ) = o δ ( u 1 , … , u n , t ) → ( ( u 1 , … , u n , t ) ∈ D × ( − ε , ε ) )
によって定義される
D
×
(
−
ε
,
ε
)
D
×
(
−
ε
,
ε
)
D xx(-epsi,epsi) D \times(-\varepsilon, \varepsilon) D × ( − ε , ε ) 上のべクトル値関数
δ
→
δ
→
vec(delta) \vec{\delta} δ → が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であるよう なものとする.
δ
δ
delta \delta δ が次の 2 条件を満たしているとする:
(i)
δ
(
u
1
,
…
,
u
n
,
0
)
=
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
D
)
δ
u
1
,
…
,
u
n
,
0
=
x
u
1
,
…
,
u
n
u
1
,
…
,
u
n
∈
D
delta(u_(1),dots,u_(n),0)=x(u_(1),dots,u_(n))quad((u_(1),dots,u_(n))in D) \delta\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, 0\right)=\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right) δ ( u 1 , … , u n , 0 ) = x ( u 1 , … , u n ) ( ( u 1 , … , u n ) ∈ D ) ;
(ii) 各
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
t in(-epsi,epsi) t \in(-\varepsilon, \varepsilon) t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
x
t
(
u
1
,
…
,
u
n
)
:=
δ
(
u
1
,
…
,
u
n
,
t
)
x
t
u
1
,
…
,
u
n
:=
δ
u
1
,
…
,
u
n
,
t
x_(t)(u_(1),dots,u_(n)):=delta(u_(1),dots,u_(n),t) \boldsymbol{x}_{t}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right):=\delta\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right) x t ( u 1 , … , u n ) := δ ( u 1 , … , u n , t ) によって定義される
x
t
:
D
→
E
n
+
1
x
t
:
D
→
E
n
+
1
x_(t):D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}_{t}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x t : D → E n + 1 は, 区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所超曲面になる.
このとき,
(
(:} \left(\right. ( または
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{:{x_(t)}_(t in(-epsi,epsi))) \left.\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}\right) { x t } t ∈ ( − ε , ε ) ) を
x
x
x \boldsymbol{x} x Imm
Im
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Im
∞
D
,
E
n
+
1
Im^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Im}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Im ∞ ( D , E n + 1 ) にける
C
∞
C
∞
C^(oo) \boldsymbol{C}^{\infty} C ∞ 変形
(
C
∞
C
∞
(C^(oo):} \left(\boldsymbol{C}^{\infty}\right. ( C ∞ -deformation)という。以下,
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( ε , ε ) と表すこと にする。
x
x
x \boldsymbol{x} x の
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) における
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
δ
δ
delta \delta δ に対し,
V
(
u
1
,
…
,
u
n
)
:=
(
∂
δ
→
∂
t
)
(
u
1
,
…
,
u
n
,
0
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
D
)
V
u
1
,
…
,
u
n
:=
∂
δ
→
∂
t
u
1
,
…
,
u
n
,
0
u
1
,
…
,
u
n
∈
D
V_((u_(1),dots,u_(n))):=((del( vec(delta)))/(del t))_((u_(1),dots,u_(n),0))quad((u_(1),dots,u_(n))in D) V_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}:=\left(\frac{\partial \vec{\delta}}{\partial t}\right)_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, 0\right)} \quad\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \in D\right) V ( u 1 , … , u n ) := ( ∂ δ → ∂ t ) ( u 1 , … , u n , 0 ) ( ( u 1 , … , u n ) ∈ D )
によって定まる
D
D
D D D 上のべクトル値関数
V
V
V V V を,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
δ
δ
delta \delta δ の変分ベクトル場という.特に
x
t
|
∂
D
=
x
|
∂
D
(
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
x
t
∂
D
=
x
∂
D
(
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
x_(t)|_(del D)=x|_(del D)(t in(-epsi,epsi)) \left.\boldsymbol{x}_{t}\right|_{\partial D}=\left.\boldsymbol{x}\right|_{\partial D}(t \in(-\varepsilon, \varepsilon)) x t | ∂ D = x | ∂ D ( t ∈ ( − ε , ε ) ) のとき,
δ
δ
delta \delta δ を境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) \boldsymbol{C}^{\infty} C ∞ 変形 (boundary fixed
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ -deformation) という. また,
V
(
u
1
,
…
,
u
n
)
∈
T
x
(
u
1
,
…
,
u
n
)
⊥
S
V
u
1
,
…
,
u
n
∈
T
x
u
1
,
…
,
u
n
⊥
S
V_((u_(1),dots,u_(n)))inT_(x(u_(1),dots,u_(n)))^(_|_)S V_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \in T_{\boldsymbol{x}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}^{\perp} S V ( u 1 , … , u n ) ∈ T x ( u 1 , … , u n ) ⊥ S が成り立つとき,
δ
δ
delta \delta δ を
x
x
x \boldsymbol{x} x の
C
∞
C
∞
C^(oo) \boldsymbol{C}^{\infty} C ∞ 法変形
(
C
∞
−
C
∞
−
(C^(oo)-:} \left(\boldsymbol{C}^{\infty}-\right. ( C ∞ − normal deformation) とい う.
以下, この節では
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする。体積汎関数
Vol
:
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
→
R
Vol
:
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
→
R
Vol:Imm^(oo)(D,E^(n+1))rarrR \operatorname{Vol}: \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) \rightarrow \mathbb{R} Vol : Imm ∞ ( D , E n + 1 ) → R に 対し, 次の第 1 変分公式が成り立つ.
定理 2.6.1(第 1 変分公式)
x
x
x \boldsymbol{x} x の
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) における任意の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変
形
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
(2.6.8)
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
∫
S
(
div
g
V
T
−
n
H
⋅
V
)
d
V
g
(2.6.8)
d
d
t
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
∫
S
div
g
V
T
−
n
H
⋅
V
d
V
g
{:(2.6.8)(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=int_(S)(div_(g)V_(T)-nH*V)dV_(g):} \begin{equation*}
\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=\int_{S}\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V}\right) d V_{g} \tag{2.6.8}
\end{equation*} (2.6.8) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = ∫ S ( div g V T − n H ⋅ V ) d V g
が成り立つ. ここで,
S
S
S S S は
x
(
D
)
x
(
D
)
x(D) \boldsymbol{x}(D) x ( D ) を表し,
N
,
H
,
d
V
g
N
,
H
,
d
V
g
N,H,dV_(g) \boldsymbol{N}, \boldsymbol{H}, d V_{g} N , H , d V g は,
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) の単位法ベクトル場, 平均曲率ベクトル場, 体積要素を表す.
証明
S
t
:=
x
t
(
D
)
S
t
:=
x
t
(
D
)
S_(t):=x_(t)(D) S_{t}:=\boldsymbol{x}_{t}(D) S t := x t ( D ) の第 1 基本形式を
g
t
g
t
g_(t) g_{t} g t とし,その座標
x
t
−
1
=
(
u
1
,
…
x
t
−
1
=
u
1
,
…
x_(t)^(-1)=(u_(1),dots:} \boldsymbol{x}_{t}^{-1}=\left(u_{1}, \ldots\right. x t − 1 = ( u 1 , … ,
u
n
)
u
n
{:u_(n)) \left.u_{n}\right) u n ) に関する成分を
(
g
t
)
i
j
g
t
i
j
(g_(t))_(ij) \left(g_{t}\right)_{i j} ( g t ) i j とし, 行列
(
g
.
.
)
g
.
.
(g_(..)) \left(g_{. .}\right) ( g . . ) の逆行列を
(
g
∘
)
g
∘
(g^(@)) \left(g^{\circ}\right) ( g ∘ ) と表す. また, 行列
(
g
.
(
g
.
(g. (g . ( g . .
)
の
第
(
i
,
j
)
)
の
第
(
i
,
j
)
)の第(i,j) ) の第 (i, j) の 第 ) の 第 ( i , j ) 余因子を
G
i
j
G
i
j
G_(ij) G_{i j} G i j と表すことにする. 以下の計算過程において, “○
x
t
x
t
x_(t) \boldsymbol{x}_{t} x t ", および “○
x
"
x
"
x" \boldsymbol{x} " x " を略すことにする. このとき, 行列式の展開と逆行列を 求める公式により,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
S
t
)
=
d
d
t
|
t
=
0
∫
⋯
∫
D
det
(
(
g
t
)
i
j
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
⋯
∫
D
1
2
det
(
g
.
)
∑
j
=
1
n
|
g
11
⋯
d
(
g
t
)
1
j
d
t
|
t
=
0
⋯
⋮
g
1
n
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
d
(
g
t
)
n
j
d
t
|
t
=
0
⋯
g
n
n
|
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
⋯
∫
D
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
G
i
j
d
u
1
⋯
d
u
n
(2.6.9)
=
∫
⋯
∫
D
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
g
i
j
det
(
g
.
.
)
d
u
1
⋯
d
u
n
d
d
t
t
=
0
Vol
S
t
=
d
d
t
t
=
0
∫
⋯
∫
D
det
g
t
i
j
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
⋯
∫
D
1
2
det
(
g
.
)
∑
j
=
1
n
g
11
⋯
d
g
t
1
j
d
t
t
=
0
⋯
⋮
g
1
n
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
d
g
t
n
j
d
t
t
=
0
⋯
g
n
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
∫
⋯
∫
D
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
G
i
j
d
u
1
⋯
d
u
n
(2.6.9)
=
∫
⋯
∫
D
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
g
i
j
det
(
g
.
.
)
d
u
1
⋯
d
u
n
{:[(d)/(dt)|_(t=0)Vol(S_(t))=(d)/(dt)|_(t=0)int cdotsint_(D)sqrt(det((g_(t))_(ij)))du_(1)cdots du_(n)],[= int cdotsint_(D)(1)/(2sqrt(det(g.)))sum_(j=1)^(n)|[g_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt)|_(t=0)],[cdots,vdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt)|_(t=0)],[cdots,g_(nn)]|du_(1)cdots du_(n)],[= int cdotsint_(D)(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)G_(ij)du_(1)cdots du_(n)],[(2.6.9)= int cdotsint_(D)(1)/(2)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)sqrt(det(g..))du_(1)cdots du_(n)]:} \begin{align*}
& \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(S_{t}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \int \cdots \int_{D} \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right)_{i j}\right)} d u_{1} \cdots d u_{n} \\
= & \int \cdots \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g .)}} \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccc}
g_{11} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t}\right|_{t=0} \\
\cdots & \vdots & g_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
g_{n 1} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t}\right|_{t=0} \\
\cdots & g_{n n}
\end{array}\right| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
= & \left.\int \cdots \int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} G_{i j} d u_{1} \cdots d u_{n} \\
= & \left.\int \cdots \int_{D} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j} \sqrt{\operatorname{det}(g . .)} d u_{1} \cdots d u_{n} \tag{2.6.9}
\end{align*} d d t | t = 0 Vol ( S t ) = d d t | t = 0 ∫ ⋯ ∫ D det ( ( g t ) i j ) d u 1 ⋯ d u n = ∫ ⋯ ∫ D 1 2 det ( g . ) ∑ j = 1 n | g 11 ⋯ d ( g t ) 1 j d t | t = 0 ⋯ ⋮ g 1 n ⋮ ⋮ ⋮ g n 1 ⋯ d ( g t ) n j d t | t = 0 ⋯ g n n | d u 1 ⋯ d u n = ∫ ⋯ ∫ D 1 2 det ( g . . ) ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 G i j d u 1 ⋯ d u n (2.6.9) = ∫ ⋯ ∫ D 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j det ( g . . ) d u 1 ⋯ d u n
が示される。一方,
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
(
∂
x
t
∂
u
i
⋅
∂
x
t
∂
u
j
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
δ
∂
u
j
)
=
∂
V
∂
u
i
⋅
∂
x
∂
u
j
+
∂
x
∂
u
i
⋅
∂
V
∂
u
j
=
∂
V
T
∂
u
i
⋅
∂
x
∂
u
j
+
∂
x
∂
u
i
⋅
∂
V
T
∂
u
j
+
∂
V
⊥
∂
u
i
⋅
∂
x
∂
u
j
+
∂
x
∂
u
i
⋅
∂
V
⊥
∂
u
j
=
g
(
∇
∂
∂
u
i
V
T
,
∂
∂
u
j
)
+
g
(
∂
∂
u
i
,
∇
∂
∂
u
j
V
T
)
−
(
V
2
⋅
N
)
(
g
(
A
(
∂
∂
u
i
)
,
∂
∂
u
j
)
+
g
(
∂
∂
u
i
,
A
(
∂
∂
u
j
)
)
)
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
∂
x
t
∂
u
i
⋅
∂
x
t
∂
u
j
=
d
d
t
t
=
0
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
δ
∂
u
j
=
∂
V
∂
u
i
⋅
∂
x
∂
u
j
+
∂
x
∂
u
i
⋅
∂
V
∂
u
j
=
∂
V
T
∂
u
i
⋅
∂
x
∂
u
j
+
∂
x
∂
u
i
⋅
∂
V
T
∂
u
j
+
∂
V
⊥
∂
u
i
⋅
∂
x
∂
u
j
+
∂
x
∂
u
i
⋅
∂
V
⊥
∂
u
j
=
g
∇
∂
∂
u
i
V
T
,
∂
∂
u
j
+
g
∂
∂
u
i
,
∇
∂
∂
u
j
V
T
−
V
2
⋅
N
g
A
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
+
g
∂
∂
u
i
,
A
∂
∂
u
j
{:[(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0)((delx_(t))/(delu_(i))*(delx_(t))/(delu_(j)))=(d)/(dt)|_(t=0)((del delta)/(delu_(i))*(del delta)/(delu_(j)))],[=(del V)/(delu_(i))*(del x)/(delu_(j))+(del x)/(delu_(i))*(del V)/(delu_(j))],[=(delV_(T))/(delu_(i))*(del x)/(delu_(j))+(del x)/(delu_(i))*(delV_(T))/(delu_(j))+(delV_(_|_))/(delu_(i))*(del x)/(delu_(j))+(del x)/(delu_(i))*(delV_(_|_))/(delu_(j))],[=g(grad_((del)/(delu_(i)))V_(T),(del)/(delu_(j)))+g((del)/(delu_(i)),grad_((del)/(delu_(j)))V_(T))],[-(V^(2)*N)(g(A((del)/(delu_(i))),(del)/(delu_(j)))+g((del)/(delu_(i)),A((del)/(delu_(j)))))]:} \begin{aligned}
\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0}= & \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{j}}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}\right) \\
= & \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{j}} \\
= & \frac{\partial \boldsymbol{V}_{T}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}_{T}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{V}_{\perp}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}_{\perp}}{\partial u_{j}} \\
= & g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \boldsymbol{V}_{T}, \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)+g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \boldsymbol{V}_{T}\right) \\
& -\left(\boldsymbol{V}^{2} \cdot \boldsymbol{N}\right)\left(g\left(A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right), \frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)+g\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}, A\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)\right)\right)
\end{aligned} d ( g t ) i j d t | t = 0 = d d t | t = 0 ( ∂ x t ∂ u i ⋅ ∂ x t ∂ u j ) = d d t | t = 0 ( ∂ δ ∂ u i ⋅ ∂ δ ∂ u j ) = ∂ V ∂ u i ⋅ ∂ x ∂ u j + ∂ x ∂ u i ⋅ ∂ V ∂ u j = ∂ V T ∂ u i ⋅ ∂ x ∂ u j + ∂ x ∂ u i ⋅ ∂ V T ∂ u j + ∂ V ⊥ ∂ u i ⋅ ∂ x ∂ u j + ∂ x ∂ u i ⋅ ∂ V ⊥ ∂ u j = g ( ∇ ∂ ∂ u i V T , ∂ ∂ u j ) + g ( ∂ ∂ u i , ∇ ∂ ∂ u j V T ) − ( V 2 ⋅ N ) ( g ( A ( ∂ ∂ u i ) , ∂ ∂ u j ) + g ( ∂ ∂ u i , A ( ∂ ∂ u j ) ) )
それゆえ。
(2.6.10)
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
g
i
j
=
2
(
div
g
V
T
−
n
H
⋅
V
)
(2.6.10)
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
g
i
j
=
2
div
g
V
T
−
n
H
⋅
V
{:(2.6.10)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)=2(div_(g)V_(T)-nH*V):} \begin{equation*}
\left.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j}=2\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V}\right) \tag{2.6.10}
\end{equation*} (2.6.10) ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j = 2 ( div g V T − n H ⋅ V )
をえる。式 (2.6.10) を式 (2.6.9) に代入して, 求めるべき変分公式が導かれる.
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) を有界閉領域として含む
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
S
~
:=
x
~
(
D
~
)
S
~
:=
x
~
(
D
~
)
widetilde(S):= widetilde(x)( widetilde(D)) \widetilde{S}:=\widetilde{\boldsymbol{x}}(\widetilde{D}) S ~ := x ~ ( D ~ ) をとり,
S
S
S S S の境界
∂
S
∂
S
del S \partial S ∂ S (こ れは
S
~
S
~
widetilde(S) \widetilde{S} S ~ 内の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の超曲面)の外側向きの単位法ベクトル場を
N
¯
N
¯
bar(N) \bar{N} N ¯ とする(図 2.6 .1 を参照). このとき, 3.12 節で述べるリーマン多様体上のべ クトル場に対するガウスの発散定理(定理 3.12.1)によれば,
図 2.6.1
∂
S
∂
S
del S \partial S ∂ S の外側向き単位法ベクトル場
(2.6.11)
∫
S
div
g
V
T
d
V
g
=
∫
∂
S
g
(
V
T
,
N
―
)
d
V
ι
∗
g
(2.6.11)
∫
S
div
g
V
T
d
V
g
=
∫
∂
S
g
V
T
,
N
¯
d
V
ι
∗
g
{:(2.6.11)int_(S)div_(g)V_(T)dV_(g)=int_(del S)g(V_(T), bar(N))dV_(iota^(**)g):} \begin{equation*}
\int_{S} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T} d V_{g}=\int_{\partial S} g\left(\boldsymbol{V}_{T}, \overline{\boldsymbol{N}}\right) d V_{\iota^{*} g} \tag{2.6.11}
\end{equation*} (2.6.11) ∫ S div g V T d V g = ∫ ∂ S g ( V T , N ― ) d V ι ∗ g
が成り立つ. ここでしは,
∂
S
∂
S
del S \partial S ∂ S から
S
~
S
~
widetilde(S) \widetilde{S} S ~ への包含写像を表し,
ι
∗
g
ι
∗
g
iota^(**)g \iota^{*} g ι ∗ g は
g
g
g g g から に よって誘導されるリーマン計量を表す.
式 (2.6.11) から,
V
T
|
∂
S
=
0
V
T
∂
S
=
0
V_(T)|_(del S)=0 \left.\boldsymbol{V}_{T}\right|_{\partial S}=\mathbf{0} V T | ∂ S = 0 のとき,
∫
S
div
g
V
T
d
V
g
=
0
∫
S
div
g
V
T
d
V
g
=
0
int_(S)div_(g)V_(T)dV_(g)=0 \int_{S} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T} d V_{g}=0 ∫ S div g V T d V g = 0 が成り立つこと がわかる. それゆえ, 定理 2.6.1 から次の事実が導かれる。
系 2.6.2
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) を
x
x
x \boldsymbol{x} x の
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) における境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形,または
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形とする. このとき,
(2.6.12)
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
−
n
∫
S
H
⋅
V
d
V
g
(2.6.12)
d
d
t
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
−
n
∫
S
H
⋅
V
d
V
g
{:(2.6.12)(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=-nint_(S)H*VdV_(g):} \begin{equation*}
\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=-n \int_{S} \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V} d V_{g} \tag{2.6.12}
\end{equation*} (2.6.12) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = − n ∫ S H ⋅ V d V g
が成り立つ. ここで
S
S
S S S は
x
(
D
)
x
(
D
)
x(D) \boldsymbol{x}(D) x ( D ) を表し,
H
,
d
V
g
H
,
d
V
g
H,dV_(g) \boldsymbol{H}, d V_{g} H , d V g は,
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) の平均曲率べ
クトル場, 体積要素を表す.
H
=
0
H
=
0
H=0 \boldsymbol{H}=\mathbf{0} H = 0 であるとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x , または
S
:=
x
(
D
)
S
:=
x
(
D
)
S:=x(D) S:=\boldsymbol{x}(D) S := x ( D ) は極小(minimal)であると いう。
系 2.6 .2 から次の事実が導かれる。
定理 2.6.3
x
∈
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
x
∈
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
x inImm^(oo)(D,E^(n+1)) \boldsymbol{x} \in \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) x ∈ Imm ∞ ( D , E n + 1 ) とする. このとき,次の3つの主張は同値である:
(i)
x
x
x \boldsymbol{x} x の任意の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
0
d
d
t
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
0
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=0 \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=0 d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = 0
が成り立つ;
(ii)
x
x
x \boldsymbol{x} x の任意の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
0
d
d
t
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
0
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=0 \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=0 d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = 0
が成り立つ;
(iii)
x
x
x \boldsymbol{x} x は極小である.
証明
quad \quad (iii)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (i), および (iii)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (ii) は, 系 2.6 .2 における変分公式から直接導かれる。(i)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (iii)を示そう.
S
:=
x
(
D
)
S
:=
x
(
D
)
S:=x(D) S:=\boldsymbol{x}(D) S := x ( D ) とおく.
ρ
ρ
rho \rho ρ を
ρ
|
∂
S
=
0
,
ρ
|
S
∖
∂
S
>
ρ
∂
S
=
0
,
ρ
S
∖
∂
S
>
rho|_(del S)=0, rho|_(S\\del S) > \left.\rho\right|_{\partial S}=0,\left.\rho\right|_{S \backslash \partial S}> ρ | ∂ S = 0 , ρ | S ∖ ∂ S > 0 を満たす
S
S
S S S 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数とし,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) を
δ
→
(
u
1
,
…
,
u
n
,
t
)
:=
x
→
(
u
1
,
…
,
u
n
)
+
t
ρ
(
u
1
,
…
,
u
n
)
H
(
u
1
,
…
,
u
n
)
(
(
u
1
,
…
,
u
n
,
t
)
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
)
δ
→
u
1
,
…
,
u
n
,
t
:=
x
→
u
1
,
…
,
u
n
+
t
ρ
u
1
,
…
,
u
n
H
u
1
,
…
,
u
n
u
1
,
…
,
u
n
,
t
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
{:[ vec(delta)(u_(1),dots,u_(n),t):= vec(x)(u_(1),dots,u_(n))+t rho(u_(1),dots,u_(n))H_((u_(1),dots,u_(n)))],[((u_(1),dots,u_(n),t)in D xx(-epsi,epsi))]:} \begin{array}{r}
\vec{\delta}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right):=\overrightarrow{\boldsymbol{x}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)+t \rho\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \boldsymbol{H}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} \\
\left(\left(u_{1}, \ldots, u_{n}, t\right) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon)\right)
\end{array} δ → ( u 1 , … , u n , t ) := x → ( u 1 , … , u n ) + t ρ ( u 1 , … , u n ) H ( u 1 , … , u n ) ( ( u 1 , … , u n , t ) ∈ D × ( − ε , ε ) )
によって定義する.
S
t
:=
x
t
(
D
)
S
t
:=
x
t
(
D
)
S_(t):=x_(t)(D) S_{t}:=\boldsymbol{x}_{t}(D) S t := x t ( D ) とおく. 明らかに,
δ
δ
delta \delta δ は
x
x
x \boldsymbol{x} x の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形になる.それゆえ,(i)を仮定しているので,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
S
t
)
=
0
d
d
t
t
=
0
Vol
S
t
=
0
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(S_(t))=0 \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(S_{t}\right)=0 d d t | t = 0 Vol ( S t ) = 0 となる.一方,
δ
δ
delta \delta δ の変分ベクトル場
V
(
u
1
,
…
,
u
n
)
V
u
1
,
…
,
u
n
V_((u_(1),dots,u_(n))) \boldsymbol{V}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} V ( u 1 , … , u n ) が
V
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
ρ
(
u
1
,
…
,
u
n
)
H
(
u
1
,
…
,
u
n
)
V
u
1
,
…
,
u
n
=
ρ
u
1
,
…
,
u
n
H
u
1
,
…
,
u
n
V_((u_(1),dots,u_(n)))=rho(u_(1),dots,u_(n))H_((u_(1),dots,u_(n))) \boldsymbol{V}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)}=\rho\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \boldsymbol{H}_{\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)} V ( u 1 , … , u n ) = ρ ( u 1 , … , u n ) H ( u 1 , … , u n ) によって与えられるので, 系 2.6 .2 における変分公式より,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
S
t
)
=
−
n
∫
S
ρ
‖
H
‖
2
d
V
g
d
d
t
t
=
0
Vol
S
t
=
−
n
∫
S
ρ
‖
H
‖
2
d
V
g
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(S_(t))=-nint_(S)rho||H||^(2)dV_(g) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(S_{t}\right)=-n \int_{S} \rho\|\boldsymbol{H}\|^{2} d V_{g} d d t | t = 0 Vol ( S t ) = − n ∫ S ρ ‖ H ‖ 2 d V g
が示される. したがって,
∫
S
ρ
‖
H
‖
2
d
V
g
=
0
∫
S
ρ
‖
H
‖
2
d
V
g
=
0
int_(S)rho||H||^(2)dV_(g)=0 \int_{S} \rho\|\boldsymbol{H}\|^{2} d V_{g}=0 ∫ S ρ ‖ H ‖ 2 d V g = 0 が示され,
ρ
ρ
rho \rho ρ の任意性から
H
H
H \boldsymbol{H} H
=
0
=
0
=0 =\mathbf{0} = 0 が導かれる. この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
δ
δ
delta \delta δ は,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形でもあるので, 同様の議論 により (ii)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (iii) も示される.
問 2.6.1
D
D
D D D を原点を中心とする半径
1
2
1
2
(1)/(sqrt2) \frac{1}{\sqrt{2}} 1 2 の閉円板とする:
(
D
:=
{
(
u
1
,
u
2
)
∈
R
2
|
u
1
2
+
u
2
2
≤
1
2
}
)
D
:=
u
1
,
u
2
∈
R
2
u
1
2
+
u
2
2
≤
1
2
(D:={(u_(1),u_(2))inR^(2)|u_(1)^(2)+u_(2)^(2) <= (1)/(2)}) \left(D:=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, u_{1}^{2}+u_{2}^{2} \leq \frac{1}{2}\right.\right\}\right) ( D := { ( u 1 , u 2 ) ∈ R 2 | u 1 2 + u 2 2 ≤ 1 2 } )
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 正則局所曲面
x
:
D
→
E
3
x
:
D
→
E
3
x:D rarrE^(3) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{3} x : D → E 3 を
x
(
u
1
,
u
2
)
=
(
u
1
,
u
2
,
1
−
u
1
2
−
u
2
2
)
x
u
1
,
u
2
=
u
1
,
u
2
,
1
−
u
1
2
−
u
2
2
x(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),sqrt(1-u_(1)^(2)-u_(2)^(2))) \boldsymbol{x}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2}, \sqrt{1-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}\right) x ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , 1 − u 1 2 − u 2 2 )
によって定義し, その境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { x t } t ∈ ( − ε , ε ) を
x
t
(
u
1
,
u
2
)
=
(
u
1
,
u
2
,
(
1
−
t
)
1
−
u
1
2
−
u
2
2
+
t
2
)
x
t
u
1
,
u
2
=
u
1
,
u
2
,
(
1
−
t
)
1
−
u
1
2
−
u
2
2
+
t
2
x_(t)(u_(1),u_(2))=(u_(1),u_(2),(1-t)sqrt(1-u_(1)^(2)-u_(2)^(2))+(t)/(sqrt2)) \boldsymbol{x}_{t}\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, u_{2},(1-t) \sqrt{1-u_{1}^{2}-u_{2}^{2}}+\frac{t}{\sqrt{2}}\right) x t ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , u 2 , ( 1 − t ) 1 − u 1 2 − u 2 2 + t 2 )
によって定義する. 次の各問いに答えよ.
(i)
x
x
x \boldsymbol{x} x の単位法ベクトル場
N
N
N \boldsymbol{N} N と平均曲率
H
H
H H H を求めよ.
(ii)
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { x t } t ∈ ( − ε , ε ) の変分ベクトル場を求めよ. (iii) (i), (ii) の結果から, 第 1 変分公式(系
2.6
.2
)
2.6
.2
)
2.6.2) 2.6 .2 ) ) 2.6 .2 ) を用いて,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
d
d
t
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D)) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) )
の値が負になることを示せ.
(iv)
x
t
x
t
x_(t) \boldsymbol{x}_{t} x t の第 1 基本形式
g
t
g
t
g_(t) g_{t} g t の成分
(
g
t
)
i
j
g
t
i
j
(g_(t))_(ij) \left(g_{t}\right)_{i j} ( g t ) i j を求めよ.
(v)
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
d
d
t
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
quad(d)/(dt)|_(t=0)Vol(x_(t)(D)) \left.\quad \frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right) d d t | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) を計算せよ.
以下, この節では
r
≥
3
r
≥
3
r >= 3 r \geq 3 r ≥ 3 とする. Vol に対して, 次の第 2 変分公式が成り立 כ.
定理 2.6.4(Vol の第 2 変分公式)区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 が極小であるとする.このとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x の
Imm
∞
(
D
,
E
n
+
1
)
Imm
∞
D
,
E
n
+
1
Imm^(oo)(D,E^(n+1)) \operatorname{Imm}^{\infty}\left(D, \mathbb{E}^{n+1}\right) Imm ∞ ( D , E n + 1 ) に おける任意の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し, 次の積分公式が 成り立つ:
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
∫
S
(
−
(
div
g
V
T
)
2
+
‖
A
(
V
T
)
‖
2
−
‖
∇
V
T
‖
2
+
2
(
V
⋅
N
)
Tr
(
A
∘
∇
V
T
)
+
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
(
V
T
)
(2.6.13)
−
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
)
d
V
g
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
∫
S
−
div
g
V
T
2
+
A
V
T
2
−
∇
V
T
2
+
2
(
V
⋅
N
)
Tr
A
∘
∇
V
T
+
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
V
T
(2.6.13)
−
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
{:[(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=int_(S)(-(div_(g)V_(T))^(2)+||A(V_(T))||^(2)-||gradV_(T)||^(2):}],[+2(V*N)Tr(A@gradV_(T))+2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))],[(2.6.13){:-(V*N)^(2)||A||^(2)+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)]:} \begin{align*}
\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)= & \int_{S}\left(-\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2}+\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}-\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}\right. \\
& +2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)+2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) \\
& \left.-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \tag{2.6.13}
\end{align*} d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = ∫ S ( − ( div g V T ) 2 + ‖ A ( V T ) ‖ 2 − ‖ ∇ V T ‖ 2 + 2 ( V ⋅ N ) Tr ( A ∘ ∇ V T ) + 2 grad g ( V ⋅ N ) ⋅ A ( V T ) (2.6.13) − ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 + ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 ) d V g
ここで,
x
t
,
N
,
d
V
g
x
t
,
N
,
d
V
g
x_(t),N,dV_(g) \boldsymbol{x}_{t}, \boldsymbol{N}, d V_{g} x t , N , d V g は, 定理 2.6.1 で述べた量を表し,
A
A
A A A は
S
=
x
(
D
)
S
=
x
(
D
)
S=x(D) S=\boldsymbol{x}(D) S = x ( D ) の形
作用素を表す。 また,
‖
A
‖
2
,
‖
∇
V
T
‖
2
‖
A
‖
2
,
∇
V
T
2
||A||^(2),||gradV_(T)||^(2) \|A\|^{2},\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2} ‖ A ‖ 2 , ‖ ∇ V T ‖ 2 は各々,
Tr
(
A
2
)
,
Tr
(
(
∇
V
T
)
2
)
Tr
A
2
,
Tr
∇
V
T
2
Tr(A^(2)),Tr((gradV_(T))^(2)) \operatorname{Tr}\left(A^{2}\right), \operatorname{Tr}\left(\left(\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2}\right) Tr ( A 2 ) , Tr ( ( ∇ V T ) 2 ) を表し,
grad
g
(
V
⋅
N
)
grad
g
(
V
⋅
N
)
grad_(g)(V*N) \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) grad g ( V ⋅ N ) は, スカラー場
V
⋅
N
V
⋅
N
V*N \boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N} V ⋅ N の
g
g
g g g に関する勾配べクトル場, つまり,
v
(
V
⋅
N
)
=
g
p
(
grad
g
(
V
⋅
N
)
,
v
)
(
p
∈
S
,
v
∈
T
p
S
)
v
(
V
⋅
N
)
=
g
p
grad
g
(
V
⋅
N
)
,
v
p
∈
S
,
v
∈
T
p
S
v(V*N)=g_(p)(grad_(g)(V*N),v)quad(p in S,v inT_(p)S) \boldsymbol{v}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})=g_{p}\left(\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}), \boldsymbol{v}\right) \quad\left(p \in S, \boldsymbol{v} \in T_{p} S\right) v ( V ⋅ N ) = g p ( grad g ( V ⋅ N ) , v ) ( p ∈ S , v ∈ T p S )
によって定義される
S
S
S S S 上の接ベクトル場を表す.
証明 この証明において,
n
n
n n n 重積分
∫
⋯
∫
D
(
∙
)
d
u
1
⋯
d
u
n
∫
⋯
∫
D
(
∙
)
d
u
1
⋯
d
u
n
int cdotsint_(D)(∙)du_(1)cdots du_(n) \int \cdots \int_{D}(\bullet) d u_{1} \cdots d u_{n} ∫ ⋯ ∫ D ( ∙ ) d u 1 ⋯ d u n を
∫
D
(
∙
)
d
u
1
⋯
∫
D
(
∙
)
d
u
1
⋯
int_(D)(∙)du_(1)cdots \int_{D}(\bullet) d u_{1} \cdots ∫ D ( ∙ ) d u 1 ⋯
d
u
n
d
u
n
du_(n) d u_{n} d u n と表すことにし,“○
x
”
x
”
x” \boldsymbol{x} ” x ” , およ゙ “○
x
t
”
x
t
”
x_(t)” \boldsymbol{x}_{t} ” x t ” を略すことにする。微分と重積分 の順序交換可能性を用いて,
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
d
d
t
|
t
=
0
∫
D
1
2
det
(
(
g
t
)
.
.
)
×
∑
j
=
1
n
|
(
g
t
)
11
⋯
d
(
g
t
)
1
j
d
t
⋯
(
g
t
)
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
(
g
t
)
n
1
⋯
d
(
g
t
)
n
j
d
t
⋯
(
g
t
)
n
n
|
d
u
1
⋯
d
u
n
=
−
1
4
∫
D
1
(
det
(
g
.
.
)
)
3
×
(
∑
j
=
1
n
|
g
11
⋯
d
(
g
t
)
1
j
d
t
|
t
=
0
⋯
g
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
d
(
g
t
)
n
j
d
t
|
t
=
0
⋯
g
n
n
|
)
2
d
u
1
⋯
d
u
n
+
∫
D
1
det
(
g
.
.
)
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
d
d
t
t
=
0
∫
D
1
2
det
g
t
.
.
×
∑
j
=
1
n
g
t
11
⋯
d
g
t
1
j
d
t
⋯
g
t
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
t
n
1
⋯
d
g
t
n
j
d
t
⋯
g
t
n
n
d
u
1
⋯
d
u
n
=
−
1
4
∫
D
1
(
det
(
g
.
.
)
)
3
×
∑
j
=
1
n
g
11
⋯
d
g
t
1
j
d
t
t
=
0
⋯
g
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
d
g
t
n
j
d
t
t
=
0
⋯
g
n
n
2
d
u
1
⋯
d
u
n
+
∫
D
1
det
(
g
.
.
)
{:[(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(x_(t)(D))],[=(d)/(dt)|_(t=0)int_(D)(1)/(2sqrt(det((g_(t))..:})))],[ xxsum_(j=1)^(n)|[(g_(t))_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt),cdots,(g_(t))_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[(g_(t))_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt),cdots,(g_(t))_(nn)]|du_(1)cdots du_(n)],[=-(1)/(4)int_(D)(1)/((sqrt(det(g..)))^(3))],[ xx(sum_(j=1)^(n)|[g_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(nn)]|)^(2)du_(1)cdots du_(n)],[+int_(D)(1)/(sqrt(det(g..)))]:} \begin{aligned}
& \left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right) \\
& =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \int_{D} \frac{1}{\left.2 \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right) . .\right.}\right)} \\
& \times \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc}
\left(g_{t}\right)_{11} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\left(g_{t}\right)_{n 1} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{n n}
\end{array}\right| d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& =-\frac{1}{4} \int_{D} \frac{1}{(\sqrt{\operatorname{det}(g . .)})^{3}} \\
& \times\left(\sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc}
g_{11} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
g_{n 1} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{n n}
\end{array}\right|\right)^{2} d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& +\int_{D} \frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(g . .)}}
\end{aligned} d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = d d t | t = 0 ∫ D 1 2 det ( ( g t ) . . ) × ∑ j = 1 n | ( g t ) 11 ⋯ d ( g t ) 1 j d t ⋯ ( g t ) 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ( g t ) n 1 ⋯ d ( g t ) n j d t ⋯ ( g t ) n n | d u 1 ⋯ d u n = − 1 4 ∫ D 1 ( det ( g . . ) ) 3 × ( ∑ j = 1 n | g 11 ⋯ d ( g t ) 1 j d t | t = 0 ⋯ g 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ g n 1 ⋯ d ( g t ) n j d t | t = 0 ⋯ g n n | ) 2 d u 1 ⋯ d u n + ∫ D 1 det ( g . . )
が示される. この式の右辺の第 1 項目の積分は, 定理 2.6.1 の証明中で示した 式 (2.6.10) と
x
=
x
0
x
=
x
0
x=x_(0) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0} x = x 0 が極小であることを用いて, 次のように計算される:
(式 (2.6.14) の右辺の第 1 項目)
=
−
∫
D
1
4
(
det
(
g
.
.
)
)
3
(
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
g
t
)
k
j
d
t
|
t
=
0
g
k
j
det
(
g
.
.
)
)
2
d
u
1
⋯
d
u
n
=
−
1
4
∫
S
(
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
(
g
t
)
k
j
d
t
|
t
=
0
g
k
j
)
2
d
V
g
(2.6.15)
=
−
∫
S
(
div
g
V
T
−
n
H
⋅
V
)
2
d
V
g
=
−
∫
S
(
div
g
V
T
)
2
d
V
g
=
−
∫
D
1
4
(
det
(
g
.
.
)
)
3
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
g
t
k
j
d
t
t
=
0
g
k
j
det
(
g
.
.
)
2
d
u
1
⋯
d
u
n
=
−
1
4
∫
S
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
g
t
k
j
d
t
t
=
0
g
k
j
2
d
V
g
(2.6.15)
=
−
∫
S
div
g
V
T
−
n
H
⋅
V
2
d
V
g
=
−
∫
S
div
g
V
T
2
d
V
g
{:[=-int_(D)(1)/(4(sqrt(det(g..)))^(3))(sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(g_(t))_(kj))/(dt)|_(t=0)g^(kj)det(g..))^(2)du_(1)cdots du_(n)],[=-(1)/(4)int_(S)(sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d(g_(t))_(kj))/(dt)|_(t=0)g^(kj))^(2)dV_(g)],[(2.6.15)=-int_(S)(div_(g)V_(T)-nH*V)^(2)dV_(g)=-int_(S)(div_(g)V_(T))^(2)dV_(g)]:} \begin{align*}
& =-\int_{D} \frac{1}{4(\sqrt{\operatorname{det}(g . .)})^{3}}\left(\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t}\right|_{t=0} g^{k j} \operatorname{det}(g . .)\right)^{2} d u_{1} \cdots d u_{n} \\
& =-\frac{1}{4} \int_{S}\left(\left.\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t}\right|_{t=0} g^{k j}\right)^{2} d V_{g} \\
& =-\int_{S}\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \boldsymbol{H} \cdot \boldsymbol{V}\right)^{2} d V_{g}=-\int_{S}\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2} d V_{g} \tag{2.6.15}
\end{align*} = − ∫ D 1 4 ( det ( g . . ) ) 3 ( ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( g t ) k j d t | t = 0 g k j det ( g . . ) ) 2 d u 1 ⋯ d u n = − 1 4 ∫ S ( ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d ( g t ) k j d t | t = 0 g k j ) 2 d V g (2.6.15) = − ∫ S ( div g V T − n H ⋅ V ) 2 d V g = − ∫ S ( div g V T ) 2 d V g
次に, 式 (2.6.14)の右辺の第 3 項目の積分を計算しよう. まず,単純計算に より、
d
2
(
g
t
)
i
j
d
t
2
|
t
=
0
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
(
∂
x
t
∂
u
i
⋅
∂
x
t
∂
u
j
)
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
(
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
δ
∂
u
j
)
=
∂
∂
u
i
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
⋅
∂
δ
∂
u
j
+
2
∂
V
∂
u
i
⋅
∂
V
∂
u
j
+
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
=
∂
∂
u
i
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
⋅
∂
δ
∂
u
j
+
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
+
2
(
∇
∂
∂
u
i
V
T
−
(
V
⋅
N
)
A
(
∂
∂
u
i
)
)
⋅
(
∇
∂
∂
u
j
V
T
−
(
V
⋅
N
)
A
(
∂
∂
u
j
)
)
(2.6.16)
+
2
(
A
(
V
T
)
⋅
∂
∂
u
i
+
∂
(
V
⋅
N
)
∂
u
i
)
(
A
(
V
T
)
⋅
∂
∂
u
j
+
∂
(
V
⋅
N
)
∂
u
j
)
d
2
g
t
i
j
d
t
2
t
=
0
=
d
2
d
t
2
t
=
0
∂
x
t
∂
u
i
⋅
∂
x
t
∂
u
j
=
d
2
d
t
2
t
=
0
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
δ
∂
u
j
=
∂
∂
u
i
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
⋅
∂
δ
∂
u
j
+
2
∂
V
∂
u
i
⋅
∂
V
∂
u
j
+
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
=
∂
∂
u
i
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
⋅
∂
δ
∂
u
j
+
∂
δ
∂
u
i
⋅
∂
∂
u
j
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
+
2
∇
∂
∂
u
i
V
T
−
(
V
⋅
N
)
A
∂
∂
u
i
⋅
∇
∂
∂
u
j
V
T
−
(
V
⋅
N
)
A
∂
∂
u
j
(2.6.16)
+
2
A
V
T
⋅
∂
∂
u
i
+
∂
(
V
⋅
N
)
∂
u
i
A
V
T
⋅
∂
∂
u
j
+
∂
(
V
⋅
N
)
∂
u
j
{:[(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)((delx_(t))/(delu_(i))*(delx_(t))/(delu_(j)))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)((del delta)/(delu_(i))*(del delta)/(delu_(j)))],[=(del)/(delu_(i))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))*(del delta)/(delu_(j))+2(del V)/(delu_(i))*(del V)/(delu_(j))+(del delta)/(delu_(i))*(del)/(delu_(j))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))],[=(del)/(delu_(i))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))*(del delta)/(delu_(j))+(del delta)/(delu_(i))*(del)/(delu_(j))((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))],[+2(grad_((del)/(delu_(i)))V_(T)-(V*N)A((del)/(delu_(i))))*(grad_((del)/(delu_(j)))V_(T)-(V*N)A((del)/(delu_(j))))],[(2.6.16)+2(A(V_(T))*(del)/(delu_(i))+(del(V*N))/(delu_(i)))(A(V_(T))*(del)/(delu_(j))+(del(V*N))/(delu_(j)))]:} \begin{align*}
& \left.\frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0}=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_{t}}{\partial u_{j}}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0}\left(\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}\right) \\
= & \frac{\partial}{\partial u_{i}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}+2 \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \\
= & \frac{\partial}{\partial u_{i}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \cdot \frac{\partial \delta}{\partial u_{j}}+\frac{\partial \delta}{\partial u_{i}} \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right) \\
& +2\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{i}}} \boldsymbol{V}_{T}-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{i}}\right)\right) \cdot\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_{j}}} \boldsymbol{V}_{T}-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) A\left(\frac{\partial}{\partial u_{j}}\right)\right) \\
& +2\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{i}}+\frac{\partial(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})}{\partial u_{i}}\right)\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial u_{j}}+\frac{\partial(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})}{\partial u_{j}}\right) \tag{2.6.16}
\end{align*} d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 = d 2 d t 2 | t = 0 ( ∂ x t ∂ u i ⋅ ∂ x t ∂ u j ) = d 2 d t 2 | t = 0 ( ∂ δ ∂ u i ⋅ ∂ δ ∂ u j ) = ∂ ∂ u i ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) ⋅ ∂ δ ∂ u j + 2 ∂ V ∂ u i ⋅ ∂ V ∂ u j + ∂ δ ∂ u i ⋅ ∂ ∂ u j ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) = ∂ ∂ u i ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) ⋅ ∂ δ ∂ u j + ∂ δ ∂ u i ⋅ ∂ ∂ u j ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) + 2 ( ∇ ∂ ∂ u i V T − ( V ⋅ N ) A ( ∂ ∂ u i ) ) ⋅ ( ∇ ∂ ∂ u j V T − ( V ⋅ N ) A ( ∂ ∂ u j ) ) (2.6.16) + 2 ( A ( V T ) ⋅ ∂ ∂ u i + ∂ ( V ⋅ N ) ∂ u i ) ( A ( V T ) ⋅ ∂ ∂ u j + ∂ ( V ⋅ N ) ∂ u j )
が示される. この式と
x
x
x \boldsymbol{x} x が極小であること,および
δ
δ
delta \delta δ が境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形 であることを用いて, 式 (2.6.14) の第 3 項目の積分は, 次のように計算され る:
(式 (2.6.14)の右辺の第 3 項目)
=
∫
D
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
2
(
g
t
)
k
j
d
t
2
|
t
=
0
g
k
j
det
(
g
.
.
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
1
2
∫
S
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
2
(
g
t
)
k
j
d
t
2
|
t
=
0
g
k
j
d
V
g
=
∫
S
(
‖
∇
V
T
‖
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
(
A
∘
∇
V
T
)
+
‖
A
(
V
T
)
‖
2
)
d
V
g
+
∫
S
(
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
(
V
T
)
+
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
)
d
V
g
+
∫
S
div
g
(
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
|
T
)
d
V
g
−
∫
S
H
⋅
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
d
V
g
∫
S
(
‖
∇
V
T
‖
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
(
A
∘
∇
V
T
)
+
‖
A
(
V
T
)
‖
2
)
d
V
g
(2.6.17)
+
∫
S
(
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
(
V
T
)
+
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
)
d
V
g
=
∫
D
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
2
g
t
k
j
d
t
2
t
=
0
g
k
j
det
(
g
.
.
)
d
u
1
⋯
d
u
n
=
1
2
∫
S
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
d
2
g
t
k
j
d
t
2
t
=
0
g
k
j
d
V
g
=
∫
S
∇
V
T
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
A
∘
∇
V
T
+
A
V
T
2
d
V
g
+
∫
S
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
V
T
+
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
+
∫
S
div
g
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
T
d
V
g
−
∫
S
H
⋅
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
d
V
g
∫
S
∇
V
T
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
A
∘
∇
V
T
+
A
V
T
2
d
V
g
(2.6.17)
+
∫
S
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
V
T
+
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
{:[=int_(D)(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(kj))/(dt^(2))|_(t=0)g^(kj)det(g..)du_(1)cdots du_(n)],[=(1)/(2)int_(S)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(kj))/(dt^(2))|_(t=0)g^(kj)dV_(g)],[=int_(S)(||gradV_(T)||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T))+||A(V_(T))||^(2))dV_(g)],[+int_(S)((V*N)^(2)||A||^(2)+2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)],[quad+int_(S)div_(g)(((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))|_(T))dV_(g)-int_(S)H*(del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0)dV_(g)],[int_(S)(||gradV_(T)||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T))+||A(V_(T))||^(2))dV_(g)],[(2.6.17)quad+int_(S)((V*N)^(2)||A||^(2)+2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)]:} \begin{align*}
&=\left.\int_{D} \frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} g^{k j} \operatorname{det}(g . .) d u_{1} \cdots d u_{n} \\
&=\left.\frac{1}{2} \int_{S} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{k j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} g^{k j} d V_{g} \\
&= \int_{S}\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}\right) d V_{g} \\
&+\int_{S}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \\
& \quad+\int_{S} \operatorname{div}_{g}\left(\left.\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right)\right|_{T}\right) d V_{g}-\left.\int_{S} \boldsymbol{H} \cdot \frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0} d V_{g} \\
& \int_{S}\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}\right) d V_{g} \\
& \quad+\int_{S}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \tag{2.6.17}
\end{align*} = ∫ D 1 2 det ( g . . ) ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d 2 ( g t ) k j d t 2 | t = 0 g k j det ( g . . ) d u 1 ⋯ d u n = 1 2 ∫ S ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n d 2 ( g t ) k j d t 2 | t = 0 g k j d V g = ∫ S ( ‖ ∇ V T ‖ 2 − 2 ( V ⋅ N ) Tr ( A ∘ ∇ V T ) + ‖ A ( V T ) ‖ 2 ) d V g + ∫ S ( ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 + 2 grad g ( V ⋅ N ) ⋅ A ( V T ) + ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 ) d V g + ∫ S div g ( ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) | T ) d V g − ∫ S H ⋅ ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 d V g ∫ S ( ‖ ∇ V T ‖ 2 − 2 ( V ⋅ N ) Tr ( A ∘ ∇ V T ) + ‖ A ( V T ) ‖ 2 ) d V g (2.6.17) + ∫ S ( ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 + 2 grad g ( V ⋅ N ) ⋅ A ( V T ) + ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 ) d V g
ここで, 最後の等号は,
x
x
x \boldsymbol{x} x の極小性, および
δ
δ
delta \delta δ が境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形である ことから, 式 (2.6.11)を用いて,
∫
S
div
g
(
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
T
)
d
V
g
=
∫
∂
S
(
∂
2
δ
∂
t
2
|
t
=
0
)
|
T
⋅
N
―
=
0
∫
S
div
g
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
T
d
V
g
=
∫
∂
S
∂
2
δ
∂
t
2
t
=
0
T
⋅
N
¯
=
0
int_(S)div_(g)(((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))_(T))dV_(g)=int_(del S)((del^(2)delta)/(delt^(2))|_(t=0))|_(T)* bar(N)=0 \int_{S} \operatorname{div}_{g}\left(\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right)_{T}\right) d V_{g}=\left.\int_{\partial S}\left(\left.\frac{\partial^{2} \delta}{\partial t^{2}}\right|_{t=0}\right)\right|_{T} \cdot \overline{\boldsymbol{N}}=0 ∫ S div g ( ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) T ) d V g = ∫ ∂ S ( ∂ 2 δ ∂ t 2 | t = 0 ) | T ⋅ N ― = 0
が示されることにより成立することを注意しておく.
次に, 式 (2.6.14)の右辺の第 2 項目の積分を計算しよう. まず, 式 (2.6.10) を用いて,
∑
1
≤
j
1
<
j
2
≤
n
|
g
11
⋯
d
(
g
t
)
1
j
1
d
t
|
t
=
0
⋯
d
(
g
t
)
1
j
2
d
t
|
t
=
0
⋯
g
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
d
(
g
t
)
n
j
1
d
t
|
t
=
0
⋯
d
(
g
t
)
n
j
2
d
t
|
t
=
0
⋯
g
n
n
|
=
−
1
2
∑
j
1
=
1
n
∑
j
2
=
1
n
∑
k
1
=
1
n
∑
k
2
=
1
n
(
d
(
g
t
)
k
1
j
1
d
t
|
t
=
0
)
(
d
(
g
t
)
k
2
j
2
d
t
|
t
=
0
)
g
k
1
k
2
g
j
1
j
2
det
(
g
.
.
)
∑
1
≤
j
1
<
j
2
≤
n
g
11
⋯
d
g
t
1
j
1
d
t
t
=
0
⋯
d
g
t
1
j
2
d
t
t
=
0
⋯
g
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
d
g
t
n
j
1
d
t
t
=
0
⋯
d
g
t
n
j
2
d
t
t
=
0
⋯
g
n
n
=
−
1
2
∑
j
1
=
1
n
∑
j
2
=
1
n
∑
k
1
=
1
n
∑
k
2
=
1
n
d
g
t
k
1
j
1
d
t
t
=
0
d
g
t
k
2
j
2
d
t
t
=
0
g
k
1
k
2
g
j
1
j
2
det
(
g
.
.
)
{:[sum_(1 <= j_(1) < j_(2) <= n)|[g_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j_(1)))/(dt)|_(t=0),cdots,(d(g_(t))_(1j_(2)))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj_(1)))/(dt)|_(t=0),cdots,(d(g_(t))_(nj_(2)))/(dt)|_(t=0),cdots,g_(nn)]|],[=-(1)/(2)sum_(j_(1)=1)^(n)sum_(j_(2)=1)^(n)sum_(k_(1)=1)^(n)sum_(k_(2)=1)^(n)((d(g_(t))_(k_(1)j_(1)))/(dt)|_(t=0))((d(g_(t))_(k_(2)j_(2)))/(dt)|_(t=0))g^(k_(1)k_(2))g^(j_(1)j_(2))det(g..)]:} \begin{aligned}
& \sum_{1 \leq j_{1}<j_{2} \leq n}\left|\begin{array}{ccccccc}
g_{11} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j_{1}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j_{2}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
g_{n 1} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j_{1}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{n j_{2}}}{d t}\right|_{t=0} & \cdots & g_{n n}
\end{array}\right| \\
& =-\frac{1}{2} \sum_{j_{1}=1}^{n} \sum_{j_{2}=1}^{n} \sum_{k_{1}=1}^{n} \sum_{k_{2}=1}^{n}\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{1} j_{1}}}{d t}\right|_{t=0}\right)\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{2} j_{2}}}{d t}\right|_{t=0}\right) g^{k_{1} k_{2}} g^{j_{1} j_{2}} \operatorname{det}(g . .)
\end{aligned} ∑ 1 ≤ j 1 < j 2 ≤ n | g 11 ⋯ d ( g t ) 1 j 1 d t | t = 0 ⋯ d ( g t ) 1 j 2 d t | t = 0 ⋯ g 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ g n 1 ⋯ d ( g t ) n j 1 d t | t = 0 ⋯ d ( g t ) n j 2 d t | t = 0 ⋯ g n n | = − 1 2 ∑ j 1 = 1 n ∑ j 2 = 1 n ∑ k 1 = 1 n ∑ k 2 = 1 n ( d ( g t ) k 1 j 1 d t | t = 0 ) ( d ( g t ) k 2 j 2 d t | t = 0 ) g k 1 k 2 g j 1 j 2 det ( g . . )
(2.6.18)
=
−
2
(
‖
∇
V
T
‖
2
+
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
(
A
∘
∇
V
T
)
)
det
(
g
.
.
)
(2.6.18)
=
−
2
∇
V
T
2
+
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
A
∘
∇
V
T
det
(
g
.
.
)
{:(2.6.18)=-2(||gradV_(T)||^(2)+(V*N)^(2)||A||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T)))det(g..):} \begin{equation*}
=-2\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}+(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)\right) \operatorname{det}(g . .) \tag{2.6.18}
\end{equation*} (2.6.18) = − 2 ( ‖ ∇ V T ‖ 2 + ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 − 2 ( V ⋅ N ) Tr ( A ∘ ∇ V T ) ) det ( g . . )
をえる。それゆえ, 式 (2.6.14)の右辺の第 2 項目の積分は, 次のように計算 される:
(式 (2.6.14) の右辺の第 2 項目)
(2.6.19)
=
−
2
∫
S
(
‖
∇
V
T
‖
2
+
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
(
A
∘
∇
V
T
)
)
d
V
g
(2.6.19)
=
−
2
∫
S
∇
V
T
2
+
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
−
2
(
V
⋅
N
)
Tr
A
∘
∇
V
T
d
V
g
{:(2.6.19)=-2int_(S)(||gradV_(T)||^(2)+(V*N)^(2)||A||^(2)-2(V*N)Tr(A@gradV_(T)))dV_(g):} \begin{equation*}
=-2 \int_{S}\left(\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}+(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}-2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)\right) d V_{g} \tag{2.6.19}
\end{equation*} (2.6.19) = − 2 ∫ S ( ‖ ∇ V T ‖ 2 + ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 − 2 ( V ⋅ N ) Tr ( A ∘ ∇ V T ) ) d V g
式 (2.6.15), (2.6.17), (2.6.19) を式 (2.6.14) に代入して, 求めるべき変分公式 (2.6.13)をえる.
さらに,
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) が法変形の場合に, 次の事実が導かれる.
系 2.6.5
x
:
D
→
E
n
+
1
x
:
D
→
E
n
+
1
x:D rarrE^(n+1) \boldsymbol{x}: D \rightarrow \mathbb{E}^{n+1} x : D → E n + 1 が極小であるとする.このとき,
x
x
x \boldsymbol{x} x の
Imm
r
(
D
Imm
r
(
D
Imm^(r)(D \operatorname{Imm}^{r}(D Imm r ( D ,
E
n
+
1
)
E
n
+
1
{:E^(n+1)) \left.\mathbb{E}^{n+1}\right) E n + 1 ) における任意の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形
δ
=
{
x
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
x
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={x_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\boldsymbol{x}_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { x t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,次の 積分公式が成り立つ:
(2.6.20)
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
x
t
(
D
)
)
=
∫
S
(
−
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
)
d
V
g
(2.6.20)
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
x
t
(
D
)
=
∫
S
−
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
+
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
{:(2.6.20)(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(x_(t)(D))=int_(S)(-(V*N)^(2)||A||^(2)+||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g):} \begin{equation*}
\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(\boldsymbol{x}_{t}(D)\right)=\int_{S}\left(-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}+\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \tag{2.6.20}
\end{equation*} (2.6.20) d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( x t ( D ) ) = ∫ S ( − ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 + ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 ) d V g
注意 4.7 節において, 法ベクトル場
ξ
ξ
xi \xi ξ の法接続
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ に関するラプラシアン(略 して, 法ラプラシアン)
Δ
⊥
ξ
Δ
⊥
ξ
Delta^(_|_)xi \Delta^{\perp} \xi Δ ⊥ ξ が定義される。 式 (2.6.20) の右辺の被積分関数の第 2 項目の
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
||grad_(g)(V*N)||^(2) \left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2} ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 は, 法ラプラシアンを用いて,
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
=
−
(
Δ
⊥
V
)
⋅
V
−
1
2
Δ
g
(
(
V
⋅
N
)
2
)
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
=
−
Δ
⊥
V
⋅
V
−
1
2
Δ
g
(
V
⋅
N
)
2
||grad_(g)(V*N)||^(2)=-(Delta^(_|_)V)*V-(1)/(2)Delta_(g)((V*N)^(2)) \left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}=-\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V}-\frac{1}{2} \Delta_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right) ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 = − ( Δ ⊥ V ) ⋅ V − 1 2 Δ g ( ( V ⋅ N ) 2 )
(
Δ
g
(
(
V
⋅
N
)
2
)
Δ
g
(
V
⋅
N
)
2
(Delta_(g)((V*N)^(2)):} \left(\Delta_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right)\right. ( Δ g ( ( V ⋅ N ) 2 ) は関数
(
V
⋅
N
)
2
(
V
⋅
N
)
2
(V*N)^(2) (\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2} ( V ⋅ N ) 2 の
g
g
g g g に関する通常のラプラシアンを表す)と表さ れ,それゆえ,
∫
S
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
)
d
V
g
=
−
∫
S
(
Δ
⊥
V
)
⋅
V
d
V
g
−
1
2
∫
S
Δ
g
(
(
V
⋅
N
)
2
)
d
V
g
=
−
∫
S
(
Δ
⊥
V
)
⋅
V
d
V
g
−
1
2
∫
S
div
g
(
grad
g
(
(
V
⋅
N
)
2
)
)
d
V
g
∫
S
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
=
−
∫
S
Δ
⊥
V
⋅
V
d
V
g
−
1
2
∫
S
Δ
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
=
−
∫
S
Δ
⊥
V
⋅
V
d
V
g
−
1
2
∫
S
div
g
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
d
V
g
{:[{:int_(S)||grad_(g)(V*N)||^(2))dV_(g)],[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)-(1)/(2)int_(S)Delta_(g)((V*N)^(2))dV_(g)],[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)-(1)/(2)int_(S)div_(g)(grad_(g)((V*N)^(2)))dV_(g)]:} \begin{aligned}
& \left.\int_{S}\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}\right) d V_{g} \\
= & -\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}-\frac{1}{2} \int_{S} \Delta_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right) d V_{g} \\
= & -\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}-\frac{1}{2} \int_{S} \operatorname{div}_{g}\left(\operatorname{grad}_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right)\right) d V_{g}
\end{aligned} ∫ S ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 ) d V g = − ∫ S ( Δ ⊥ V ) ⋅ V d V g − 1 2 ∫ S Δ g ( ( V ⋅ N ) 2 ) d V g = − ∫ S ( Δ ⊥ V ) ⋅ V d V g − 1 2 ∫ S div g ( grad g ( ( V ⋅ N ) 2 ) ) d V g
=
−
∫
S
(
Δ
⊥
V
)
⋅
V
d
V
g
−
1
2
∫
∂
S
g
(
grad
g
(
(
V
⋅
N
)
2
)
,
N
―
)
d
V
ι
∗
g
=
−
∫
S
(
Δ
⊥
V
)
⋅
V
d
V
g
=
−
∫
S
Δ
⊥
V
⋅
V
d
V
g
−
1
2
∫
∂
S
g
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
,
N
¯
d
V
ι
∗
g
=
−
∫
S
Δ
⊥
V
⋅
V
d
V
g
{:[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)-(1)/(2)int_(del S)g(grad_(g)((V*N)^(2)), bar(N))dV_(iota^(**)g)],[=-int_(S)(Delta^(_|_)V)*VdV_(g)]:} \begin{aligned}
& =-\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}-\frac{1}{2} \int_{\partial S} g\left(\operatorname{grad}_{g}\left((\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\right), \overline{\boldsymbol{N}}\right) d V_{\iota^{*} g} \\
& =-\int_{S}\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}\right) \cdot \boldsymbol{V} d V_{g}
\end{aligned} = − ∫ S ( Δ ⊥ V ) ⋅ V d V g − 1 2 ∫ ∂ S g ( grad g ( ( V ⋅ N ) 2 ) , N ― ) d V ι ∗ g = − ∫ S ( Δ ⊥ V ) ⋅ V d V g
が成り立つ. ここで,
N
―
,
d
V
ι
∗
g
N
¯
,
d
V
ι
∗
g
bar(N),dV_(iota^(**)g) \overline{\boldsymbol{N}}, d V_{\iota^{*} g} N ― , d V ι ∗ g は式 (2.6.11)のところで述べた量である.
2.7 曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理
1.11 節で,
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 上のベクトル場の回転の(超)曲面片に沿う面積分に関する ストークスの定理を述べた。 この節では,曲面上の1次微分形式の外微分に 対するストークスの定理を証明し,この定理が,1.11 節で述べたストークス の定理を特別な場合として含むことを説明する.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) 上の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 1 次微分形式の積分を定義しよう.
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S を
S
S
S S S 上の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の曲線とし,
a
=
a
=
a= a= a =
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
b
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
b
t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=b t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=b t 0 < t 1 < ⋯ < t k − 1 < t k = b を
c
|
[
t
i
−
1
,
t
i
]
(
i
=
1
,
…
,
k
)
c
t
i
−
1
,
t
i
(
i
=
1
,
…
,
k
)
c|_([t_(i-1),t_(i)])(i=1,dots,k) \left.c\right|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}(i=1, \ldots, k) c | [ t i − 1 , t i ] ( i = 1 , … , k ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線であ るような
[
a
,
b
]
[
a
,
b
]
[a,b] [a, b] [ a , b ] の分割とする。このとき,
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 1 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω に対 し,
ω
ω
omega \omega ω の
c
c
c c c に沿う積分
∫
c
ω
∫
c
ω
int_(c)omega \int_{c} \omega ∫ c ω が
∫
c
ω
:=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
ω
c
(
t
)
(
c
→
′
(
t
)
)
d
t
∫
c
ω
:=
∑
i
=
1
k
∫
t
i
−
1
t
i
ω
c
(
t
)
c
→
′
(
t
)
d
t
int_(c)omega:=sum_(i=1)^(k)int_(t_(i-1))^(t_(i))omega_(c(t))( vec(c)^(')(t))dt \int_{c} \omega:=\sum_{i=1}^{k} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \omega_{c(t)}\left(\vec{c}^{\prime}(t)\right) d t ∫ c ω := ∑ i = 1 k ∫ t i − 1 t i ω c ( t ) ( c → ′ ( t ) ) d t
によって定義される。
次に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級 の 2 次微分形式の積分を定義しよう。
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } とする。
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ を
S
S
S S S の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域とし,
S
′
=
∪
i
=
1
k
S
i
′
S
′
=
∪
i
=
1
k
S
i
′
S^(')=uu_(i=1)^(k)S_(i)^(') S^{\prime}=\cup_{i=1}^{k} S_{i}^{\prime} S ′ = ∪ i = 1 k S i ′ を
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ有界閉領域からなる分割で, 各
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
i in{1,dots,k} i \in\{1, \ldots, k\} i ∈ { 1 , … , k } に対 し,
S
i
′
⊂
S
λ
i
S
i
′
⊂
S
λ
i
S_(i)^(')subS_(lambda_(i)) S_{i}^{\prime} \subset S_{\lambda_{i}} S i ′ ⊂ S λ i となる
λ
i
∈
Λ
λ
i
∈
Λ
lambda_(i)in Lambda \lambda_{i} \in \Lambda λ i ∈ Λ が存在するようなものとする。
x
λ
i
−
1
=
(
u
1
i
,
u
2
i
)
x
λ
i
−
1
=
u
1
i
,
u
2
i
x_(lambda_(i))^(-1)=(u_(1)^(i),u_(2)^(i)) \boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}^{-1}=\left(u_{1}^{i}, u_{2}^{i}\right) x λ i − 1 = ( u 1 i , u 2 i ) ,
ω
=
f
i
d
u
1
i
∧
d
u
2
i
ω
=
f
i
d
u
1
i
∧
d
u
2
i
omega=f_(i)du_(1)^(i)^^du_(2)^(i) \omega=f_{i} d u_{1}^{i} \wedge d u_{2}^{i} ω = f i d u 1 i ∧ d u 2 i とし,
S
i
′
=
x
λ
i
(
E
i
)
S
i
′
=
x
λ
i
E
i
S_(i)^(')=x_(lambda_(i))(E_(i)) S_{i}^{\prime}=\boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}\left(E_{i}\right) S i ′ = x λ i ( E i ) とする. このとき,
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 2 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω に対し,
∫
S
′
ω
∫
S
′
ω
int_(S^('))omega \int_{S^{\prime}} \omega ∫ S ′ ω を
∫
S
′
ω
:=
∑
i
=
1
k
∬
E
i
(
f
i
∘
x
λ
i
)
d
u
1
d
u
2
∫
S
′
ω
:=
∑
i
=
1
k
∬
E
i
f
i
∘
x
λ
i
d
u
1
d
u
2
int_(S^('))omega:=sum_(i=1)^(k)∬_(E_(i))(f_(i)@x_(lambda_(i)))du_(1)du_(2) \int_{S^{\prime}} \omega:=\sum_{i=1}^{k} \iint_{E_{i}}\left(f_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda_{i}}\right) d u_{1} d u_{2} ∫ S ′ ω := ∑ i = 1 k ∬ E i ( f i ∘ x λ i ) d u 1 d u 2
によって定義する.
次に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 1 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω の外微分
d
ω
d
ω
d omega d \omega d ω を定義し よう.
D
=
{
(
S
λ
,
x
λ
−
1
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
S
λ
,
x
λ
−
1
∣
λ
∈
Λ
D={(S_(lambda),x_(lambda)^(-1))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(S_{\lambda}, \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( S λ , x λ − 1 ) ∣ λ ∈ Λ } とする.
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
u
2
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x λ − 1 = ( u 1 , u 2 ) とするとき,
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上 で
ω
ω
omega \omega ω は
ω
=
f
1
d
u
1
+
f
2
d
u
2
(
f
1
,
f
2
:
S
λ
ω
=
f
1
d
u
1
+
f
2
d
u
2
f
1
,
f
2
:
S
λ
omega=f_(1)du_(1)+f_(2)du_(2)(f_(1),f_(2):S_(lambda):} \omega=f_{1} d u_{1}+f_{2} d u_{2}\left(f_{1}, f_{2}: S_{\lambda}\right. ω = f 1 d u 1 + f 2 d u 2 ( f 1 , f 2 : S λ 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数)と表される。
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ 上 の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の 2 次微分形式
d
ω
λ
d
ω
λ
domega_(lambda) d \omega_{\lambda} d ω λ を
d
ω
λ
:=
(
−
(
∂
(
f
1
∘
x
λ
)
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
)
+
(
∂
(
f
2
∘
x
λ
)
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
)
)
d
u
1
∧
d
u
2
d
ω
λ
:=
−
∂
f
1
∘
x
λ
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
+
∂
f
2
∘
x
λ
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
domega_(lambda):=(-((del(f_(1)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))+((del(f_(2)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1)))du_(1)^^du_(2) d \omega_{\lambda}:=\left(-\left(\frac{\partial\left(f_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(f_{2} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{1} \wedge d u_{2} d ω λ := ( − ( ∂ ( f 1 ∘ x λ ) ∂ u 2 ∘ x λ − 1 ) + ( ∂ ( f 2 ∘ x λ ) ∂ u 1 ∘ x λ − 1 ) ) d u 1 ∧ d u 2
により定義する。
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S
λ
∩
S
μ
≠
∅
S_(lambda)nnS_(mu)!=O/ S_{\lambda} \cap S_{\mu} \neq \emptyset S λ ∩ S μ ≠ ∅ とする。
S
μ
S
μ
S_(mu) S_{\mu} S μ 上でも同様に,
S
μ
S
μ
S_(mu) S_{\mu} S μ 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の 2 次微分形式
d
ω
μ
d
ω
μ
domega_(mu) d \omega_{\mu} d ω μ を定義する.
S
λ
∩
S
μ
S
λ
∩
S
μ
S_(lambda)nnS_(mu) S_{\lambda} \cap S_{\mu} S λ ∩ S μ 上で
d
ω
λ
=
d
ω
μ
d
ω
λ
=
d
ω
μ
domega_(lambda)=domega_(mu) d \omega_{\lambda}=d \omega_{\mu} d ω λ = d ω μ が成り立つことを示 そう.
x
λ
−
1
=
(
u
¯
1
,
u
¯
2
)
x
λ
−
1
=
u
¯
1
,
u
¯
2
x_(lambda)^(-1)=( bar(u)_(1), bar(u)_(2)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(\bar{u}_{1}, \bar{u}_{2}\right) x λ − 1 = ( u ¯ 1 , u ¯ 2 ) とし,
ω
=
f
¯
1
d
u
¯
1
+
f
¯
2
d
u
¯
2
(
f
¯
1
,
f
¯
2
:
S
μ
ω
=
f
¯
1
d
u
¯
1
+
f
¯
2
d
u
¯
2
f
¯
1
,
f
¯
2
:
S
μ
omega= bar(f)_(1)d bar(u)_(1)+ bar(f)_(2)d bar(u)_(2)( bar(f)_(1), bar(f)_(2):S_(mu):} \omega=\bar{f}_{1} d \bar{u}_{1}+\bar{f}_{2} d \bar{u}_{2}\left(\bar{f}_{1}, \bar{f}_{2}: S_{\mu}\right. ω = f ¯ 1 d u ¯ 1 + f ¯ 2 d u ¯ 2 ( f ¯ 1 , f ¯ 2 : S μ 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数)として,
d
ω
μ
d
ω
μ
domega_(mu) d \omega_{\mu} d ω μ は
d
ω
μ
:=
(
−
(
∂
(
f
¯
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
2
∘
x
μ
−
1
)
+
(
∂
(
f
¯
2
∘
x
μ
)
∂
u
¯
1
∘
x
μ
−
1
)
)
d
u
¯
1
∧
d
u
¯
2
d
ω
μ
:=
−
∂
f
¯
1
∘
x
μ
∂
u
¯
2
∘
x
μ
−
1
+
∂
f
¯
2
∘
x
μ
∂
u
¯
1
∘
x
μ
−
1
d
u
¯
1
∧
d
u
¯
2
domega_(mu):=(-((del( bar(f)_(1)@x_(mu)))/(del bar(u)_(2))@x_(mu)^(-1))+((del( bar(f)_(2)@x_(mu)))/(del bar(u)_(1))@x_(mu)^(-1)))d bar(u)_(1)^^d bar(u)_(2) d \omega_{\mu}:=\left(-\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{2} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right) d \bar{u}_{1} \wedge d \bar{u}_{2} d ω μ := ( − ( ∂ ( f ¯ 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ 2 ∘ x μ − 1 ) + ( ∂ ( f ¯ 2 ∘ x μ ) ∂ u ¯ 1 ∘ x μ − 1 ) ) d u ¯ 1 ∧ d u ¯ 2
により定義される。
(
d
u
1
,
d
u
2
)
d
u
1
,
d
u
2
(du_(1),du_(2)) \left(d u_{1}, d u_{2}\right) ( d u 1 , d u 2 ) と
(
d
u
¯
1
,
d
u
¯
2
)
d
u
¯
1
,
d
u
¯
2
(d bar(u)_(1),d bar(u)_(2)) \left(d \bar{u}_{1}, d \bar{u}_{2}\right) ( d u ¯ 1 , d u ¯ 2 ) の間に, 次の関係式が成り立つ:
d
u
¯
i
=
∑
j
=
1
2
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
)
d
u
j
(
i
=
1
,
2
)
d
u
¯
i
=
∑
j
=
1
2
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
d
u
j
(
i
=
1
,
2
)
d bar(u)_(i)=sum_(j=1)^(2)((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1))du_(j)quad(i=1,2) d \bar{u}_{i}=\sum_{j=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{j} \quad(i=1,2) d u ¯ i = ∑ j = 1 2 ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u j ∘ x λ − 1 ) d u j ( i = 1 , 2 )
この関係式から,
(2.7.1)
d
u
¯
1
∧
d
u
¯
2
=
det
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
)
d
u
1
∧
d
u
2
(2.7.2)
ω
=
∑
i
=
1
2
f
¯
i
d
u
¯
i
=
∑
j
=
1
2
(
∑
i
=
1
2
f
¯
i
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
)
)
d
u
j
(2.7.1)
d
u
¯
1
∧
d
u
¯
2
=
det
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
(2.7.2)
ω
=
∑
i
=
1
2
f
¯
i
d
u
¯
i
=
∑
j
=
1
2
∑
i
=
1
2
f
¯
i
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
d
u
j
{:[(2.7.1)d bar(u)_(1)^^d bar(u)_(2)=det((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[(2.7.2)omega=sum_(i=1)^(2) bar(f)_(i)d bar(u)_(i)=sum_(j=1)^(2)(sum_(i=1)^(2) bar(f)_(i)((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1)))du_(j)]:} \begin{gather*}
d \bar{u}_{1} \wedge d \bar{u}_{2}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \tag{2.7.1}\\
\omega=\sum_{i=1}^{2} \bar{f}_{i} d \bar{u}_{i}=\sum_{j=1}^{2}\left(\sum_{i=1}^{2} \bar{f}_{i}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{j} \tag{2.7.2}
\end{gather*} (2.7.1) d u ¯ 1 ∧ d u ¯ 2 = det ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u j ∘ x λ − 1 ) d u 1 ∧ d u 2 (2.7.2) ω = ∑ i = 1 2 f ¯ i d u ¯ i = ∑ j = 1 2 ( ∑ i = 1 2 f ¯ i ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u j ∘ x λ − 1 ) ) d u j
が導かれる。式 (2.7.2) から,
(2.7.3)
f
j
=
∑
i
=
1
2
f
¯
i
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
)
(2.7.3)
f
j
=
∑
i
=
1
2
f
¯
i
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
j
∘
x
λ
−
1
{:(2.7.3)f_(j)=sum_(i=1)^(2) bar(f)_(i)((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(j))@x_(lambda)^(-1)):} \begin{equation*}
f_{j}=\sum_{i=1}^{2} \bar{f}_{i}\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \tag{2.7.3}
\end{equation*} (2.7.3) f j = ∑ i = 1 2 f ¯ i ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u j ∘ x λ − 1 )
をえる. さらに, 式 (2.7.1), (2.7.3) から,
d
ω
λ
=
−
(
∑
i
=
1
2
(
∂
∂
u
2
(
(
f
¯
i
∘
x
λ
)
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
1
)
∘
x
λ
−
1
)
)
d
u
1
∧
d
u
2
+
(
∑
i
=
1
2
(
∂
∂
u
1
(
(
f
¯
i
∘
x
λ
)
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
2
)
∘
x
λ
−
1
)
)
d
u
1
∧
d
u
2
=
−
∑
i
=
1
2
(
∂
(
f
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
)
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
)
d
u
1
∧
d
u
2
+
∑
i
=
1
2
(
∂
(
f
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
)
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
)
d
u
1
∧
d
u
2
=
−
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
2
(
∂
(
f
¯
i
∘
x
μ
)
∂
u
¯
j
∘
x
μ
−
1
)
(
∂
(
u
¯
j
∘
x
λ
)
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
)
×
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
)
d
u
1
∧
d
u
2
+
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
2
(
∂
(
f
¯
i
∘
x
μ
)
∂
u
¯
j
∘
x
μ
−
1
)
(
∂
(
u
¯
j
∘
x
λ
)
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
)
×
(
∂
(
u
¯
i
∘
x
λ
)
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
)
d
u
1
∧
d
u
2
=
(
−
(
∂
(
f
¯
1
∘
x
μ
)
∂
u
¯
2
∘
x
μ
−
1
)
+
(
∂
(
f
¯
2
∘
x
μ
)
∂
u
¯
1
∘
x
μ
−
1
)
)
d
u
¯
1
∧
d
u
¯
2
=
d
ω
μ
d
ω
λ
=
−
∑
i
=
1
2
∂
∂
u
2
f
¯
i
∘
x
λ
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
+
∑
i
=
1
2
∂
∂
u
1
f
¯
i
∘
x
λ
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
=
−
∑
i
=
1
2
∂
f
¯
i
∘
x
λ
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
+
∑
i
=
1
2
∂
f
¯
i
∘
x
λ
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
=
−
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
2
∂
f
¯
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
∘
x
μ
−
1
∂
u
¯
j
∘
x
λ
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
×
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
+
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
2
∂
f
¯
i
∘
x
μ
∂
u
¯
j
∘
x
μ
−
1
∂
u
¯
j
∘
x
λ
∂
u
1
∘
x
λ
−
1
×
∂
u
¯
i
∘
x
λ
∂
u
2
∘
x
λ
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
=
−
∂
f
¯
1
∘
x
μ
∂
u
¯
2
∘
x
μ
−
1
+
∂
f
¯
2
∘
x
μ
∂
u
¯
1
∘
x
μ
−
1
d
u
¯
1
∧
d
u
¯
2
=
d
ω
μ
{:[domega_(lambda)=-(sum_(i=1)^(2)((del)/(delu_(2))(( bar(f)_(i)@x_(lambda))(del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1)))@x_(lambda)^(-1)))du_(1)^^du_(2)],[+(sum_(i=1)^(2)((del)/(delu_(1))(( bar(f)_(i)@x_(lambda))(del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2)))@x_(lambda)^(-1)))du_(1)^^du_(2)],[=-sum_(i=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[+sum_(i=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[=-sum_(i=1)^(2)sum_(j=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(mu)))/(del bar(u)_(j))@x_(mu)^(-1))((del( bar(u)_(j)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))],[ xx((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[+sum_(i=1)^(2)sum_(j=1)^(2)((del( bar(f)_(i)@x_(mu)))/(del bar(u)_(j))@x_(mu)^(-1))((del( bar(u)_(j)@x_(lambda)))/(delu_(1))@x_(lambda)^(-1))],[ xx((del( bar(u)_(i)@x_(lambda)))/(delu_(2))@x_(lambda)^(-1))du_(1)^^du_(2)],[=(-((del( bar(f)_(1)@x_(mu)))/(del bar(u)_(2))@x_(mu)^(-1))+((del( bar(f)_(2)@x_(mu)))/(del bar(u)_(1))@x_(mu)^(-1)))d bar(u)_(1)^^d bar(u)_(2)],[=domega_(mu)]:} \begin{aligned}
& d \omega_{\lambda}=-\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}\left(\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\
& +\left(\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}\left(\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right) \frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}}\right) \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\
& =-\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\
& +\sum_{i=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\
& =-\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \\
& \times\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\
& +\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2}\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{j}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{j} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) \\
& \times\left(\frac{\partial\left(\bar{u}_{i} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}\right)}{\partial u_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} \\
& =\left(-\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{1} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{2}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(\bar{f}_{2} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}\right)}{\partial \bar{u}_{1}} \circ \boldsymbol{x}_{\mu}^{-1}\right)\right) d \bar{u}_{1} \wedge d \bar{u}_{2} \\
& =d \omega_{\mu}
\end{aligned} d ω λ = − ( ∑ i = 1 2 ( ∂ ∂ u 2 ( ( f ¯ i ∘ x λ ) ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 1 ) ∘ x λ − 1 ) ) d u 1 ∧ d u 2 + ( ∑ i = 1 2 ( ∂ ∂ u 1 ( ( f ¯ i ∘ x λ ) ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 2 ) ∘ x λ − 1 ) ) d u 1 ∧ d u 2 = − ∑ i = 1 2 ( ∂ ( f ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 2 ∘ x λ − 1 ) ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 1 ∘ x λ − 1 ) d u 1 ∧ d u 2 + ∑ i = 1 2 ( ∂ ( f ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 1 ∘ x λ − 1 ) ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 2 ∘ x λ − 1 ) d u 1 ∧ d u 2 = − ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 ( ∂ ( f ¯ i ∘ x μ ) ∂ u ¯ j ∘ x μ − 1 ) ( ∂ ( u ¯ j ∘ x λ ) ∂ u 2 ∘ x λ − 1 ) × ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 1 ∘ x λ − 1 ) d u 1 ∧ d u 2 + ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 ( ∂ ( f ¯ i ∘ x μ ) ∂ u ¯ j ∘ x μ − 1 ) ( ∂ ( u ¯ j ∘ x λ ) ∂ u 1 ∘ x λ − 1 ) × ( ∂ ( u ¯ i ∘ x λ ) ∂ u 2 ∘ x λ − 1 ) d u 1 ∧ d u 2 = ( − ( ∂ ( f ¯ 1 ∘ x μ ) ∂ u ¯ 2 ∘ x μ − 1 ) + ( ∂ ( f ¯ 2 ∘ x μ ) ∂ u ¯ 1 ∘ x μ − 1 ) ) d u ¯ 1 ∧ d u ¯ 2 = d ω μ
したがって,
d
ω
λ
(
λ
∈
Λ
)
d
ω
λ
(
λ
∈
Λ
)
domega_(lambda)(lambda in Lambda) d \omega_{\lambda}(\lambda \in \Lambda) d ω λ ( λ ∈ Λ ) らを貼り合わせて,
S
S
S S S 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の 2 次微分形式がえられる。この
S
S
S S S 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の 2 次微分形式を
d
ω
d
ω
d omega d \omega d ω と表し,
ω
ω
omega \boldsymbol{\omega} ω の外微分 (exterior derivative) とよぶ.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 1 次微分形式に対し, 次のストークスの定理が成り立 つ.
定理 2.7.1 (曲面上の 1 次微分形式に対するストークスの定理)
ω
ω
omega \omega ω を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲面
(
S
,
D
)
(
S
,
D
)
(S,D) (S, \mathcal{D}) ( S , D ) 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 1 次微分形式とし,
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をも つ
S
S
S S S の有界閉領域とする. また,
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c
:
[
a
,
b
]
→
S
c:[a,b]rarr S c:[a, b] \rightarrow S c : [ a , b ] → S を
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ の境界
∂
S
′
∂
S
′
delS^(') \partial S^{\prime} ∂ S ′ を与える
S
S
S S S 上の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の単純閉曲線で,
S
λ
∩
c
(
[
a
,
b
]
)
≠
∅
S
λ
∩
c
(
[
a
,
b
]
)
≠
∅
S_(lambda)nn c([a,b])!=O/ S_{\lambda} \cap c([a, b]) \neq \emptyset S λ ∩ c ( [ a , b ] ) ≠ ∅ となるような各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
u
2
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x λ − 1 = ( u 1 , u 2 ) として,
(
d
u
1
∧
d
u
2
)
c
(
t
)
(
N
―
c
(
t
)
,
c
→
′
(
t
)
)
>
0
d
u
1
∧
d
u
2
c
(
t
)
N
¯
c
(
t
)
,
c
→
′
(
t
)
>
0
(du_(1)^^du_(2))_(c(t))( bar(N)_(c(t)), vec(c)^(')(t)) > 0 \left(d u_{1} \wedge d u_{2}\right)_{c(t)}\left(\overline{\boldsymbol{N}}_{c(t)}, \vec{c}^{\prime}(t)\right)>0 ( d u 1 ∧ d u 2 ) c ( t ) ( N ― c ( t ) , c → ′ ( t ) ) > 0 となるよ うなものとする. ここで
N
―
N
¯
bar(N) \overline{\boldsymbol{N}} N ― は,
c
(
[
a
,
b
]
)
c
(
[
a
,
b
]
)
c([a,b]) c([a, b]) c ( [ a , b ] ) の
S
S
S S S における単位法ベクトル場で
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′
からみて外側向きのものを表す. このとき, 次式が成り立つ:
(2.7.4)
∫
S
′
d
ω
=
∫
c
ω
(2.7.4)
∫
S
′
d
ω
=
∫
c
ω
{:(2.7.4)int_(S^('))d omega=int_(c)omega:} \begin{equation*}
\int_{S^{\prime}} d \omega=\int_{c} \omega \tag{2.7.4}
\end{equation*} (2.7.4) ∫ S ′ d ω = ∫ c ω
証明 簡単のため,
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ がある
S
λ
S
λ
S_(lambda) S_{\lambda} S λ に含まれる場合を考える。
x
λ
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
λ
−
1
=
u
1
,
u
2
x_(lambda)^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x λ − 1 = ( u 1 , u 2 ) とし,
E
:=
x
λ
−
1
(
S
′
)
E
:=
x
λ
−
1
S
′
E:=x_(lambda)^(-1)(S^(')) E:=\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1}\left(S^{\prime}\right) E := x λ − 1 ( S ′ ) とおく.
S
′
S
′
S^(') S^{\prime} S ′ を,いくつかの
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
[0,1]xx[0,1] [0,1] \times[0,1] [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] を定義域とす る区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面片
S
α
′
=
x
^
α
(
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
)
(
α
=
S
α
′
=
x
^
α
(
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
)
(
α
=
S_(alpha)^(')= hat(x)_(alpha)([0,1]xx[0,1])(alpha= S_{\alpha}^{\prime}=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}([0,1] \times[0,1])(\alpha= S α ′ = x ^ α ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) ( α =
1
,
…
,
l
)
1
,
…
,
l
)
1,dots,l) 1, \ldots, l) 1 , … , l ) たちに分割する. ただし,
x
^
α
x
^
α
hat(x)_(alpha) \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha} x ^ α は
J
(
x
λ
−
1
∘
x
^
α
)
>
0
J
x
λ
−
1
∘
x
^
α
>
0
J(x_(lambda)^(-1)@ hat(x)_(alpha)) > 0 J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)>0 J ( x λ − 1 ∘ x ^ α ) > 0 となるようにと る.
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 曲線
c
j
α
:
[
0
,
1
]
→
E
3
(
j
=
1
,
…
,
4
)
c
j
α
:
[
0
,
1
]
→
E
3
(
j
=
1
,
…
,
4
)
c_(j)^(alpha):[0,1]rarrE^(3)(j=1,dots,4) c_{j}^{\alpha}:[0,1] \rightarrow \mathbb{E}^{3}(j=1, \ldots, 4) c j α : [ 0 , 1 ] → E 3 ( j = 1 , … , 4 ) を
c
1
α
(
u
1
)
:=
x
^
α
(
u
1
,
0
)
,
c
3
α
(
u
1
)
:=
x
^
α
(
1
−
u
1
,
1
)
(
0
≤
u
1
≤
1
)
c
2
α
(
u
2
)
:=
x
^
α
(
1
,
u
2
)
,
c
4
α
(
u
2
)
:=
x
^
α
(
0
,
1
−
u
2
)
(
0
≤
u
2
≤
1
)
c
1
α
u
1
:=
x
^
α
u
1
,
0
,
c
3
α
u
1
:=
x
^
α
1
−
u
1
,
1
0
≤
u
1
≤
1
c
2
α
u
2
:=
x
^
α
1
,
u
2
,
c
4
α
u
2
:=
x
^
α
0
,
1
−
u
2
0
≤
u
2
≤
1
{:[c_(1)^(alpha)(u_(1)):= hat(x)_(alpha)(u_(1),0)",",c_(3)^(alpha)(u_(1)):= hat(x)_(alpha)(1-u_(1),1),(0 <= u_(1) <= 1)],[c_(2)^(alpha)(u_(2)):= hat(x)_(alpha)(1,u_(2))",",c_(4)^(alpha)(u_(2)):= hat(x)_(alpha)(0,1-u_(2)),(0 <= u_(2) <= 1)]:} \begin{array}{lll}
c_{1}^{\alpha}\left(u_{1}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(u_{1}, 0\right), & c_{3}^{\alpha}\left(u_{1}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(1-u_{1}, 1\right) & \left(0 \leq u_{1} \leq 1\right) \\
c_{2}^{\alpha}\left(u_{2}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(1, u_{2}\right), & c_{4}^{\alpha}\left(u_{2}\right):=\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\left(0,1-u_{2}\right) & \left(0 \leq u_{2} \leq 1\right)
\end{array} c 1 α ( u 1 ) := x ^ α ( u 1 , 0 ) , c 3 α ( u 1 ) := x ^ α ( 1 − u 1 , 1 ) ( 0 ≤ u 1 ≤ 1 ) c 2 α ( u 2 ) := x ^ α ( 1 , u 2 ) , c 4 α ( u 2 ) := x ^ α ( 0 , 1 − u 2 ) ( 0 ≤ u 2 ≤ 1 )
によって定義する.
c
1
α
∼
c
4
α
c
1
α
∼
c
4
α
c_(1)^(alpha)∼c_(4)^(alpha) c_{1}^{\alpha} \sim c_{4}^{\alpha} c 1 α ∼ c 4 α を順に結んでできる区分的に滑らかな閉曲線を
c
α
c
α
c_(alpha) c_{\alpha} c α と表す. このとき、明らかに
c
α
c
α
c_(alpha) c_{\alpha} c α は
∂
S
α
′
∂
S
α
′
delS_(alpha)^(') \partial S_{\alpha}^{\prime} ∂ S α ′ を与える単純閉曲線で,
x
λ
−
1
∘
c
α
x
λ
−
1
∘
c
α
x_(lambda)^(-1)@c_(alpha) \boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ c_{\alpha} x λ − 1 ∘ c α が反時計回りに進むようなものである。最初に, 各
α
∈
{
1
,
…
,
l
}
α
∈
{
1
,
…
,
l
}
alpha in{1,dots,l} \alpha \in\{1, \ldots, l\} α ∈ { 1 , … , l } に対し,
(2.7.5)
∫
S
α
′
d
ω
=
∫
c
α
ω
(2.7.5)
∫
S
α
′
d
ω
=
∫
c
α
ω
{:(2.7.5)int_(S_(alpha)^('))d omega=int_(c_(alpha))omega:} \begin{equation*}
\int_{S_{\alpha}^{\prime}} d \omega=\int_{c_{\alpha}} \omega \tag{2.7.5}
\end{equation*} (2.7.5) ∫ S α ′ d ω = ∫ c α ω
が成り立つことを示す.
x
^
α
−
1
=
(
u
1
α
,
u
2
α
)
x
^
α
−
1
=
u
1
α
,
u
2
α
hat(x)_(alpha)^(-1)=(u_(1)^(alpha),u_(2)^(alpha)) \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}^{-1}=\left(u_{1}^{\alpha}, u_{2}^{\alpha}\right) x ^ α − 1 = ( u 1 α , u 2 α ) とし,
ω
=
∑
i
=
1
2
f
i
α
d
u
i
α
ω
=
∑
i
=
1
2
f
i
α
d
u
i
α
omega=sum_(i=1)^(2)f_(i)^(alpha)du_(i)^(alpha) \omega=\sum_{i=1}^{2} f_{i}^{\alpha} d u_{i}^{\alpha} ω = ∑ i = 1 2 f i α d u i α とする. この とき,
d
ω
=
(
−
(
∂
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
∂
u
2
α
∘
x
^
α
−
1
)
+
(
∂
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
∂
u
1
α
∘
x
^
α
−
1
)
)
d
u
1
α
∧
d
u
2
α
d
ω
=
−
∂
f
1
α
∘
x
^
α
∂
u
2
α
∘
x
^
α
−
1
+
∂
f
2
α
∘
x
^
α
∂
u
1
α
∘
x
^
α
−
1
d
u
1
α
∧
d
u
2
α
d omega=(-((del(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(2)^(alpha))@ hat(x)_(alpha)^(-1))+((del(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(1)^(alpha))@ hat(x)_(alpha)^(-1)))du_(1)^(alpha)^^du_(2)^(alpha) d \omega=\left(-\left(\frac{\partial\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{2}^{\alpha}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}^{-1}\right)+\left(\frac{\partial\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{1}^{\alpha}} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}^{-1}\right)\right) d u_{1}^{\alpha} \wedge d u_{2}^{\alpha} d ω = ( − ( ∂ ( f 1 α ∘ x ^ α ) ∂ u 2 α ∘ x ^ α − 1 ) + ( ∂ ( f 2 α ∘ x ^ α ) ∂ u 1 α ∘ x ^ α − 1 ) ) d u 1 α ∧ d u 2 α
となる. それゆえ,
∫
S
α
′
d
ω
=
∫
0
1
∫
0
1
(
−
∂
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
∂
u
2
α
+
∂
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
∂
u
1
α
)
d
u
1
α
d
u
2
α
=
−
∫
0
1
(
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
u
1
α
,
1
)
−
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
u
1
α
,
0
)
)
d
u
1
α
+
∫
0
1
(
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
1
,
u
2
α
)
−
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
0
,
u
2
α
)
)
d
u
2
α
(2.7.6)
=
∫
0
1
(
−
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
1
)
+
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
0
)
+
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
1
,
t
)
−
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
0
,
t
)
)
d
t
∫
S
α
′
d
ω
=
∫
0
1
∫
0
1
−
∂
f
1
α
∘
x
^
α
∂
u
2
α
+
∂
f
2
α
∘
x
^
α
∂
u
1
α
d
u
1
α
d
u
2
α
=
−
∫
0
1
f
1
α
∘
x
^
α
u
1
α
,
1
−
f
1
α
∘
x
^
α
u
1
α
,
0
d
u
1
α
+
∫
0
1
f
2
α
∘
x
^
α
1
,
u
2
α
−
f
2
α
∘
x
^
α
0
,
u
2
α
d
u
2
α
(2.7.6)
=
∫
0
1
−
f
1
α
∘
x
^
α
(
t
,
1
)
+
f
1
α
∘
x
^
α
(
t
,
0
)
+
f
2
α
∘
x
^
α
(
1
,
t
)
−
f
2
α
∘
x
^
α
(
0
,
t
)
d
t
{:[int_(S_(alpha)^('))d omega=int_(0)^(1)int_(0)^(1)(-(del(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(2)^(alpha))+(del(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha)))/(delu_(1)^(alpha)))du_(1)^(alpha)du_(2)^(alpha)],[=-int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(u_(1)^(alpha),1)-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(u_(1)^(alpha),0))du_(1)^(alpha)],[quad+int_(0)^(1)((f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,u_(2)^(alpha))-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,u_(2)^(alpha)))du_(2)^(alpha)],[(2.7.6)=int_(0)^(1)(-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,1)+(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,t))dt]:} \begin{align*}
& \int_{S_{\alpha}^{\prime}} d \omega=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(-\frac{\partial\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{2}^{\alpha}}+\frac{\partial\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)}{\partial u_{1}^{\alpha}}\right) d u_{1}^{\alpha} d u_{2}^{\alpha} \\
& =-\int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(u_{1}^{\alpha}, 1\right)-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(u_{1}^{\alpha}, 0\right)\right) d u_{1}^{\alpha} \\
& \quad+\int_{0}^{1}\left(\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(1, u_{2}^{\alpha}\right)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)\left(0, u_{2}^{\alpha}\right)\right) d u_{2}^{\alpha} \\
& =\int_{0}^{1}\left(-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 1)+\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0)+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0, t)\right) d t \tag{2.7.6}
\end{align*} ∫ S α ′ d ω = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( − ∂ ( f 1 α ∘ x ^ α ) ∂ u 2 α + ∂ ( f 2 α ∘ x ^ α ) ∂ u 1 α ) d u 1 α d u 2 α = − ∫ 0 1 ( ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( u 1 α , 1 ) − ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( u 1 α , 0 ) ) d u 1 α + ∫ 0 1 ( ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 1 , u 2 α ) − ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 0 , u 2 α ) ) d u 2 α (2.7.6) = ∫ 0 1 ( − ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( t , 1 ) + ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( t , 0 ) + ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 1 , t ) − ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 0 , t ) ) d t
が示される。一方,
∫
c
1
α
ω
+
∫
c
3
α
ω
=
∫
0
1
ω
c
1
α
(
t
)
(
(
c
1
α
)
′
(
t
)
)
d
t
+
∫
0
1
ω
c
3
α
(
t
)
(
(
c
3
α
→
)
′
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
(
f
1
α
(
c
1
α
(
t
)
)
d
u
1
α
(
c
1
α
(
t
)
)
d
t
+
f
2
α
(
c
1
α
(
t
)
)
d
u
2
(
c
1
α
(
t
)
)
d
t
)
d
t
+
∫
0
1
(
f
1
α
(
c
3
α
(
t
)
)
d
u
1
(
c
3
α
(
t
)
)
d
t
+
f
2
α
(
c
3
α
(
t
)
)
d
u
2
(
c
3
α
(
t
)
)
d
t
)
d
t
=
∫
0
1
(
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
0
)
d
t
d
t
+
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
0
)
d
0
d
t
)
d
t
+
∫
0
1
(
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
1
−
t
,
1
)
d
(
1
−
t
)
d
t
+
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
1
−
t
,
1
)
d
1
d
t
)
d
t
=
∫
0
1
(
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
0
)
−
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
1
−
t
,
1
)
)
d
t
(2.7.7)
=
∫
0
1
(
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
0
)
−
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
t
,
1
)
)
d
t
∫
c
1
α
ω
+
∫
c
3
α
ω
=
∫
0
1
ω
c
1
α
(
t
)
c
1
α
′
(
t
)
d
t
+
∫
0
1
ω
c
3
α
(
t
)
c
3
α
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
f
1
α
c
1
α
(
t
)
d
u
1
α
c
1
α
(
t
)
d
t
+
f
2
α
c
1
α
(
t
)
d
u
2
c
1
α
(
t
)
d
t
d
t
+
∫
0
1
f
1
α
c
3
α
(
t
)
d
u
1
c
3
α
(
t
)
d
t
+
f
2
α
c
3
α
(
t
)
d
u
2
c
3
α
(
t
)
d
t
d
t
=
∫
0
1
f
1
α
∘
x
^
α
(
t
,
0
)
d
t
d
t
+
f
2
α
∘
x
^
α
(
t
,
0
)
d
0
d
t
d
t
+
∫
0
1
f
1
α
∘
x
^
α
(
1
−
t
,
1
)
d
(
1
−
t
)
d
t
+
f
2
α
∘
x
^
α
(
1
−
t
,
1
)
d
1
d
t
d
t
=
∫
0
1
f
1
α
∘
x
^
α
(
t
,
0
)
−
f
1
α
∘
x
^
α
(
1
−
t
,
1
)
d
t
(2.7.7)
=
∫
0
1
f
1
α
∘
x
^
α
(
t
,
0
)
−
f
1
α
∘
x
^
α
(
t
,
1
)
d
t
{:[int_(c_(1)^(alpha))omega+int_(c_(3)^(alpha))omega=int_(0)^(1)omega_(c_(1)^(alpha)(t))((c_(1)^(alpha))^(')(t))dt+int_(0)^(1)omega_(c_(3)^(alpha)(t))(( vec(c_(3)^(alpha)))^(')(t))dt],[=int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(1)^(alpha)(t))(du_(1)^(alpha)(c_(1)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(1)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(1)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[quad+int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(3)^(alpha)(t))(du_(1)(c_(3)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(3)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(3)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)(dt)/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)(d0)/(dt))dt],[quad+int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1-t,1)(d(1-t))/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1-t,1)(d1)/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1-t,1))dt],[(2.7.7)=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,0)-(f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(t,1))dt]:} \begin{align*}
& \int_{c_{1}^{\alpha}} \omega+\int_{c_{3}^{\alpha}} \omega=\int_{0}^{1} \omega_{c_{1}^{\alpha}(t)}\left(\left(c_{1}^{\alpha}\right)^{\prime}(t)\right) d t+\int_{0}^{1} \omega_{c_{3}^{\alpha}(t)}\left(\left(\overrightarrow{c_{3}^{\alpha}}\right)^{\prime}(t)\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}^{\alpha}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{1}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\
& \quad+\int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{3}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0) \frac{d t}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0) \frac{d 0}{d t}\right) d t \\
& \quad+\int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1-t, 1) \frac{d(1-t)}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1-t, 1) \frac{d 1}{d t}\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0)-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1-t, 1)\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 0)-\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(t, 1)\right) d t \tag{2.7.7}
\end{align*} ∫ c 1 α ω + ∫ c 3 α ω = ∫ 0 1 ω c 1 α ( t ) ( ( c 1 α ) ′ ( t ) ) d t + ∫ 0 1 ω c 3 α ( t ) ( ( c 3 α → ) ′ ( t ) ) d t = ∫ 0 1 ( f 1 α ( c 1 α ( t ) ) d u 1 α ( c 1 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 1 α ( t ) ) d u 2 ( c 1 α ( t ) ) d t ) d t + ∫ 0 1 ( f 1 α ( c 3 α ( t ) ) d u 1 ( c 3 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 3 α ( t ) ) d u 2 ( c 3 α ( t ) ) d t ) d t = ∫ 0 1 ( ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( t , 0 ) d t d t + ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( t , 0 ) d 0 d t ) d t + ∫ 0 1 ( ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( 1 − t , 1 ) d ( 1 − t ) d t + ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 1 − t , 1 ) d 1 d t ) d t = ∫ 0 1 ( ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( t , 0 ) − ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( 1 − t , 1 ) ) d t (2.7.7) = ∫ 0 1 ( ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( t , 0 ) − ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( t , 1 ) ) d t
および
∫
c
2
α
ω
+
∫
c
4
α
ω
=
∫
0
1
ω
c
2
α
(
t
)
(
(
c
2
α
)
′
(
t
)
)
d
t
+
∫
0
1
ω
c
4
α
(
t
)
(
(
c
4
α
→
)
′
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
(
f
1
α
(
c
2
α
(
t
)
)
d
u
1
(
c
2
α
(
t
)
)
d
t
+
f
2
α
(
c
2
α
(
t
)
)
d
u
2
(
c
2
α
(
t
)
)
d
t
)
d
t
+
∫
0
1
(
f
1
α
(
c
4
α
(
t
)
)
d
u
1
(
c
4
α
(
t
)
)
d
t
+
f
2
α
(
c
4
α
(
t
)
)
d
u
2
(
c
4
α
(
t
)
)
d
t
)
d
t
=
∫
0
1
(
(
f
1
α
∘
x
^
α
)
(
1
,
t
)
d
1
d
t
+
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
1
,
t
)
d
t
d
t
)
d
t
=
∫
0
1
(
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
1
,
t
)
−
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
0
,
1
−
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
(
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
1
,
t
)
−
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
0
,
t
)
)
d
t
(2.7.8)
=
x
^
α
)
(
0
,
1
−
t
)
d
0
d
t
+
(
f
2
α
∘
x
^
α
)
(
0
,
1
−
t
)
d
(
1
−
t
)
d
t
)
d
t
=
∫
c
2
α
ω
+
∫
c
4
α
ω
=
∫
0
1
ω
c
2
α
(
t
)
c
2
α
′
(
t
)
d
t
+
∫
0
1
ω
c
4
α
(
t
)
c
4
α
→
′
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
f
1
α
c
2
α
(
t
)
d
u
1
c
2
α
(
t
)
d
t
+
f
2
α
c
2
α
(
t
)
d
u
2
c
2
α
(
t
)
d
t
d
t
+
∫
0
1
f
1
α
c
4
α
(
t
)
d
u
1
c
4
α
(
t
)
d
t
+
f
2
α
c
4
α
(
t
)
d
u
2
c
4
α
(
t
)
d
t
d
t
=
∫
0
1
f
1
α
∘
x
^
α
(
1
,
t
)
d
1
d
t
+
f
2
α
∘
x
^
α
(
1
,
t
)
d
t
d
t
d
t
=
∫
0
1
f
2
α
∘
x
^
α
(
1
,
t
)
−
f
2
α
∘
x
^
α
(
0
,
1
−
t
)
d
t
=
∫
0
1
f
2
α
∘
x
^
α
(
1
,
t
)
−
f
2
α
∘
x
^
α
(
0
,
t
)
d
t
(2.7.8)
=
x
^
α
(
0
,
1
−
t
)
d
0
d
t
+
f
2
α
∘
x
^
α
(
0
,
1
−
t
)
d
(
1
−
t
)
d
t
d
t
=
{:[int_(c_(2)^(alpha))omega+int_(c_(4)^(alpha))omega=int_(0)^(1)omega_(c_(2)^(alpha)(t))((c_(2)^(alpha))^(')(t))dt+int_(0)^(1)omega_(c_(4)^(alpha)(t))(( vec(c_(4)^(alpha)))^(')(t))dt],[=int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(2)^(alpha)(t))(du_(1)(c_(2)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(2)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(2)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[quad+int_(0)^(1)(f_(1)^(alpha)(c_(4)^(alpha)(t))(du_(1)(c_(4)^(alpha)(t)))/(dt)+f_(2)^(alpha)(c_(4)^(alpha)(t))(du_(2)(c_(4)^(alpha)(t)))/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(1)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)(d1)/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)(dt)/(dt))dt],[=int_(0)^(1)((f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,1-t))dt],[=int_(0)^(1)((f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(1,t)-(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,t))dt],[(2.7.8)={: hat(x)_(alpha))(0,1-t)(d0)/(dt)+(f_(2)^(alpha)@ hat(x)_(alpha))(0,1-t)(d(1-t))/(dt))dt],[=]:} \begin{align*}
& \int_{c_{2}^{\alpha}} \omega+\int_{c_{4}^{\alpha}} \omega=\int_{0}^{1} \omega_{c_{2}^{\alpha}(t)}\left(\left(c_{2}^{\alpha}\right)^{\prime}(t)\right) d t+\int_{0}^{1} \omega_{c_{4}^{\alpha}(t)}\left(\left(\overrightarrow{c_{4}^{\alpha}}\right)^{\prime}(t)\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{2}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\
\quad & +\int_{0}^{1}\left(f_{1}^{\alpha}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{1}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right)}{d t}+f_{2}^{\alpha}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right) \frac{d u_{2}\left(c_{4}^{\alpha}(t)\right)}{d t}\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{1}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t) \frac{d 1}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t) \frac{d t}{d t}\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0,1-t)\right) d t \\
= & \int_{0}^{1}\left(\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(1, t)-\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0, t)\right) d t \\
= & \left.\left.\hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0,1-t) \frac{d 0}{d t}+\left(f_{2}^{\alpha} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)(0,1-t) \frac{d(1-t)}{d t}\right) d t \tag{2.7.8}\\
= &
\end{align*} ∫ c 2 α ω + ∫ c 4 α ω = ∫ 0 1 ω c 2 α ( t ) ( ( c 2 α ) ′ ( t ) ) d t + ∫ 0 1 ω c 4 α ( t ) ( ( c 4 α → ) ′ ( t ) ) d t = ∫ 0 1 ( f 1 α ( c 2 α ( t ) ) d u 1 ( c 2 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 2 α ( t ) ) d u 2 ( c 2 α ( t ) ) d t ) d t + ∫ 0 1 ( f 1 α ( c 4 α ( t ) ) d u 1 ( c 4 α ( t ) ) d t + f 2 α ( c 4 α ( t ) ) d u 2 ( c 4 α ( t ) ) d t ) d t = ∫ 0 1 ( ( f 1 α ∘ x ^ α ) ( 1 , t ) d 1 d t + ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 1 , t ) d t d t ) d t = ∫ 0 1 ( ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 1 , t ) − ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 0 , 1 − t ) ) d t = ∫ 0 1 ( ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 1 , t ) − ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 0 , t ) ) d t (2.7.8) = x ^ α ) ( 0 , 1 − t ) d 0 d t + ( f 2 α ∘ x ^ α ) ( 0 , 1 − t ) d ( 1 − t ) d t ) d t =
が示される。式 (2.7.6), (2.7.7), および式 (2.7.8)から, 式 (2.7.5)が導かれ る. それゆえ。
∫
S
′
d
ω
=
∑
α
=
1
l
∫
S
α
′
d
ω
=
∑
α
=
1
l
∫
c
α
ω
=
∫
c
ω
∫
S
′
d
ω
=
∑
α
=
1
l
∫
S
α
′
d
ω
=
∑
α
=
1
l
∫
c
α
ω
=
∫
c
ω
int_(S^('))d omega=sum_(alpha=1)^(l)int_(S_(alpha)^('))d omega=sum_(alpha=1)^(l)int_(c_(alpha))omega=int_(c)omega \int_{S^{\prime}} d \omega=\sum_{\alpha=1}^{l} \int_{S_{\alpha}^{\prime}} d \omega=\sum_{\alpha=1}^{l} \int_{c_{\alpha}} \omega=\int_{c} \omega ∫ S ′ d ω = ∑ α = 1 l ∫ S α ′ d ω = ∑ α = 1 l ∫ c α ω = ∫ c ω
が示される。最初の等号は,
det
J
(
x
λ
−
1
∘
x
^
α
)
>
0
det
J
x
λ
−
1
∘
x
^
α
>
0
det J(x_(lambda)^(-1)@ hat(x)_(alpha)) > 0 \operatorname{det} J\left(\boldsymbol{x}_{\lambda}^{-1} \circ \hat{\boldsymbol{x}}_{\alpha}\right)>0 det J ( x λ − 1 ∘ x ^ α ) > 0 であることより, 2 重積分 の変数変換の公式を用いて示され,最後の等号は,
S
α
′
S
α
′
S_(alpha)^(') S_{\alpha}^{\prime} S α ′ と
S
β
′
S
β
′
S_(beta)^(') S_{\beta}^{\prime} S β ′ が隣接するとき, その隣接する部分で
c
α
c
α
c_(alpha) c_{\alpha} c α と
c
β
c
β
c_(beta) c_{\beta} c β が逆向きになることより導かれる.
1.11 節で述べた定理 1.11.1が, 定理 2.7 .1 の特別な場合であることを説明 しよう. 定理 1.11.1の主張における区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつ
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 超曲面片
S
=
x
(
E
)
S
=
x
(
E
)
S=x(E) S=\boldsymbol{x}(E) S = x ( E ) 上での積分公式とは, 次のようなものであった:
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
c
X
⋅
d
r
int_(S)rot X*dA=int_(c)X*dr \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r} ∫ S rot X ⋅ d A = ∫ c X ⋅ d r
x
−
1
=
(
u
1
,
u
2
)
x
−
1
=
u
1
,
u
2
x^(-1)=(u_(1),u_(2)) \boldsymbol{x}^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}\right) x − 1 = ( u 1 , u 2 ) として,
S
S
S S S 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の 1 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω を
ω
:=
∑
i
=
1
2
(
X
|
S
)
⋅
(
∂
x
∂
u
i
∘
x
−
1
)
d
u
i
ω
:=
∑
i
=
1
2
X
S
⋅
∂
x
∂
u
i
∘
x
−
1
d
u
i
omega:=sum_(i=1)^(2)(X|_(S))*((del x)/(delu_(i))@x^(-1))du_(i) \omega:=\sum_{i=1}^{2}\left(\left.\boldsymbol{X}\right|_{S}\right) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{i}} \circ \boldsymbol{x}^{-1}\right) d u_{i} ω := ∑ i = 1 2 ( X | S ) ⋅ ( ∂ x ∂ u i ∘ x − 1 ) d u i
によって定める. このとき,
d
ω
=
rot
X
⋅
(
(
∂
x
∂
u
1
×
∂
x
∂
u
2
)
∘
x
−
1
)
d
u
1
∧
d
u
2
d
ω
=
rot
X
⋅
∂
x
∂
u
1
×
∂
x
∂
u
2
∘
x
−
1
d
u
1
∧
d
u
2
d omega=rot X*(((del x)/(delu_(1))xx(del x)/(delu_(2)))@x^(-1))du_(1)^^du_(2) d \omega=\operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot\left(\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{1}} \times \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial u_{2}}\right) \circ \boldsymbol{x}^{-1}\right) d u_{1} \wedge d u_{2} d ω = rot X ⋅ ( ( ∂ x ∂ u 1 × ∂ x ∂ u 2 ) ∘ x − 1 ) d u 1 ∧ d u 2
となり,
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
S
d
ω
∫
S
rot
X
⋅
d
A
=
∫
S
d
ω
int_(S)rot X*dA=int_(S)d omega \int_{S} \operatorname{rot} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{A}=\int_{S} d \omega ∫ S rot X ⋅ d A = ∫ S d ω
となることがわかる. 一方,
ω
c
(
t
)
(
c
→
′
(
t
)
)
d
t
=
(
X
|
S
)
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
ω
c
(
t
)
c
→
′
(
t
)
d
t
=
X
S
c
(
t
)
⋅
c
→
′
(
t
)
d
t
omega_(c(t))( vec(c)^(')(t))dt=(X|_(S))_(c(t))* vec(c)^(')(t)dt \omega_{c(t)}\left(\vec{c}^{\prime}(t)\right) d t=\left(\left.\boldsymbol{X}\right|_{S}\right)_{c(t)} \cdot \vec{c}^{\prime}(t) d t ω c ( t ) ( c → ′ ( t ) ) d t = ( X | S ) c ( t ) ⋅ c → ′ ( t ) d t
となり,
∫
c
X
⋅
d
r
=
∫
c
ω
∫
c
X
⋅
d
r
=
∫
c
ω
int_(c)X*dr=int_(c)omega \int_{c} \boldsymbol{X} \cdot d \boldsymbol{r}=\int_{c} \omega ∫ c X ⋅ d r = ∫ c ω
となることがわかる。ゆに,定理 1.11.1が, 定理 2.7 .1 の特別な場合である ことがわかる.